Сколько чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0 1 2 3 4

Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в обозначении каждого числа каждая из данных цифр

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Все категории
экономические 43,679
гуманитарные 33,657
юридические 17,917
школьный раздел 612,441
разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0 1 2 3 4 если цифры в одном числе не повторяются

Нужно составит трёхзначные числа из цифр 0, 1, 2, 3, и 4. То есть всего цифр 5, а из них нужно составить числа из трёх знаков.

Применяем для подсчёта формулу числа сочетаний из пяти цифр по 3 цифры. Это число сочетаний равно:

5! : (5 — 3)! * 3! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 : (1 * 2) * 1 * 2 * 3 = 5 * 5 : 2 = 10 (всего сочетаний). Таких сочетаний будет 2 * 3 = 6. Итого из пяти цифр по 3 будет 6 * 10 = 10.

Но цифра 0 на первом месте не может быть, и эти варианты нужно вычесть, а их будет: 4 * 3 = 12.

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0 1 2 3 4 5?

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в которых на втором месте стоит.

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр?
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 так, чтобы в каждом числе.

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр : 1, 2, 3, 5, 7, 8
Задача 2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр : 1, 2, 3, 5, 7, 8 а) Каждую можно.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,4,5,6,7? (цифры в одном числе не.

Лучший ответ Сообщение было отмечено mik-a-el как решение

Решение

Сообщение от drogbaman

Сообщение от myn
Сообщение от drogbaman

Сообщение от myn

Сколько пятизначных чисел можно записать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Если: a) каждая цифра входит в число только один раз? b) цифры в числе могут повторяться? c) это.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить, если среди цифр используется хоть одна.

Сколько различных пятизначных чисел ,больших 20000, можно составить?
Сколько различных пятизначных чисел ,больших 20000, можно составить из цифр 1,2,3,4 если каждая.

Сколько пятизначных чисел можно составить из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5
Сколько пятизначных чисел можно составить из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, если: a. первая и последняя.

Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр в числе
Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр в числе?

Сколько пятизначных целых чисел имеют одной из цифр 3, 5 или 7?
Помогите пожалуйста решить задачу! Сколько пятизначных целых чисел имеют одной из цифр 3,5 или 7.

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и разложения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Каждое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества. Простейшими примерами комбинаторных конструкций являются перестановки, размещения и сочетания, рассматриваемые ниже.

Перестановки, размещения и сочетания без повторений

Пусть дано множество M=<a₁, a₂, a₃, . , a_n>. Набор элементов из множестваМ называется выборкой объема m из n элементов. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования. Если порядок следования не является существенным, то выборка называется неупорядоченной.

Размещениями без повторений из n элементов по m называются упорядоченные выборки без повторений элементов множества, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m будем обозначать .

Пример 2.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Составить разные числа можно способами.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения из n элементов по n. Обозначим число перестановок объема n как P_n.

Пример 2.2.Сколькими способами можно расставить на полке 6 томов книг?

Это можно осуществить способами.

Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются любые подмножества из m элементов исходного множества. Число сочетаний без повторений будем обозначать />.

Пример 2.3. На тренировках занимаются 8 баскетболистов. Сколько разных стартовых пятерок может быть образовано тренером?

Т.к. при образовании пятерки важен только ее состав, то достаточно определить пятерок.

Число обладает следующими свойствами:

;

при любых a, b  R (бином Ньютона).

В силу свойства 3, числа называют биномиальными коэффициентами.

Выборки с повторениями

Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные выборки из m элементов множества, в которых элементы множества могут повторяться. Количество всех размещений с повторениями обозначим .

Пример 2.4. Сколько всего трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Сочетаниями с повторениями из n элементов по m называются неупорядоченные выборки из m элементов множества, в которых элементы множества могут повторяться. Число всех сочетаний с повторениями обозначим .

Пример 2.5. Сколько различных вариантов количества очков может выпасть при бросании двух кубиков?

Перестановками с повторениями из n элементов по k называется упорядоченная выборка из k элементов множества, в которой каждый элемент множества встречается k_i раз (причем, k₁+k₂+. +k_n=k). Число перестановок с повторениями обозначается

Пример 2.6.Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв слова «математика»?

В слове «математика» буква «м» встречается 2 раза, «а» – 3 раза, «т» – 2 раза, «е» – 1 раз, «и» – 1 раз, «к» – 1 раз. Поэтому число различных слов равно

При подсчете числа комбинаций используют два правила: правило суммы и правило произведения.

Правило суммы. Если объект А можно выбрать m способами, а объект B – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m+k способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора объект В можно выбрать k способами, то пару объектов А и В можно выбрать mk способами.

Пример 2.7. Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2?

Из цифр 0, 1, 2 можно составить число, но сюда входят числа, у которых первая цифра нуль, которые не являются четырехзначными. Таких чисел будет. Поэтому ответ 81 – 27 = 54.

Пример 2.8 Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр числа 1111222345600?

Разделим все составленные числа на группы по первой цифре в числе. Таких групп будет три.

1—я группа. У чисел из этой группы на первом месте стоит «единица». Эти числа имеют вид 1****, где на место **** выбираются 4 цифры из набора 111222345600. Перечислим все возможные случаи. Это могут быть либо 3 «единицы» и любая цифра из множества <2,3,4,5,6,0>, либо 2 «единицы» и 2 «двойки», либо 2 «единицы» и 2 «нуля», либо 2 «единицы» и 2 любые цифры из множества <2,3,4,5,6,0>, либо 3 «двойки» и любая цифра из множества <1,3,4,5,6,0>, либо 2 «двойки» и 2 «нуля», либо 2 «двойки» и 2 любые цифры из множества <1,3,4,5,6,0>, либо 2 «нуля» и 2 любые цифры из множества <1,2,3,4,5,6>, либо 4 любые цифры из множества <1,2,3,4,5,6,0>. Всего таких чисел будет:

2-я группа. У чисел из этой группы на первом месте стоит «двойка». Эти числа имеют вид 2****, где на место **** выбираются 4 цифры из набора 111122345600. Перечислим все возможные случаи. Это могут быть либо 4 «единицы», либо 3 «единицы» и любая цифра из множества <2,3,4,5,6,0>, либо 2 «единицы» и 2 «нуля», либо 2 «единицы» и 2 «двойки», либо 2 «единицы» и 2 любые цифры из множества <2,3,4,5,6,0>, либо 2 «двойки» и 2 «нуля», либо 2 «двойки» и 2 любые цифры из множества <1,3,4,5,6,0>, либо 2 «нуля» и 2 любые цифры из множества <1,2,3,4,5,6>, либо 4 любые цифры из множества <1,2,3,4,5,6,0>. Всего таких чисел будет:

3—я группа. У чисел из этой группы на первом месте стоит ни «единица», ни «двойка», ни «нуль», т.е. одна из цифр множества <3,4,5,6>. Первую цифру можно выбрать 4 способами. Оставшиеся 4 цифры выбираются из набора 1111222345600 с учетом того, что одна из цифр множества <3,4,5,6>уже выбрана. Перечислим все возможные случаи. Это могут быть либо 4 «единицы», либо 3 «единицы» и любая цифра из множества <2,3,4,5,6,0>, либо 2 «единицы» и 2 «двойки», либо 2 «единицы» и 2 «нуля», либо 2 «единицы» и 2 любые цифры из множества <2,3,4,5,6,0>, либо 3 «двойки» и любая цифра из множества <1,3,4,5,6,0>, либо 2 «двойки» и 2 «нуля», либо 2 «двойки» и 2 любые цифры из множества <1,3,4,5,6,0>, либо 2 «нуля» и 2 любые цифры из множества <1,2,3,4,5,6>, либо 4 любые цифры из множества <1,2,3,4,5,6,0>. Всего таких чисел будет:

Всего пятизначных чисел будет:

N=n₁+n₂+n₃=1446+1423+3116=5985.

Формулы включений и исключений

Мощностью конечного множества называется количество элементов в нем. Если множество А имеет n элементов, то пишут

Пусть имеется два пересекающихся множества А и В. Изобразим их на диаграмме Венна. Тогда имеет место следующая формула:

Для трех пересекающихся множеств выполняется:

Пример 2.9. В месяце было 12 дождливых, 8 ветреных, 4 холодных дня, дождливых и ветреных – 5, дождливых и холодных – 3 , ветреных и холодных – 2, дождливых, ветреных и холодных – 1 день. Сколько дней была плохая погода?

Пусть А – дождливые дни, В – ветреные дни, С – холодные, D – дни с плохой погодой. Тогда . Количество дней с плохой погодой:

В общем случае формула включений и исключений для k множеств имеет вид:

Пусть множество А состоит из N элементов и имеется n одноместных отношений (свойств) . Каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим черезчисло элементов, обладающих свойствамии, может быть, некоторыми другими. Тогда числоN(0) элементов, не обладающих ни одним из свойств , вычисляется по следующей формуле:

, где

Обобщая, получаем формулу, позволяющую вычислить число N(r) элементов, обладающих ровно r свойствами .

(1)

Определим функцию [x] для вещественных чисел как наибольшее целое число, не превосходящее x. Число [x] называется целой частью числа x. Для положительных чисел а и b значение функции равно количеству чисел из множества<1, 2,…, b>, которые делятся на а, т.е. кратны а.

Пример 2.10.Сколько положительных трехзначных чисел делятся ровно на одно из чисел 3, 5 или 7?

Обозначим P₃ – свойство делимости на 3, P₅ – на 5, P₇ – на 7. Тогда

Так как N_3,5 – число чисел, делящихся одновременно на 3 и 5, а наименьшее общее кратное 3 и 5 равно 15, то . Аналогично,

По формуле (1) находим искомое число чисел:

Рекуррентные соотношения. Возвратные последовательности

Рекуррентным соотношением называется соотношение вида , которое позволяет вычислить все члены последовательности, если заданы ее первыеk членов.

Пример 2.11. Формула задает арифметическую прогрессию.

Последовательность называетсявозвратной, если для всех n и некоторого k выполняется гдеp_i = const.

Пример 2.12. Геометрическая прогрессия – это возвратная последовательность, так как . Следовательно, выполняется

Многочлен называетсяхарактеристическим для возвратной последовательности.

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим решением.

Описание общего решения имеет аналоги с описанием решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть  – корень характеристического уравнения. Тогда общее решение рекуррентного соотношения можно найти следующим образом:

если _i – корень кратности 1 (i=1,…,k), то общее решение имеет вид гдеc_i = const (i=1,…,k).

если _i – корень кратности r_i (i=1,…,k), то общее решение имеет вид , где – произвольные константы (i=1,…,n, j=1,…,r_i).

Зная общее решение рекуррентного соотношения, по начальным условиям можно найти неопределенные постоянные и тем самым получить частное решение рекуррентного уравнения с данными начальными условиями.

Пример 2.13. Найти последовательность <a_n>, удовлетворяющую рекуррентному соотношению

Составим характеристический многочлен

Для нахождения корней сгруппируем слагаемые .

Составим характеристическое уравнение Его корнями являются числа. Следовательно, общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:. Используя начальные условия, получим систему: