Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
Вероятность события А равна отношению числа исходов испытания m, в которых может появиться событие А, к общему числу n всех элементарных исходов испытания, образующих полную группу:
ПРИМЕР 2.1. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность получить слова: а) «тор»; б) «теория»?
РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — получение слова «тор». Элементарным исходом испытания является извлечение трех карточек из шести. Общее число всех исходов испытания равно числу размещений из 6 по 3, так как различные выборки могут отличаться как составом, так и порядком:
n = 
Слово «тор» можно получить только одним способом m =1. Тогда:
б) Пусть событие В — получение слова «теория». Элементарным исходом испытания является получение различных комбинаций из шести букв. Общее число всех исходов испытания равно числу перестановок из 6, так как различные выборки могут отличаться друг от друга только порядком:
n = 
Слово «теория» можно получить только одним способом m =1. Тогда:
ПРИМЕР 2.2. Буква «а» написана на трех карточках, буква «н» — на двух карточках, буква «с» — на одной карточке. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность получить слово «ананас»?
РЕШЕНИЕ. Пусть событие А — получение слова «ананас». Как и в предыдущем случае, элементарным исходом испытания является получение различных комбинаций из шести букв. Общее число всех исходов испытания равно числу перестановок из 6, так как различные выборки могут отличаться друг от друга только порядком:
n = 
Слово «ананас» можно получить не одним способом, так как перестановка трех букв «а» и двух букв «н» не меняет это слово. Три карточки с буквой «а» можно расставить 6 способами:
m 1 = 
Две карточки с буквой «н» можно расставить 2 способами:
m 2 = 
Карточку с буквой «с» можно расставить одним способом. Тогда: m = m 1 m 2 m 3 = 6 2 1=12. Следовательно:
ПРИМЕР 2.3. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара: а) оба красные; б) 1 красный, 1 синий?
РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — извлечены два красных шара. Общее число всех исходов испытания равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 15. Различные выборки могут отличаться друг от друга только составом (порядок не имеет значения), поэтому:
n = 
Число случаев, благоприятствующих событию А , равно числу сочетаний из 9 красных шаров по 2:
m= 
б) Пусть событие В — извлечены один красный и один синий шар. Общее число всех исходов испытания, как и в предыдущем случае, равно n = 105. Для того чтобы подсчитать число случаев, благоприятствующих событию В , необходимо выбрать 1 шар из 9 красных (одно исходное множество) и 1 шар из 6 синих (другое исходное множество). Тогда:
m = m 1 m 2 = 
ПРИМЕР 2.4. В партии 50 деталей, из них 5 — бракованные. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки шести деталей две окажутся бракованными?
РЕШЕНИЕ. Пусть событие А — выбраны 2 бракованные детали и 4 небракованные. Общее число всех исходов испытания равно числу способов, какими можно выбрать 6 деталей из 50. Различные выборки могут отличаться друг от друга только составом (порядок не имеет значения), поэтому:
n = 
Для того чтобы подсчитать число случаев, благоприятствующих событию А , необходимо выбрать 2 детали из 5 бракованных (одно исходное множество) и 4 детали из 45 небракованных (другое исходное множество). Тогда:
m = m 1 m 2 = 
ПРИМЕР 2.5. В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже с первого по девятый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на шестом этаже; б) на одном этаже?
РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — все пассажиры выйдут на шестом этаже. Каждый пассажир может выйти на восьми этажах (со второго по девятый этаж), то есть исходное множество состоит из 8 этажей. Выборка равна 4 этажам. Тогда общее число всех исходов испытания равно числу размещений с повторениями, так как элементы выборки могут повторяться (например, все четыре человека могут выйти на одном и том же этаже). Поэтому:
n= 
Число случаев, благоприятствующих событию А , равно m =1.
б) Пусть событие В — все пассажиры выйдут на одном этаже. Теперь событию В будут благоприятствовать m= 8 случаев (все пассажиры выйдут или на втором этаже, или на третьем, …, или на девятом этаже). Следовательно:
ПРИМЕР 2.6. В партии 100 изделий, из них 4 — бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные детали достанутся: а) одному потребителю; б) обоим потребителям поровну?
РЕШЕНИЕ. а) Пусть событие А — все бракованные изделия достанутся одному потребителю. Общее число всех исходов испытания равно числу способов выбрать 50 изделий из 100, то есть:
n= 
Событию А благоприятствуют случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будет либо 46 стандартных из 96 и все 4 бракованных изделия, либо 50 стандартных из 96:
б) Пусть событие В — в каждой партии по 2 бракованных изделия. Теперь событию В будут благоприятствовать случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будут 48 стандартных из 96 и 2 бракованных из 4, то есть:
В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека?
В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека.
Считая, что каждый из них с равной возможностью, независимо от других , может выйти из лифта на любом этаже, начиная со свторого, найти вероятность того, что все пассажиры выйдут из лифта : a) На одном этаже ; b) На разных этажах.
Не уверен но похоже так всего этажей на которых можно выйти8 тогда вероятность что все выйдут на 1 этаже 1 / (8 * 8) = 1 / 64, а вероятность того что все выйдут на разных нужно 1 / 64 разделить на кол — во пассажиров 1 / 64 / 4 = 1 / 16 вот как то так.
В 12 — этажном доме есть лифт?
В 12 — этажном доме есть лифт.
На первом этаже живёт всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое.
Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других?
Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома ?
Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома .
Найти вероятность следующих событий.
А)Все пассажиры выйдут на шестом этаже б) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже в) все пассажиры выйдут на разных этажах.
В 12 — этажном доме есть лифт?
В 12 — этажном доме есть лифт.
На первом этаже живёт 2 человека.
От этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое.
Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других?
Мальчик вошёл в лифт на третьем этаже и, проехав 2 этажа, вышел из лифта?
Мальчик вошёл в лифт на третьем этаже и, проехав 2 этажа, вышел из лифта.
На каком этаже мальчик мог выйти из лифта?
В лифт десятиэтажного дома на первом этаже зашли два человека?
В лифт десятиэтажного дома на первом этаже зашли два человека.
Какова вероятность того что они выйдут на разных этажах.
В лифт 9 — этажного дома на первом этаже вошли 4 человека?
В лифт 9 — этажного дома на первом этаже вошли 4 человека.
Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго.
Найти вероятность того, что все четверо выйдут на 6 этаже?
В двенадцати этажном доме есть лифт на первом этаже живёт всего два человека от этажа к этажу количество жильцов увеличивается в двое какая кнопка в лифте нажимается чаще других ?
В двенадцати этажном доме есть лифт на первом этаже живёт всего два человека от этажа к этажу количество жильцов увеличивается в двое какая кнопка в лифте нажимается чаще других .
Мальчик вошел в лифт на третьем этаже и проехав 2 этажа вышел из лифта на каком этаже мальчик мог выйти из лифта?
Мальчик вошел в лифт на третьем этаже и проехав 2 этажа вышел из лифта на каком этаже мальчик мог выйти из лифта?
В лифт 9 этажного дома вошли 4 человека?
В лифт 9 этажного дома вошли 4 человека.
Каждый независимо друг от друга может выйти на любом ( начиная со второго ) этаже.
Какова вероятность того что они все вышли на пятом этаже.
В семиэтажном доме лифт может останавливаться на шести этажах, начиная со второго?
В семиэтажном доме лифт может останавливаться на шести этажах, начиная со второго.
В лифт вошли 4 пассажира, каждый из которых с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже.
Найти вероятность того, что пассажиры выйдут парами на разных этажах?
Перед вами страница с вопросом В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека?, который относится к категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.
В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека. Считая, что каждый из них с равной возможностью, независимо
Каждый из пассажиров может выйти из лифта со второго по девятый этаж и значит, может сделать это восьмью способами. Следовательно, всего возможных вариантов выхода из лифта четырёх пассажиров будет:
8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
а) если все пассажиры вышли на одном этаже, то это могло случиться на каждом из восьми этажей, со второго по девятый.
Это событие может произойти в 8 случаях. Поэтому вероятность этого события:
P = 8 / 4096 = 1 / 512.
б) если все пассажиры вышли на разных этажах, то один из них мог выйти со 2 по 9, т.е. в 8 случаях, второй — на любом другом этаже, т.е. 7 случаях, третий — в 6 случаях, четвёртый — в 5 случаях.
Принцип умножения вероятностей
Pешение последнего вопроса — это C 4 8/n. Логически это понятно: C 4 8 возвращает нам количество сочетаний без повторений (а нам как раз и надо без повторений, потому что этажи должны быть у всех разные). То есть это выборки типа <2,3,4,5>или <4,9,2,3>и т.д.
Сначала в данной задаче я использовал принцип умножения, , и получил неверный ответ. Возник вопрос — почему? Ведь согласно определению:
Принцип умножения. Пусть требуется последовательно выполнить k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе действие можно выполнить n2 способами, после чего третье действие n3 способами, и так далее, после чего k-е действие nk способами, то все k действия вместе (в указанном порядке) можно выполнить n1*n2*…*nk способами.
В данной задаче я рассуждал так: сначала мы должны выбрать один этаж из возможных восьми для первого пассажира, соответственно у первого пассажира лифта 8 вариантов этажей для выхода. Потом мы должны выбрать этаж для второго пассажира, у которого будет уже 7 вариантов выхода. Потом выбираем этаж для третьего пассажира, и наконец — для четвёртого. В итоге имеем 8*7*5*6. Это неверный ответ, потому что это значительно больше чем C 4 8.
Вопрос: почему принцип сложения в этой задаче дал неверный результат? Он неприменим в данном случае как я понимаю, но почему? Ведь мы шли согласно определению. Люди у нас последовательно (как и требуется в определении!) выходят из лифта, у первого из них 8 вариантов выхода, потом у второго 7, потом у третьего 6 и у четвёртого 5, поэтому вместе выходит 8*7*6*5. Этот случай вроде бы подпадает под определение, но даёт неправильный результат. Что не так?
Добавлено через 10 минут
Правка: подумал тут — может быть это в методичке дан неверный ответ, а принцип умножения как раз даёт правильный ответ? В методичке указано, что пассажиры могут выйти C 4 8 = 70 способами. Но это сочетния без повторений, а нам нужны расстановки, я думаю. Потому что порядок важен: события "Вася вышел на 2 этаже, а Коля на 4" и "Коля вышел на 2 этаже, а Вася на 4" — это разные вещи! Следовательно, нам нужно А 4 8, а это как раз и получится 8*7*6*5.
Значит, ошибка в методичке? Проверьте пожалуйста моё решение и подскажите.