Как из матрицы вычесть число?
Для вычитания числа из матрицы нужно пройтись по каждому элементу матрицы и вычесть из него данное число. Давайте рассмотрим пример.
| 6 | -9 | -2 |
|---|---|---|
| 3 | 0 | 1 |
Нам нужно из нее вычесть число 6. Для этого мы пройдемся по каждому элементу матрицы и вычтем из него число 6:
| 0 | -15 | -8 |
|---|---|---|
| -3 | -6 | -5 |
В этом примере мы просто вычли из каждого элемента матрицы число 6. Это можно сделать вручную или с помощью программы.
Например, в Python можно использовать библиотеку NumPy:
Этот код выведет следующий результат:
Таким образом, вычитание числа из матрицы является простым математическим действием, которое можно произвести вручную или с помощью программы.
1. Арифметические операции над матрицам
Над матрицами, как над числами можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны числовым операциям, а некоторые носят особый характер.
1)Сложение матриц
Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух матриц одинаковой размерности и называется матрица той же размерности 
, такая, что ,
Таким образом, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы. Помните, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
А= ; B= ; А+B=
2) Вычитание матриц
Разностью двух матриц одинаковой размерности и называется матрица той же размерности , такая, что ,
Таким образом, чтобы из матрицы А вычесть матрицу В, нужно из элементов матрицы А вычесть соответствующие элементы матрицы В.
А= , B= , А-B= .
3)Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число k называется матрица , такая, что ,
Таким образом, чтобы умножить матрицу на число нужно все элементы данной матрицы умножить на это число.
А= , то 3А= .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
А= , то 2А= .
Замечание. Разность матриц можно определить так: .
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
2) 
= A + B + C (ассоциативность);
5) (дистрибутивность относительно сложения чисел);
6) (дистрибутивность относительно сложения матриц);
7) (ассоциативность), где ; A, B, C – матрицы.
4) Произведение матриц
Произведением матриц и называется матрица, , у которой элемент равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j—го столбца матрицы В, то есть ,
Замечание. При умножении матриц количество столбцов первой матрицы А обязательно должно совпадать с количеством строк второй матрицы В.
Пример. Пусть . Найти
Решение. Здесь и , значит . Вычислим элементы матрицы С.
Свойства умножения матриц:
4) Для произвольных матриц — отсутствие коммутативности.
Например, А= и В= . Тогда , а , т.е. .
Однако существует матрица, для которой переместительный закон будет выполняться. Если матрица А— квадратная матрица порядка n и Е-единичная матрица того же порядка, то . Кроме единичной существуют и другие матрицы, для которых переместительный закон будет выполняться. Их называют перестановочными.
Например, перестановочными матрицами будут матрицы А= и В= . Для них .
Заметим, что если произведение матриц равно нулю, то совсем необязательно, чтобы какой-то из сомножителей был бы нулевой матрицей.
2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения
Для каждого ненулевого число существует обратное число, такое что произведение этих чисел равно единице. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие как обратная матрица.
Матрица называется обратной по отношению к матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получиться единичная матрица, т.е.
Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.
Матрица называется дополнительной к матрице , если ее элементы есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .
Теорема 2.2. Любая невырожденная матрица имеет обратную.
Доказательство. Докажем теорему для матрицы третьего порядка.
Пусть дана матрица третьего порядка . По условию
Рассмотрим дополнительную матрицу и ее транспонированную матрицу .
Найдем произведение матриц
Использовали 8 свойство определителей, теорема 2.1. и правило умножения матрицы на число.
Аналогично можно получить равенство
Определим обратную матрицу по формуле
и проверим, является ли она обратной к матрице А.
Из определения, найдем произведения
Таким образом, формула (2.5) обратной матрицы определена верно.
Замечание. Обратная матрица всегда единственна.
Правило нахождения обратной матрицы.
1) найти определитель матрицы ;
2) найти дополнительную матрицу ;
3) транспонировать дополнительную матрицу, т.е. найти ;
4) разделить каждый элемент транспонированной дополнительной матрицы на значение определителя исходной матрицы.
Пример 2.4. Найти обратную матрицу к матрице
1) Найдем определитель матрицы :
2) найдем дополнительную матрицу .
3) транспонируем дополнительную матрицу
4) найдем обратную матрицу, разделив каждый элемент транспонированной дополнительной матрицы на значение определителя исходной матрицы:
Проверим, что обратная матрица найдена верно. Для этого найдем произведение обратной матрицы на исходную матрицу .
Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.
В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы «Матрицы. Виды матриц. Основные термины».
Сложение и вычитание матриц.
Аналогичное определение вводят и для разности матриц:
Запись «$i=\overline<1,m>$» означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.
Заданы три матрицы:
Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.
Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.
Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.
$$ C=A+B=\left(\begin
Найдем матрицу $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin
Ответ: $C=\left(\begin
Умножение матрицы на число.
Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.
Задана матрица: $ A=\left(\begin
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin
Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin
Ответ: $3\cdot A=\left(\begin
Произведение двух матриц.
Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.
Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_<5\times 4>$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_<9\times 8>$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_<5\times 4>$ на матрицу $B_<4\times 9>$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_<5\times 4>$ и $B_<4\times 9>$ будет матрица $C_<5\times 9>$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:
Заданы матрицы: $ A=\left(\begin
Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:
Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin
Начнем с элемента $c_<11>$. Чтобы получить элемент $c_<11>$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:
Чтобы найти сам элемент $c_<11>$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:
$$ c_<11>=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Продолжим решение и найдем $c_<12>$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:
Аналогично предыдущему, имеем:
$$ c_<12>=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_<21>$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:
Следующий элемент $c_<22>$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:
$$ c_<22>=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Чтобы найти $c_<31>$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:
$$ c_<31>=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
И, наконец, для нахождения элемента $c_<32>$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:
$$ c_<32>=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin
$$ C=A\cdot B =\left(\begin
Ответ: $C=\left(\begin
Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:
$$ \left(\begin
Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Транспонированная матрица.
Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_<3\times 5>$:
Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.
Некоторые свойства операций над матрицами.
Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.
- $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
- $\left(A^T \right)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Действия с матрицами
Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.
Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.
Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.
Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами
Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:
Данная матрица состоит из шести элементов: 
Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: 
Это просто таблица (набор) чисел!
Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!
Рассматриваемая матрица имеет две строки: 
и три столбца: 
СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».
Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».
Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.
На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.
Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).
Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.
Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.
Обратный пример: . Выглядит безобразно.
Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:
Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.
2) Действие второе. Умножение матрицы на число.
Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.
Еще один полезный пример:
– умножение матрицы на дробь
Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: 
Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).
И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:
Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.
Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:
А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.
3) Действие третье. Транспонирование матрицы.
Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:
Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец: 
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.
4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.
Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой! 
Сложить матрицы и
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:
Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.
Найти разность матриц ,
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
5) Действие пятое. Умножение матриц.
Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.
Какие матрицы можно умножать?
Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
, значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
, следовательно, выполнить умножение невозможно:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение
Как умножить матрицы?
Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.
Начнем с самого простого:
Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:
– попытайтесь сразу уловить закономерность.
Умножить матрицу на матрицу
В результате получена так называемая нулевая матрица.
Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).
Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!
Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!
Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.
Переходим к матрицам третьего порядка:
Умножить матрицу на матрицу
Формула очень похожа на предыдущие формулы:
А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:
Умножьте матрицу на матрицу
Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!
Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.
А пока спектакль закончен.
После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.