Тот же вопрос что и в предыдущей задаче но потенциальная энергия имеет вид

4.5. Уравнение Шредингера для простейших систем

Введем волновой вектор , обозначив

и перепишем уравнение в виде

Существуют, как известно, два линейно независимых решения уравнения (4.22), так что общее решение есть суперпозиция двух волн — или стоячих:

или бегущих:

(первый член — волна бежит направо, второй — налево; постоянные и произвольны). Аналогия: такие же решения описывают колебания свободной струны. Поскольку возможны волны с произвольным значением волнового числа , энергия частицы () также может принимать любые значения, то есть, в данном случае свободного инфинитного движения — не квантуется. Для частицы, движущейся в произвольном направлении вдоль произвольно направленного волнового вектора , справедливы те же решения при замене

При решении большинства задач квантовой механики следует обратить внимание на то, что волновая функция всегда должна быть непрерывной — вероятность пребывания частицы не может меняться скачком от точки к точке. Кроме того, если потенциальная энергия непрерывна или имеет скачки, но только первого рода (конечные скачки) и не имеет бесконечных скачков (скачков второго рода), то из уравнения Шредингера следует, что и первая производная волновой функции также непрерывна.

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме

Потенциальная энергия в этой задаче имеет вид

Такая система соответствует частице, движущейся вдоль прямой линии и отскакивающей от абсолютно отражающих препятствий в точках и . В область бесконечного потенциала частица проникнуть не может, следовательно, за пределами отрезка . Внутри ямы , и стационарное уравнение Шредингера имеет тот же вид, как для свободной частицы. Получатся те же решения в виде суперпозиции стоячих (или бегущих) волн, но в отличие от предыдущего случая добавятся граничные условия. Именно, в точках и волновая функция должна обращаться в нуль (поскольку она непрерывна и равна нулю вне ямы). В классической механике точно такие граничные условия имеет уравнение для струны с закрепленными концами.

Общее решение имеет вид

Используем сначала первое граничное условие

Мы получили, что решение уравнения Шредингера должно иметь вид

Если продолжить нашу аналогию, то можно сказать, что на струне, закрепленной в одной точке, бегущих волн не бывает: отражение от неподвижной точки обязательно порождает стоячую волну. Однако на длину волны никаких ограничений не накладывается.

Теперь наложим второе из граничных условий:

Здесь есть два типа решений. При получаем

что означает отсутствие частицы в яме (вероятность найти ее всюду равна нулю). Поэтому нас интересует второе – нетривиальное – решение, когда

Это возможно лишь при некоторых значениях волнового вектора:

Так как энергия частицы связана с волновым вектором, то

Мы получили квантование энергии, то есть наша «струна», закрепленная с обеих сторон, зазвучала, так как появились выделенные частоты.

Подставляя найденные разрешенные значения волнового вектора в выражение для волновой функции, получаем ее в виде

Смысл квантового числа: оно на единицу больше числа нулей волновой функции. Значение постоянной

определяется из условия нормировки.

Рис. 4.8. Уровни энергии, волновые функции и распределение плотности вероятностей по координате x

Отметим, что значения , при которых граничное условие в точке также будет выполнено, новых состояний не дают. Это видно и из выражения для энергии (4.24), в которое n входит в квадрате, и из выражения для волновой функции (4.25): изменение знака n приведет лишь к изменению знака волновой функции , что оставит неизменным распределение вероятностей .

Откуда же берется дискретность уровней энергии, характерная и для атома? Сравним со свободной частицей: уравнения те же, но с иными граничными условиями! Здесь возможны две постановки задачи. В первом случае исследуется состояние, которому в классической механике соответствовало бы инфинитное движение (задача рассеяния). Обычно в таких случаях решения возможны при любых значениях энергии (как говорят, спектр непрерывен). Во втором случае исследуется состояние, которому в классике соответствует финитное движение в ограниченной области пространства (задача на связанные состояния). Требование конечности волновой функции во всем пространстве ведет к квантованию энергии. Подчеркнем: в этом случае стационарное уравнение имеет физически приемлемые решения не всегда, а лишь при некоторых значениях энергии . Как следствие возникает дискретный спектр энергии системы.

Пример. Определим разность соседних уровней энергии для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме при больших значениях n. Полученный результат используем для оценки разности энергий соседних уровней энергии поступательного движения молекул азота при комнатной температуре в сосуде. Примем массу молекулы , а линейный размер сосуда . Сравним полученный результат с кинетической энергией поступательного движения молекул азота.

Используя выражение (4.24) для уровней энергии частицы в потенциальной яме, находим разность энергий соседних уровней

при больших значениях . Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул азота равна

Приравнивая выражению (4.24) для энергии уровней частицы в яме, находим, что такая энергия соответствует квантовым числам порядка

Уже само по себе это число говорит о том, что в области крайне высоких возбуждений работают классические формулы. Разность энергий соседних уровней получается, подстановкой в формулу для найденного выражения для квантового числа:

В электрон-вольтах те же характеристики имеют значения

Относительная разность энергий соседних уровней ничтожно мала:

и потому в классическом пределе квантовой дискретностью пренебрегают.

Частица в трехмерной потенциальной яме

Это обобщение предыдущей задачи. Частица может двигаться в кубическом объеме с длиной ребра . Нетрудно убедиться, что общее решение для волновой функции представимо в виде произведения одномерных волновых функций, полученных в предыдущей задаче:

Такая волновая функция соответствует очевидному факту, что движения вдоль трех осей не зависят друг от друга, и каждое описывается прежними одномерными волновыми функциями. Энергия, как легко догадаться, будет равна сумме энергий движения по осям x, y, z:

Рис. 4.9. Трёхмерная потенциальная яма

Состояние системы теперь определяется тремя квантовыми числами ₁, ₂ и ₃, принимающими, как и прежде; целые значения. Здесь мы впервые сталкиваемся с важным понятием вырождения энергетических уровней, то есть с ситуацией, когда разные состояния системы имеют одинаковую энергию. В самом деле, минимальная энергия системы достигается при минимальных значениях всех квантовых чисел, то есть при ₁, ₂, ₃. Эта энергия равна

и ей соответствует одна волновая функция . Говорят, что основное состояние не вырождено (невырожденность состояния с минимальной энергией — общее правило). Первое возбужденное состояние получается, когда одно из квантовых чисел равно 2, а остальные по-прежнему равны единице; энергия его

Но такую энергию имеют теперь три состояния с волновыми функциями , , и (квантовое число 2 можно выбрать тремя способами), поэтому говорят, что кратность вырождения первого возбужденного уровня равна трем (g = 3). Естественно, в другой системе может быть совершенно иная кратность вырождения (или отсутствие такового). Последующие состояния частицы в трехмерной потенциальной яме с бесконечными стенками также вырождены. Ясно, что вырождение уровней связано с симметрией системы, с равноправием всех осей. Если бы размеры ямы были разными ₁, ₂, ₃ то всем трем направлениям, то для энергии мы бы получили вместо (4.27) выражение

и вырождение могло бы иметь место лишь при определенных соотношениях между длиной, шириной и высотой потенциального ящика.

Одномерный осциллятор

В классической физике пружинный маятник (одномерный осциллятор) представляет собой точечное тело массой m, прикрепленное к пружине и колеблющееся с круговой частотой . Потенциальная энергия такой системы описывается выражением

так что уравнение Шредингера записывается в виде

Отсюда можно найти решение для волновой функции основного состояния

Подставляя это выражение в уравнение Шредингера, легко убедиться, что энергия основного состояния равна

Мы не выписываем волновые функции возбужденных состояний осциллятора, но выражение для разрешенных значений энергии имеет вид ( — колебательное квантовое число)

Здесь воспроизводится формула Планка и нулевые колебания

полученные ранее из соотношения неопределенностей (см. разд. 3.3).

Рис. 4.10. Уровни энергии и распределения плотности вероятностей по координате x для разных значений колебательного квантового числа. График потенциальной энергии осциллятора показан синей линией

Рис. 4.11. Распределения вероятностей для классического (пунктир) и квантового (сплошная линия) осцилляторов.
a) n = 1; б) большие значения n

Трехмерный осциллятор

Эта задача является обобщением предыдущей. Как и для трехмерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, волновая функция представляется в виде произведения волновых функций одномерных осцилляторов, колеблющихся независимо вдоль осей ,,. Так, волновая функция основного состояния имеет вид

а уровни энергии трехмерного осциллятора описываются формулой

В отличие от одномерного осциллятора состояние определяется значениями трех квантовых чисел ₁, ₂, ₃. Легко понять, что все возбужденные состояния должны быть вырожденными.

Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потенциальной энергией и с понятием поля. Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой F. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы mна вектор С, зависящий лишь от положения частицы:
F = mС.

Тяготение можно анализировать, считая что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безотносительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор С имеет три составляющие, и каждая из них является функцией от (х, у, z) — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела А ТА В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила действия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная анергия, интеграл от (Сила)·(ds), может быть записана в виде массы m, умноженной на интеграл от (Поле)·(ate) — это простое изменение масштаба, — то потенциальную энергию U(x, у, z) тела, расположенного в точке (х, у, z), можно записать как произведение т на другую функцию. Назовем ее потенциалом Ψ. Интеграл ∫ C·ds равен
— Ψ, подобно тому как ∫Fds = —U; они отличаются только масштабом:

Зная в каждой точке пространства эту функцию Ψ (х, у, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) = mΨ (x, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию Ψ. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину Ψ рассчитывать легче, чем три компоненты С: потенциалы—скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная Ψ. Пусть у нас есть точечные массы m₁, m₂, . в точках 1, 2. и мы хотим знать потенциал Ψ в некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4. Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока rне станет равным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен —Gm/r(m— масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным —Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности- поля, когда потенциальная энергия известна. Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить х-компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и z-компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние Δх, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x-компоненте силы, умноженной на Δх (если Δх достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

Мы просто применили формулу ∫ Fds = —ΔU для очень малых расстояний. Теперь разделим на Δх и обнаружим, что сила равна

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при Δх, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых Δх. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать —dU/dx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только х считается изменяющимся, а у и z — нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx) , что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:

Точно так же и сила в направлении у получается дифференцированием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять-таки есть производная по z при х и у постоянных:

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же:

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, z, то символы d/dх, d/dу, d/dz, дающие х-, у-, z-компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Математики изобрели знаменитый символ V, или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x-компонента этого grad есть d/dх, y-компонента — d/dу, а z-компонента — d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на V, мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь VU.

Еще один пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x-составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от магнитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна перемещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) Положим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину φ, равную минус интегралу от Е•ds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину φ:
φ(r) = —∫E ds,
U = qφ.

В качестве примера рассмотрим две параллельные металлические пластины с поверхностным зарядом ±σ (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конденсатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно σ/ε₀ (фиг. 14.5). Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила)·(ds). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2:

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора d, то интеграл равен

Разница в потенциалах Δφ = σd/ε₀ называется на пряжением и ф измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким-то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±σ, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно σd/ε₀.

Тот же вопрос что и в предыдущей задаче но потенциальная энергия имеет вид

Если тело некоторой массы двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от до то силы совершили определенную работу .

Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы (см. рис. 1.19.1).

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силы перемещения скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать , , и как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как . При равноускоренном движении перемещение выражается формулой

Отсюда следует, что

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии.

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии . Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Если тело движется со скоростью то для его полной остановки необходимо совершить работу

В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела . Такие силы называются консервативными .

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю . Это утверждение поясняет рис. 1.19.2.

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения на ось , направленную вертикально вверх:

,

где – проекция силы тяжести, – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как . Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте , в точку, расположенную на высоте от начала координатной оси (рис. 1.19.3), то сила тяжести совершила работу

.

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси . Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготения). Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой на расстоянии от центра Земли, имеет вид (см. §1.24):
где – масса Земли, – гравитационная постоянная.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину , или сначала удлинить ее на , а затем уменьшить удлинение до значения и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы , взятой с противоположным знаком (см. §1.18):
где – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно , тогда при переходе в новое состояние с удлинением сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

Физика

Урок 11: Потенциальная энергия в однородном поле тяжести. Потенциальная энергия упругой деформации

• Видео
• Тренажер
• Теория

Введение

На одном из прошлых уроков мы с вами рассматривали теорему о кинетической энергии. Напомним, что теорема о кинетической энергии говорит о том, что работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела. По-другому можно сказать, что кинетическая энергия тела – это способность тела выполнить работу за счет того, что у него есть скорость. Оказывается, существует другой вид энергии – потенциальная энергия, изучением которой мы займемся на этом уроке.

Для начала, рассмотрим работу силы тяжести. На небольших расстояниях от поверхности Земли (по сравнению с радиусом Земли), силу тяжести можно считать постоянной и равной . Пусть тело массой свободно падает под действием силы тяжести с высоты . Перемещение и сила направлены вниз, следовательно, работа силы тяжести положительна и равна

По определению, перемещение тела равно . Следовательно, работа силы тяжести равна

Отметим, что абсолютно неважно, от какой точки отсчитывать высоты и (Рис. 1). Мы можем отсчитывать эти высоты от уровня моря или от уровня вершины Эвереста, и величина работы, совершенной силой тяжести, не изменится, поскольку в формулу для работы силы тяжести входит разность этих величин, а не их абсолютные значения.

Рис. 1. Тело падает под действием силы тяжести

Заметим также, что работа силы тяжести при подъеме тела с высоты до высоты равна

Эта работа равна работе силы тяжести при спуске тела с противоположным знаком. Таким образом, работа силы тяжести по замкнутому контуру равна нулю.

Давайте рассмотрим, что изменится, если тело не будет падать вертикально вниз, а будет скатываться с наклонной плоскости под некоторым углом к горизонту (Рис. 2).

Рис. 2. Тело соскальзывает по наклонной плоскости под некоторым углом к горизонту

Пусть тело массы под действием силы тяжести совершает перемещение , равное по модулю длине наклонной плоскости. Согласно определению работы, работа силы тяжести равна

Из рисунка 2 очевидно, что . Таким образом, мы получили то же выражение, что и для тела, движущегося по вертикали:

Из этого можно сделать вывод, что работа силы тяжести зависит только от «потери высоты».

Это справедливо для спуска тела по любой траектории (Рис. 3). Действительно, произвольную траекторию можно разбить на маленькие участки, на которых ее можно считать линейной. На каждой из этих маленьких наклонных плоскостей будет справедливо, что работа силы тяжести зависит только от потери высоты, следовательно, работа силы тяжести на всем спуске зависит также только от потери высоты.

Рис. 3. Спуск тела по произвольной траектории

Рассмотрим, какую работу совершает сила упругости, и как ее вычислить. Из предыдущих уроков вы знаете, что сила упругости, действующая на тело, пропорциональна деформации, другими словами, .

Рис. 4. Работа сил упругости

Найдем работу силы упругости при перемещении тела от точки А до точки В (см. Рис. 4). Поскольку направление перемещения совпадает с направлением силы упругости, работа, совершаемая силой упругости, равна произведению средней силы, действующей на тело, на перемещение, совершенной под действием этой силы:

Среднее значение силы упругости:

Тогда работа силы упругости равна:

Отметим, что работа силы упругости зависит только от начального и конечного положений тела и коэффициента жесткости. Сила упругости и ее работа не зависит от массы тела и траектории, по которой движется это тело. Заметим, что это же справедливо и для силы тяжести.

Поговорим о понятии потенциальной энергии тела. Для этого рассмотрим работу, совершаемую силой тяжести и силой упругости.

Не напоминает ли вам это теорему о кинетической энергии? Работа этих сил получается равной изменению некой величины, которая также называется энергией, но в данном случае это так называемая потенциальная энергия.

Как вы видите, для потенциальной энергии не существует какой-то определенной формулы – в случае силы тяжести эта величина равна

в случае силы упругости:

поэтому, говорят, что

Потенциальная энергия – это способность тела совершить работу за счет расположения материальных точек, составляющих систему.

Действительно, для тела, которое падает под действием силы тяжести, работа совершается за счет взаимного расположения Земли и тела. В случае силы упругости, работа совершается за счет взаимного расположения молекул внутри тела (пружины). Отметим, что сама по себе потенциальная энергия не имеет особого физического смысла, поскольку может отсчитываться от любого уровня. Имеет смысл изменение потенциальной энергии. Подобные величины называют аддитивными.

Список литературы

1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
2. А. П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
3. О. Я. Савченко. Задачи по физике – М.: Наука, 1988.
4. А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.
5. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин. Физика. Учебник для 9 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1992.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Youtube (Источник)
2. Интернет-портал «Physics.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «Physics-lectures.ru» (Источник)

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 3 ГИА и вопросам А4 ЕГЭ.

1. Задачи 348, 350, 352, 354, 356 сб. задач А.П.Рымкевич изд. 10 (Источник).

2. Ответьте на вопрос, можно ли сконструировать машину, которая будет получать полезную работу с помощью потенциальных сил. Обоснуйте свой ответ.

3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Список вопросов — ответов:

Вопрос: Изменяется ли потенциальная энергия тела при его движении вдоль поверхности Земли?

Ответ: Нет, поскольку при этом сила тяжести не выполняет работу.

Вопрос: Всегда ли справедлива формула для потенциальной энергии деформации тела?

Ответ: Нет, она справедлива только тогда, когда деформации будут упругими, а значит, сила упругости прямо пропорциональна деформации тела.

Вопрос: На что уходит работа силы трения? Ведь сила трения не изменяет никакую потенциальную энергию.

Ответ: Работ силы трения уходит на нагрев тела и поверхности, по которой оно скользит.

Вопрос: Если потенциальную энергию можно отсчитывать от любого нулевого уровня, какой смысл во ведении такой величины? Ведь мы можем принять за ноль как начальный уровень потенциальной энергии, так и конечный.

Ответ: Естественно, работа будет равна изменению потенциальной энергии тела только в том случае, если потенциальная энергия тела отмерялась от одного и того же уровня.