В какой точке находится пи

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac<π><2>\), \(-\frac<π><2>\), \(\frac<3π><2>\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку \(\frac<π><2>\) . \(\frac<π><2>\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac<π><2>\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac<3π><2>\) . Для этого дробь \(\frac<3><2>\) переведем в смешанный вид \(\frac<3><2>\) \(=1\) \(\frac<1><2>\) , т.е. \(\frac<3π><2>\) \(=π+\) \(\frac<π><2>\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac<3π><2>\) .

Обозначаем числа \(\frac<π><4>\), \(\frac<π><3>\), \(\frac<π><6>\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac<π><4>\) , \(\frac<π><3>\) и \(\frac<π><6>\) .
\(\frac<π><4>\) – это половина от \(\frac<π><2>\) (то есть, \(\frac<π><4>\) \(=\) \(\frac<π><2>\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac<π><4>\) – это половина четверти окружности.

\(\frac<π><4>\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac<π><3>\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac<π><3>\) – это треть от полукруга.

\(\frac<π><6>\) – это половина \(\frac<π><3>\) (ведь \(\frac<π><6>\) \(=\) \(\frac<π><3>\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac<π><6>\) – это половина от расстояния \(\frac<π><3>\) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac<π><2>\) ,\(π\), \(\frac<3π><2>\) , \(\frac<π><4>\) , \(\frac<π><3>\) , \(\frac<π><6>\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа \(\frac<7π><6>\), \(-\frac<4π><3>\), \(\frac<7π><4>\)

Обозначим на окружности точку \(\frac<7π><6>\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac<7π><6>\) \(=\) \(\frac<6π + π><6>\) \(=\) \(\frac<6π><6>\) \(+\) \(\frac<π><6>\) \(=π+\) \(\frac<π><6>\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac<π><6>\) .

Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac<4π><3>\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac<4π><3>\) \(=-\) \(\frac<3π><3>\) \(-\) \(\frac<π><3>\) \(=-π-\) \(\frac<π><3>\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac<π><3>\) .

Нанесем точку \(\frac<7π><4>\) , для этого преобразуем \(\frac<7π><4>\) \(=\) \(\frac<8π-π><4>\) \(=\) \(\frac<8π><4>\) \(-\) \(\frac<π><4>\) \(=2π-\) \(\frac<π><4>\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac<7π><4>\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac<π><4>\) .

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac<7π><2>\) ,\(\frac<16π><3>\), \(-\frac<21π><2>\), \(-\frac<29π><6>\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac<7π><2>\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac<7π><2>\) \(=\) \(\frac<6π><2>\) \(+\) \(\frac<π><2>\) \(=3π+\) \(\frac<π><2>\) \(=2π+π+\) \(\frac<π><2>\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac<7π><2>\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac<π><2>\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac<16π><3>\) . Вновь преобразования: \(\frac<16π><3>\) \(=\) \(\frac<15π + π><3>\) \(=\) \(\frac<15π><3>\) \(+\) \(\frac<π><3>\) \(=5π+\) \(\frac<π><3>\) \(=4π+π+\) \(\frac<π><3>\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac<π><3>\) – и мы найдем место точки \(\frac<16π><3>\) .

Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac<21π><2>\) .
\(-\) \(\frac<21π><2>\) \(= -\) \(\frac<20π><2>\) \(-\) \(\frac<π><2>\) \(=-10π-\) \(\frac<π><2>\) . Значит, место \(-\) \(\frac<21π><2>\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac<π><2>\) .

Обозначим \(-\) \(\frac<29π><6>\) .
\(-\) \(\frac<29π><6>\) \(=-\) \(\frac<30π><6>\) \(+\) \(\frac<π><6>\) \(=-5π+\) \(\frac<π><6>\) \(=-4π-π+\) \(\frac<π><6>\) . Для обозначение \(-\) \(\frac<29π><6>\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac<π><6>\) .

Длина окружности

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку « O », а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.

• (·)O — называется центром окружности.
• Отрезок, который соединяет центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности. Радиус окружности обозначается буквой « R ». На рисунке выше — это отрезок « OA ».
• Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр, называется диаметром окружности.

Диаметр окружности обозначается буквой « D ». На рисунке выше — это отрезок « BC ».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Запомните!

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»).
π ≈ 3,14…

Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам для наших вычислений достаточно использовать значение π ,
округленное до разряда сотых π ≈ 3,14…

Теперь, зная, что такое число π , мы можем записать формулу длины окружности.

Запомните!

Длина окружности — это произведение числа π и диаметра окружности. Длина окружности обозначается буквой « С » (читается как «Це»).
C = π D
C = 2 π R , так как D = 2R

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Разбор примера

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.

Разбор примера

Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. ( π ≈ 3,14 ).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

Хорда и дуга окружности

На рисунке ниже отметим на окружности две точки « A » и « B ». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой. Это синяя дуга « AB » и черная дуга « AB ». Точки « A » и « B » называют концами дуг.

Соединим точки « A » и « B » отрезком. Полученный отрезок называют хордой.

Важно!

Точки « A » и « B » делят окружность на две дуги. Поэтому важно понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга « AB ».

Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Владислав Заступневич Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Владислав Заступневич
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Галина Федотова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
Галина Федотова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
С=2πR
если длину одной окружности разделить на дилну другой, то 2π сократится, следовательно длины будут относится так же как радиусы, то есть 12:36=

1

3

Вика Камалова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Вика Камалова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1)Начертить окружность радиусом а)2 см пот буквой б)4 см 5 мм

плиз

плиз

Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197

Число Пи: что это такое и как его рассчитали

Как мы уже отметили, по определению, π -это отношение длины окружности (C) к ее диаметру (d). Другими словами, π равно окружности, деленной на диаметр (π = c/d), и наоборот, окружность круга равна π, умноженному на диаметр (c = πd). Независимо от того, насколько велик или мал круг, π всегда будет одним и тем же числом — примерно 3,14.

Чему равно число Пи

Пи — это иррациональное число, то есть, его нельзя выразить простой дробью. Все дело в том, что число Пи, как его называют математики, является «бесконечной десятичной дробью», которое никогда не закончится.

В мире даже существует рекорд, зафиксированный в книге Гиннеса — 21 марта 2015 года индиец Раджвир Мине смог запомнить и воспроизвести 70 тысяч знаков числа Пи после запятой. Между тем, некоторые программисты высчитали значение числа Пи до более чем 22 триллионов цифр. О подобных достижениях часто заявляют в ежегодный праздник постоянной — День Пи, который отмечают каждый год 14 марта (3/14).

Но к счастью, в использовании всех цифр π нет необходимости — его сокращают до 3,14 или до 3,14159. Но если вам интересно, на сайте piday.org содержатся цифры числа Пи до первого миллиона.

Как вычислили значение Пи

Число Пи известно уже почти 4000 лет — впервые его стали использовать древние вавилоняне. До нас дошли древние таблички примерно 1900-1680-х годов до н.э., на которых написано, что Пи равно 3,125. Древние египтяне тоже делали подобные открытия, о чем свидетельствует папирус Ринда 1650 года до н. э. В этом документе египтяне рассчитали площадь круга по формуле, которая также присваивает числу Пи приблизительное значение 3,1605.

Точки на числовой окружности

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик поймёт тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности. Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O:

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O. За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B:

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C. Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B. Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B. В результате попадём в точку D, которая будет уже соответствовать числу :

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M. Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM? Правильно, вдвое меньше дуги OC. То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N, P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N, как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L, так что точка S будет лежать между точками O и L, то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

Мы знаем, где на числовой прямой находится точка L, соответствующая числу . Мы также знаем приблизительное значение числа . Тогда, очевидно, число чуть больше 1. Следовательно, точка, которая соответствует числу 1, расположена на числовой окружности чуть ближе к точке O, чем точка L:

Отмеченной точке, как мы уже знаем, соответствуют также числа .

Таким образом, на сегодняшнем уроке мы усвоили, что каждому числу соответствует какая-то точка на числовой окружности, но каждой точке числовой окружности соответствует бесконечное множество чисел. Запомните это, чтобы не путаться в дальнейшем при изучении тригонометрии.

Надеюсь, вы усвоили этот урок. Чтобы убедиться в этом, выполните самостоятельно следующие упражнения. Возникшие вопросы обсудим с вами в комментариях:

• Выделите на числовой окружности дугу, все точки которой удовлетворяют условию:

• Как расположены точки на числовой окружности, соответствующие числам:

a) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ?