Какие скобки при строгом неравенстве

Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

x 2 − 2 x − 15 > 0

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX . В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.

Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции, а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

( x − 7)( x − 1)( x + 4)( x + 9) < 0

Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Что такое метод интервалов

— это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f ( x ) > 0 и f ( x ) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f ( x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f ( x ) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f ( x ) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f ( x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f ( x ) < 0.

На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f ( x ) = ( x − 2)( x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

( x + 9)( x − 3)(1 − x ) < 0

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

( x + 9)( x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f ( x ) = ( x + 9)( x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 < 0.

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

( x + 9)( x − 3)(1 − x ) < 0

Это неравенство вида f ( x ) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

Это и есть ответ.

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

1. Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f ( x ) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
2. Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

Итак, знак функции на правом куске числовой оси. Этот кусок имеет вид ( a ; +∞), где a — самый большой корень уравнения f ( x ) = 0. Чтобы не взрывать мозг, рассмотрим конкретный пример:

( x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0;
f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x );
( x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

Требуется найти знак функции f ( x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность, т.е. +∞.

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f ( x ) = −1 и f ( x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x )

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: ( x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

( x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0

Следовательно, нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. Выписываем ответ:

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Задача. Решите неравенство:

x (2 x + 8)( x − 3) > 0

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x (2 x + 8)( x − 3) = 0;
x = 0;
2 x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f ( x ) = x (2 x + 8)( x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

Простейшие неравенства

Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x<a; x≤a.

Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.

Неравенства бывают строгие и нестрогие.

Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).

Нестрогие неравенства — это неравенства со знаками больше либо равно(≥) или меньше либо равно(≤).

При изображении на числовой прямой решения строгого неравенства точку выкалываем (она рисуется пустой внутри), точку из нестрогого неравенства закрашиваем (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Числовой промежуток, соответствующий решению неравенства x<a или x≤a находится слева от точки a (штриховка идет от точки a влево, к минус бесконечности).

Числовой промежуток — решение неравенства x>a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x<a — круглая.

В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.

Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.

Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.

Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.

Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.

Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:

Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.

Читают: «икс больше двенадцати».

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.

К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:

Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».

Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»

Неравенство нестрогое, поэтому -3,7 на числовой прямой изображаем закрашенной точкой. Мысленно пририсовываем к знаку неравенства стрелочку: —≥. Стрелочка направлена вправо, поэтому штриховка от -3,7 идёт вправо, на бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка x= -3,7 закрашенная, -3,7 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».

Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).

Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: <—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:

Неравенство строгое, точка выколотая, 0,2 — с круглой скобкой.

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».

Читают: «икс меньше либо равен пяти».

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:

Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».

Строгие и нестрогие неравенства

Например, неравенство \(x>4\) – строгое. В нем решениями будут только значения больше четверки. При этом сама четверка решением не будет! Действительно, если мы подставим в неравенство вместо икса число \(4\), получим неверное числовое неравенство \(4>4\).
То есть, в строгих неравенствах не допускается равенство правой и левой части. Поэтому они и называются строгими. Оформление решения таких неравенств показано ниже: граничная точка (в нашем случае четверка) на числовой оси не закрашена (еще говорят «выколота»), а в записи промежутка на этом значении переменной стоит круглая скобка «(».

Нестрогие – это неравенства со знаками сравнения \(≥\) (больше или равно) или \(≤\) (меньше или равно).

Само название знаков сравнения уже подразумевает, что здесь равенство левой и правой части допускается, и значение икса, приводящее к такому результату, решением будет.
Например, неравенство \(x≥4\) – нестрогое. И в нем решением являются не только значения больше четырех, но и сама четверка тоже. Действительно, подставив вместо икса \(4\), получим верное числовое неравенство \(4≥4\) (потому что четверка и в самом деле равна четверке).
При записи решения таких неравенств граничную точку на числовой оси закрашивают, а при записи промежутка скобку на этом значении пишут не круглую, а прямоугольную «[».

Числовые неравенства

Неравенства — это важная и обширная тема школьной математики. С неравенствами вы будете сталкиваться каждый год, начиная с 7-го класса, и они обязательно будут на всех важных экзаменах.

Что такое неравенства?

Неравенства нужны для того, чтобы сравнивать числа и выражения. Очевидно, что, например, число \(5\) больше, чем число \(3\). Записать это утверждение можно при помощи знака больше — \(«\gt»\): $$5 \gt 3;$$ Широкая часть знака \(«\gt»\) направлена на то число, которое больше, а узкая направлена на меньшее число.

Верно и обратное утверждение — число \(3\) меньше \(5\), математическим языком это записывается при помощи знака меньше — \(«\lt»\): $$3 \lt 5;$$ Таким образом, запись \(x \gt 4\) означает, что вместо переменной \(x\) можно брать любые значения больше \(4\).

Если, например, \(x=3\), то неравенство \(x \gt 4\) перестает быть верным, ведь \(3\) не больше \(4\).

А вот при \(x=100\) неравенство становится верным: \(100 \gt 4.\)

Координатная прямая и числовые промежутки

Неравенство \(x \gt 4\) удобно изобразить графически при помощи координатной прямой. Тут может возникнуть вопрос, а что такое координатная прямая? Это просто линия, на которой расставлены все числа в порядке возрастания:

Назовем эту линию «ось \(x\)» или «числовая прямая». Стрелочкой показано направление возрастания чисел: слева направо. На оси \(x\) можно отметить абсолютно любые числа (положительные, отрицательные, рациональные и иррациональные), важно, что они всегда идут по порядку, по возрастанию. Чтобы изобразить на оси \(x\) неравенство \(x \gt 4\), нам надо отметить на ней число \(4\). Сделаем это большой красной точкой.

А теперь самое главное, так как \(x \gt 4\), то нас устраивают любые числа, которые находятся справа от \(4\), ведь все числа, которые больше \(4\) находятся именно справа. Покажем это при помощи штриховки на рис.2:

Аналогичным образом мы можем отмечать на числовой прямой любые неравенства: $$x \lt 68;$$

Даже можно отметить выполнение сразу нескольких условий для переменной \(x\). Представьте, что \(x\) одновременно должна быть больше \(2\) и меньше \(14\). Например, число \(8\) с одной стороны больше \(2\), а с другой меньше \(14\). Математическим языком это можно записать двойным неравенством: $$2 \lt x \lt 14;$$ А на числовой прямой такое двойное условие будет выглядеть так (любые числа между \(2\) и \(14):\)

Дробные неравенства тоже можно изобразить на координатной прямой. Например, \(x \lt \frac<1><3>.\) \(\frac<1><3>\) на числовой прямой, очевидно, находится между нулем и единицей. Разделим в уме отрезок от \(0\) до \(1\) на три равные части и первая из них будет \(\frac<1><3>\). А если бы нам нужно было отметить \(\frac<2><3>\), то мы отсчитали бы две одинаковые части. Графически неравенство \(x \lt \frac<1><3>\) будет выглядеть так:

Со знаками неравенства и графическим их изображением на числовой прямой разобрались. Но есть еще третий способ записывать неравенства: при помощи знака «принадлежит» \(\in\) и скобок.

Например, неравенство \(x \gt -3\) можно записать в виде луча: \(x \in (-3;+\infty)\).
Знак \(+\infty\) — плюс бесконечность, то есть отсутствие границы справа: любое число большее \(-3\);
А запись \(x \in (-3;+\infty)\) читается как «икс принадлежит от минус трех до плюс бесконечности». Графически это можно изобразить вот так:

Аналогичным образом можно записать неравенство \(x \lt -3\) в виде луча \((-\infty;-3)\). А графически оно будет выглядеть так:

Двойные неравенства записываются при помощи интервалов. Например, двойное неравенство \(-1 \lt x \lt 10\) записывается так: \(x\in (-1;10)\). На числовой прямой оно же будет выглядеть так:

Лучом называют неравенство, если одна из границ — бесконечность, а другая — число. Интервалом называют неравенство, если обе границы это числа. Итак, подведем итог. Неравенства можно записывать тремя способами:

• При помощи знаков неравенства (больше \(x \gt 5\), меньше \(x \lt 5\));
• Графически на числовой (координатной) прямой;
• Лучами: \(x \in (5;+\infty)\) и \(x \in (-\infty;5)\). И интервалами: \(x \in (2;3)\)

Важно понимать, что все три способа записывать неравенства фактически обозначают одно и то же. Зачем же тогда так много видов записи одного и того же?

Знаки неравенств и числовую прямую мы будем использовать при решении более сложных неравенств. А при помощи лучей и интервалов принято записывать ответы.

Строгие и нестрогие неравенства

Все неравенства, о которых мы говорили выше, называются «строгими». В чем же их строгость? Когда мы говорим \(x\) больше \(7\), то подразумеваем, что это неравенство будет верным при условии, что \(x\) принимает любые значения строго большие \(7\): \(8,100,100000\) и даже \(7,00001\), все эти числа больше семи. Но \(x=7\) не удовлетворяет этому неравенству. Так как \(7\) не больше \(7.\)

А что, если мы хотим показать, что \(x\) может принимать значения не только большие \(7\), но и равное \(7\)? Для таких случаев придумали знак «больше или равно», обозначается \(x \geq 7\).

Аналогичным образом существует знак «меньше или равно» \(x \leq 1\), который обозначает, что, если вместо \(x\) подставить значения меньшие единицы или равное единице, то неравенство будет верным.

Неравенства со знаками \(\geq\) или \(\leq\) называются «нестрогими». Пример таких нестрогих неравенств: $$x \geq 12;$$ $$x \leq -1;$$ $$x\geq \frac<1><6>;$$

Часто с нестрогими неравенствами возникает путаница. Скажите, какие из представленных ниже неравенств верные, а какие нет: $$3 \ge 2;$$ $$4 \ge 4;$$ $$5 \gt 5;$$ Первое неравенство будет верным: \(3\) действительно больше \(2.\)
Второе неравенство тоже верное, так как знак неравенства \(«\ge»\) разрешает равенство, а \(4\) равно \(4.\)
А вот третье неравенство неверное, потому что \(5\) не больше \(5,\) а знак неравенства строгий, равенство не допускается.

Нестрогие неравенства тоже можно изобразить графически на числовой прямой. Для того, чтобы различать на рисунке строгие и нестрогие неравенства, придумали обозначать строгие незакрашенной (выколотой) точкой, а нестрогие при помощи закрашенной.

На рисунке \(10\) показано строгое неравенство \(x \gt 8\). На рисунке \(11\): нестрогое \(x \geq 8\). Обратите внимание на точку \(8\): в строгом неравенстве она выколотая, а в нестрогом закрашенная: