Стационарные точки и критические точки в чем разница

Что такое стационарные и критические точки функции? Как их найти?

где х – аргумент функции, а у – сама функция. То есть мы задаем какое-либо значение аргумента х и вычисляем по уравнению (1) значение функции в этой точке. Принято рисовать график функции y = f(x). Рисуем оси координат х и у. Значение х откладываем по горизонтальной оси х. Эта ось называется осью абсцисс. По вертикали откладываем значение вычисленной функции у (эта ось называется осью ординат). На рисунке приведен график некоторой функции

текст при наведении

Как мы видим при х = 3 и х = 8 функция у имеет максимумы. А при х = 5 функция имеет минимум. То есть функция y = f(x) может иметь как минимумы, так и максимумы. Итак

Точка максимума – значение х, при котором функция имеет максимум.

Точка минимума – значение х, при котором функция имеет минимум.

Обе эти точки называются общим словом – экстремум. То есть в точках экстремума функция имеет максимальное или минимальное значение.

Нам еще потребуется знание, что такое производная функции. Если мы знаем саму функцию (1), то производная берется следующим образом

Смысл производной – тангенс угла наклона функции в данной точке х. Можно провести в любой точке функции касательную линию и угол между этой касательной и осью х и будет определять угол наклона. Но удобнее вычислять не сам угол наклона α, а тангенс этого угла tgα. Иными словами,

tgα = dy/dx = df(x)/dx (3)

Как видно из вышеприведенного рисунка в точках экстремума функции tgα = 0. То есть производная в этих точках равна нулю. Если нам известно уравнение функции (1), то приравнивая производную к нулю, получаем алгебраическое уравнение для вычисления точек максимума и минимума

А что такое критические и стационарные точки функции? Точки экстремума функции (то есть там, где функция имеет максимум или минимум) иногда называю еще и стационарными точками. Это на приведенном выше рисунке точки х = 3, 5 и 8. Иногда бывает, что функция у(х) имеет концы, то есть кривая функции не уходит на бесконечность ни влево ни вправо. Например, на вышеприведенном рисунке будем считать, что эта функция расположена между точками х = -1 и х = 10. Если бы в этих крайних точках функция имела бы минимум (или максимум), то есть экстремум (производная равна нулю), то эти точки не называются стационарными.

А вот внутренние точки функции, в которых функция непрерывна, но в этих точках производная не существует, называются критическими точками. Смотри рисунок ниже

В точке х = 0 эта функция имеет максимум, но в этой точке имеется и перелом функции. Острый максимум. Производная (наклон функции) слева от точки х = 0 положительная, а справа от этой точки производная отрицательная. Это критическая точка. А вот в точке х = 1 имеется минимум (производная равна нулю), но функция меняет знак без перелома (то есть постепенно). Это точка минимума и точка стационарная.

Что такое стационарные и критические точки

Стационарные и критические точки представляют собой важные понятия в математическом анализе и оптимизации. Они встречаются при решении различных задач, таких как определение экстремумов функций или поиск точек минимума или максимума.

Стационарная точка функции является такой точкой, в которой ее производная равна нулю или не существует. Именно в этих точках функция может достигать экстремальных значений, то есть быть максимальной или минимальной. Однако стационарная точка не всегда является критической, то есть точкой экстремума. Для определения характера стационарной точки используют дополнительные исследования, например, вторую производную функции.

Критическая точка функции — это стационарная точка, в которой производная функции меняет знак. Если малое изменение аргумента относительно критической точки приводит к изменению знака производной, то функция в данной точке имеет локальный минимум или максимум. Критические точки являются ключевыми для определения экстремумов функции и играют важную роль в оптимизационных задачах, в том числе в экономике и физике.

Таким образом, стационарные и критические точки функции позволяют находить экстремумы и оптимальные значения. Их изучение позволяет решать разнообразные задачи оптимизации и принимать решения на основе математических моделей.

Понятие о стационарных точках

Стационарная точка — это такая точка, в которой значение функции остается неизменным при изменении входных параметров системы. В математическом анализе и физике стационарные точки являются важными концепциями, которые позволяют анализировать и изучать свойства функций и систем.

Стационарные точки могут быть разделены на два основных типа: максимумы и минимумы. В максимуме функция имеет наибольшее значение в данной точке, а в минимуме функция имеет наименьшее значение. Важной характеристикой стационарных точек является их критический характер.

Критическая точка — это стационарная точка, в которой значение функции является экстремумом (максимумом или минимумом). Критические точки могут быть точными или неточными — точные критические точки являются истинными экстремумами функции, а неточные могут быть точками, в которых функция остается стационарной, но не достигает экстремума.

Для анализа стационарных точек и их критического характера используются различные методы, такие как исследование производных функции, нахождение точек, в которых производная равна нулю, и построение графиков. Эти методы позволяют определить тип и свойства стационарных и критических точек, а также провести дальнейший анализ функции и ее поведения вблизи этих точек.

Дефиниция стационарной точки

Стационарная точка, в контексте математического анализа, представляет собой точку на графике функции, в которой производная функции равна нулю или не существует. Такая точка также называется критической точкой.

В некоторых случаях, стационарные точки могут представлять особый интерес, так как они могут являться экстремумами функции или точками перегиба.

Для определения стационарных точек, необходимо производить анализ функции и находить ее производную. Когда производная равна нулю или не существует, мы можем заключить, что это стационарная точка.

Несмотря на то, что стационарная точка имеет значение для анализа функции, она не всегда означает экстремум или точку перегиба. Для того чтобы узнать, является ли точка экстремумом или точкой перегиба, требуется дополнительное исследование функции и ее производных.

Примеры стационарных точек

Максимум функции:

В стационарной точке функция имеет наибольшее значение на заданном интервале.

Пример: функция f(x) = -x^2 имеет максимум в точке x = 0.

Минимум функции:

В стационарной точке функция имеет наименьшее значение на заданном интервале.

Пример: функция f(x) = x^2 имеет минимум в точке x = 0.

Точка перегиба:

В стационарной точке функция меняет направление своего выпуклого или вогнутого вида.

Пример: функция f(x) = x^3 имеет точку перегиба в точке x = 0.

Точка экстремума:

В стационарной точке функция имеет локальный экстремум (максимум или минимум).

Пример: функция f(x) = sin(x) имеет локальный максимум в точке x = π/2.

Точка разрыва:

В стационарной точке функция не определена или имеет разрыв.

Пример: функция f(x) = 1/x имеет точку разрыва в точке x = 0.

Особенности стационарных точек

Стационарные точки являются важным концептом в математике и физике. Они представляют собой точки, в которых первая производная функции равна нулю. Такие точки могут быть экстремумами функции или точками перегиба.

Экстремумы функции: Стационарные точки могут быть точками минимума или максимума функции. Чтобы определить, является ли стационарная точка экстремумом, необходимо проанализировать вторую производную функции в этой точке. Если вторая производная положительна, то это точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.
Точки перегиба: Стационарные точки могут также представлять собой точки перегиба функции. Точка перегиба — это точка, где меняется выпуклость функции. Чтобы определить, является ли стационарная точка точкой перегиба, необходимо проанализировать знаки второй производной функции в окрестности этой точки. Если знаки второй производной меняются с плюса на минус или наоборот, то это точка перегиба.

Стационарные точки играют важную роль в определении поведения функций и имеют практическое применение в различных областях науки и техники.

Интерпретация стационарных точек

Стационарные точки функции играют важную роль в анализе ее поведения и определении ее основных характеристик. Интерпретация стационарных точек зависит от типа точки и значения производной в этой точке.

Существуют три основных типа стационарных точек:

Минимумы, где производная меняет знак с отрицательного на положительный. Такие точки интерпретируются как точки минимального значения функции.
Максимумы, где производная меняет знак с положительного на отрицательный. Такие точки интерпретируются как точки максимального значения функции.
Точки перегиба, где производная равна нулю, но не меняет знак. Такие точки могут быть точками изменения выпуклости или вогнутости функции.

Для определения типа стационарной точки необходимо проанализировать поведение функции вокруг точки и ее производную. Также можно использовать вторую производную, чтобы проверить тип точки перегиба.

Тип стационарной точки	Поведение функции вокруг точки	Значение производной в точке
Минимум	Функция меняет направление с убывания на возрастание	Положительное
Максимум	Функция меняет направление с возрастания на убывание	Отрицательное
Точка перегиба	Функция продолжает убывать или возрастать	Ноль

Интерпретация стационарных точек позволяет нам понять, где функция достигает своих минимальных и максимальных значений, а также определить характер изменения функции в различных областях.

Связь стационарных точек с экстремумами функций

Стационарные точки функции являются ключевыми точками на графике функции, где производная функции равна нулю или не существует. Это значит, что в этих точках график функции может изменить свое направление движения и достичь локального экстремума.

Локальный максимум функции достигается в стационарной точке, если слева от нее функция убывает, а справа — возрастает. И наоборот, локальный минимум достигается, если слева функция возрастает, а справа — убывает.

Однако стационарная точка не всегда является экстремумом функции. В некоторых случаях она может быть точкой перегиба, где график функции меняет свой характер из выпуклого в вогнутый или наоборот.

Для определения, является ли стационарная точка экстремумом или точкой перегиба, необходимо провести дополнительные исследования. Для этого может применяться вторая производная или использоваться метод второго дифференциала.

Вторая производная в стационарной точке может быть положительной или отрицательной. Если она положительна, то стационарная точка является точкой минимума функции. Если же она отрицательна, то стационарная точка является точкой максимума. Если вторая производная равна нулю или не существует, то это может быть точка перегиба.

Вопрос-ответ

Какие особенности у стационарных точек?

Стационарные точки функции являются точками экстремума, то есть минимума или максимума. В таких точках производная функции равна нулю, и вторая производная может быть положительной или отрицательной.

Что такое критические точки функции?

Критические точки функции — это точки, в которых производная функции может быть нулевой или не существовать. Они могут быть экстремумами (максимумами или минимумами) или точками перегиба. Для определения типа критической точки необходимо провести дополнительные исследования.

Как можно классифицировать стационарные точки?

Стационарные точки могут быть классифицированы на основе производной функции в окрестности точки. Если производная функции меняет знак с плюса на минус, то это точка локального максимума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка локального минимума. Если производная не меняет знака в окрестности точки, то это точка перегиба.

Стационарные точки и критические точки в чем разница

В чем разница между стационарными и критическими точками?

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными, а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими.

Как определить критические точки функции?

Для того чтобы найти критические точки функции нужно найти ее производную: f (x) = 2x^3+x^2+2, f'(x) = 6х^2+2x+0 = 6х^2+2x. Критические точки функции это точки в которых производная равна нулю или не существует.

Как определить вид экстремума?

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x0 является точкой экстремума функции f(x), если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.

Как находят критические точки?

Как определить есть ли критические точки?

В чем разница между стационарными и критическими точками? Ответы пользователей

Стационарными называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю Критическими называются такие точки .

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки — .

В чём разница между стационарными и критическими точками функции нескольких переменных? Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных .

Нахождение максимума и минимума функции, понятие стационарные и критических точек, примеры таких точек.

Например, на вышеприведенном рисунке будем считать, что эта функция расположена между точками х = -1 и х = 10. Если бы в этих крайних точках функция имела бы .

Экстремум функции · Критические и стационарные точки функции: Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не .

Честно говоря, я запуталась и до конца не поняла, какие точки стационарные, а какие — критические. Иногда встречаются ситуации, когда, .

Стационарная точка — в ней все частные производные первого порядка равны 0. Критическая точка — каждая частная производная первого порядка или равна 0, или не .

д. Основная задача – выявить такой объем производства, при котором устанавливается стойкая взаимосвязь между затратами и прибылью. Минимальный объем продаж , .

