Лежат ли точки в одной плоскости? Как это проверить?
Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A,B,C,D
Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A,B,C,D, и найти линейную зависимость векторов AB от AC.
Две точки на плоскости заданы своими координатами. Проверить, лежат ли они в одной координатной четверти
две точки на плоскости А(х1;у1) и В(х2;у2) задано своими координатами. Проверить, лежат ли эти.
Как пользуясь рангом матрицы определить лежат ли четыре точки трёхмерного пространства в одной плоскости
Как пользуясь рангом матрицы определить лежат ли четыре точки трёхмерного пространства в одной.
Лежат ли точки на одной плоскости
У тривимірному просторі задається n точок(3<=n<=100). Визначити, чи належать вони одній площині.
Сообщение от angor6
Сообщение от Jessy James
Можно найти расстояние между ними, если оно равно нулю — значит на одной плоскости.
Хотя нет, это неправда.
Значит проверять на пересечение.
Добавлено через 11 минут
Получится система уравнений:
Она вроде бы не совместна, направляющие вектора не параллельны, значит прямые не лежат в одной плоскости.
woldemas, вы пишете, что определитель из координат трех точек — это то же самое, что вычислить смешанное произведение векторов. Каких именно векторов? Ведь векторы в сообщении 2 строятся по четырем точкам. А три точки всегда лежат на одной плоскости.
Jessy James, чтобы определить, лежат ли четыре точки в трехмерном пространстве на одной плоскости, можно вычислить определитель 4×4, составленный из координат точек, к которым добавлена четвертая координата 1. Например, для точки A(1; 0; 2) используется строчка 1 0 2 1. Точки лежат на одной плоскости тогда и только тогда, когда определитель равено нулю.
Сообщение от 3D Homer
Там одна из точек имеет нулевые координаты, если принять ее за начало для трех векторов проведенных к остальным точкам, можно просчитать определитель, в котором стоят координаты точек (но на самом деле это координаты радиус-векторов). Я думал это очевидно, поэтому и не стал особо расписывать.
Добавлено через 20 минут
А что касается условия принадлежности прямых одной плоскости, то определитель матрицы 3 на 3 составленной из направляющих векторов прямых и вектора соединяющего две любые точки на прямых должен равняться 0.
Лежат ли точки в одной плоскости?
На плоскости XOY даны три точки A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Выяснить, лежат ли они в одной и.
Лежат ли 4 точки в одной плоскости.
Помогите пожалуйста решить, лежат ли точки А(5,3,1), В(-3,2,3), С(3,8,6) и D(-3,1,2) в одной.
Определить, лежат ли три точки плоскости на одной прямой
Задача: Написать программу, определяющую, лежат ли три точки плоскости на одной прямой! Точки и.
Определить, лежат ли три точки плоскости на одной прямой
Помогите, пожалуйста с задачей! Написать программу, определяющую, лежат ли три точки плоскости на.
Аксиомы стереометрии
Вся стереометрия 10—11 классов построена на пяти (иногда — семи) аксиомах, из которых основными являются лишь три. В этом уроке мы разберём все семь аксиом и решим много полезных задач.
В учебниках разных авторов эти аксиомы идут в разной последовательности. Так, Атанасян даёт аксиомы 3—5; Мерзляк — аксиомы 1—6; Потоскуев / Звавич — все 7 аксиом.
Обратите внимание: у этих аксиом есть следствия. Это три теоремы, которые значительно расширяют наши возможности для решения задач. Им посвящён отдельный урок — см. «Следствия из аксиом стереометрии».
1. Аксиома планиметрии
Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Другими словами, в стереометрии можно пользоваться всеми свойствами плоских фигур, которые мы изучали в планиметрии. Более того: переход к планиметрии — это основной приём для решения множества стереометрических задач.
Для того, чтобы использовать теоремы из планиметрии, достаточно определить плоскость, в которой мы работаем. И убедиться, что интересующие нас объекты (прямые, треугольники, окружности и т.д.) лежат в этой плоскости.
Для обозначения принадлежности мы часто будем использовать знак $\in $ из теории множеств. Допустим, прямая $l$ и точка $M$ лежат на плоскости $\alpha $:
Мы будем обозначать это так: $M\in \alpha $ и $l\in \alpha $.
2. Аксиома точек вне плоскости
Аксиома 2. Для любой плоскости пространства найдутся точки, которые лежат в этой плоскости, и точки, которые лежат вне её.
Из этой аксиомы следует, что всё пространство не исчерпывается одной плоскостью. Есть другие плоскости, на каждой из которых можно отметить бесконечное множество точек.
На чертеже мы видим, что точка $A\in \alpha $, точка $\color
3. Аксиома плоскости (основная)
Аксиома 3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Другими словами, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость:
На рисунке точки $A$, $B$ и $C$ лежат на плоскости $\alpha $. Поскольку эти точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают эту плоскость. Обычно её так и обозначают: плоскость $ABC$.
Простой пример из жизни — стул на трёх ножках. Такого количества опор достаточно, чтобы он не качался и не падал. Плоскость стула задаётся однозначно благодаря всего трём точкам опоры.
Мы будем постоянно использовать эту аксиому для доказательства и решения задач. Ведь если удастся задать плоскость, то мы сведём трёхмерную задачу к двухмерной. А это радикально упрощает рассуждения.
4. Аксиома прямой и плоскости (основная)
Аксиома 4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся эта прямая принадлежит этой плоскости.
Это интуитивно понятное утверждение, но его нельзя вывести из предыдущих аксиом.
Итак, есть прямая, две точки которой лежат на плоскости:
Следовательно, вся прямая лежит на этой плоскости:
В этом уроке мы не будем давать строгие теоретико-множественные определения. Потому что сейчас наша цель — максимальная наглядность, а не научная красота. Кому интересно, см. учебник «Геометрия 10» Потоскуева и Звавича.
Вообще существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
- Прямая принадлежит плоскости — как раз этот вариант описывает аксиома.
- Прямая параллельна плоскости, т.е. не имеет с ней общих точек.
- Прямая пересекает плоскость, т.е. имеет с ней ровно в одну общую точку.
Простой пример: на столе, выполняющем роль плоскости $\alpha $, стоит кирпич $ABCD<_<1>><_<1>><
Прямая $\color
5. Аксиома пересечения плоскостей (основная)
Аксиома 5. Если у двух плоскостей есть общая точка, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой.
Плоскости всегда пересекаются только по прямой:
Сейчас это может показаться рассуждениями Капитана Очевидности, но в первых же задачах на доказательство вы поймёте, насколько полезны эти аксиомы.
Существует два варианта взаимного расположения плоскостей:
- Плоскости пересекаются по прямой;
- Плоскости параллельны, т.е. не имеют общих точек.
Вернёмся к предыдущему рисунку, где на плоскости $\alpha $ стоит кирпич:
Существует, конечно, третий вариант, когда плоскости совпадают. Это тривиальный случай, и мы не будем его рассматривать. Поэтому если в задаче фигурируют плоскости, то речь идёт именно о разных плоскостях, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Важным следствием из трёх основных аксиом: если фигуры $\color
Фигуры $\color
Вот почему, например, сечение грани куба плоскостью всегда даёт либо точку, либо отрезок. Подробнее об этом — см. урок «Сечения многогранников». Это один из важнейших уроков во всём курсе стереометрии.
6. Аксиома расстояния (дополнительная)
Аксиома 6. Расстояние между любыми двумя точками пространство будет одним и тем же для любой плоскости, проходящей через эти точки.
Смысл этой аксиомы в следующем. Из Аксиомы 1 мы знаем, что в любой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, для любых двух точек $M$ и $N$ в каждой плоскости, которая проходит через эти точки, можно найти расстояние $\left| MN \right|$.
Однако через точки $M$ и $N$ проходит бесконечно много плоскостей. И в каждой можно найти такое расстояние.
Аксиома 6 утверждает, что все эти расстояния будут равны друг другу. Т.е. расстояние между двумя точками пространства не зависит от выбора плоскости.
На рисунке точки $\color
7. Аксиома разбиения (дополнительная)
- Любые две точки, принадлежащие разным частям, разделены плоскостью $\alpha $;
- Любые две точки, принадлежащие одной части, не разделены плоскостью $\alpha $.
Интуитивно эта аксиома вполне очевидна. Если две точки лежат по разные стороны от плоскости $\alpha $, то отрезок, соединяющий эти точки, неизбежно пересечёт плоскость $\alpha $. И наоборот: если точки лежат по одну сторону от плоскости $\alpha $, то отрезок, их соединяющий, не пересечёт эту плоскость.
На рисунке мы видим, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $\alpha $. И наоборот: отрезок $AC$ не пересекает плоскость $\alpha $, поскольку точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от плоскости.
Здесь можно долго рассуждать, что плоскость $\alpha $ делит всё пространство на два полупространства. Что эта плоскость является границей для таких полупространств. Но это уже аналитическая геометрия и топология — сейчас не будем залезать в дебри.
8. Зачем нужны аксиомы
Математику изучают в школе не просто так. Большинство забудет все эти уравнения, графики и аксиомы сразу после ЕГЭ в 11 классе.
Задача школьного курса математики состоит в том, чтобы вы освоили научное мышление. Чтобы поняли, как работает наука, как проверяются гипотезы и как доказываются утверждения. И чем отличается частный жизненный опыт от универсальных знаний.
Подробнее о том, чем научное знание отличается от обывательского (и почему это так важно), смотрите в цикле уроков «Как работает наука».
Однако в любой науке есть «стартовый» набор утверждений, которые принимаются без доказательств. Эти утверждения и есть аксиомы. Обычно они наглядны и «очевидны» даже для начинающих.
Простой пример «очевидного» утверждения. Биссектриса треугольника пересекает его противоположную сторону:
Спасибо, Капитан Очевидность. Однако напрямую этот факт ниоткуда не следует. Его можно доказать, например, через тригонометрию или координаты. Но потребовать такое доказательство — отличная задача-гроб на устном экзамене в университет.
Создание системы аксиом — долгий и кропотливый процесс. Классическая евклидова геометрия, которую изучают в школе, основана на аксиомах, которые формировались более двух тысяч лет. Основоположник этих аксиом — Евклид — жил в III веке до н.д. Собственно, потому геометрия и называется евклидовой.
Зато когда система аксиом построена, все последующие теоремы выводятся из неё через логические рассуждения. Без привлечения наглядных иллюстраций и «очевидных соображений». Вот здесь и начинается настоящая наука.:)
9. Решение задач
Аксиомы стереометрии часто применяются в доказательствах. И ещё в задачах с открытыми вопросами. Вот пример такой задачи:
Задача 1. Окружность и плоскость
Центр окружности $O$ и точки $M$ и $N$ на этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $. Все ли точки этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $?
Решение. Легко заметить, что ответ зависит от взаимного расположения точек $M$, $N$ и $O$.
Допустим, что все они лежат на одной прямой. Тогда $MN$ — диаметр, и вся окружность может как лежать в плоскости $\alpha $, так и не лежать в ней. Вот пример когда окружность не лежит в плоскости:
Пусть теперь точки $M$, $N$ и $O$ не лежат на одно прямой. По Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке) эти точки однозначно задают плоскость. Эта плоскость совпадает с плоскостью $\alpha $.
А поскольку окружность — плоская фигура, то остальные её точки также принадлежат плоскости $\alpha $:
Задача 2. Неравильный рисунок
Вершина $B$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha $. Прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, а прямая $CD$ — в точке $K$. Верно ли выполнен рисунок? Ответ обоснуйте.
Решение. Соединим точки $M$ и $K$ прямой $l$:
Мы видим, что точка $B\notin l$. Поэтому точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой. И согласно Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке), эти точки однозначно задают плоскость.
С одной стороны, мы видим по рисунку, что это плоскость $\alpha $. С другой стороны, параллелограмм — плоская фигура, поэтому точки $M$, $B$, $K$ лежат ещё и в плоскости параллелограмма. А это значит, что плоскости $\alpha $ и $ABCD$ должны совпадать, чего на рисунке не происходит.
Есть и другой способ показать, что рисунок некорректен. По условию задачи, точки $M$, $B$, $K$ являются общими для плоскости $\alpha $ и плоскости $ABCD$. Согласно Аксиоме пересечения плоскостей (Аксиома 5 в нашем списке), все эти точки должны лежать на одной прямой.
Однако простое построение показывает, что точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой, что противоречит аксиоме. Такое противоречие как раз и доказывает некорректность чертежа.
Далее мы будем лишь называть аксиомы — без нумерации.
Задача 3. Прямые на плоскости
Лежат ли в одной плоскости прямые $a$, $b$ и $c$, если любые две из них пересекаются, но не существует точки, принадлежащей всем трём прямым? Сделайте рисунок и обоснуйте ответ.
Решение. Нарисуем прямые $a$, $b$, $c$ и обозначим их точки пересечения $M$, $N$, $K$:
Точки $M$, $N$, $K$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости, эти три точки однозначно определяют некоторую плоскость $\alpha $.
Далее заметим, например, что точки $M\in \alpha $ и $N\in \alpha $ по построению. По основной Аксиоме прямой и плоскости вся прямая $MN=b$ лежит в этой плоскости, т.е. $b\subset \alpha $.
Аналогично доказывается, что прямые $a\subset \alpha $ и $b\subset \alpha $.
Задача 4. Пересечение плоскостей
На рисунке плоскости $\alpha $ и $\beta $ пересекаются по прямой $l$. Точки $A\in \alpha $ и $B\in \alpha $, точка $C\in \beta $. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha $ и с плоскостью $\beta $.
Решение. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости $\alpha $ и $\beta $, буквой $l$:
\[\alpha \cap \beta =l\]
Дополнительное построение: прямая $AB$, которая пересекает прямую $l$ в точке $M$:
Точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $AB\subset \alpha $ — искомая линия сечения плоскости $\alpha $ и $ABC$.
Далее заметим, что точка $M\in l\subset \beta $. Дополнительное построение: прямая $CM$:
Точки $C\subset \beta $, $M\subset \beta $. И вновь по основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $CM$ — искомая линия сечения плоскости $\beta $ и $ABC$.
Хочу отметить, что задачи на построение — это отдельный класс задач. Как в планиметрии, так и в стереометрии. Там много интересных моментов, им посвящены отдельные уроки. А то, что мы сделали сейчас — это совсем уж простые рассуждения, которые тем не менее опираются на всю мощь аксиом.
Задача 5. Стандартное доказательство
Докажите, что если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат плоскости $\alpha $, то и две другие вершины тоже принадлежат плоскости $\alpha $.
Решение. Это классическая задача на доказательство, которую в разных формулировках предлагают во всех учебниках по стереометрии.
Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.
Поскольку точка $O\notin AB$, точки $A$, $B$, $O$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости эти три точки однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
Точки $A\in \alpha $, $O\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости, прямая $AO\subset \alpha $. Но точка $C\in AO\subset \alpha $. Следовательно, вершина параллелограмма $C\in \alpha $. Аналогично через точки $B$ и $O$ доказывается, что вершина $D\in \alpha $.
Замечание по поводу задач
Как видите, мы рассмотрели лишь самые простые задачи. Но даже на их примере видно, насколько важно чётко знать систему аксиом.
Бесчисленное множество контрольных и экзаменов были завалены просто потому, что ученик не смог обосновать простые и наглядные рассуждения. Потому что, например, не знал: можно ли утверждать, что если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
В общем, учите аксиомы и практикуйтесь на простых примерах. А для более интересных задач нам потребуются некоторые следствия из этих аксиом. Чему и посвящён следующий урок.:)
Определить лежат ли в одной плоскости точки?
Для определения, лежат ли точки в одной плоскости, можно воспользоваться геометрическим подходом. Точки будут лежать в одной плоскости, если они все могут быть прямыми линиями соединены без пересечений. Вот как вы можете проверить это:
Выберите любые три точки: Выберите три из заданных точек. Обозначим их как A, B и C.
Постройте векторы: Постройте векторы AB (от точки A к точке B) и AC (от точки A к точке C).
Вычислите их векторное произведение: Вычислите векторное произведение векторов AB и AC. Векторное произведение двух векторов даст новый вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами AB и AC.
Проверьте перпендикулярность: Если векторное произведение AB и AC равно нулевому вектору (или имеет очень маленькие значения, близкие к нулю из-за погрешности), то это означает, что векторы AB и AC коллинеарны, то есть они лежат на одной прямой. Из этого следует, что точки A, B и C лежат на одной плоскости.
Если же векторное произведение не равно нулевому вектору, то точки A, B и C не лежат в одной плоскости.
Примечание: Этот метод применим для определения, лежат ли три точки в одной плоскости. Если вы хотите проверить больше точек, используйте аналогичный подход для каждой тройки точек, но этот метод может стать сложным и времязатратным при большом количестве точек.
Как узнать лежат ли векторы в одной плоскости
Компланарные векторы, исследование системы векторов на компланарность.
В этой статье мы поговорим о компланарности векторов. Сначала вспомним определение компланарности и получим необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в трехмерном пространстве. Далее разберемся с задачей исследования системы из n векторов на компланарность, рассмотрим решения характерных примеров.
Навигация по странице.
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
Напомним определение компланарных векторов.
Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.
Два вектора и трехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы и соответственно. Проведем через начало вектора прямую b1 , параллельную прямой b , а через начало вектора прямую a1 , праллельную прямой a . Плоскости, образуемые прямыми a и b1 , а так же прямыми b и a1 , параллельны по построению, а векторы и принадлежат им. Следовательно, векторы и компланарны.
А как же определить, являются ли три вектора компланарными?
Для этого существует необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве. Оно основано на понятии смешанного произведения векторов. Сформулируем его в виде теоремы.
Для компланарности трех векторов и трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
Пусть , докажем что векторы и компланарны.
Так как , то векторы и перпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор перпендикулярен и вектору и вектору . Следовательно, векторы и компланарны, так как перпендикулярны одному вектору .
Пусть теперь векторы и компланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения .
Так как векторы и компланарны, то вектор перпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора на равно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения .
Итак, теорема полностью доказана.
Покажем применение доказанного условия компланарности трех векторов к решению задач.
Компланарны ли векторы , заданные в прямоугольной системе координат.
Вычислим их смешанное произведение по координатам:
Так как мы получили ноль, то условие компланарности выполнено, следовательно, заданные векторы компланарны.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов можно использовать для проверки принадлежности четырех точек пространства А, В, С и D одной плоскости. Для этого находим координаты векторов и вычисляем их смешанное произведение. Если оно равно нулю, то точки лежат в одной плоскости, в противном случае – не лежат в одной плоскости.
Принадлежат ли точки одной плоскости?
Найдем координаты векторов (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца):
Теперь вычисляем смешанное произведение этих векторов
Так как смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы не компланарны, следовательно, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
Исследование системы векторов на компланарность, примеры и решения.
А как же быть, если требуется установить компланарность системы векторов, число векторов которой больше трех?
Давайте ответим на этот вопрос и получим условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства.
В предыдущем пункте мы показали, что для компланарности трех векторов и необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения: . Так как смешанное произведение трех векторов в координатной форме представляет собой определитель матрицы, строками которой являются координаты векторов и , то условие компланарности можно записать в виде . Вспомнив понятие ранга матрицы, последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: ранг матрицы, строками которой являются координаты компланарных векторов и , меньше трех.
Обобщив последнее утверждение, мы получим необходимое и достаточное условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства: для компланарности системы из n векторов трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, строками которой являются координаты векторов системы, был меньше трех.
Компланарны ли векторы
Составим матрицу, строками которой примем координаты данных векторов
Сразу легко отыскать минор второго порядка, отличный от нуля, .
Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
Все они равны нулю, следовательно, ранг матрицы равен двум, поэтому, векторы заданной системы векторов компланарны в силу выполнения необходимого и достаточного условия компланарности.
Компланарные векторы и условие компланарности
В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
- определение компланарных векторов;
- условия компланарности векторов;
- примеры задач на компланарность векторов.
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
- Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
- Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 — 1 × 1 × 3 — 2 × 1 × 1 — 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
a ¯ = ( 1 ; — 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; — 1 ) и c ¯ = ( 2 ; — 2 ; 4 ) компланарны.
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 — 1 2 0 1 — 1 2 — 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( — 2 ) × 2 + ( — 1 ) × ( — 1 ) × × 2 — 2 × 1 × 2 — ( — 2 ) × ( — 1 ) × 1 — 0 × ( — 1 )
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
1 1 1 1 2 0 0 — 1 1 3 3 3
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
1 1 1 1 — 1 2 — 1 0 — 1 0 — 1 1 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 — 1 1 0 0 0
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
1 1 1 0 1 — 1 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 0 0 0 0 0
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| a · [ b × с ] = | 1 | 2 | 3 |
| a · [ b × с ] = | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |