Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2 3 4 0 цифры могут повторяться

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4. Из цифр 0 1 2 3 4?

Размещениями из n элементов по k в каждом (nk) называют такие соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по k находят по формуле

1) По условию общее число цифр �� = 4, выбранных цифр �� = 3. Тогда общее число трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз:

2) По условию общее число цифр �� = 5, выбранных цифр �� = 3. Тогда общее число трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз (положим, что 0 может быть первой цифрой):

Если 0 не может быть первой цифрой, то первая 1,2,3 или 4 и тогда

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4. Из цифр 0 1 2 3 4?

Похожие готовые решения по математике:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 0 (цифры могут повторяться)?

N1
а) 4sin³x -8sin²x -sinx +2 =0 ;
4sin²x(sinx-2) -(sinx -2) =0 ;
(sinx -2)(4sin²x -1) = 0 ⇔[ sinx -2 =0 ;4sin²x -1 =0.
sinx -2 =0⇔sinx =2 || > 1 →нет решения.||
4sin²x -1= 0 ⇔4*(1-cos2x)/2 -1 = 0 ⇔cos2x =1/2 ⇒2x =±π/3 +2πk , k∈Z.

ответ: ±π/6 +πk , k∈Z.
—
б) ;
(1-cos²x) -2cosx +2 =0 * * * можно заменить t =cosx , |t| ≤1 * * *
cos²x +2cosx -3 =0 ⇒[cosx = -3(не имеет решения) ; cosx =1.

Lq(2x+4) =2Lq(4x-7)⇒Lq(2x+4) =Lq(4x-7)² ;2 x+4 =(4x -7)² ;
16x² -58x +45 =0 ;
D/4 =29² -16*45 =841 -720 =121 =11²
x₁= (29 -11)/16 = 9/8 ∉ОДЗ .
x₂ =(29 +11)/16 = 5/2.

Элементы комбинаторики

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Занятие №1. Элементы комбинаторики

Теория.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент «a») можно выбрать n₁ способами, а второй объект (элемент «b») — n₂ способами, то оба объекта (a и b) в указанном порядке можно выбрать $n_1 \cdot n_2$ способами.

Правило сложения: если некоторый объект «a» можно выбрать n₁ способами, а объект «b» можно выбрать n₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (a или b) можно выбрать способами.

Практический материал.
1.(6.1.44. Л) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4 если:
а) цифры не могут повторяться;
б) цифры могут повториться;
в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться)
(Ответ: а) 48; б) 100; в) 60; г) 12)

2. (6.1.2.) Сколько чисел, содержащих не менее трех различных цифр, можно составить из цифр 3; 4; 5; 6; 7? (Ответ: 300.)

3. (6.1.39) Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? (Ответ: 9·9·9·9=6561).

Теория. Пусть дано множество, состоящее из «n» различных элементов. Размещением из «n» элементов по «k» элементов ( $0\leq k \leq n$ ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее «k» элементов.

Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из «n» элементов по «k» обозначаются символом и вычисляется по формуле:

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},$

где n!=1·2·3·…·n ,причем 1!=1; 0!=1.

Практический материал.
4. (6.1.9 Л.) Составить различные размещения по два элемента из элементов множества A= <3,4,5>и подсчитать их число. (Ответ: 6)

5. (6.1.3 Л) Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся? (Ответ: 3360)

6. (6.1.11. Л) Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Указание: учесть тот факт, что цифры вида 02345, 09782 и т.д. не считаем пятизначными. (Ответ: $A_9^1\cdot A_9^4=27 216$ ).

7. (6.1.12.Л.) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? (Ответ: 60.)

Теория. Сочетанием из «n» элементов по «k» элементов ( $0\leq k \leq n$ ) называется любое подмножество данного множества, которое содержит «k» элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний из «n» элементов по «k» обозначается символом и вычисляется по формуле:

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Практический материал.
8.(6.1.20.) Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества A= <3,4,5>и подсчитать их число. (Ответ: 3.)

9. (6.1.25.) Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут:
а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей; д) туристы одного пола.
(Ответ: а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792; д) 813.)

Теория. Перестановкой из «n» элементов называется размещение из «n» элементов по «n» элементов. Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из «n» элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из «n» элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

$P_n=A_n^n=n!$

10.(6.1.14.Л) Составить различные перестановки из элементов множества A=<5;8;9>. (Ответ: 6)

$P_{10}-P_8 P_3$

11.(6.1.15.Л) Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а) в произвольном порядке;
б) так, чтобы 1, 5, 9 тома стояли рядом (в любом порядке);
в) так, чтобы 1, 2, 3 тома не стояли рядом (в любом порядке).
(Ответ: а) 10! б) 8!·3! в) )

12. (1.6.16.Л.) В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя? (Ответ: 5040; 210)

Схема выбора с возвращением.

Теория. Если при упорядоченной выборке «k» элементов из «n», элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из «n» элементов по «k» обозначается символом $\bar A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$\bar A_n^k=n^k.$

Если при выборке «k» элементов из «n», элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из «n» элементов по «k» обозначается символом $\bar C_n^k$ и вычисляется по формуле:

$\bar C_n^k=C^k_{n+k-1}$

13.(6.1.29.) Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента. (Ответ: 9; 6)

$\bar A_8^5=8^5=32 768$

14. (6.1.31.Л.) Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? (Ответ: )

15. (6.1.59.Л.) В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных? (Ответ: а) 7; б) 462)

Теория. Пусть в множестве из «n» элементов есть «k» различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется n₁ раз, 2-й — n₂ раз, . . . , k-й — n_k раз, причем $n_1+n_2+\cdot\cdot\cdot+n_k=n$ . Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из n элементов обозначается символом $P_n (n_1,n_2,\cdot\cdot\cdot,n_k)$ и вычисляется по формуле:

$P_n (n_1,n_2,\cdot\cdot\cdot,n_k )=\frac{n!}{(n_1 !\cdot n_2 !\cdot ...\cdot n_k !)}$

16.(6.1.32.) Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?
Решение.
Вообще из трех букв можно составить различных трехбуквенных «слов». В слове АГА буква «А» повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных перестановок трехбуквенных «слов» из букв слова АГА можно составить столько:

$P_3/P_2 =3!/2!=3.$

Впрочем, ответ можно получить и проще: . По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь n=11; n₁=1; n₂=4 (4 буквы S); n₃=4 (4 буквы I); n₄=2, поэтому

$P_{11} (1,4,4,2)=\frac{11!}{1!4!4!2!}=\frac{5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}{1\cdot 24\cdot 2}=34 650.$

17.(6.1.38.Л.) Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ? (Ответ: 420; 210)

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4 при том что цифры могут повторяться

Используя каждую цифру из 1, 2, 3 и 4, можно составить четыре различных трехзначных числа:

123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432.

Таким образом, можно составить 24 трехзначных числа из цифр 1, 2, 3 и 4.

Количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4, с повторением цифр, можно найти умножением количества вариантов для каждой из трех позиций:

Для первой позиции можно выбрать 4 варианта: 1, 2, 3 или 4.
Для второй позиции также можно выбрать 4 варианта: 1, 2, 3 или 4.
Для третьей позиции также можно выбрать 4 варианта: 1, 2, 3 или 4.

Таким образом, общее количество трехзначных чисел можно найти умножением количества вариантов для каждой позиции:
4 * 4 * 4 = 64

Ответ: можно составить 64 трехзначных числа из цифр 1, 2, 3 и 4 с повторением цифр.

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2 3 4 0 цифры могут повторяться

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4. Из цифр 0 1 2 3 4?

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 0 (цифры могут повторяться)?

Элементы комбинаторики

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4 при том что цифры могут повторяться

Добавить комментарий Отменить ответ