У пирамиды все боковые рёбра с плоскостью основания образуют равные углы. Известно, что её основанием является прямоугольный треугольник. Куда проецируется вершина данной пирамиды?
ответ: площадь 84см²; высота проведенная к стороне а равна 12цел12/13см.; высота проведенная к стороне b равна 12см; высота проведенная к стороне с равна 12,2см.
=12 см² площадь треугольника.
h(min)=2S/c=2*12/6=24/6=4см самая маленькая высота.
ответ: S=12см²; h(min)=4см.
р=(а+b+c)/2=(17+65+80)=162/2=81см полупериметр треугольника.
ответ: S=288см²; h(min)=7,2 см высота.
S=√(45/6*20/6*16/6*9/6)=√129600/√1296=360/12=30см². площадь треугольника
h(max)=2S/a=60:25/6=60/1*6/25=14,4 см максимальная высота
ответ: S=30см²; h(max)=14,4см.
(1). Рассмотрим треугольник АВD и АСD. У них :
1) АВ=ВС (по условию )
углы 1 и 2 равны (по условию )
сторона AD общая
Из этого следует, что треугольники равны по 1 признаку равенства треугольников.
2) Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов :
1 углы ACD и АВD равны
2 углы АDВ и АDC равны
Следовательно угол АВD = 38 °, a угол ADB = 102°
(2). Углы ENM и KNF в треугольниках вертикальные, из этого следует, что они равны. MN=NK, EN=NF, из этого следует, что треугольники MNE и KNF равны по первому признаку равенства треугольников.
Пирамида
По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Виды пирамид
Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскост meanью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
У пирамиды все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны известно что ее основанием я
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства пирамиды (касательно боковых ребер, граней, вписанной и описанной в основание окружности), сопроводив их наглядными рисунками для лучшего восприятия представленной информации.
Примечание: определение пирамиды, ее основные элементы и разновидности мы рассмотрели в отдельной публикации, поэтому здесь на них подробно останавливаться не будем.
- Свойства пирамиды
- Пирамида с равным боковыми ребрами
- Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом
Свойства пирамиды
Пирамида с равным боковыми ребрами
Свойство 1
Все углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды равны.
∠EAC = ∠ECA = ∠EBD = ∠EDB = α
Свойство 2
Вокруг основания пирамиды можно описать окружность, центр которой будет совпадать с проекцией вершины на ее основание.
-
ТочкаF – проекция вершины E на основание ABCD; одновременно является центром этого основания.
Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом
Свойство 3
В основание пирамиды можно вписать окружность, центр которой совпадает с проекцией вершины на основание фигуры.
Свойство 4
Все высоты боковых граней пирамиды равны между собой.
Примечание: для перечисленных выше свойств верны и обратные формулировки. Например, для Свойства 1: если все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания пирамиды равны, значит эти ребра имеют одинаковую длину.
Пирамида
По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Виды пирамид
Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Ответы к задачам по математике 5926 (Часть 6)
11.5.21. [МГУ, физ. ф-т] В треугольной пирамиде SABC все плоские
углы при вершине S прямые, SO — высота пирамиды. Известно, что
отношение площади треугольника ЛОВ к площади треугольника В ОС
равно к. Найти отношение площади треугольника AS В к площади тре
угольника BSC.
11.5.22. [СПбГУ] Дана прямая призма АВСА\ В\С\, стороны основания
которой АВВС = 1, АС — т/З. В каком отношении объем вписанного
в призму цилиндра делится плоскостью АВ\С?
11.5.23. [СПбГУ] В основании пирамиды лежит равносторонний тре
угольник со стороной а. Одна из боковых граней представляет собой
такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости осно
вания. Найти радиус описанного шара пирамиды.
11.5.24. [МГУ, мех.-мат,] Дан куб ABCDA1BiCiD\. Сфера касается
ребер AD, D D i, CD и прямой ВС\. Найти радиус сферы, если длины
ребер куба равны 1.
11.5.25. [МГУ, физ. ф-т] В правильной треугольной пирамиде SABC
(S — вершина) угол между боковым ребром и плоскостью основания
равен а, сторона основания равна a, SH —- высота пирамиды. Найти
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н па
раллельно ребрам SА и ВС.
11.5.26. [МГУ, геолог, ф-т] Дан куб ABCDAiB\C\D\, в нем через вер
шину С проведена диагональ. Найти отношение площади сечения этого
куба плоскостью, перпендикулярной этой диагонали и проходящей че
рез ее середину, к площади его боковой поверхности.
11.5.27. [МГУ, псих, ф-т] Через вершины А и В треугольной пирамиды
проведена сфера, пересекающая ребра AS и BS в точках М и N соот
ветственно. Через точки В и N проведена вторая сфера, пересекающая 1
ребро SC в точках Р и Q, причем PQ = ^SC. Найти, какую часть ре
бра SC составляет отрезок QC (QC < PC ), если М — середина SА и
SC — | S A
11.5.28. [МГУ, мех.-мат,] Высота пирамиды равна 5, а основанием слу
жит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плос
костей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах
основания. Найти радиус сферы.
11.5.29. [МГУ, мех.-мат.] Три параллельные прямые касаются в точках
А, В и С сферы радиусом 4 с центром в точке О. Найти угол ВАС, если
известно, что площадь треугольника ОВС равна 4, а площадь треуголь
ника АВС больше 16.
268
11.5.30. [МГУ, физ. ф-т] В правильной треугольной пирамиде SABC
(5 — вершина) проведено сечение плоскостью, проходящей через точки
В и С и делящей ребро SA в отношении тп : п, считая от вершины 5 .
Известно, что объем пирамиды SABC равен V, а расстояние от центра
основания АВС до плоскости сечения равно d. Найти площадь сечения.
11.5.31. [НГУ] В пирамиде ABCD ребра АС, ВС, DC попарно пер
пендикулярны и АС — ВС = DC = 4. Точка N — середина ребра АВ,
а точка М расположена на ребре AD так. что AM : MD = 3. Шар с
центром на прямой CN касается ребра AD в точке М. Найти радиус
шара.
Группа В
6. Разные задачи
11.6.1. [МФТИ] Сторона основания правильной призмы ABCA\B\Ci
е
имеет длину а, а боковое ребро — длину ^а. Точка D — середина ребра
А\С\, а точка М лежит на отрезке DB\ и DM = ^DB\. Вторая приз
ма симметрична призме ABCA\BiCi относительно прямой В М . Найти
объем общей части этих призм.
11.6.2. [МФТИ] Сторона основания правильной призмы ABCA\BiC\
имеет длину а, а боковое ребро — длину ^а. Точка Е — середина ребра
АВ, а точка М лежит на отрезке ЕС и ЕМ — ^ЕС. Вторая призма сим
метрична призме ABCA\B\Ci относительно прямой МС\. Найти объем
общей части этих призм.
11.6.3. [МФТИ] Точка М лежит на ребре DC правильной четырех
угольной пирамиды SABCD (S — вершина), DM : DC = 1 : 15. Ци
линдр касается боковой поверхностью плоскостей SAD и SCD, одно из
оснований цилиндра проходит через точку М, второе основание имеет
общую точку с ребром 5(7. Боковая поверхность цилиндра имеет с вы
сотой SH пирамиды общую точку О, причем SO : SH = 1:3. Найти
отношение объемов цилиндра и пирамиды.
11.6.4. [МФТИ] Точка D лежит на ребре ВС правильной треугольной
пирамиды SABC (5 — вершина), BD : DC = 2:3. Цилиндр касается
боковой поверхностью плоскостей SAB и SBC, одно из оснований ци
линдра проходит через точку D, второе основание имеет общую точку с
ребром 5(7. Боковая поверхность цилиндра имеет единственную общую
точку с ребром АС. Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды.
269
11.6.5. [МФТИ] Основанием четырехугольной пирамиды SABCD явля
ется параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого
есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Е
и F выбраны на ребрах BS и ВС соответственно так, что BE = 1 BS,
BF = \ВС. Точки F и Q расположены на прямых АЕ и SF так, что
О
прямая PQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Площадь
параллелограмма ABCD равна 3, PQ = 12. Найти объем пирамиды.
11.6.6. [МФТИ] Основанием четырехугольной пирамиды SABCD явля
ется параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого
есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Р
и Q выбраны на ребрах DS и AD соответственно так, что DP — 1.DS,
DQ = ^АЛ. Точки N Vi М расположены на прямых СР и SQ так,
что прямая N M перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Пло
щадь параллелограмма ABCD равна 6, NM = 8. Найти объем пирами
ды.
11.6.7. [МГУ, мex.-мат.] Отрезок PQ параллелен плоскости, в которой
лежит прямоугольник KLM N , причем KL = 1, PQ — 3. Все стороны
прямоугольника KLM N и отрезки К Р, LP, NQ, MQ, PQ касаются
некоторого шара. Найти объем этого шара.
11.6.8. [МГУ, ВМиК] В пирамиде SABC основание Н высоты SH ле
жит на медиане СМ основания АВС. Точка О, являющаяся серединой
высоты SH, находится на одинаковом расстоянии от точки 5, точки Е,
лежащей на ребре SA, и точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что
SH = 8, АВ = 16\/2, EF = 8^ | , угол SMC не больше 30°, а расстоя
ние между серединами ребер АВ и SC равно 4-\/13. Найти радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
11.6.9. [МИФИ] Через сторону PQ нижнего основания правильной тре
угольной призмы PQRP1 Q1 R1 проведена секущая плоскость, пересека
ющая ребро RRi и разбивающая призму на два многогранника. Отноше
ние объема многогранника, одной из граней которого является нижнее
основание PQR призмы, к объему отсеченного многогранника, одной из
граней которого является грань QQiP\P, равно q. Найти величину угла
наклона секущей плоскости к плоскости нижнего основания, если из
вестно, что величина угла между прямыми PQ\ и RRi равна ip.
11.6.10. [МИФИ] Правильная треугольная пирамида SKLM пересечена
плоскостью я, параллельной стороне ML основания пирамиды и ребру
S K , причем точки S и К удалены от этой плоскости на расстояние, вдвое
меньшее (каждая), чем прямая ML. Длина высоты SP боковой грани
270
M SK равна d, а боковое ребро SL образует с высотой SO пирамиды
угол величиной /?. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью тг.
11.6.11. [МФТИ] Даны правильная четырехугольная пирамида SABCD
и конус, центр основания которого лежит на прямой SO (SO — высота
пирамиды). Точка Е — середина ребра SD, точка F лежит на ребре AD,
о
причем AF = \^FD. Треугольник, являющийся одним из осевых сечений
конуса, расположен так, что две его вершины лежат на прямой CD, а
третья — на прямой EF. Найти объем конуса, если АВ = 4, SO — 3.
11.6.12. [МФТИ] Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLM N,
касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань
окружности. Найти объем пирамиды, если М К = LNM K —
LKML = 3arctg LNML = ^ — arctg
11.6.13. [МФТИ] В основании четырехугольной пирамиды SABCD ле
жит ромб ABCD с острым углом при вершине А. Высота ромба равна 4,
точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией
вершины 5 на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоско
стей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от
центра сферы до прямой АС равно %^-АВ.
11.6.14. [МГУ, мех.-мат.] В основании призмы лежит равносторонний
треугольник АВС со стороной л/З- Боковые ребра AD, BE, CF пер
пендикулярны основанию. Сфера радиуса ^ касается плоскости АВС и
продолжений отрезков АЕ, B F , CD за точки А, В и С соответственно.
Найти длину боковых ребер призмы.
13.6.15. [МГУ, физ. ф-т] В основании пирамиды TAB CD лежит тра
пеция ABCD (ВС |j AD, AD : ВС = 2). Через вершину Т пирамиды
проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отре
зок АВ в точке М такой, что AM : М В = 2. Площадь получившегося
сечения равна 5 , а расстояние от ребра В С до плоскости сечения рав
но d. Найти
1) в каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды,
2) объем пирамиды.
11.6.16. [МИФИ] Верхним основанием прямой призмы ABCAiBiCi
служит треугольник А\В\С\, у которого А\В\ = В 1С1 , а угол между
медианой B\D и стороной А\В\ равен tp. Через центр описанной около
треугольника АВС окружности и точку пересечения высот треугольни
ка А1В1 С1 проведена плоскость, параллельная прямой АС. Найти пло
щадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что диагональ
B iC боковой грани В В 1С1С имеет длину d, а 1ВВ\А = а.
271
11.6.17. [МИФИ] Длина высоты SO правильной четырехугольной пи
рамиды SPQR равна Л, боковое ребро SP наклонено к плоскости осно
вания PQRT под углом 7 . Сфера, касающаяся плоскости основания и
всех боковых ребер пирамиды, пересекается плоскостью, равноудален
ной от всех вершин этой пирамиды. Определить радиус окружности, по
которой пересекаются эти сфера и плоскость.
11.6.18. [СПбГТУ] Две касающиеся сферы вписаны в двугранный угол
величиной Пусть А —■ точка касания первой сферы с первой гранью,
В — точка касания второй сферы со второй гранью. Найти отношение
А К : КЬ^ если К и L — точки пересечения отрезка АВ с первой и
второй сферами соответственно.
11.6.19. [СПбГТУ] На плоскость положены два цилиндра, радиусы
которых г; цилиндры примыкают друг к другу по образующей. На них
положены два других касающихся по образующей цилиндра с радиусами
R и осями, перпендикулярными осям первых двух цилиндров. Найти
радиус шара, касающегося всех четырех цилиндров.
11.6.20. [МФТИ] Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду
SABCKLMK\L\Mi, у которой KL = LM — у/6, а боковое ребро КК\ лежит
на прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC
параллельна плоскости LL\M\M.
11.6.21. [МФТИ] Основание прямой призмы АВСА\В\С\ — равнобе
дренный треугольник АВС, в котором АС = СВ = 2, LACB — 2 arcsin
Плоскость, перпендикулярная прямой А\ В , пересекает ребра АВ и А\ Вх
в точках К и L соответственно, причем АК — АВ, ЬВ\ = ^А\В\.
Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.
11.6.22. [МГУ, физ. ф-т] Два шара радиуса г и цилиндр радиуса R
(R > г) лежат на плоскости. Шары касаются друг друга и боковой по
верхности цилиндра. Цилиндр касается плоскости по своей образующей.
Найти радиус шара, меньшего, чем данные, касающегося обоих данных
шаров, цилиндра и плоскости.
11.6.23. [МГУ, мех.-мат.] Точки Р, Q, R и S расположены в пространстве
так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса а, отрезки
PS, PQ, QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1
каждый. Найти расстояние от точки Р до прямой QR.
11.6.24. [МФТИ] Основание прямой призмы KLM N KiLiM iN i — ромб
K LM N с углом 60° при вершине К. Точки В и F — середины ребер
LL\ и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (S — вершина) лежит на прямой LN, вершины D и В — на
272
прямых MMi и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы
и пирамиды, если SA = 2АВ.
11.6.25. [МФТИ] В четырехугольной пирамиде SABCD основанием
является трапеция ABCD (ВС || AD), ВС = $AD, LASD = LCDS = |1.
О 2
Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы
сота которого равна 2, а радиус основания равен ||. Найти объем пира
миды.
11.6.26. [МГУ, ВМиК] Все высоты пирамиды EFGH, грани которой
являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Извест
но, что FG = 17, HG = 14, a LEHG = 60°. Найти длину ребра H F.
11.6.27. [МГУ, мех.-мат.] В пирамиде SABC двугранные углы при ре
брах АВ, ВС и АС равны 90°, 30° и 90° соответственно. Плоскость пе
ресекает ребра SB, SC, АС и АВ в точках К, L, М и N соответственно,
причем четырехугольник KLM N — трапеция, основание KL которой
втрое меньше основания MN. Найти площадь этой трапеции, если ее
высота равна 13 и AS = ВС = 13.
11.6.28. [МГУ, ВМиК] В кубе ABCDA\BiC\D\ длина ребра 9. Через
точки М, N и К, расположенные на ребрах ВС, CD и СС\ соответствен
но, проведена плоскость. Известно, что радиус окружности, вписанной
91
в треугольник М СК, равен 1 , площадь треугольника M NC равна 4^,
разность длин отрезков CN и С К равна 3 и объем пирамиды M N K C
меньше 15. Найти радиус сферы, касающейся плоскости треугольника
M N K и трех граней куба с общей точкой А\.
11.6.29. [МГУ, ВМиК] В кубе ABCDAiBiCiDi длина ребра равна 1.
Точки К и N являются серединами ребер DC и ВС соответственно.
О
Точка М лежит на ребре СС\ и М С = Найти максимальное зна
чение радиусов сфер, проходящих через точки М, N , К и касающихся
плоскости BB\D\D.Узнать ещё
Рассмотрим свойства пирамид, в которых все боковые ребра равны, с соответствующими чертежами.
Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.
Прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, боковыми ребрами и их проекциями (равными радиусу описанной окружности), равны. Поэтому также
— все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;
— все углы, которые боковые ребра образуют с высотой пирамиды, равны.
Решение задач на пирамиду, в которой все боковые ребра равны (либо все боковые ребра образуют равные углы с основанием пирамиды или с высотой пирамиды) начинается с чертежа.
Если основание пирамиды — треугольник.
Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.
Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.
На рисунке тупой угол — это угол B.
Радиус окружности, описанной около произвольного остроугольного либо тупоугольного треугольника ABC, можно найти по следствию из теоремы синусов:
![\[R = \frac{{AB}}{{2\sin \angle C}} = \frac{{BC}}{{2\sin \angle A}} = \frac{{AC}}{{2\sin \angle B}}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2ddd7065e3c94cc6bd24bd0a331c129_l3.png)
либо по формуле
![\[ R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4S_{\Delta ABC} }} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d4e759af8536421e777c392e70a5172_l3.png)
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиус описанной около основания окружности в этом случае равен
![\[R = \frac{c}{2}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e0858a9779297746fa754f0903dc423_l3.png)
где c — гипотенуза.
Отсюда для данного треугольника ABC с прямым углом B
![\[R = OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2b756dea57f00491d3f4639d49fd8b5_l3.png)
Если основание пирамиды — параллелограмм
Из всех параллелограммов описать окружность можем только около прямоугольника (квадрат — его частный случай). Поэтому, если в задаче сказано, что пирамиде все боковые ребра равны, либо все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, либо все боковые ребра образуют с высотой пирамиды равные углы, а в основании — параллелограмм, то это может быть только прямоугольник (квадрат).
Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей. Соответственно, радиус R равен половине диагонали прямоугольника.
Если основание пирамиды -трапеция
Из всех трапеций описать окружность можно только около равнобочной трапеции.
Радиус описанной окружности ищем как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC или ACD по одной из формул, приведенных выше.
Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне
боковые ребра пирамиды равны
В этом случае центр описанной около трапеции окружности лежит на середине большего основания, а высота пирамиды лежит в боковой грани, содержащей это большее основание.
Радиус R в этом случае — половина гипотенузы прямоугольного треугольника ACD.
Если основание пирамиды — произвольный четырехугольник
Радиус описанной около основания окружности находим как радиус окружности, описанной около одного из треугольников основания: ABC, BCD, ACD или ABD.
Поскольку описать около четырехугольника окружность можно только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180 градусов, то