В чем разница между стационарными и критическими точками? Видео-ответы

Алгебра 10 Критические точки

И так ребят сегодня у нас следующая тема сегодня мы познакомимся с критическими точками функций и точками .

Читы к теме «Производная функции» часть 5, КРИТИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ

Что такое критическая точка? Что такое точка экстремума? Как определить интервалы возрастания и убывания? Групппа .

10 класс. Алгебра. Критические точки и точки экстремума функции. 20.04.2020

Дорогой учитель, ученик и родитель! К данному уроку есть упражнения, домашние задания и обратная связь на нашем .

Производная. Часть 10. Экстремумы. Максимум и минимум. Стационарная и критическая. Перегиба и полюс.

Производная. Что такое экстремум? Тип экстремума: максимум, минимум. Что такое стационарная и критическая точки?

Стационарные точки и критические точки в чем разница

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точка x_о является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(x_о):

Упрощенная формулировка : если в точке x_о производная меняет знак с плюса на минус, то x_о является точкой максимума.

Точка х_о является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(x_о):

Упрощенная формулировка : если в точке x_о производная меняет знак с минуса на плюс, то x_о является точкой минимума.

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума:

Если x_о – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие экстремума:

Пусть x_о – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак плюс на минус, то x_о – точка максимума:

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак минус на плюс, то x_о – точка минимума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

Стационарные критические и точки экстремума

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

Критические и стационарные точки функции:

Необходимое условие экстремума:

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.

Определение

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

Выпуклость и точки перегиба. Основные понятия и определения. Достаточное условие выпуклости функции.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x ): , x x тогда x 0 и c – x > 0, и кроме того по условию

Пусть x 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) 0 при x > a. Тогда при

x a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Описание презентации по отдельным слайдам:

10.03.17 Классная работа Критические точки и экстремумы функции

Найти значения х, при которых значение f(x) равно 0

x y O 1 1 4 7 9 12 15 19 По графику функции определите, на каких промежутках производная функции положительна, на каких — отрицательна? у = f ( x )

y = f ´(х) По графику производной функции определите, на каких промежутках функция возрастает, на каких убывает.

x y O x0 Точка максимума x0+ x0- x y(x0) y(x)

x O x0 Точка минимума y(x0) y Сформулируйте определение самостоятельно y(х) > y(x0) y(x) x

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Критические точки

Для того, чтобы точка была точкой экстремума функции необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции Но это условие не является достаточным

Необходимое и достаточное условие экстремума. Для того , чтобы точка х0 была точкой экстремума функции f(х): необходимо , чтобы х0 была критической точкой функции; достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х0 производная меняла знак.

Алгоритм нахождения точек экстремума: Найти производную функции. Решить уравнение f ´(х)=0, и найти тем самым стационарные точки. Методом интервалов установить промежутки знакопостоянства производной. Если при переходе через точку х0: — производная не меняет знак, то х0 – точка перегиба; — производная меняет знак с «+» на «-», то х0 точка максимума; — производная меняет знак с «-» на «+», то х0 точка минимума.

Шкурина Анастасия ОлеговнаНаписать 1248 28.11.2018

Номер материала: ДБ-264040

28.11.2018 1371

28.11.2018 104

28.11.2018 566

28.11.2018 178

28.11.2018 2458

28.11.2018 93

28.11.2018 147

28.11.2018 190

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Функция. Необходимые критерии экстремума.

Необходимые критерии экстремума формулируются в условиях:

Когда в избранной точке производная функции равняется нулю f`(x) =0, указанную точку обозначают как стационарную точку функции.

Точки, в которых реализованы необходимые критерии (условия) экстремума для случая непрерывной функции, обозначаются как критические точки функции.

Критические точки это стационарные точки функции, являющиеся корнями уравнения f`(x) =0, либо точки, где производная функции f`(x) не присутствует.

Необходимо отметить, что не в любой из своих критических точек функция непременно имеет максимум или минимум. Иначе говоря, в критических точках экстремум функции может существовать или отсутствовать.

То, что производные должны быть равны нулю является необходимым, но не достаточным критерием при определении существования экстремума.

Например рассмотрим функцию а = ху.

Для этой функции точка 0(0; 0) выступает в качестве критической, т.к. в ней а'x = у и а'y — х обращаются в ноль. Однако экстремум функции а = ху отсутствует по той причине, что в достаточно небольшой окрестности точки на плоскости отыщутся те точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Получается, что для установления экстремумов функции в избранной области требуется каждую произвольную критическую точку функции проанализировать еще раз.

Критические и стационарные точки функции в чем отличие

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

Критические и стационарные точки функции:

Необходимое условие экстремума:

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

Что такое стационарные и критические точки функции? Как их найти?

текст при наведении

Точка максимума – значение х, при котором функция имеет максимум.

Точка минимума – значение х, при котором функция имеет минимум.

tgα = dy/dx = df(x)/dx (3)

Исследование поведения функций с помощью производной

Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

Если на интервале (a, b) функция y = f (x) строго возрастает и в каждой точке x₀ интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

угол α наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

Если же на интервале (a, b) функция y = f (x) строго убывает и в каждой точке x₀ интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

угол α наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.

а). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

б). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

в). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

г). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Определение 1. Точку x₀ называют точкой максимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a для точек x которого выполнено неравенство

Таким образом, если x₀ – точка максимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x₀) больше всех остальных значений функции.

Определение 2. Точку x₀ называют точкой минимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a < x₀ < b , для точек x которого выполнено неравенство

Другими словами, если x₀ – точка минимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x₀) меньше всех остальных значений функции.

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции .

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

Определение 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

Определение 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, если точка x₀ является критической точкой функции, то точка x₀ либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке x₀ не существует.

Доказательство. Если в точке x₀ у функции y = f (x) не существует производная, то точка x₀ является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке x₀ у функции y = f (x) существует производная, то точка x₀ является стационарной, то есть f ‘ (x₀) = 0 .

Таким образом, в случае, когда точка x₀ является точкой максимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x₀) = 0 . Касательная к графику функции y = f (x) в точке A= (x₀; f (x₀)) параллельна оси Ox .

Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка x₀ является точкой минимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x₀) = 0 .

Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум .

Достаточные условия для существования экстремума функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

Утверждение 3. Рассмотрим функцию f (x) , непрерывную в интервале (a, b), содержащем точку x₀ , производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки x₀ .

а). Если для точек выполнено условие:

б). Если для точек выполнено условие:

Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак с «+» на «–» , то точка x₀ является точкой максимума функции. Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак с «–» на «+» , то точка x₀ является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

y = | x 3 + 3x 2 | (1)

Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

y₁ = x 3 + 3x 2 (2)

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

и разложим на множители правую часть формулы (3):

На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

Поскольку решением неравенства

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ возрастает на каждом из интервалов и .

С другой стороны, поскольку решением неравенства

то в соответствии с утверждением 1 функция y₁ убывает на интервале (– 2, 0) .

Так как решениями уравнения

x = – 2; x = 0; (7)

Поскольку при переходе через точку x = – 2 производная функции y₁ меняет знак с «+» на «–» (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка x = – 2 является точкой максимума функции y₁ , при этом

При переходе через точку x = 0 производная функции y₁ меняет знак с «–» на «+» (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка x = 0 является точкой минимума функции y₁ , при этом

Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

В силу определения модуля, справедливо равенство

Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции y₁ = x 3 + 3x 2 (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции y = | x 3 + 3x 2 | (рис.11) .

В точке x = – 3 производная функции y = | x 3 + 3x 2 | не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции y = | x 3 + 3x 2 | существует.

Функция y = | x 3 + 3x 2 | возрастает на каждом из интервалов (– 3, – 2) и .

Функция y = | x 3 + 3x 2 | убывает на каждом из интервалов и (– 2, 0) .

Похожие публикации:

Game highlights msi что это

Как определить конец файла c

Как подключить мтс к телевизору

Какое значение будет у переменной val после выполнения инструкции val 3 4 2