Степени показывает сколько одинаковых множителей было в произведении

Степени и их свойства

Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания.

Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень.

Степень — это произведение одинаковых множителей, состоящая из основания и показателя. Наглядно это можно рассмотреть на рисунке ниже.

Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя. Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах:

Вроде бы ничего сложного нет, правда?

Что ж, время перейти к свойствам.

Свойства степеней.

1. Любое число в первой степени равно самому себе: a 1 = a.

Сразу рассмотрим примеры.

2. Любое число в нулевой степени равно 1: а 0 = 1.

3. Единица в любой степени равна 1: 1 n = 1.

4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: a n · a m = a n + m .

Это свойство легко доказать на числовом примере.

Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров:

3 4 · 3 9 · 3 15 = 3 4 + 9 + 15 = 3 2 8 ;

(-2) 3 · (-2) 4 = (-2) 3 + 4 = (-2) 7 .

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: a n : a m = a n — m (a ≠ 0).

Доказывается эта формула тоже очень просто с помощью числового примера: три четверки из числителя сокращаем с тремя четверками из знаменателя и остаются две четверки в числителе, т.е. 4 2 .

Еще парочка примеров:

15 10 : 15 3 : 15 5 = 15 10 — 3 — 5 = 10 2 ;

(-3) 11 : (-3) 5 = (-3) 11 — 5 = (-3) 6 .

6. При возведении степени в степень показатели умножаются: (а n ) m = a nm .

(2 2 ) 3 = 2 2 · 3 = 2 6 ;

(5 3 ) 10 = 5 3 · 10 = 5 30 .

7. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: (ab) n = a n b n .

8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:.

9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле (а > 0, n ≥ 2).

10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса: (a ≠ 0).

Это же правило работает и для дробей: (a ≠ 0, b ≠ 0).

Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую. Соберем их в аккуратную табличку.

Напоследок, разберем пример, который может встретиться во второй части ОГЭ по математике. Он, конечно, не охватывает сразу все формулы — только несколько из них.

Нам нужно сократить такую дробь:

Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы.

Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей.

Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту). Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх 🙂

К тому же здесь можно воспользоваться свойством 6 из второго столбика и 4 2n превратится в 16 n .

Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь!

Что такое степень числа

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

4 — основание степени;
6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:

$определение степени в буквенном выражении$

Запомните! $!$

Степенью числа « a » с натуральным показателем « n », бóльшим 1 , называется произведение « n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу « a ».

$что такое степень числа$

Запись « a n » читается так: « а в степени n » или « n -ая степень числа a ».

Исключение составляют записи:

a 2 — её можно произносить как « а в квадрате»;
a 3 — её можно произносить как « а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

a 2 — « а во второй степени»;
a 3 — « а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

Запомните! $!$

Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

(−32) 0 = 1
0 253 = 0
1 4 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
(

3
4

) 4 =

3
4

·

3
4

·

3
4

·

3
4

=

3 · 3 · 3 · 3
4 · 4 · 4 · 4

=

81
256

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните! $!$

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

$разные примеры возведения в степень отрицательных чисел$

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните! $!$

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0 при любом a .

2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−5 4 = −625

6 2 = 6 · 6 = 36
−6 2 = −36
(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
−(−1) 4 = −1
−36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните! $!$

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

$пример порядка действийсо степенями$

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

Ваши комментарии

Важно! $Галка$

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

$Пришелец пожимает плечами$

Bmw Touring (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Bmw Touring
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Денис Волков (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
(^-^) Денис Волков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Виктория Горловская (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
(^-^) Виктория Горловская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Виктория Горловская (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
(^-^) Виктория Горловская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Валерий Шакиров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Валерий Шакиров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Мирослава Заруцкая (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
(^-^) Мирослава Заруцкая
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3

Свойства степеней. Действия со степенями. Онлайн-калькулятор степеней

В этой статье разберем основные свойства степеней, а также какие операции со степенями возможны в математике. А еще изучим свойства степеней с разными и одинаковыми основаниями и, конечно, потренируемся на примерах.

29 сентября 2020

· Обновлено 5 сентября 2023

Онлайн-калькулятор степеней

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»

a n — степень,

a — основание степени;

n — показатель степени.

a в степени n

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:

2 3 = 2·2·2, где:

2 — основание степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

3·3·3·3 = 81. То есть получается, что три в степени четыре равно 81.

Математики заскучали и решили все упростить:

3 4 = 81

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Выберите идеального репетитора по математике

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).

что такое степень числа?

степень показывает, какое кол-во раз необходимо умножить данное число (основание) на само себя, точнее сколько цифр нужно перемножить,
Например: 5 в степени 4 — 5*5*5*5 = 625
(-3) в степени 4 = (-3)*(-3)*(-3)*(-3)=81
(-1) в степени 1 = (-1)

Важно: если отрицательное число стоит без скобок, то это значит что знак минус не участвует в перемножении и выносится за скобки, например:
-3 в степени 4 = -( 3*3*3*3) = — 81

Это же касается дробных чисел, пример: (2/3) в степени 2 = (2 в степени 2) /(3 в степени 2) 2/3 в степени 2 = (2 в степени 2) / 3

6 в степени 3 — 6*6*6=216, Существуют такие понятие как «квадрат числа» — это вторая степень, например: 4 в квадрате = 4*4=16
и «куб числа» или «число в кубе» — третья степень — 1в кубе = 1*1*1=1

Правило: Любое число в нулевой степени равняется 1, будь то отрицательное число или дробное, даже ноль в степени ноль равен 1

Отрицательная степень переворачивает число, пример: 3 в степени (-1) = 1/3, 2 в степени (-2)= 1/4, (2/3) в степени (-1 )= 3/2

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 4*6 (6 вверху) и произносят «четыре в шестой степени».

Выражение «четыре в шестой степени».называют степенью числа, где:

4 — основание степени;
6 — показатель степени.

Отрицательная степень переворачивает число, пример: 3 в степени (-1) = 1/3, 2 в степени (-2)= 1/4, (2/3) в степени (-1 )= 3/2

Степени показывает сколько одинаковых множителей было в произведении

Степени и их свойства

Что такое степень числа

Возведение в степень отрицательного числа

Обратите внимание!

Порядок действий в примерах со степенями

Ваши комментарии

Свойства степеней. Действия со степенями. Онлайн-калькулятор степеней

Онлайн-калькулятор степеней

Что такое степень числа

Таблица степеней

что такое степень числа?

Добавить комментарий Отменить ответ