Как составить уравнение параболы по двум точкам

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² — это квадратный трёхчлен ax² + bx + c , в котором b = 0 и c = 0 . График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Гипербола и парабола

Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка, посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе. Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом. Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

Гипербола и её каноническое уравнение

Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….

У гиперболы две симметричные ветви.

У гиперболы две асимптоты.

Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:

Построить гиперболу, заданную уравнением

Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной:

И только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:

Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля. я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

1) Прежде всего, находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.

Напрашивается нахождение точек с абсциссами :

4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:

Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.

Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью.

В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся.

Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет

У гиперболы, точно так же, как и у эллипса, есть две особенные точки , которые называются фокусами. Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым.

Общая концепция определения тоже похожа:

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .

Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для исследуемой гиперболы :

Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:

Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:

Если точку «перекинуть» на левую ветвь и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.

Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .

Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.

Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .

Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .

Для данного примера: .

По аналогии с эллипсом, зафиксировав значение , желающие могут провести самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:

При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси .
В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат.

Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .

Равносторонняя гипербола

На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если , то каноническое уравнение заметно упрощается:

А вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот:

Прямые пересекаются под прямым углом и «справедливо» делят координатную плоскость на 4 одинаковые части, в двух из которых находятся ветви кривой. Образно говоря, равносторонняя гипербола «идеально сложена», то есть и не растянута и не сплющена.

Так как , то , следовательно, эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен: .

Предлагаю закрепить теорию и практические навыки миниатюрной задачей:

Построить гиперболу и найти её фокусы.

Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустит, тот пропустит многое 😉 Решение и чертёж в конце урока.

Начнём тревожить беззаботное существование нашей кривой:

Поворот вокруг центра и параллельный перенос гиперболы

Вернёмся к демонстрационной гиперболе . Что произойдёт, если в полученном уравнении поменять значения полуосей: ? Для эллипса данный трюк означал поворот на 90 градусов. Но здесь всё иначе! Уравнение определяет совершенно другую гиперболу. Ну, хотя бы обратите внимание на иные вершины: .

Теперь рассмотрим уравнение , которое очевидно тоже задаёт гиперболу. Однако к исходному уравнению оно также не имеет никакого отношения! Это предыдущая гипербола, повёрнутая на 90 градусов, с вершинами на оси ординат.

И, наконец, оставшийся случай задаёт нашу гиперболу , повернутую на 90 градусов. Как быть, если в практической задаче встретилась такая неканоническая запись?

Если требуется только построить кривую, то строим её в предложенном виде. Это довольно просто. Уравнения асимптот гиперболы обладают обратными угловыми коэффициентами:

Поскольку оси «поменялись ролями», то вершины будут расположены на оси ординат в точках . Выразим верхнюю ветвь гиперболы:

И найдём несколько дополнительных точек:

Выполним чертёж:

Помимо геометрии, похожие графики требуется строить в некоторых задачах математического анализа.

Однако по возможности всё-таки лучше осуществить поворот на 90 градусов и переписать уравнение в канонической форме. Для этого следует поменять местами значения полуосей и переставить «минус» к переменной «игрек»: .
И далее работать уже с каноническим уравнением.

! Примечание: строгий теоретический подход предполагает поворот координатных осей, а не самой линии. При необходимости оформляйте решение по аналогии с соответствующим примечанием предыдущего урока.

Параллельный перенос. Уравнение задаёт гиперболу с действительной полуосью «а», мнимой полуосью «бэ» и центром в точке .

Так, например, гипербола имеет центр симметрии в точке . Асимптоты, само собой, переместились вместе с гиперболой, их уравнения отыскиваются по формулам:

Полуоси и расстояние от фокусов до центра симметрии остались прежними, а вот координаты фокусов изменились с учётом параллельного переноса:

Параллельный перенос гиперболы доставил заметно больше хлопот, чем параллельный перенос эллипса, смотрим на картинку:

После таких трудов, уравнение трогать бессмысленно, но если таки просят, то придётся….

В нестрогом варианте: «Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду путём параллельного переноса в начало координат: ».

Или в строгом – с параллельным переносом системы координат началом в точку
(см. шаблон у эллипса).

На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Парабола и её каноническое уравнение

Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:

Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.

В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :

Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.

Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое

определение параболы:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .

Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :

Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):

Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.

Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси

Эксцентриситет любой параболы равен единице:

Поворот и параллельный перенос параболы

Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.

! Примечание: как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.

1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: , то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положения. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: , то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки.

На следующем чертеже изображены графики кривых :

Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: .

Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны! Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу и разобрать каноническое уравнение , но, к сожалению, у неё достаточно малый фокальный параметр , и чертеж с точкой фокуса , директрисой был бы крайне невразумителен.

2) Параллельный перенос. Без всякой оригинальности. Уравнение задаёт ту же параболу с вершиной в точке . По моим наблюдениям, во многих задачах матана очень популярен частный случай – когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус».

Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения:

Построить параболу . Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы.

Как лучше действовать?

По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Примера 6 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями .

Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать в каноническом положении!

Ну, а наша обзорная экскурсия подошла к концу, и я надеюсь, что у вас не возникло и не возникнет трудностей с тремя атлантами темы – эллипсом, гиперболой и параболой. Предлагаю узнать новый теоретический материал и закрепить практические навыки на уроке Задачи с линиями 2-го порядка.

Решения и чертежи:

Пример 5: Решение: данная гипербола является равносторонней, поэтому имеет асимптоты . Действительная полуось , значит, вершины расположены в точках . Найдём дополнительные точки:

Определим координаты фокусов:

Выполним чертёж:

Перед вами «школьная» гипербола в каноническом положении. График функции получается путём поворота (вокруг начала координат) построенного графика на 45 градусов против часовой стрелки (а если строже – путём поворота системы координат на противоположно ориентированный угол в «минус» 45 градусов).

И в общем случае – график обратной пропорциональности представляет собой равностороннюю гиперболу, уравнение которой можно привести к каноническому виду .

Пример 7: Решение: преобразуем уравнение:

Вершина параболы находится в точке , ветви направлены влево. С помощью уравнений найдём дополнительные точки:

Выполним чертёж:

Парабола получена путём поворота параболы на 180 градусов и её параллельного переноса в точку . Из канонического уравнения находим фокальный параметр , фокус и уравнение директрисы .
Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы . Учитывая поворот и параллельный перенос: .

Уравнение парабола через две точки

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

• a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
• b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
• с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Квадратичная функция (парабола)

Все знают, как выглядит парабола y = x 2 . В седьмом классе мы рисовали таблицу:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

После этого по точкам строили график:

Параболу y = ax 2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.

1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a 2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.

2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).

На рисунке приведены две параболы y = a₁x 2 и y = a₂x 2 , у которых a₂ > a₁ > 0

3. Абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + c находится по формуле:

Для нахождения ординаты вершины y₀ удобнее всего подставить x₀ в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

где D = b 2 − 4ac — дискриминант.

4. Точки пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.

5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).

А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax 2 + bx + c решать квадратные неравенства.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x 2 2 и отметим все значения x, для которых y 2 − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x 2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x 2 − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

3. Ещё одно неравенство: x 2 + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x 2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x 2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.

Подставим выражение для q в формулу выручки:

r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p 2

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

100p − 10p 2 ≥ 240

Переносим всё вправо и делим на 10:

p 2 − 10p + 24 ≤ 0

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p 2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.

5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t 2 , где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:

1,6 + 8t − 5t 2 ≥ 3

Собираем всё справа:

5t 2 − 8t + 1,4 ≤ 0

Корни соответствующего уравнения 5t 2 −8t+1,4 = 0 равны t₁ = 0,2 и t₂ = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через t₁ = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t₂ − t₁ = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.

6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T₀ + bt + at 2 , где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t − 10t 2

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или

1400 + 200t − 10t 2 ≤ 1760

Переносим всё вправо и делим на 10:

t 2 − 20t + 36 ≥ 0

Находим t₁ = 2, t₂ = 18 и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.

А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t 2 , справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.

Как составить уравнение параболы по двум точкам

В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.

Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции :

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу . Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.

Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: , где . Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции (синяя пунктирная линия на рисунке):

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на всех ординат точек графика функции . Откуда получаем, что . Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: .

Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:

Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.

Квадратичная функция. Построение параболы

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило, в соответствии с которым каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вот какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 в частном случае при b = 0, c = 0:

Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax 2 + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) относительно оси симметрии.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, можно записать уравнение квадратичной функции в виде у = a(x − x₀) + y₀, где x₀, y₀ — координаты вершины параболы.

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить график функции y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид функции позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой линией.

Как построить параболу

Соавтор(ы): Jake Adams. Джейк Адамс — репетитор и владелец онлайн-сервиса Simplifi EDU с офисом в Санта-Монике, Калифорния, который предлагает образовательные ресурсы и услуги репетиторов по предметам от уровня детского сада до колледжа, помощь в подготовке к тестам SAT и ACT и консультирование по вопросам поступления в колледж. Имеет более 14 лет опыта в качестве профессионального репетитора, нацелен на предоставление клиентам репетиторских услуг высочайшего качества и доступа к сети, объединяющей выскоквалифицированных репетиторов с высшим образованием из лучших колледжей страны. Получил диплом бакалавра по международному бизнесу и маркетингу в Университете Пеппердайна.

Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.

Похожие публикации:

1. Использовать vbo майнкрафт что это
2. Как найти первую цифру числа c
3. Как отправить сообщение в ватсап
4. Что произойдет если во время демонстрации нажать данную клавишу page down