Что значит равноудалена в геометрии

Равноудалённость

Равноудалённость — означает «на равном расстоянии». Термин имеет два близких значения.

Равенство расстояний, от любой фиксированной точки данного множества до любого из двух или нескольких выбранных множеств. Например
к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка. есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой). есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Равенство расстояний, от любой точкой первого множества до другого множества. Например

есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

См. также

• Геометрия

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Равноудалённость» в других словарях:

равноудалённость — равноудалённость, и … Русский орфографический словарь

Кения — У этого термина существуют и другие значения, см. Кения (значения). Республика Кения Jamhuri ya Kenya Republic of Kenya … Википедия

Индонезия — Республика Индонезия Republik Indonesia … Википедия

Кучность стрельбы — способность группировать точки попаданий на мишени. Определение Кучность стрельбы может формулироваться по разному, в зависимости от области применения и способа применения. Данный термин широко используется в стрелковом оружии, авиации,… … Википедия

Миаха, Хосе — Хосе Миаха Менант (исп. José Miaja Menant; 1878(1878), Овьедо, Астурия  14 января 1958, Мексика)  испанский военачальник, участник гражданской войны 1936 1939, генералиссимус армии республики (1939). Содержание 1 Военная служба … Википедия

Кучность — стрельбы способность группировать точки попаданий на мишени. Определение Кучность стрельбы может формулироваться по разному, в зависимости от области применения и способа применения. Данный термин широко используется в стрелковом оружии, авиации … Википедия

Миаха — Миаха, Хосе Хосе Миаха Менант (исп. José Miaja Menant; 1878(1878), Овьедо, Астурия  14 января 1958, Мексика)  испанский военачальник, участник гражданской войны 1936 1939, генералиссимус армии республики (1939). Содержание 1 Военная… … Википедия

Миаха Хосе — Хосе Миаха Менант (исп. José Miaja Menant; 1878, Овьедо, Астурия 14 января 1958, Мексика) испанский военачальник, участник гражданской войны 1936 1939, генералиссимус армии республики (1939). Содержание 1 Военная служба 2 … Википедия

Хосе Миаха — Менант (исп. José Miaja Menant; 1878, Овьедо, Астурия 14 января 1958, Мексика) испанский военачальник, участник гражданской войны 1936 1939, генералиссимус армии республики (1939). Содержание 1 Военная служба 2 … Википедия

Кучность боя оружия — Высокая точность, но низкая кучность … Википедия

Как доказать равноудаленность точки

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.

Дано : ABCD — трапеция, AD∥BC, AM — биссектриса ∠BAD, DM — биссектриса ∠DAB, AM∩DM=M, M∈BC,

1) Рассмотрим треугольники AMK и AMF. ∠AKM=90º, ∠AFM=90º (по условию).

∠MAK=∠MAF (так как AM — биссектриса ∠BAD по условию).

Гипотенуза AM — общая.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK=MF.

2) Аналогично, из равенства треугольников DMK и DME следует MK=ME.

3) Значит, MF=MK=ME.

Что и требовалось доказать .

Если точка пересечения биссектрис углов при основании трапеции принадлежит другому основанию, то эта точка равноудалена от трёх сторон трапеции.

Для доказательства можно непосредственно воспользоваться свойством биссектрисы угла.

Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то для угла BAD MF=MK, для угла ADC MK=ME, откуда следует, что все три отрезка равны: MF=MK=ME.

Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах

Определение. Геометрическое место точек – фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, обладающих определённым свойством.

Теорема. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, то есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

1)

Пусть точка C равноудалена от A и B. Отметим точку M – середину отрезка AB. Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам. Углы AMC и BMC равны и дают в сумме развёрнутый угол. Значит, они оба равны 90°.

Мы доказали, что все точки, равноудалённые от двух данных точек, лежат на серединном перпендикуляре.

2) Пусть точка C лежит на серединном перпендикуляре к AB. Треугольники AMC и BMC равны двум катетам, значит, AC=BC.

Мы доказали, что все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, и серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, совпадают.

Четыре замечательные точки треугольника

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным.

Определение

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность.

Определение

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс.

Замечение

Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме.

Теорема о биссектрисе, как ГМТ

Биссектриса неразвернутого угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.

Доказательство

Рассмотрим угол $\angle A$.

Докажем, что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны данного угла.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и следовательно, точка $M$ равноудалена от сторон угла.

Обратно: докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе.

Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$.

