Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от прямой до плоскости
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
AB – перпендикуляр к плоскости α. AC – наклонная, CB – проекция. С – основание наклонной, B – основание перпендикуляра.
У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны.
Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.
Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Прямая a, не лежащая в плоскости α, перпендикулярна прямой b, лежащей в плоскости α, тогда и только тогда, когда проекция a' прямой a перпендикулярна прямой b.
Пример. Отрезок SО – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD, где точка О – центр квадрата. Доказать: \(BD \perp SC\) .
Первый способ.
Второй способ.
Расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр, опущенный на эту плоскость, то есть расстояние от точки А до плоскости a, есть длина перпендикуляра АВ.
- Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
- Если две плоскости параллельны, то расстояние от произвольной точки одной из плоскостей до другой называется расстоянием между данными плоскостями.
- Если две прямые скрещиваются, то расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
В единичном тетраэдре DABC найдите расстояние от точки C до плоскости ADB.
В кубе, ребра которого равны \(\sqrt2\) , найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(CDA_1.\)
Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120 \(^\circ\) и сторонами, равными 3 и 4. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.
Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.
Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 12 м, 14 м, 18 м. Найдите отрезок АК.
Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС.
АВ = АС = 10 см, ВС = 12 см, AD = 6 см.
Найдите расстояние от точки D до ВС.
Через вершину прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника.
Как найти проекцию наклонной на плоскость
Фигура, не все точки которой лежат в одной плоскости, называется пространственной.
К пространственным фигурам, кроме геометрических тел, относятся двугранные и многогранные углы и другие совокупност точек, линий, поверхностей. Основные элементы, из которых состоят пространственные фигуры, это точки, прямые, плоскости. Любую фигуру можно свободно перемещать в пространстве, не изменяя ее размеров и формы.
Две фигуры называются равными, если их можно совместить всеми их точками.
Стереометрия изучает свойства пространственных фигур. Две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости, и тогда они будут либо пересекающимися, либо параллельными.
Две прямые называются скрещивающимися, если одна из них не лежит ни в одной из бесконечного множества плоскостей, проходящих через другую прямую.
Изображение (чертёж или рисунок) пространственной фигуры на плоскости выполняется по правилам параллельного проектирования, которые нужно знать и при чтении чертежа.
а) Если прямые в пространстве параллельны, то и их проекции на чертеже параллельны или совпадают; если прямые на чертеже параллельны, то соответствующие им прямые в пространственной фигуре являются параллельными.
б) Если прямые на чертеже пересекаются, то соответствующие им прямые в пространстве пересекаются либо скрещиваются. Путем перехода от плоского чертежа пространственной фигуры к ее модели (материальной или воображаемой) необходимо научиться уверенно различать пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Без этого невозможно изучать стереометрию.
в) Отношение отрезков параллельных прямых (или одной прямой) в пространственной фигуре равно отношению соответствующих им отрезков на чертеже. Отсюда следует, что в одной группе параллельных отрезков при переходе от пространственной фигуры к чертежу каждый отрезок сокращается в одно число раз, а в другой группе параллельных отрезков — в другое (но постоянное для этой группы) число раз.
г) Углы пространственной фигуры на ее чертеже обычно изменяют свою величину, например прямой угол пространственной фигуры может быть изображен острым или тупым углом.
Невидимые линии пространственной фигуры на чертеже изображаются штриховыми линиями.
Основные свойства плоскости выражаются следующими математическими предложениями.
Если две точки прямой лежат на плоскости, то и все точки этой прямой лежат на плоскости.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом только одну.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку, то есть пересекаются.
Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, притом только одну.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и только одну.
Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну.
Как определить проекцию наклонной?
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Что такое наклонная проведенная?
Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
Как определить проекцию наклонной? Ответы пользователей
У наклонной указанный угол может иметь любое от 0 до 180о значение, только не 90о. Проекция наклонной — отрезок, соединяющий основания перпендикуляров, .
Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;; Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;; Определение угла между прямой и .
Найти проекцию наклонной АМ на плоскости α, если расстояние от точки М до плоскости α. — ответ на этот и другие вопросы получите онлайн на .
Из точки «К» к плоскости проведена наклонная длинной 8√3 см. под углом 60 градусов к плоскости. Найти длину проекции наклонной на плоскость.
Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r. Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на .
Такая прямая называется наклонной. . Мы получили проекцию наклонной на плоскость. . Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, .
2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше; . Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Если m перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и ее проекции, и наоборот. Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями! Вот как все это выглядит в .
Теорема о трёх перпендикулярах
На прошлом уроке мы узнали, что такое наклонная. И познакомились с несколькими её свойствами. Сегодня идём дальше и разбираем теорему о трёх перпендикулярах — одну из немногих «чисто стереометрических теорем», которые нельзя свести к привычной планиметрии.
1. Теорема о трёх перпендикулярах
Теорема о трёх перпендикулярах. Пусть $AB$ — наклонная к плоскости $\alpha $, $MB$ — проекция этой наклонной на плоскость $\alpha $, прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha $. Тогда:
1. Если проекция $MB\bot l$, то и наклонная $AB\bot l$;
2. Верно и обратное: если наклонная $AB\bot l$, то проекция $MB\bot l$.
Из формулировки ясно, что теорема о трёх перпендикулярах работает при выполнении трёх обязательных условий:
- Есть наклонная и есть проекция наклонной на плоскость $\alpha $;
- Эта проекция (либо сама наклонная) перпендикулярна некой прямой $l$;
- Прямая $l$ находится именно в плоскости $\alpha $.
Лишь в этом случае можно заявить, что наклонная (либо проекция) тоже перпендикулярна:
\[\left. \begin
Убрать любое из этих трёх условий — и теорема не работает. Все дальнейшие рассуждения становятся необоснованными. Это особенно актуально на всевозможных экзаменах типа ЕГЭ и ДВИ, где недостаточно дать правильный ответ — нужно строгое обоснование каждого шага.
Многие задачи на теорему о трёх перпендикулярах сводятся к рассмотрению простой фигуры на плоскости $\alpha $ (треугольник, четырёхугольник).
Идеальный чертёж для таких задач — «вид сверху» на плоскость $\alpha $ и эту фигуру, а затем наклонная под любым удобным углом. Наглядность чертежа максимальна, вероятность ошибки — ноль.
Рассмотрим простой пример:
В треугольнике $ABC$ $AB=BC=20$, $AC=32$, $BM=5$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$.
Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.
Сравните два чертежа. Привычный для планиметрии «вид сверху»:
Без труда угадывается равнобедренный треугольник $ABC$ и дополнительное построение: Наклонная $MH$ и проекция $BH$.
А вот «вид сбоку», более типичный для стереометрии:
То же треугольник и те же дополнительные построения. Работать с таким чертежом большинству начинающих учеников гораздо сложнее. Поэтому смело используйте первый вариант. С опытом возьмёте на вооружение и второй.
2. Применение в доказательствах
Теорема о трёх перпендикулярах часто встречается в задачах на доказательство. Но перед тем, как мы перейдём к задачам, важное уточнение:
Прямая, перпендикулярная проекции наклонной, далеко не всегда будет проходить через основание этой наклонной.
Простой пример: наклонная $AB$, её проекция $BC$ и несколько прямых, перпендикулярных этой проекции: $<
_<1>>$, $< _<2>>$ и $< _<3>>$.
Из трёх прямых лишь $<
_<1>>$ проходит через основание наклонной — точку $B$. Но все они равноправны с точки зрения теоремы о трёх перпендикулярах. И согласно ей, все они перпендикулярны наклонной $AB$.
Учитывая это, переходим к задачам.:)
Задача. Дан ромб $ABCD$ и прямая $MC$, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что прямые $AM$ и $BD$ перпендикулярны.
Исходный чертёж выглядит так:
1. Дополнительное построение: $AC$ — диагональ ромба:
2. $MC\bot ABCD$ (по условию). Следовательно, $MC\bot AC$, поэтому $AC$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $ABCD$.
3. $ABCD$ — ромб (по условию); $BD$ и $AC$ — его диагонали (по построению). Следовательно, $AC\bot BD$ (диагонали ромба перпендикулярны).
4. $AC$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $ABCD$ (доказано в п.2); $BD\bot AC$ (доказано в п. 3); $BD\in ABCD$ (по условию). Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $AM\bot BD$, что и требовалось доказать.
Вот именно так — по пунктам, в каждом пункте по одной теореме — и нужно решать любые геометрические задачи. К таким выкладкам никто никогда не придерётся.
3. Применение для вычислений
Переходим к вычислениям. Примечательное свойство вычислительных задач в стереометрии состоит в том, что они почти всегда сводятся к обычной планиметрии. Исключение — задачи на вычисление объёма фигуры. Просто потому что на плоскости никаких объёмов нет.:)
Задача. Отрезок $SA$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите расстояние от точки $S$ до прямой $CD$, если $\angle BAD=30<>^\circ $, $AD=18$, $AM=2\sqrt<10>$.
1. Дополнительное построение: $AH\bot CD$ — высота на продолжение $CD$; отрезок $MH$.
2. $AS\bot ABCD$ (по условию). Следовательно, $AH$ — проекция наклонной $SH$ на плоскость $ABCD$.
3. $AH=<<>_
>SH$ (доказано в п. 2); $AH\bot CD$ (по построению); $CD\in ABCD$ (по условию). Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $SH\bot CD$. Поэтому длина отрезка $SH$— это искомое расстояние. 4. $AB\parallel CD$ (по условию, $ABCD$ — ромб); $AD$ — секущая. Следовательно, $\angle ADH=\angle BAD=30<>^\circ $ (внутренние накрест лежащие).
5. Треугольник $ADH$: $\angle AHD=90<>^\circ $ (по построению); $\angle ADH=30<>^\circ $ (доказано в п. 4). Следовательно
\[\begin
AH & =AD\cdot \sin 30<>^\circ = \\ & =18\cdot \frac<1><2>=9 \end \] 6. Треугольник $ASH$: $\angle SAH=90<>^\circ $ (по условию). Теорема Пифагора:
\[\begin
S< ^<2>> & =A< ^<2>>+A<^<2>>= \\ & =40+81=121 \end \] Получили $SH=11$ — это окончательный ответ.
Как и следовало ожидать, от стереометрии в этой задаче лишь определение прямой, перпендикулярной к плоскости, а также сама теорема о трёх перпендикулярах.
4. Дополнение. Перпендикулярность прямой и плоскости
Далеко не всегда прямая, проходящая через «свободный» конец наклонной, будет перпендикулярна плоскости прямо по условию задачи. Поэтому вспомним определение и признак перпендикулярности:
Определение. Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha $, если она перпендикулярна любой прямой $c\in \alpha $, лежащей в этой плоскости.
Критерий перпендикулярности. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.
Чтобы доказать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha $, достаточно отыскать две пересекающиеся прямые $a\in \alpha $ и $b\in \alpha $ в этой плоскости и доказать, что обе эти прямые перпендикулярны исходной прямой $l$:
\[\left. \begin
По этой теме будет отдельный урок. Сейчас просто отмечу, что большинство задач в стереометрии (особенно на доказательство) вполне решаются с помощью двух рассмотренных сегодня теорем: теорема о трёх перпендикулярах и признак перпендикулярности прямой и плоскости.