Как определить из отрицательных чисел какое больше?
Для того, чтобы легко можно было понять, как сравнивать отрицательные числа, можно начертить координатную ось и отметить на ней несколько отрицательных чисел.
После этого легко можно увидеть, что чем больше модуль отрицательного числа, тем левее оно лежит на координатной оси.
Поэтому можно сформулировать правило, позволяющее определить, какое из отрицательных чисел больше, а какое меньше.
Правило
В наборе отрицательных чисел большим является число, у которого модуль меньше, чем у остальных.
Пример
Даны 3 числа: a = -2, b = -5, c = 1,5. Определим, какое из этих отрицательных чисел больше.
Как мы видим, меньшим оказался модуль у числа c — он равен 1,5. Следовательно, c > a > b.
Сравнение натуральных чисел
Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.
Равные и неравные натуральные числа
Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.
Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 — равные, а 63 и 67 — неравные.
Равенства и неравенства
Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:
При записи сравнения эти знаки располагают между числами.
Первый знак = называется знаком равенства и заменяет собой слово равно или равняется . Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b .
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.
4 = 4 — равенство.
2 + 3 = 5 — равенство.
2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).
Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 — верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 — неверное равенство).
Два других знака > и < называются знаками неравенства и означают: знак > — больше , а знак < — меньше . Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b < a и говорят: b меньше a .
Знаки > и < должны быть обращены остриём к меньшему числу.
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или < называется неравенством.
5 > 4 — неравенство.
2 < 7 — неравенство.
2 + 3 < 7 — неравенство (подобные записи представляют собой неравенство двух числовых выражений, и означают неравенство значений этих выражений).
Неравенства могут быть как верными (например, 2 < 9 — верное неравенство), так и неверными (например, 5 > 8 — неверное неравенство).
Кроме неравенств со знаками > и < , которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки ⩾ и ⩽ . Знак ⩾ читается больше или равно , знак ⩽ — меньше или равно . Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 — верное неравенство.
Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак ≠ . Знак ≠ читается не равно . Например, запись a ≠ b — означает a не равно b.
Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками > , < , ⩾ и ⩽ .
Правила чтения равенств и неравенств
Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.
Пример. 7 = 7 — семь равно семи.
Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.
Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 < 5 — три меньше пяти.
Правила сравнения чисел
Числа можно сравнивать двумя способами: с помощью натурального ряда и по их десятичной записи.
Правило сравнения с помощью натурального ряда:
Из двух натуральных чисел меньше то, которое в натуральном ряду встречается раньше (т. е. находится левее), и больше то, которое в натуральном ряду встречается позже (т. е. находится правее).
Следовательно, в натуральном ряде каждое число, кроме 1, больше предыдущего.
Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Число 1 меньше числа 3 (1 < 3), так как в натуральном ряду число 1 находится левее числа 3. Число 7 больше числа 4 (7 > 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.
Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.
Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:
Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.
Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).
Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.
Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.
Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
| 347 | 503 |
| 34 | 503 |
Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.
Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.
Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
38 526 734
38 526 734
Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.
Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.
Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.
Пример. Известно, что 4 < 7, а 7 < 16. Эти два неравенства удобнее представить в виде двойного неравенства:
Двойные неравенства принято читать с середины. Например, неравенство 2 < 4 < 5 читается так: четыре больше двух, но меньше пяти .
В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.
Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 < 34, 8 < 11 и 34 > 8, которые можно записать как двойное неравенство:
Аналогичным образом строятся тройные, четверные и т. д. неравенства.
Пример. Известно, что 12 < 15, 47 > 15, 47 < 112, тогда можно записать
12 < 15 < 47 < 112.
Калькулятор сравнения чисел
Данный калькулятор поможет вам сравнить натуральные числа. Просто введите два числа и нажмите кнопку Сравнить .
Сравнение чисел.
Любые числа можно сравнивать в том числе и целые числа. Целые числа отличаются от натуральных тем, что добавляются отрицательные целые числа. А как сравнивать целые положительные и целые отрицательные числа мы рассмотрим в этой теме.
Сравнение целых положительных чисел с нулем.
Пример:
Нам нужно сравнить числа 0 и 3. Если подумает, то число нуль несет в себе смысл, того что он обозначает отсутствие предметов, например, в корзине нет яблок. Число три означает, что в корзине 3 яблока. Поэтому делаем вывод, что число 0 меньше 3 или запишем математически 0<3.
Посмотрим на числовой прямой. Видим, что число 3 правее числа 0.
Можно сделать вывод, что число, находящееся правее больше числа слева.
Любое целое положительное число больше нуля.
Сравнение целых отрицательных чисел с нулем.
Сравним теперь целые числа -4 и 0. Посмотрим на координатную прямую.
Видно, что число -4 лежит левее нуля, поэтому -4 меньше 0 или запишем математически -4<0.
Любое целое отрицательное число меньше нуля.
Сравнение целых отрицательных и положительных чисел.
Теперь сравним числа -3 и 2.
Посмотрим на координатной прямой расположение чисел -3 и 2.
Число 2 лежит правее числа -3, значит число 2 больше -3 или запишем математически 2>-3.
Любое целое положительное число больше целого отрицательного числа.
Сравнение целых отрицательных чисел.
Сравним целые числа -1 и -4. Посмотрим на координатную прямую.
Видно, что число -1 лежит правее числа -4, поэтому -4<-1.
При сравнении целых отрицательных чисел больше, то число которое меньше по модулю или меньше, то число которое больше по модулю.
Например, сравним целые отрицательные числа -231 и -243.
Модуль этих чисел будет равен |-231|=231 и |-243|=243. Так как модуль числа 243 больше модуля числа 231.
то у целых отрицательных чисел получится -243 меньше -231.
Вопросы по теме:
Назовите наибольшее отрицательное целое число?
Ответ: правее стоит из всех отрицательных целых чисел -1.
Назовите наименьшее положительное целое число?
Ответ: левее всех стоит 1 из всех положительных целых чисел.
Пример №1:
Расставьте в порядке возрастания целые числа 1, -3, 0, 10, -5.
Ответ: -5, -3, 0, 1, 10.
Решение на Упражнение 234 из ГДЗ по Математике за 6 класс: Никольский С.М.
Издатель: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. — 2013г.
Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.
Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.