Докажем, что точка $M$ принадлежит биссектрисе.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, следовательно, $\angle BAM=\angle CAM$, то есть $AM$ – биссектриса угла $\angle A$.

Теорема

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Первый способ.

Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Второй способ.

Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Докажем, что все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$.

Тогда по теореме $\rho(I;AB)=\rho(I;AC)$, так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;BA)=\rho(I;BC)$, так как $I\in BB_1$.

Тогда $\rho(I;CA)=\rho(I;CB)$, что означает, что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Следствие

В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность единственна.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$ точку пересечения его биссектрис.

Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно.

Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, то $IK=IL=IM$.

Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$.

Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$.

Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$.

Докажем, что такая окружность единственна.

В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон треугольника.

Следовательно, эти окружности совпадают.

Следствие

Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность, центром которой будет точка пересечения биссектрис.

Доказательство

Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до стороны, будет касаться всех сторон.

Теорема о серединном перпендикуляре, как ГМТ

Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Доказательство

Рассмотрим отрезок $AB$.

Середину отрезка обозначим $C$.

Докажем, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, равноудалена от сторон.

Действительно, возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре.

Если $M=C$, то очевидно, что $MA=MB$.

Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум катетам, следовательно $AM=MB$.

Обратно, докажем, что любая точка равноудалённая от сторон, принадлежит серединному перпендикуляру.

Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$.

Если $M=C$, то очевидно, $M$ принадлежит серединному перпендикуляру.

Если $M C$, то треугольник $AMB$ – равнобедренный, и, следовательно, медиана $MC$ является высотой, то есть $MC$ – серединный перпендикуляр.

Следствие

Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и $P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$.

Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m, n, p$.

Докажем, что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Если предположить, что $m\parallel n$, то получится, что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$.

Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$, перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые $m$ и $n$ пересекаются.

Пусть они пересекаются в точке $O$.

Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как $O\in n$.

Тогда $OA=OC$, и, следовательно, $O\in p$.

Следствие

Около любого треугольника можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Такая окружность единственна.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в точке $O$.

Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$.

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного треугольника.

Докажем, что такая окружность единственна.

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника.

Но такая точка только одна – это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают.

Следствие

Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров.

Доказательство

Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех его вершин, и, следовательно, окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от этой точки до какой-либо из его вершин, будет описанной около этого многоугольника.

Теорема

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $AA_1, BB_1, CC_1$.

Докажем, что все высоты пересекаются в одной точке.

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, через точку $C$ – прямую, параллельную $AB$, а через точку $A$ – прямую, параллельную $BC$.

Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник $MNP$.

Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$).

Аналогично, $ABNC$ – параллелограмм.

Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, $B$ – середина $MN$, а $BB_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MN$.

Аналогично, $AA_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $PN$.

Получается, что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$.

Следствие

Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то пересекаясь, они образуют треугольник подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного треугольника являются серединами сторон образовавшегося треугольника.

Следствие

Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного треугольника. Следовательно, ортоцентр серединного треугольника является центром окружности, описанной около исходного треугольника.

Доказательство

Утверждение полностью следует из доказательства теоремы.

Определение

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром треугольника.

Что означает равноудаленность от сторон?

Равноудаленность от сторон — это понятие геометрии, которое означает, что точка находится на одинаковом расстоянии от двух или более сторон многоугольника.

Чтобы понять, как найти равноудаленность от сторон многоугольника, нужно знать основные формулы и правила геометрии. Одним из методов определения равноудаленности является построение перпендикуляра из точки на каждую сторону многоугольника. Если расстояния от точки до каждой из сторон совпадают, то эта точка является равноудаленной от сторон.

Равноудаленность является важным понятием в геометрии, поскольку она позволяет решать задачи по нахождению точек пересечения, определению центра тяжести многоугольника и другим важным задачам.

Знание понятия равноудаленность поможет вам лучше понимать геометрические задачи и решать их более эффективно.

Что такое равноудаленность от сторон

Равноудаленность от сторон — это свойство точки на плоскости, которая находится на одинаковом расстоянии от всех сторон определенной фигуры.

Например, в случае ровного треугольника, точка, которая находится на равном расстоянии от всех сторон, будет находиться внутри фигуры и называться центром вписанной окружности.

Определение равноудаленности от сторон может быть использовано для построения различных геометрических фигур и определения центров их вписанных окружностей.

Определить равноудаленность от сторон можно с помощью геометрических построений, например, проводя перпендикуляры из точки на все стороны фигуры и проверяя, что полученные отрезки равны. Также можно использовать формулы, основанные на теореме Пифагора и теореме о сумме углов треугольника.

Важно понимать, что равноудаленность от сторон может быть использована не только в геометрии, но и иметь практическое применение в различных областях, например, в архитектуре, дизайне интерьеров и информационном дизайне.

Определение понятия равноудаленности в геометрии

Равноудаленность — это свойство геометрической фигуры, которое указывает на равенство расстояния данной точки до двух или более сторон фигуры. Если точка находится на равном расстоянии от двух сторон, то она находится в точке пересечения медиан, проходящих через вершины этих сторон.

Существует несколько методов определения равноудаленности. Один из самых простых — это построение перпендикуляров к сторонам фигуры из данной точки и проверка равенства полученных отрезков. Другой метод — использование формулы расстояния между точкой и прямой, которую можно применять для каждой стороны и установления равенства полученных значений.

Равноудаленность часто используется в геометрических конструкциях, например, в построении ортоцентра, центра описанной окружности и других важных точек треугольника. Также эта концепция может применяться для определения углов и расстояний в трехмерной геометрии, например, в сферической и гиперболической геометрии.

• Равноудаленность — это одно из важных свойств геометрических фигур;
• Её можно определить построением перпендикуляров или используя формулы расстояния;
• Равноудаленность используется в геометрических конструкциях и вычислениях различной сложности.

Примеры в геометрии

Равноудаленность от сторон — это один из базовых геометрических принципов, который имеет множество применений. Рассмотрим несколько примеров:

• Ромб

Ромб — это фигура, у которой все стороны равны между собой. Также ромб является равноудаленным от своих сторон. То есть, если мы проведем от каждой вершины ромба перпендикуляр к противоположной стороне, то все получившиеся отрезки будут равны между собой.

• Круг

Круг — это геометрическое место всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра круга. Из этого определения следует, что круг является равноудаленным от своей окружности. Если мы возьмем произвольную точку на окружности круга и проведем к центру круга отрезок, то все получившиеся отрезки будут равны между собой.

• Треугольник

Треугольник также может быть равноудаленным от своих сторон. Для этого необходимо, чтобы был равносторонний треугольник. Если мы проведем от каждой вершины равностороннего треугольника перпендикуляр к противоположной стороне, то все получившиеся отрезки будут равны между собой.

Фигура	Описание
Ромб	Равноудаленный от сторон
Круг	Равноудаленный от окружности
Равносторонний треугольник	Равноудаленный от сторон

Как определить равноудаленность в геометрии?

Равноудаленность от сторон – это понятие, которое означает нахождение точки, расстояние до которой одинаково от двух и более сторон фигуры. Определение этой точки является важным аспектом в геометрии, поскольку оно позволяет производить множество операций с геометрическими объектами.

Одним из способов определения равноудаленности от сторон является метод построения перпендикуляров. Для этого необходимо соединить точки сторон фигуры, между которыми необходимо найти равноудаленную точку, при помощи перпендикуляров. Точка пересечения двух перпендикуляров будет являться найденной равноудаленной точкой.

Другим способом определения равноудаленности является использование формулы для расстояния между точкой и прямой. Если дана фигура с определенными координатами и необходимо определить равноудаленную точку от двух ее сторон, следует определить уравнения прямых сторон и использовать формулу для нахождения расстояния между точкой и прямой для каждой из сторон.

Также можно использовать специальные программы для определения равноудаленности от сторон. Они позволяют вводить координаты фигуры и определять равноудаленные точки автоматически.

Методы измерения

Существует несколько методов определения равноудаленности от сторон. Один из самых простых — это использование измерительных приборов. Для этого необходимо знание длин сторон многоугольника.

Другой метод основан на определении точки, которая будет находиться на равном расстоянии от всех сторон многоугольника. Для этого используются перпендикуляры, проходящие через концы сторон и пересекающиеся в одной точке.

Третий метод использует понятие центра описанной окружности многоугольника. Для равноудаленных точек от всех сторон многоугольника необходимо найти точки пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника из центра описанной окружности.

Четвертый метод основан на использовании векторов. Для этого необходимо представить каждую точку многоугольника в виде вектора. Затем необходимо найти вектор, равный сумме всех векторов, который затем делится на количество сторон многоугольника. Таким образом, получится вектор, который будет указывать на равноудаленную точку.

В зависимости от конкретных условий, выбирается тот или иной метод определения равноудаленности от сторон.

Вопрос-ответ

Что означает понятие равноудаленность от сторон в геометрии?

Равноудаленность от сторон треугольника означает, что точка находится на равном расстоянии от всех сторон треугольника.

Как определить равноудаленную точку от сторон треугольника?

Чтобы определить равноудаленную точку от сторон треугольника необходимо провести перпендикуляры от этой точки к каждой из сторон треугольника. Если перпендикуляры будут равны, это будет означать, что точка является равноудаленной от сторон треугольника.

Зачем нужно знать понятие равноудаленности от сторон в геометрии?

Знание равноудаленности от сторон треугольника может пригодиться для решения различных геометрических задач и заданий. Например, для нахождения центра описанной окружности, для построения биссектрис и многих других задач.

Что будет, если точка находится внутри треугольника, но не является равноудаленной от сторон?

Если точка находится внутри треугольника, но не является равноудаленной от сторон, то она будет находиться ближе к одной стороне, чем к другим. Это усложняет решение задач, в которых требуется, чтобы точка находилась на равном расстоянии от всех сторон треугольника.

Как можно использовать равноудаленность от сторон в повседневной жизни?

Равноудаленность от сторон треугольника может быть использована в повседневной жизни для нахождения центра окружности, проходящей через три заданные точки. Например, это может понадобиться при построении художественных композиций, ландшафтного дизайна и т.д.

Что значит равноудалена в геометрии

Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения

В этой главе вы познакомитесь со свойствами окружности. Вы узнаете, как, отказавшись от привычных инструментов — угольника и транспортира, используя лишь циркуль и линейку без делений, выполнить многие построения.

§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек .

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки , обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, отметим две точки A и B .   Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA . Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB , и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB .

Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b . Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a . Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B , этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).

Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

1) каждая точка данного множества обладает заданным свойством ;

2) е сли точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству .

Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X , которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и  BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN .

В прямоугольных треугольниках BXM и  BXN гипотенуза BX  — общая, ∠ MBX   = ∠ NBX , так как BX  — биссектриса угла ABC . Следовательно, треугольники BXM и  BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN .

Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X , принадлежащую углу ABC , не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и  XN соответственно на стороны BA и BC . Надо доказать, что ∠ MBX   = ∠ NBX (см. рис. 276).

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX  — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠ MBX   = ∠ NBX .

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.

Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.

Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O  — центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX  — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB  — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром . На рисунке 278 отрезок BD  — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2 OX , т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.

Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.

Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X  — произвольная точка круга с центром O и радиусом R , то OX   ≤   R (см. рис. 279). Если OX   <   R , то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠ AOC = 3 ∠ CEO .

Решение. Пусть ∠ CEO = α .

Так как треугольник ODE  — равнобедренный, то ∠ DOE = ∠ CEO = α .

Угол ODC  — внешний угол треугольника ODE . Тогда ∠ ODC = ∠ DOE + ∠ CEO = 2 α .

Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠ OCD = ∠ ODC = 2 α .

Угол AOC  — внешний угол треугольника COE . Тогда ∠ AOC = ∠ OCD + + ∠ CEO = 2 α + α = 3 α , т. е.  ∠ AOC = 3 ∠ CEO .

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
5. Что называют окружностью?
6. Что называют радиусом окружности?
7. Что называют хордой окружности?
8. Что называют диаметром окружности?
9. Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
10. Что называют кругом?
11. Принадлежит ли окружности её центр?
12. Принадлежит ли кругу его центр?
13. Какое неравенство выполняется для любой точки A , принадлежащей кругу с центром O и радиусом R ?
14. Какое неравенство выполняется для любой точки B , не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R ?

476. Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1) точки A и B такие, что OA   <  3,5 см, OB   <  3,5 см;

2) точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;

3) точки E и F такие, что OE   >  3,5 см, OF   >  3,5 см.

477. Начертите отрезок AB , длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?

478. Начертите отрезок CD , длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D  — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?

479. Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A .   Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.

480. На рисунке 281 изображена окружность с центром B .   Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?

481. Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠ AOB = ∠ COD .

482. На рисунке 282 точка O  — центр окружности, ∠ COD = ∠ MOK . Докажите, что хорды CD и MK равны.

483. Отрезки AB и CD  — диаметры окружности. Докажите, что ∠ BAC =   ∠ CDB .

484. Отрезки MK и EF  — диаметры окружности с центром O , MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника  FOK .

485. Отрезки AC и AB  — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O , ∠ BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠ BOC .

486. Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O , ∠ POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠ MPO .