Функция не определена что это значит

А на числовой прямой всё это безобразие выглядит так:

На интервале мы никогда достигаем границ — точек $a$ и $b$. Поэтому не имеет значения, как близко к этим границам располагается точка $<_<0>>$. Всегда можно взять расстояние до ближайшей границы (например, $\left| <_<0>>-a \right|$), поделить пополам — вот вам и отступ $\delta \gt 0$.

3.2. Непрерывность на отрезке

Отрезок $\left[ a;b \right]$ принципиально отличается от интервала $\left( a;b \right)$ тем, что мы можем зайти, например, в левый конец отрезка — точку $a$ — и ничего левее этой точки принадлежать отрезку уже не будет.

Никакие отступы, никакие $\delta $-окрестности тут не помогут. Поэтому нам нужны два новых определения.

Определение 5. Функция $f\left( x \right)$ называется непрерывной справа в точке $<_<0>>$, если

\[\lim\limits__<0>>+> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)\]

непрерывной слева в точке $<_<0>>$, если

\[\lim\limits__<0>>-> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)\]

Теперь мы можем рассматривать непрерывность на любых привычных нам множествах — интервалах и отрезках. Чуть позже в этом уроке мы сформулируем замечательную теорему о непрерывности элементарных функций, но пока давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 4. Функция $f\left( x \right)=\sqrt<4-<^<2>>>$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Для начала найдём область определения $f\left( x \right)$. Поскольку арифметический квадратный корень определён только из неотрицательного числа, имеем:

\[\begin 4-<^<2>> & \ge 0 \\ <^<2>> & \le 4 \\ \left| x \right| & \le 2 \\ x& \in \left[ -2;2 \right] \\ \end\]

Для лучшего понимания ситуации начертим график $y=\sqrt<4-<^<2>>>$. Заметим, что

это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r=2$. Графиком функции будет лишь та часть этой окружности, для которой $y\ge 0$:

Очевидно, что функция непрерывна для всех $x\in \left[ -2;2 \right]$, причём в $x=-2$ непрерывна справа, в $x=2$ непрерывна слева.

Пример 5. Функция $f\left( x \right)=\sqrt$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Область определения функции $f\left( x \right)=\sqrt$:

\[x\in \left[ 0;+\infty \right)\]

График — стандартная «уложенная набок» ветвь параболы:

Видим, что функция $f\left( x \right)$непрерывна во всех точках $x\in \left[ 0;+\infty \right)$, причём в $x=0$ непрерывна справа. Задача решена.

Возможно, вы уже заметили, что все функции, которые мы сегодня изучали, были непрерывны на всей своей области определения. Проблемы возникали лишь во всяких конструкциях вида $<1>/\;$, где возможно деление на ноль. Но даже гипербола $y=<1>/\;$ не определена лишь в точке $x=0$, а во всех остальных точках она определена и непрерывна.

И это не случайно. Существует целый класс функций, которые непрерывны на всей своей области определения. Настала пора познакомиться с ними.

3.3. Непрерывность элементарных функций

В математическом анализе существует особый класс функций, которые называются элементарными.

1. Любой многочлен $P\left( x \right)=<_><^>+. +<_<1>>x+<_<0>>$;
2. Рациональная функция $f\left( x \right)=/\;$, где $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ — многочлены;
3. Степенная функция $f\left( x \right)=<^>$, где $a\in \mathbb$;
4. Логарифмическая функция $f\left( x \right)=<<\log >_>x$, где $a \gt 0$, $a\ne 1$;
5. Показательная функция $f\left( x \right)=<^>$, где $a \gt 0$, $a\ne 1$;
6. Все тригонометрические функции: $\sin x$, $\cos x$, $\operatornamex$, $\operatornamex$;
7. Все обратные тригонометрические функции: $\arcsin x$, $\arccos x$, $\operatornamex$, $\operatornamex$;
8. Любые функции, которые можно составить из предыдущих с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Кстати, модуль тоже является элементарной функцией:

Для всех таких функций выполняется замечательная теорема:

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Если область определения представляет собой отрезок или иное замкнутое множество, то на концах таких отрезков выполняется односторонняя непрерывность.

Универсального доказательства этой теоремы сразу для всех элементарных функций не существует. Сначала доказывают непрерывность степенной и показательной функции. Затем показывают непрерывность арифметических операций (тот ещё квест, особенно для многочленов).

Кроме того, есть целая группа теорем, которые верны для всех непрерывных функций:

• 1.Теорема о нуле непрерывной функции и о промежуточном значении на отрезке.
• 2.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке и о достижении точной верхней и нижней грани.
• 3.Теоремы о непрерывности обратной функции и композиции функций.

Каждой из этих теорем посвящён отдельный урок — с точной формулировкой, доказательством и примерами (см. содержание раздела). Сейчас нас интересуют более приземлённые вопросы.

Например, может возникнуть вопрос: а что, разве есть какие-то другие функции, помимо элементарных? Конечно есть.

Функция Дирихле определена для всех $x\in \mathbb$. Она равна единице в том случае, если $x=

/\;$ — рациональное число, и равна нулю во всех остальных случаях.

Очевидно, что в любой $\delta $-окрестности точки $<_<0>>\in \mathbb$ и слева, и справа найдутся иррациональные числа. И наоборот: в любой $\delta $-окрестности иррационального числа $a\in \mathbb\backslash \mathbb$ найдутся его рациональные приближения с избытком и недостатком. Следовательно, односторонние пределы

\[\lim\limits__<0>>-> D\left( x \right)\quad \lim\limits__<0>>+> D\left( x \right)\]

не существуют ни в одной точке графика. И функция Дирихле терпит разрыв в каждой точке числовой прямой.:)

Кстати, сам график выглядит примерно так:

Линия $y=1$ проведена пунктиром из тех соображений, что множество рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел — нет. Но это всё условности.:)

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию

\[f\left( x \right)=\sin \left( <1>/\; \right)\]

Эта функция представляет собой композицию двух элементарных функций: $\sin x$ и $<1>/\;$. Следовательно, перед нами элементарная функция, которая определена и непрерывна везде, кроме $x=0$.

Посчитаем левосторонний и правосторонний предел в точке $x=0$. Для этого заметим, что при $x\to 0$ величина $<1>/\;\to \infty $. Следовательно, в любой $\delta $-окрестности точки $x=0$ найдутся и точки вида $t=\pi n$, $n\in \mathbb$, в которых $\sin t=0$; и точки вида $t=<\pi >/<2>\;+\pi n$, в которых $\sin t=\pm 1$.

Следовательно, ни левосторонний, ни правосторонний пределы не определены:

\[\lim\limits_ \sin \frac<1>\quad \lim\limits_ \sin \frac<1>\]

А это значит, что общий предел в точке $x=0$ тоже не определён. Следовательно, $x=0$ — не просто точка разрыва (это и так понятно, поскольку в нуле функция не определена). Принципиально невозможно доопределить $f\left( x \right)$ в нуле так, чтобы получилась непрерывная функция.

График $y=\sin \left( <1>/\; \right)$ выглядит так (единичный отрезок — две клетки):

Чем ближе $x\to 0$, тем быстрее график «бегает» между $y=-1$ и $y=1$. В какой-то момент из-за конечной толщины линий на чертеже строить график становится невозможно. Даже если мы возьмём за единичный отрезок тысячу клеток. Даже если будем чертить на огромных листах. Никакие листы и отрезки не могут сравниться с бесконечностью.:)

Ну и перед тем как переходить к практике, давайте разберёмся, что же произойдёт, если хотя бы одно условие непрерывности не выполняется.

4. Точки разрыва

Урок о непрерывности функции в точке будет неполным, если мы не поговорим про точки разрыва.

Напомню, что функция $f\left( x \right)$ является непрерывной в точке $<_<0>>$, когда выполнены три условия:

1. Функция $f\left( x \right)$ определена в этой точке, т.е. мы можем посчитать $f\left( <_<0>> \right)$.
2. Существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)$.
3. Должно выполняться равенство $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)$.

А что, если хотя бы одно условие не выполнено? Перед нами точка разрыва.

Определение 7. Если функция $f\left( x \right)$ не является непрерывной в точке $<_<0>>$, то она называется разрывной в точке $<_<0>>$. Сама точка $<_<0>>$ при этом называется точкой разрыва функции $f\left( x \right)$.

Определение 8. Точка разрыва $<_<0>>$ называется точкой разрыва первого рода функции $f\left( x \right)$, если существуют конечные односторонние пределы $\lim\limits__<0>>+> f\left( x \right)$ и $\lim\limits__<0>>-> f\left( x \right)$.

В противном случае $<_<0>>$ называется точкой разрыва второго рода.

Классический пример точки разрыва второго рода:

Ветви гиперболы «улетают» в бесконечность рядом с точкой $<_<0>>=0$.

Ещё один пример:

Мы уже рассматривали график этой функции и знаем, что односторонних пределов в $<_<0>>=0$ не существует. Поэтому функция терпит разрыв второго рода.

Да даже обычный $y=\operatornamex$ терпит разрыв второго рода в точках вида $<_>=<\pi >/<2>\;+\pi n$, $n\in \mathbb$.

Определение 9. Разрыв первого рода в точке $<_<0>>$ называется устранимым, если существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=A$, но $A\ne f\left( <_<0>> \right)$.

То же самое, если существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=A$, но $f\left( <_<0>> \right)$ не определена.

Из определения очевидно, что устранимыми могут быть только разрывы первого рода. Вот несколько примеров:

• $y=\frac<\sin x>$, $<_<0>>=0$ (устранимый: $y\left( 0 \right)=1$)
• $y=\frac<\left| x-1 \right|>$, $<_<0>>=1$ (неустранимый)
• $y=\frac<<^<2>>\left( x+2 \right)>$, $<_<0>>=-2$ (устранимый: $y\left( -2 \right)=4$)

Рассмотрим более сложный пример

Это элементарная функция, поэтому единственная точка разрыва: $x=0$ — в ней не определена дробь $<1>/\;$.

Выясним, какого рода этот разрыв. Посчитаем предел слева:

И предел справа:

Понятно, что показательная функция $y=<<\text>^>$ растёт быстрее линейной $y=t$ при $t\to +\infty $. Поэтому конечного предела нет.

Итого функция терпит разрыв второго рода в точке $x=0$. Этот разрыв хорошо виден на графике:

Обратите внимание: точка $x=1$ является точкой локального минимума, а прямая $y=x+1$ — наклонная асимптота нашего графика. Чтобы находить такие точки, нужно разобраться с производными.

О производных и дифференциалах мы поговорим в отдельных уроках. А пока лишь одна заключительная рекомендация:

При исследовании функции на непрерывность обязательно чертите её график. Хотя бы в виде эскиза. Даже если задание кажется вам «очевидным».

Так вы защитите себя от глупых ошибок. И намного быстрее поймёте, как ведёт себя функция в окрестностях точек разрыва.

Функция не определена что это значит

Непрерывность функции часто можно легко объяснить следующим образом. Если график какой-либо функции можно построить не отрывая карандаш от бумаги, то эта функция непрерывна. В противном случае, у графика есть точки разрыва (скачка) и данная функция является разрывной функцией. График разрывной функции невозможно изобразить, не отрывая карандаш от листа.

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке, ее график не должен прерываться, т.е. график не должен иметь «скачков». График функций на рисунках прерывается или имеет «скачок» в точке . Значит, эти функции в точке имеют разрыв. Рассмотрим данные случаи.

Как видно по графику, функция разрывная в точке в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке , однако определена в некоторой окресности этой точки.

2. В точке функция не имеет предела.

3. Предел функции в точке существует, но не равен .

Точка , в которой функция прерывается, называется точкой разрыва.

Если функция не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий, то ее можно назвать непрерывной в точке .

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке должны выполняться три следующих условия:

1. Функция должна быть определена в точке ;

2. Должен существовать предел ;

3. Должно выполняться равенство .

Задача пример №57

Исследуйте непрерывность следующих функций.

Решение:

а) из графика функции видно,что при стремлении значений к 1 функция имеет предел и он равен 2: Однако в точке функция не определена. Значит, в функция разрывна.

Отметим, что во всех точках кроме на всей действительной оси она определена и непрерывна.

b)

Как видно из графика, при стремлении значений к 1 функция имеет предел, равный 1, в тоже время, при значение функции также равно 1.

Предел функции:

Значение функции: При предел функции равен значению функции в точке . Т.е. . Значит, данная функция непрерывна в точке .

Непрерывность функции на интервале

Определение. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена на отрезке , непрерывная на интервале и .

Любая функция — многочлен непрерывна на всей числовой оси. Рациональная функция непрерывна во всех точках, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0. Функции непрерывны на всей действительной оси, а функции непрерывны на области определения.

Для функции, непрерывной на отрезке, справедлива следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, принимает в нем наименьшее и наибольшее значения.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения противоположных знаков, то хотя бы в одной точке из отрезка она принимает значение, равное нулю.

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

Применяя эту теорему, можно решить следующий тип задач.

Задача пример №58

Существует ли такое действительное число, куб которого больше самого числа на 1?

Решение:

искомое число равно , т.е. должно удовлетворять уравнению . Для решение задачи исследуем функцию . Из графика функции, построенного с помощью графкалькулятора, видно, что значения функции в точках и имеют разные знаки: . Тогда, по теореме Коши, существует такое число , что . Это число является корнем уравнения .

Если какая-либо функция непрерывна на интервале , это не означает, что она непрерывна на отрезке .

Задача пример №59

Исследуйте непрерывность функции

Решение:

как видно из графика, при стремлении справа к 6 предел функции равен 1, при стремлении слева предел равен -1.

Т.е. в точке предела функции не существует. Данная функция разрывается в точке , но на каждом из интервалов и она непрерывна.

Задача пример №60

Определите точки разрыва функции

Решение: Линейная функция , постоянная функция и функция-многочлен непрерывны для всех значений . Значит, непрерывность может быть нарушена только в точках «перехода» , т.е. в точках и .

Сначала исследуем непрерывность функции в точке .

1. Значение функции. Функция определена в точке и .

2. Существование предела. Для определения предела исследуем левый и правый пределы функции. При приближении к 0 слева значения меньше 0 и в этом случае . При приближении к 0 справа значения больше 0, и в этом случае . Значит,

3. Значение и предел функции в точке. Так как и , то в точке функция непрерывна.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Sub или Function не определена (Visual Basic)

Sub Для вызова необходимо определить или Function . Возможные причины этой ошибки:

Ошибка написания имени процедуры.

Попытка вызвать процедуру из другого проекта без явного добавления ссылки на этот проект в диалоговом окне » ссылки «.

Указание процедуры, которая не является видимой для вызывающей процедуры.

объявление Windows подпрограммы библиотеки динамической компоновки (DLL) или программы Macintosh code-resource, которая не находится в указанной библиотеке или ресурсе кода.

Исправление ошибки

Убедитесь, что имя процедуры написано правильно.

Найдите имя проекта, содержащего процедуру, которую необходимо вызвать, в диалоговом окне ссылки . Если она не отображается, нажмите кнопку Обзор , чтобы найти ее. Установите флажок слева от имени проекта и нажмите кнопку ОК.

Что такое функция?

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

• х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n < 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

— 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; — 0 . 958 ; — 1 . 489 ; — 1 . 747 ; — 1 . 874 ; . . . ; — 1 . 998 ; . . . → — 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к — 2 , значит lim x → 2 — 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = — 7 . 333 ; — 5 . 333 ; — 3 . 833 ; — 2 . 958 ; — 2 . 489 ; — 2 . 247 ; — 2 . 247 ; — 2 . 124 ; . . . ; — 2 . 001 ; . . . → — 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к — 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x — 8 2 — 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 — 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 — 8 ) 2 — 8 = — 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 — 25 x — 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 — 25 x — 5 ⇔ x — 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 — 25 x — 5 упростим: x 2 — 25 x — 5 = ( x — 5 ) ( x + 5 ) x — 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 — 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x < — 1 , x 2 + 2 , — 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = — 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

• слева от точки х 0 = — 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 — 0 ( x + 4 ) = — 1 + 4 = 3 ;
• непосредственно в точке х 0 = — 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( — 1 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 ;
• на промежутке ( — 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → — 1 + 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 — 0 f ( x ) = lim x → 1 — 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
• в точке х 0 = — 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
• справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

• lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 f ( x ) = f ( — 1 ) = 3 — это означает, что в точке х 0 = — 1 заданная кусочная функция непрерывна;
• lim x → — 1 — 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 — таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 — 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

— 8 ; — 4 ; — 2 ; — 1 ; — 1 2 ; — 1 4 ; . . . ; — 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( — 8 ) ; f ( — 4 ) ; f ( — 2 ) ; f ( — 1 ) ; f — 1 2 ; f — 1 4 ; . . . ; f — 1 1024 ; . . . = = — 1 8 ; — 1 4 ; — 1 2 ; — 1 ; — 2 ; — 4 ; . . . ; — 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 — 0 f ( x ) = lim x → 0 — 0 1 x = — ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность — бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .