Сложные выражения с дробями. Порядок действий
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
- Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
- Затем — деление и умножение;
- Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Задача. Найдите значения выражений:
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, . Тогда:
Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, , имеем:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Здесь и далее мы будем называть эти дроби . Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
Это выражение можно прочитать по-разному:
- В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
- В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
Как решать трехэтажные дроби 8 класс
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
- Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
- Затем — деление и умножение;
- Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Задача. Найдите значения выражений:
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, . Тогда:
Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, , имеем:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Здесь и далее мы будем называть эти дроби . Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
Это выражение можно прочитать по-разному:
- В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
- В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
Как сделать многоэтажные дроби?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для .
Как решить многоэтажные дроби?
1) Найти НОК знаменателей в выражении многоэтажной дроби; 2) числитель и знаменатель многоэтажной дроби умножить на НОК их знаменателей, в результате записать числитель и знаменатель дроби целыми числами; 3) выполнить действия над целыми числами.
Как решать длинные примеры с дробями?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Сложные выражения с дробями. Порядок действийСначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;Затем — деление и умножение;Последним шагом выполняется сложение и вычитание.Aug 8, 2011
Как можно упростить дроби?
Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя. Поделите числитель и знаменатель на общий множитель. Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку. Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
Что будет в 6 классе по математике?
Курс математики включает в себя теорию делимости чисел, все действия с обыкновенными дробями, пропорции, решение задач на пропорции, действия с положительными и отрицательными числами. В рамках курса решается много уравнений и задач при помощи уравнений, а также комбинаторные задачи.
Как сделать многоэтажные дроби? Ответы пользователей
Как сокращать многоэтажные дроби. Дроби. Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции.
Как решать уравнения с дробями в 5, 6 и 7 классах. Поэтапное решение дробных уравнений с примерами. Просто и понятно!
а) подобным слагаемым;. б) коэффициентом. 4. Слагаемые имеющие одинаковую буквенную часть называются ______. 5. Что нужно сделать, чтобы сложить .
Как сделать свою задачу с многоэтажными дробями? Помощь с учебойЗадача+2. Евгений Нургалиев. 19 сентября 2019 · 4,9 K.
Как решить многоэтажную дробь в Эксель? 2Ответить. Асия Муртазина в «Другие предметы .
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, .
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, .
В статье мы рассмотрим, как сделать дробь в Ворде с помощью создания формулы, т.е. расположим одно число над другим.
Как сделать многоэтажные дроби? Видео-ответы
6 класс, 17 урок, Многоэтажные дроби
По вопросам размещения рекламы на наших видеороликах — https://api.whatsapp.com/send?phone=77072132054. Решаем .
Многоэтажные дроби. 6 класс.
дроби #многоэтажныедроби #MEKTEП_OnLine #MEKTEP_OnLine Образовательный сайт: https://mektep-online.kz/ МЕКТЕП .
Как решать многоэтажные дроби? Трехэтажные и четырехэтажные дроби
Видеоурок, в котором показано как решать многоэтажные дроби. Будь то трехэтажные дроби или четырехэтажные дроби.
Решение многоэтажных дробей / ПОДГОТОВКА К ОГЭ И ЕГЭ
В этом видео я расскажу про решение многоэтажных дробей. Приятного просмотра!
трёхэтажные дроби
Смотрите видео на тему «трёхэтажные дроби» в TikTok (тикток).
97.5K
enia_blog
Геометрия егэ, огэ
Лайки: 97.5K.Комментарии: 667.Видео в TikTok (тикток) от пользователя Геометрия егэ, огэ (@enia_blog): «#ОГЭ #задание6#дроби, подробнее на ютубе».ЗАДАНИЕ 6 | ОГЭ, трёхэтажные дроби оригинальный звук — Геометрия егэ, огэ.
оригинальный звук — Геометрия егэ, огэ
2935
math_killer_
ОГЭ/ЕГЭ МАТЕМАТИКА
Лайки: 2.9K.Комментарии: 29.Видео в TikTok (тикток) от пользователя ОГЭ/ЕГЭ МАТЕМАТИКА (@math_killer_): «#math_killer_ #огэматематика #математика #огэ2022 #огэматематика2022».6 задание ОГЭ Трехэтажные дроби — не страшно Ambient-style emotional piano — MoppySound.
Математические дроби – просто о сложном
В статье описаны математические дроби: основные виды дробей, их основное свойство, а также все операции, которые можно выполнять с дробями (сокращение, приведение, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление).
Дробь и ее виды
Обыкновенная или простая дробь — это число вида a/b , где a — числитель дроби, b — знаменатель дроби. Суть дроби можно объяснить на примере пирога – например, дробь ¼ означает один кусок пирога из 4-ех.
Правильная — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, 1/5, 2/9).
Неправильная — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/2, 5/5).
Смешанная — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби. Она представляет собой сумму этого числа и дроби. Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную путем выделения целой части (например, 9/4 = 2 ¼).
Десятичная — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. (например, 7/10 или 0,7; 9/100 или 0,09). Десятичная дробь записывается в виде целой и дробной части, которые отделяются запятой.
Математические дроби: основное свойство
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одинаковое число (не ноль), то получится равная дробь. Например, 2/3 = 2*2 / 3*2 = 4/6.
Сокращение дроби
Основное свойство дроби используется для сокращения дробей или для преобразования с целью дальнейших арифметических действий (сложения или вычитания).
Чтобы сократить математические дроби, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на НОД. Найти НОД можно с помощью онлайн калькулятора НОД.
НОД – это наибольший общий делитель (то есть максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель). Например, для дроби 4/20 наименьшим общим делителем будет 4 (4/20 = 1/5).
Сократить обыкновенную дробь можно с помощью калькулятора сокращения дробей.
Приведение дробей к общему знаменателю
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОК) – минимальное число, которое делится на каждый знаменатель. Найти НОК можно с помощью онлайн калькулятора НОК.
Например, для дробей 1/4 и 1/3 общий знаменатель общий знаменатель равен 12, для дробей 1/6 и 1/3 общий знаменатель будет 6).
Для приведения дроби к общему знаменателю нужно:
1. Найти общий знаменатель – НОК (для дробей 1/6 и 1/9 общий знаменатель будет равен 18);
2. Найти множитель для каждой дроби – разделить общий знаменатель на знаменатель исходной дроби (для дроби 1/6 множитель будет равен 3 (18:6=3), для дроби 1/9 – 2 (18:9=2)).
3. Умножить числитель дроби на множитель (для дроби 1/6 получаем 1*3/6*3=3/18, для дроби 1/9 получаем 2*1/2*9=2/18)
Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь и обратно
Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную (рассмотрим на примере 14/3).
Для перевода необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с остатком (14 разделить на 3 равно 4 и остаток 2): получавшаяся целая часть от деления (число 4) – целая часть дроби, остаток от деления (число 2) – числитель правильной дроби. Получаем число 4 2/3.
На примере пирога: каждый пирог разрезан на 3 части и всего есть 14 кусочков. Получаем, что 12 кусочков составляют 4 целых пирога и еще остается два кусочка).
Для перевода смешанной дроби в неправильную необходимо (рассмотрим на примере 4 2/3):
для получения числителя целую часть дроби умножить на знаменатель и прибавить исходный числитель (4 умножить на 3 и прибавить 2, получим 14); знаменатель оставить прежним (число 3).
На примере пирога: есть 4 целых пирога, разрезанных на 3 части, и еще 2 кусочка из трех; получаем 12 кусочков из пирогов, разрезанных на три части, и 2 кусочка из пирога, разрезанного на три части. Итого, получаем 14 кусочков пирогов, каждый из которых разрезан на три части.
Математические дроби: сравнение
Если сравнивать две математические дроби с одинаковыми знаменателями, то больше та дробь, числитель которой больше (например, 5/6 > 1/6, то есть пять частей из шести будет больше, чем одна часть из шести).
Если сравнивать две математические дроби с одинаковыми числителями, то больше та дробь, знаменатель которой меньше (например, 1/2 > 1/3, то есть 1/2 часть пирога будет больше, чем 1/3).
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей (например, для сравнения 3/4 и 5/6 нужно привести дроби к общему знаменателю; получаем 9/12 < 10/12)
Для закрепления навыков счета дробей на сайте можно скачать программы:
Сложение дробей
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Например, 1/9 + 4/9 = 5/9.
Чтобы сложить две простые дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК) и сложить числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанную и при необходимости сократить. Например, 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12 = 5/6.
Чтобы сложить две смешанные дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК), отдельно сложить целые части и числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части, при необходимости сократить.
Вычитание дробей
Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Например, 7/9 – 2/9 = 5/9.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК); из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений; сократить полученную дробь. Например, 2/3 – 1/2 = 4/6 – 3/6 = 1/6.
Чтобы выполнить вычитание смешанных дробей, нужно:
привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей;
сократить полученную дробь.
Например, 5 1/9 – 1/4 = 5 4/36 – 9/36 = 4 40/36 – 9/36 = 4 31/36.
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить без изменений. Например, 2/5 * 3 = (2*3)/5 = 6/5 = 1 1/5
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей. Например, 2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15.
Чтобы умножить две смешанные дроби, надо: преобразовать смешанные дроби в неправильные; перемножить числители и знаменатели дробей. Если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную. Например, 1 2/3 * 2 1/5 = 5/3 * 11/5 = 55/15 = 11/3 = 3 2/3.
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель дроби умножить на число, а числитель оставить без изменений. Например, 2/3 : 5 = 2/15.
Чтобы разделить натуральное число на дробь, следует число умножить на дробь обратную заданной. Например, 5 : 2/5 = 5 * 5/2 = 25/2 = 12 ½.
Чтобы разделить две дроби, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Например, 2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = (2*5)/(3*4) = 10/12 = 5/6.
Чтобы разделить смешанные дроби, надо: преобразовать смешанные дроби в неправильные; умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Для закрепления навыков счета дробей на сайте можно скачать программы:
Действия с дробями
Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь список материалов и изучать последовательно.
1. Сумма дробей, разность дробей.
Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.
Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.
Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:
Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…
Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.
Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.
А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.
*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.
*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.
Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.
Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.
Рассмотрим простые примеры:
В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.
Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ.
То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.
Теперь посмотрите на эти примеры:
К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.
Способ ВТОРОЙ.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:
*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.
*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.
Видно что числитель и знаменатель делится на 5:
Способ ТРЕТИЙ.
Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.
Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?
Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.
Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:
— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители
— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них
— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел
50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
в разложении большего числа не хватает одной пятёрки
=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
в разложении большего числа не хватает двойки и тройки
=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению
Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
в разложении большего числа не хватает тройки
А теперь применим первый способ:
*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.
*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.
ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!
— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.
— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).
— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).
— если необходимо, то результат сокращаем.
— если необходимо, то выделяем целую часть.
2. Произведение дробей.
Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:
Если есть возможность сократить дробь на стадии вычисления, то лучше это сделать:
Ещё правило относящееся к умножению!
Примеры, которые мы уже рассмотрели:
Определить, сколько составляет 3/7 от числа 63?
Задача. Весь путь составляет 180 километров. Турист в первый день прошёл 3/10 пути. Сколько километров турист прошёл в первый день?
Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?
С произведением закончим.
*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:
3. Деление дробей.
Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:
Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь: