Эмпирическая функция распределения
Допустим, известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Обозначим nх – количество наблюдений со значением меньше x1, n – всего наблюдений. Очевидно, что относительная частота события Х<x будет равна nх/n.
Эмпирическая функция распределения – это функция F*(x), которая определяет для каждого значения x относительную частоту события X
Данное понятие можно записать в виде формулы:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В этой записи nx – количество вариантов, меньших x; n – объем выборочной совокупности.
Существует также теоретическая функция распределения (функция распределения генеральной совокупности). Ее отличие от выборочной функции распределения состоит в определении объективной возможности или вероятности события X<x.
Свойства функции
Функция распределения выборки обладает рядом свойств, которые следуют из определения понятия.
- Значения рассматриваемой функции F * (x) располагаются на отрезке [0; 1].
- Функция имеет неубывающий характер.
- При минимальной варианте x1 верно равенство F * (x)=0 при условии, что х<х1. При максимальной варианте хkверно равенство F * (x)=1 при условии х>xk.
Таким образом, функция распределения выборки помогает оценить теоретическую функцию распределения.
Как найти
Выборочная функция распределения для случайной величины рассчитывается по формуле:
Данное равенство читается так: функция распределения равна вероятности события, при котором случайная величина будем меньше x.
Поскольку при условии, что x меньше или равно 1, событие ξ20<1 невозможно (ξ20 не принимает значение менее 1, вероятность невозможного события равна 0), верно следующее выражение:
При принадлежности x отрезку (1; 2] событие ξ20<2 представляет собой равенство ξ20=1, значит, вероятность этого события равно 0,1. В записи это выглядит так:
Когда x принадлежит отрезку (2; 4], событие ξ20<4 состоит в равенстве ξ20 значению 1 или 2, то есть вероятность рассматриваемого события равна 0,1+0,2=0,3 или:
Если 4 < x ≤ 5, то событие ξ20<5 означает, что ξ20 принимает значение либо 1, либо 2, либо 4. Следовательно, вероятность данного события вычисляется так: 0,1+0,2+0,35=0,65, то есть:
При 5 < x ≤ 6 событие ξ20<6 заключается в том, что ξ20 принимает значение 1, 2, 4 или 5. Значит его вероятность равно 0,1+0,2+0,35+0,1=0,75 или:
Итак, эмпирическая функция распределения имеет следующий вид:
Как построить график
Построение графика эмпирической функции распределения возможно после вычисления ее значений на всей числовой оси. Для рассмотренного примера схематическое изображение будет выглядеть так:
График ступенчатого вида, построенный на отрезках. Совпадение графика с горизонтальной осью означает, что левее минимального значения x=1 функция приобретает значение нуля. Увеличение в каждой следующей точке xi происходит на величину вероятности νi. Правее максимального значения х8=13 функция равна 1. Стрелки и точки на концах отрезков указывают на определение функции на полуинтервалах.
Примеры задач
Задача
В таблице даны значения эмпирического распределения:
Необходимо найти объем выборочной совокупности, составить выборочную функцию распределения, построить ее график.
5. Эмпирическая функция распределения
Как известно, закон распределения случайной величины можно задавать различными способами. Дискретную случайную величину можно задать с помощью ряда распределения или интегральной функции, а непрерывную случайную величину – с помощью или интегральной, или дифференциальной функции. Рассмотрим выборочные аналоги этих двух функций.
Пусть имеется выборочная совокупность значений некоторой случайной величины 
объема
и каждому варианту из этой совокупности поставлена в соответствие его частость. Пусть далее,
– некоторое действительное число, а
– число выборочных значений случайной величины
, меньших
.Тогда число
является частостью наблюдаемых в выборке значений величиныX, меньших 
, т.е. частостью появления события 
. При измененииx в общем случае будет изменяться и величина 
. Это означает, что относительная частота
является функцией аргумента
. А так как эта функция находится по выборочным данным, полученным в результате опытов, то ее называют выборочной илиэмпирической.
Определение 10.15. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию 
, определяющую для каждого значенияx относительную частоту события 
.
(10.19)
В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события 
, а эмпирическая – относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует
, 
(10.20)
т.е. при больших 
вероятность
и относительная частота события
, т.е.
мало отличаются одно от другого. Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.
Функция 
и
обладают одинаковыми свойствами. Это вытекает из определения функции.
Свойства 
:
;
–неубывающая функция;
;
.
Пример 10.4. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
Варианты 
2. Дискретный вариационный ряд.
Полигон частот и эмпирическая функция распределения
На вводном уроке по математической статистике мы узнали, что такое математическая статистика, и теперь обо всём подробнее. Далее для удобства я буду нумеровать статьи и постараюсь делать их не слишком длинными. Потому что всё действительно просто, и главное, здесь научиться рациональной технике вычислений, на которую и будет сделан особый упор.
Интервальные и дискретные вариационные ряды почти сразу же встретились в предыдущей статье, и мы начинаем с дискретного случая, когда количественная эмпирическая величина может принимать лишь отдельные изолированные значения.
…что-то не понятно по терминам? Срочно изучать первый урок! (ссылка выше)
Дискретный вариационный ряд – это упорядоченное по возрастанию (как правило) множество вариант (значений величины ) и соответствующих им частот либо относительных частот.
Частоты выборочной совокупности обозначают через , частоты генеральной совокупности – через . И сразу разбираемся с новым термином. Относительные частоты рассчитываются по формулам:
, где – объем выборки, при этом, сумма всех относительных частот: .
Аналогично для совокупности генеральной:
, где – её объем, и, очевидно:
И тут вспоминается Пример 2 об оценках по матанализу в группе из студентов: 
– пожалуйста, пример дискретного вариационного ряда, где варианты – это оценки, а частоты – количество студентов, получивших ту или иную оценку.
Для разминки найдём относительные частоты:
и непременно проконтролируем, что: .
Все вычисления обычно проводят на калькуляторе либо в Экселе, а результаты заносят в таблицу, при этом, в статистике данные чаще располагают не в строках, а в столбцах: 
Такое расположение обусловлено тем, что количество вариант может быть достаточно велико, и они просто не вместятся в строчку. Не редкость, когда их 10-20, а бывает, и 100-200, что тоже и неоднократно встречалось в моей практике. И это не какие-то супер-пупер расчёты, а учебные задачи!
После сей позитивной новости продолжаем 🙂
Откуда берутся дискретные вариационные ряды? Такие ряды появляются в результате учёта дискретной характеристики статистической совокупности, причём, варианты ряда не отличаются большим разнообразием. Например, оценки (коих не так много) в примере выше.
И сейчас мы примем непосредственное участие в этом процессе:
По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3. Требуется:
– составить вариационный ряд и построить полигон частот;
– найти относительные частоты и построить эмпирическую функцию распределения.
Чего томиться? – вся тема урока в одной задаче!
Решение: в условии прямо сказано о том, что перед нами выборка из генеральной совокупности (всех рабочих цеха), и первое, что логично сделать – подсчитать её объем, т.е. количество рабочих. В данном случае это легко сделать устно: .
Квалификационные разряды – есть величина дискретная, и поэтому нам предстоит составить дискретный вариационный ряд (обратите внимание, что в условии ничего не сказано о характере ряда).
Как это сделать?
Если у вас под рукой нет вычислительных программ, то вручную (Эксель разберём ниже). При этом оптимальным может быть следующий алгоритм: сначала окидываем взглядом все числа и определяем среди них минимальное (примерно) и максимальное (примерно). В данном случае ориентировочный диапазон – от 1 до 7. Записываем их в столбец на черновике и обводим в кружочки. Далее начинаем вычёркивать карандашом числа из исходного списка: 
и делать около соответствующих кружков засечки: 
После того, как все числа будут вычеркнуты, подсчитываем количество засечек в каждой строке: 
И обязательно проверяем, получается ли у нас в сумме объём выборки :
, отлично, искомый ряд составлен, заносим полученные значения в таблицу на чистовик: 
…ну что же, вполне и вполне логично – рабочих средней квалификации много, а учеников и мастеров – мало. Полученные результаты позволяют достаточно точно судить об уровне квалификации всего цеха (если, конечно, выборка представительна)
Построенный вариационный ряд также называют статистическим распределением выборки, причём, этот термин применИм не только для дискретного, но и для интервального ряда, который мы рассмотрим на следующем уроке.
Построим полигон частот. Это статистический аналог многоугольника распределения дискретной случайной величины (кто изучал). Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки : 
…эх, ностальгия. Но, пятилетку-другую, думается, так решать ещё будут.
Теперь современный способ:
Решаем! – исходные данные с пошаговой инструкцией прилагаются.
Вторая часть задачи. Найдём относительные частоты , для этого каждую частоту делим на и результат заносим в дополнительный столбец, далее я перехожу к электронной версии: 
– обязательно проверяем, что сумма относительных частот равна единице!
Иногда требуется построить полигон относительных частот. Как вы правильно догадываетесь – это ломаная, соединяющая соседние точки . Но такое задание больше характерно для интервального вариационного ряда.
А теперь посмотрим на относительные частоты и задумаемся, на что они похожи? …Правильно, на вероятности. Так, например, можно сказать, что – есть примерная вероятность того, что наугад выбранный рабочий цеха будет иметь 4-й разряд. «Примерная» – по той причине, что перед нами выборка.
А вот если учесть ВСЕХ рабочих цеха (всю генеральную совокупность), то рассчитанные относительные частоты – и есть в точности эти вероятности.
Построим эмпирическую функцию распределения . Это статистический аналог функции распределения из тервера. Данная функция определяется, как отношение:
, где – количество вариант СТРОГО МЕНЬШИХ, чем ,
при этом «икс» «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности.
И процесс пошёл:
Очевидно, что на интервале , и, кроме того, функция равна нулю ещё и в точке . Почему? Потому, что значение определяет количество вариант, которые СТРОГО меньше двух, а это количество равно нулю.
На промежутке – и опять обратите внимание, что значение не учитывает рабочих 3-го разряда, т.к. речь идёт о вариантах, которые СТРОГО меньше трёх.
На промежутке и далее процесс продолжается по принципу накопления частот:
– и, наконец, если , то – и в самом деле, для ЛЮБОГО «икс» из интервала ВСЕ частоты расположены СТРОГО левее этого «икс».
Накопленные относительные частоты удобно записывать в отдельный столбец таблицы, при этом алгоритм вычислений очень прост: сначала сносим слева 1-е значение (красная стрелка), а каждое следующее получаем как сумму предыдущего и относительной частоты из текущего левого столбца (зелёные обозначения): 
Вот, кстати, ещё один довод за вертикальную ориентацию данных – справа по надобности можно приписывать дополнительные столбцы.
Саму функцию принято записывать в кусочном виде:
а её график представляет собой ступенчатую фигуру: 
Эмпирическая функция распределения не убывает и принимает значения из промежутка , и если у вас вдруг получится не так, то ищите ошибку.
И сейчас мы автоматизируем процесс; видео, к сожалению, не вписалось по ширине, посему смотрим его на Ютубе:
Как построить эмпирическую функцию распределения?
Эмпирическая функция распределения строится по выборке и приближает теоретическую функцию распределения . Легко догадаться, что последняя образуется на основании исследования всей генеральной совокупности, но если рабочих в цехе ещё пересчитать можно, то звёзды на небе – уже вряд ли. Вот поэтому и важнА именно эмпирическая функция, и ещё важнее, чтобы выборка была репрезентативна, дабы приближение было хорошим.
Миниатюрная задача для закрепления материала:
Дано статистическое распределение выборки 
Составить эмпирическую функцию распределения, выполнить чертёж
Самостоятельно решить Пример 5 в Экселе, все числа и обозначения уже там.
Свериться с образцом можно ниже. По поводу красоты чертежа сильно не запаривайтесь, главное, чтобы было правильно – этого обычно достаточно для зачёта.
И я жду вас на третьем уроке, где речь пойдёт об интервальном вариационном ряде.
Решения и ответы:
Пример 5. Решение: заполним расчётную таблицу: 
Составим эмпирическую функцию распределения:
Выполним чертёж: 
Как построить график эмпирической функции распределения
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х
где nх – число вариант, меньшее х, n – объем выборки
Таким образом, для того, чтобы найти, например F*(x2), надо число вариант, меньшее x2, разделить на объем выборки n: F*(x2)=nх2/n
В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию F(x) распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события Х хk.
Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.
Пример 5. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
| Варианты | xi | 2 | 6 | 10 |
| Частоты | ni | 12 | 18 | 30 |
Решение: Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x)=0 при x≤2. Значение х 10.
Искомая эмпирическая функция: