Как сравнить логарифм и число

Как сравнивать логарифмы

— если основание меньше единицы (0<a<1), функция убывает, значит, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (знак неравенства меняется на противоположный).

С помощью схемы сравнение логарифмов можно изобразить так:

1) Сравнить b и c, если

Основание 3>1, функция возрастает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, не изменяется:

2) Сравнить m и n, если

Основание 1/9<1, функция убывает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, изменяется на противоположный:

3) Сравнить с единицей основание логарифма, если

Сравним числа, стоящие под знаками логарифмов. Для этого представим их в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:

То есть, знак неравенства не изменился. Значит, функция возрастает и основание a>1.

Сравнение логарифмов с разными основаниями.

Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, можно попытаться, используя свойства логарифмов, привести их к одинаковым основаниям.

Оба логарифма можно привести к основанию 3:

и основание 3>1, функция возрастает и знак неравенства не изменяется:

Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём.

Сравним каждый из логарифмов с нулём:

Так как первый логарифм больше нуля, а второй — меньше нуля, то

Сравниваем каждый из логарифмов с нулём:

Первый логарифм меньше нуля, второй — больше нуля, следовательно, первый логарифм меньше второго:

Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Как сравнивать логарифмы с разным основанием

При решении показательных и логарифмических неравенств нередко возникает необходимость сравнить логарифмы с разным основанием.

Рассмотрим, как это сделать.

Пример 1. Сравнить и .

Чтобы сравнить эти логарифмы, нужно найти число, которое стоит на числовой прямой между и .

Нетрудно увидеть, что ,

То есть , следовательно,

Чаще ситуация выглядит сложнее.

Пример 2. Сравнить и .

Так как , следовательно, . Аналогично, , следовательно, .

То есть значение обоих логарифмов — дробное число, лежащее в пределах от 1 до 2. Подобрать промежуточное число, которое стоит на числовой прямой между и уже сложнее.

Поступим так. Предположим, в знаменателе промежуточного числа стоит 2. Умножим оба логарифма на 2, то есть сравним числа

и

Перенесем 2 в показатель степени:

и

и

Теперь нетрудно увидеть, что , следовательно, .

Если умножение на 2 не приводит к желаемому результату, нужно попытаться умножить на 3, потом на 4 и т.д.

Пример 3. В некоторых случаях прежде чем сравнивать логарифмы, нужно выполнить определенные преобразования.

Сравнить и

Так как , мы можем преобразовать логарифм с основанием 2:

Итак, мы сравниваем числа и .

Прибавим к обоим числам 2:

и

Преобразуем:

Теперь нам нужно сравнить числа

и

Значение обоих логарифмов — дробное число, принадлежащее промежутку .

Предположим, в знаменателе промежуточного числа стоит 2. Умножим оба логарифма на 2, то есть сравним числа

и

Перенесем 2 в показатель степени:

и

и

, следовательно, .

, следовательно, .

Получили, что , следовательно, .

Сравнение радикальных, степенных, логарифмических чисел

Свойства числовых неравенств:

свойство транзитивности;. добавление слагаемого к обеим частям не меняет знак неравенства; . это свойство позволяет выполнить операцию «перенос слагаемого». после умножения неравенства на положительное число, знак неравенства не меняется. после умножения неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется. одноименные неравенства можно почленно складывать. . при возведении в натуральную степень знак неравенства не меняется.

Сравнение радикальных чисел:

Пример 1: сравнить числа $2\sqrt<11>\ne3\sqrt<5>$

• предположим гипотезу: первое больше второго. тогда, путем цепочки преобразований . возведения в квадрат
• положительных . упрощения . получим $2\sqrt <11>> 3\sqrt<5>$ возведем обе части в квадрат $\left(2\sqrt<11>\right)^2 > \left(3\sqrt<5>\right)^2$ $\Leftrightarrow$
• $4\cdot11 > 9\cdot5$ $\Leftrightarrow$ $44 > 45$ . неверное. значит допущение неверно $2\sqrt <11>< 3\sqrt<5>$
• Приближенные значения этих чисел слишком близки: Радикалы примерно . $\sqrt<11>=0,1\sqrt<1100>\approx3,3$;
• $\sqrt<5>=0,1\sqrt<500>\approx0,1\cdot22=2,2$ Тогда $2\sqrt<11>\approx2\cdot3,3\approx6,6$ и $3\sqrt<5>\approx3\cdot2,2\approx6,6$ .
• Значит, приближенные вычисления такой точности недостаточна! Ответ: $2\sqrt<11><3\sqrt<5>$.

Правило сравнений: подтверждение или опровержение допущения, гипотезы

написать гипотетическое неравенство;

попробовать это доказать или опровергнуть путем эквивалентных преобразований;

если последнее в цепочке преобразований верно / ложно $\Rightarrow$ гипотетическое допущение верно / ложно .

Пример 2: сравнить числа $\frac<8>-\frac<8>\ne\sqrt$ при $z\approx7$

• найдем приближенное значение радикального числа $\sqrt\approx\sqrt<7>\approx\sqrt<\frac<700><100>>\approx\sqrt<\frac<729><100>>\approx2,7$
• вычислим приближенно первое. $\frac<8>-\frac<8>\approx\frac<49><8>-\frac<8><3>\approx6,01-2,66\approx3,35$ $\Rightarrow$ видно, что первое $>$ второго.

• допустим гипотезу $-\frac<9-\sqrt<12>><4>> -\frac<11><8>$ если б это было верно, тогда $\frac<9-\sqrt<12>><4>< \frac<11><8>$, умножим на $8$ $2\left(9-\sqrt<12>\right) < 11$,
• раскроем скобки $18-11 < 2\sqrt<12>$ , возведем в квадрат $7^2 < \left(2\sqrt<12>\right)^2$ получим $49 < 4\cdot12$ . Но! последнее
• очевидно ложно . вывод: наше допущение надо сменить на противоположное. сделанная цепочка
• . эквивалентных преобразований неравенства «до очевидного» привело к выводу $\Rightarrow$ Ответ: $-\frac<9-\sqrt<12>><4>< -\frac<11><8>$

Пример 4: сравнить числа $\frac<-3-\sqrt<17>> <3>\ne 8-3\cdot\sqrt<12>$

• сделаем допущение $\frac<-3-\sqrt<17>><3>< 8-3\cdot\sqrt<12>$ и проверим путем эквивалентных преобразований,
• $3\cdot\left(\frac<-3-\sqrt<17>><3>\right) < 3\cdot\left(8-3\cdot\sqrt<12>\right)$ раскроем скобки $-3-\sqrt <17>< 24-9\cdot\sqrt<12>$ $\Leftrightarrow$ $9\cdot\sqrt <12>< 27+\sqrt<17>$
• обе части неравенства положительные, значит, можем сравнить квадраты $\left(9\cdot\sqrt<12>\right)^2 < \left(27+\sqrt<17>\right)^2$ $\Leftrightarrow$
• $81\cdot12 < 27^2+2\cdot27\cdot\sqrt<17>+17$ $\Leftrightarrow$ $972-729-17 < 54\sqrt<17>$ $\Leftrightarrow$ $260 < 54\sqrt<17>$ $\Leftrightarrow$ $130 < 27\sqrt<17>$ $\Leftrightarrow$
• $16900 < 729\cdot17$ $\Leftrightarrow$ $16900 < 12393$ но это «Ложь», значит изначальное неравенство ровно наоборот.

Сравнение с единицей: Единица — нулевая степень любого основания. $a^0 = 1$

Если $a > 1$ , а) $a^x > 1$ $\Leftrightarrow$ $x > 0$ , б) $a^x < 1$ $\Leftrightarrow$ $x < 0$ .

Если $0 < a < 1$ , а) $a^x > 1$ $\Leftrightarrow$ $x < 0$ , б) $a^x < 1$ $\Leftrightarrow$ $x > 0$ .

Сравнение степеней: важно каково основание, больше или меньше единицы .

если $ a > b > 0$ и показатель $n > 0$ — натуральное: «возведение в степень» $a^n > b^n$ и $a^ <-n>< b^<-n>$ при отрицательных.

если $a > 1$ , то степенное неравенство $a^p > a^q$ равносильно неравенству показателей того же смысла: $p > q$.

если $0 < a < 1$ , степенное неравенство $a^p > a^q$ равносильно неравенству показателей противоположного смысла $p < q$

• допустим гипотезу: $-\sqrt<2\sqrt[3]<6>> < -\sqrt[3]<5\sqrt<2>>$ проведем эквивалентные преобразования: умножение обеих частей на $- 1$:
• $\sqrt<2\sqrt[3]<6>> > \sqrt[3]<5\sqrt<2>>$ представим корень как дробную степень того же основания
• $\left(2\sqrt[3]<6>\right)^<\frac<1><2>> > \left(5\sqrt<2>\right)^<\frac<1><3>>$ $\Leftrightarrow$ $\left(2\cdot6^<\frac<1><3>>\right)^<\frac<1><2>> > \left(5\cdot2^<\frac<1><2>>\right)^<\frac<1><3>>$ $\Leftrightarrow$ $2^<\frac<1><2>>\cdot6^<\frac<1><6>> > 5^<\frac<1><3>>\cdot2^<\frac<1><6>>$
• так, как в обеих частях неравенства числа большие $1$ (корни из $2$ больше $1$), то возведение обеих частей в шестую степень
• . не нарушает смысл неравенства $\left(2^<\frac<1><2>>\cdot6^<\frac<1><6>>\right)^6 > \left(5^<\frac<1><3>>\cdot2^<\frac<1><6>>\right)^6$ , тогда $2^3\cdot6^1 > 5^2\cdot2^1$ получаем $48 > 50$.
• Но это неверно, значит, гипотеза не оправдалась и исходное гипотетическое неравенство выполняется ровно наоборот,
• Это значит, Ответ: $-\sqrt<2\sqrt[3]<6>> > -\sqrt[3]<5\sqrt<2>>$

• гипотеза: $0,4^<-\sqrt<2>> < 0,4^<-1,4>$ сравнение степеней при основании меньшем $1$ .
• . приводит к сравнению показателей с противоположным смыслом неравенства, т.е. $-\sqrt <2>> -1,4$ ,
• умножение обеих частей на минус меняет знак неравенства на противоположный $\sqrt <2>< 1,4$.
• возведение в квадрат обеих частей неравенства при том, что основания больше единицы приводит нас .
• . к ложному неравенству $2 < 1,96$ . Значит, гипотеза ложная!

Сравнение «логарифмов». внимание к основаниям — больше или меньше единицы?

Если $p > 0$ и $q > 0$ то: . «потенционирование — сравнение аргументов»

при $a > 1$, логарифмическое неравенство $\log_ap > \log_aq$ равносильно неравенству аргументов того же смысла $p > q$ .

логарифмическое неравенство $\log_ap < \log_aq$ равносильно неравенству аргументов того же смысла $p < q$.

при $0 < a < 1$ неравенство $\log_ap > \log_aq$ равносильно неравенству аргументов противоположного смысла $p < q$ .

неравенство $\log_ap < \log_aq$ равносильно неравенству аргументов противоположного смысла $p > q$.

• допустим $\log_<\frac<1><12>>\left(\frac<1><7>\right) < \log_<\frac<1><12>>\left(\frac<2><3>\right)$ «вскроем логарифм»: это, при том, что основание меньше единицы, равносильно
• неравенству $\frac<1><7>> \frac<2><3>$ , умножим обе части на $+21$, смысл неравенства не поменяется . $21\cdot\frac<1><7>> 21\cdot\frac<2><3>$
• получим $3 > 14$. Но это нонсенс! Ответ: $\log_<\frac<1><12>>\left(\frac<1><7>\right) > \log_<\frac<1><12>>\left(\frac<2><3>\right)$

• гипотеза: $\log_<\frac<1><2>>3 < \log_<\frac<1><4>>1$. Чтоб сравнить логарифмы, желательно сделать основания одинаковыми. Сведем
• основания к $2$ , используя формулу выноса показателя из-под основания логарифма. Получим $-\log_23 < -2\log_21$,
• умножение на минус $1$ обеих частей меняет смысл неравенства на наоборт: $\log_23 > 2\log_21$ $\Leftrightarrow$ $\log_23 > 2\cdot0$ $\Leftrightarrow$
• $\log_23 > 0$ $\Leftrightarrow$ $3 > 2^0 $ это верно, и гипотеза верна! Ответ: $\log_<\frac<1><2>>3 < \log_<\frac<1><4>>1$

Пример 9: Как сравнить числа $-\log_<0,5>3\ne10\cdot \sin3$ ? а логарифм и радикал $\log_34\ne\sqrt[4]<2>$ ?

• Найдем приближенное значение логарифма $-\log_<0,5>3=\log_23=\frac<\ln3><\ln2>\approx\frac<1,1><0,7>\approx1,59$
• Приближенное значение синуса, по формуле приведения $\sin3=\sin\left(\pi-3\right)\approx\pi-3\approx3,14-3\approx0,14$ значит, $10\cdot \sin3\approx1,4$
• Сравним приближенные $1,59>1,4$ . Тогда Ответ: $-\log_<0,5>3>10\cdot \sin3$
• $\sqrt[4]<2>\approx\sqrt[4]<1+1>\approx1+\frac<1><4>\approx1,2$ $\log_34=\frac<\ln4><\ln3>\approx\frac<1,5><1,1>\approx1,4$ вывод $\Rightarrow$ Ответ: $\log_34 > \sqrt[4]<2>$

Формулы для приближенных вычислений: при маленьких числах $x$ верны следующие приближенные равенства:

$\sqrt[n]<1+x>\approx1+\frac$ $\sqrt[n]<1-x>\approx1-\frac$ при малых $х$. $\sqrt[4]<3>\approx\sqrt[4]<1+2>\approx1+\frac<2><4>\approx1,5$

$e\approx2,71$ — число экспонента, $\ln A=\log_eA$ — натуральный, естеcтвенный логарифм .

$e^x\approx1+x$ $e^<-x>\approx1-x$ $a^x\approx1+x\ln a$ $a^<-x>\approx1-x\ln a$ при малых $x$.

$\ln\left(1+x\right)\approx x$ $\ln\left(1-x\right)\approx-x$ $\log_a\left(1+x\right)\approx\frac<\ln a>$ $\log_a\left(1-x\right)\approx-\frac<\ln a>$ при малых $x$.

Пример 10: известно, что $\log_52=a$ $\log_23=b$ выразить логарифм $\log_675$ через $a$, $b$

Сравнение чисел при решении уравнений, неравенств и задач с модулями

Они могут быть такими: \( 4\), \( -3\), \( 8\), \( 125\).

А могут быть и вот такими: \( \sqrt<6>\), \( \left( 4-\sqrt <3>\right)\), \( \frac<\sqrt[6]<6>><\sqrt<13>+\frac<4><13>>\).

Если числа не рациональные, а иррациональные, или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично.

Для этого нужно уметь их сравнивать.

Калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами \( 0,000001\)?).

Прочитай эту статью и все поймешь!

Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: \( 3>1\); \( -1>-3\); \( 0>-3\) и т.д.

Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим \( \sqrt<6>\), \( \left( 4-\sqrt <3>\right)\), \( \frac<\sqrt[6]<6>><\sqrt<13>+\frac<4><13>>\).

Как их сравнить, например, с числом \( 5\)? Вот в этом-то и загвоздка … )

Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.

Если надо сравнить числа \( a\) и \( b\), между ними ставим знак \( \vee \) (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): \( a\vee b\).

Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (\( >\text< или ><\)).

Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем:

Мы относимся к знаку \( \vee \) так, будто это какой-то знак неравенства.

И с выражением \( a\vee b\) мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами.

5 основных преобразований, применяемых при сравнении чисел

1. Прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
2. «Перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется 0
3. Домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный
4. Возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный
5. Извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны
6. Любые другие равносильные преобразования

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся!

В ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

5 вариантов сравнения дробей

1. Приведение к общему знаменателю
2. Приведение к общему числителю
3. Вычитание одной дроби из другой
4. Приведение к виду десятичной дроби
5. Деление одной дроби на другую

Например, нам необходимо сравнить две дроби: \( 1,6\) и \( 1\frac<6><13>\).

Давай разберем каждый вариант

Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю

Запишем \( 1,6\) в виде обыкновенной дроби:

\( 1,6=1\frac<6><10>=1\frac<3><5>\) — (как ты видишь, я также сократила на \( 2\) числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

Способ 1. Числитель больше знаменателя

Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):

Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.

Способ 2. Отбросьте единицу

«Отбросьте» \( 1\) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:

Приводим их также к общему знаменателю:

Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?

Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:

Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:

1) \( 104-95=9\)

2) \( 39-30=9\)

Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»

Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Например, ты же точно скажешь, что \( \frac<8><13><\frac<12><13>\) Верно?

А если нам надо сравнить такие дроби: \( \frac<6><13>\vee \frac<6><28>\)?

Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае \( 6\) делят на \( 13\) частей, а во втором на целых \( 28\), значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: \( \frac<6><13>>\frac<6><28>\).

Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

А знак-то тот же.

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить \( 1\frac<3><5>\)и \( 1\frac<6><13>\). Будем сравнивать \( \frac<3><5>\) и \( \frac<6><13>\).

Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.

Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на \( 2\). Получим:

Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.

Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: \( 1\frac<6><13>-1,6\).

Как ты уже понял, мы так же переводим \( 1,6\) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — \( 1\frac<3><5>\) .

Наше выражение приобретает вид:

Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю.

Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.

Приводим к общему знаменателю:

Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит.

Правильно, первое число больше второго.

Вариант 4. Сравнение дробей с помощью приведения к виду десятичной дроби

Разобрался в предыдущем примере? А теперь попробуй сравнить дроби:

Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать.

Посмотри: \( 1\frac<3><5>\) можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?

Это еще один вариант – сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.

Вариант 5. Сравнение дробей с помощью деления

Да, да. И так тоже можно.

Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от \( 0\) до \( 1\).

Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, \( 6\) и \( 4\). Ты же знаешь, что \( 6\) больше \( 4\)?

Теперь разделим \( 6\) на \( 4\). Наш ответ — \( 1,5\). Соответственно, теория верна.

Если мы разделим \( \displaystyle 4\) на \( 6\), что мы получим \( 0,\left( 6 \right)\) – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что \( \displaystyle 4\) на самом деле меньше \( 6\).

Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:

Разделим первую дробь на вторую:

Сократим на \( 2\) и на \( 4\).

Полученный результат меньше \( 1\), значит делимое меньше делителя, то есть:

Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как мы и говорили их пять.