Теорема, аксиома. Почему теорема требует доказательств, а аксиома нет?
Какой-то зарубежный университет платит по миллиону долларов за доказательство аксиомы, у них есть список и любой желающий, если сможет доказать получит миллион долларов. Иногда в математике можно отследить закономерность и они могут предположить как будет и это называют аксиомой. Некоторые аксиомы потихоньку будут превращаться в теоремы.
Потому что теорема — по-гречески "предположение", а предположение требует подтверждения (мало ли кто что предполагает?)
Аксиома — по-гречески "утверждение", т.е. правило принимаемое как есть, без доказательств, как основа для дальнейшего построения теории.
Чтобы о чем-то говорить, нужны начальные определения и понятия.
Далее из этих начальных понятий можно отталкиваться в рассуждениях.
Начальные понятия — числа, точки, прямые не определяются.
Если не оговаривать их свойства, мы не сможем оперировать этими понятиями.
Вот начальные свойства и есть аксиомы — это свойства, принимаемые на веру, без доказательства. Обойтись без аксиом не удается — если мы попытаемся вывести аксиому, мы будем опираться на другие понятия.
Например, довольно долго под точкой понималась фигура, не имеющая размера.
А что такое размер? А что такое фигура?
В математике всегда стремились уменьшить количество аксиом, сводя их к минимуму.
Кстати, вот вам аксиоматика
А, Б, В, Г — это точки.
Любые две точки — это прямая.
Любые три точки — это плоскость.
Прямые либо пересекаются в точке, либо не пересекаются вообще (параллельны).
Любые две плоскости пересекаются по прямой.
Вот вам и вся геометрия. Какой аксиомы не хватает, чтобы получить "привычную" геометрию?
Доказывают ли изначально аксиомы, чтобы потом принимать их на веру?
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами[2].
Вот появилась у Евклида идея, он потестил ее, смотрит, всегда сходится, и потом заявляет, что это Аксиома? А как же доказательство?
Извиняюсь, за глупые вопросы, но, все же интересно стало, как это так получается.
- Вопрос задан более трёх лет назад
- 5383 просмотра
- Вконтакте
Аксиома — это то, на чем строится дальнейшая теория. Аксиома потому и аксиома, что берется без доказательства.
Евклид сказал: параллельные прямые не пересекаются. И дальше строит на это свою геометрию.
Лобачевский (если не ошибаюсь на счет фамилии) сказал что параллельные прямые пересекаются и строил на этом уже свою геометрию.
Т.е. аксиома — это как фундамент для чего-то.
- Вконтакте
Нет, все именно так, как написано в вики.
Более того может быть несколько различных наборов аксиом (см. геометрия Лобачевского), которые приводят к разным результатам. Но они все правильные и подходят для разных случаев.
Ну, и дальше опытным путем выясняют, что аксиомы, например, арифметики неплохо соответствует тому что происходит с предметами в реальном мире.
- Вконтакте
Аксиомы доказать невозможно. Но можно сделать одну классную вещь. А именно — построить модель теории. Другими словами: найти в соседней теории, которой вы «доверяете» (например, теории действительных чисел или евклидовой геометрии) такие «точки» и «прямые», чтобы они отвечали всем аксиомам. И эти аксиомы нужно доказывать, чтобы показать, что, например, R² с «точками» (x,y) и «прямыми» ax+by+c=0 — действительно модель евклидовой геометрии.
Да, и математики часто, но некорректно говорят: «Векторное пространство — это совокупность из основного множества X, числового поля K, операций x+y и x·k такая, что отвечает аксиомам…» Вообще-то, требованиям, а не аксиомам, и эти «аксиомы» нужно доказывать, чтобы доказать, что, например, R² — векторное пространство над полем R.
Да, а что же Евклид? А Евклид, вероятно, сам не догадывался, какую классную штуку он придумал. К тому же исчерпывающую аксиоматику евклидовой геометрии придумали ≈1900. Страшна, как чёрт, шесть базовых понятий… Но это зачастую и не требуется, чтобы решать задачи — надо как-то определить объект изучения и начать доказывать теорему за теоремой. Большинство из нас, даже выпускники вуза, не знают ни теорию действительного числа, ни аксиоматику Пеано для арифметики, ни аксиоматику для теории множеств…
Почему аксиома не требует доказательств
У Болдачева выходит как-то так: "аксиомы не требуют доказательства и обоснований. тчк."
Я стараюсь писать в самом общем виде, давать определения не для частного случая.
Может ли ввод аксиом быть как-то обоснован, обдуман, мотивирован и пр.? Конечно, может. Тем более, когда речь идет о научных теориях (там по сути иначе и быть не может, хотя постулат о скорости света в СТО ничем не обоснован, кроме как математическими соображениями доказательства формул/теорем). Но мы не имеем права требовать обоснования в общем случае: если я возьму с потолка произвольные аксиомы и докажу с их помощью ряд теорем, то это будут самые всамделишные аксиомы и теоремы самой настоящей логической системы. Поэтому и стоит "тчк". Дальше начинаются специфические проблемы предметных областей и частных случаев.
Можно и формулировать цели, и доказывать коллегам, что ты не с потолка взял, а из философских соображений (просто когда думал задирал голову) и пр.
Отсюда и противоположный вопрос — следует ли считать нормальным (по умолчанию), если в аксиому вкладывается нечто противоположное очевидности
Ну, да. Постоянство скорости света в разных системах очевидно? А то, что через точку можно провести много прямых не пересекающихся с указанной очевидно? А про прерывистый поток энергии? Часто, когда в качестве исходного суждения (аксиомы, постулата) бралось что-то не очевидное получалась новая теория.
То есть, хотелось бы получить от нашего Всевышнего хоть какую-то рекомендацию положительного свойства.
Дмитрий Бояркин предложил такое положительное свойство: аксиома должна содержать квантор всеобщности. Вроде на первый взгляд предельно логично. Но несколько минут поиска и, увы, нашлись примеры аксиом без КВ:
Вот заглянул в аксиомы теории множеств: "Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента" или "Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов". А вот первая аксиома Пеано: "0 является натуральным числом".
Я уже писал о необходимых требованиях к аксиоме: она должна быть сформулирована на языке системы, соответствовать правилам его синтаксиса и содержать некоторое утверждение об объекте теории (чтобы отличить аксиому от определения, в котором производится поименование объектов). Если рассматривать системы, построенные на естественном языке, то аксиома должна быть повествовательным предложением (утвердительным или отрицательным). Вроде все, тчк.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Может ли ввод аксиом быть как-то обоснован, обдуман, мотивирован и пр.? Конечно, может. Тем более, когда речь идет о научных теориях (там по сути иначе и быть не может, хотя постулат о скорости света в СТО ничем не обоснован, кроме как математическими соображениями доказательства формул/теорем). Но мы не имеем права требовать обоснования в общем случае
Как только у аксиомы появляется мотивировка в виде наблюдений и экспериментальных данных об объективной реальности, она перестает быть аксиомой и переходит в разряд научных гипотез. Я так понял из истории создания ОТО, что Эйнштейн не на голом месте постулировал постоянство скорости света, а этому предшествовали эксперименты с измерением скорости света, которые не давали разбросов измеренных скоростей в разы или на десятки процентов.
Поэтому, аксиома — продукт ума, не замутненного соображениями о соответствии измышлений объективной реальности. А научная гипотеза — продукт ума, удовлетворяющий эйштейновскому критерию: внутренняя непротиворечивость и внешнее оправдание. А вот внешнее оправдание включает в себя и соответствие известным экспериментальным данным, и бритву Оккама, и наверное что-то ещё, что сразу не вспомнил.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Фристайл, 8 Март, 2018 — 10:01, ссылка
Как только у аксиомы появляется мотивировка в виде наблюдений и экспериментальных данных об объективной реальности, она перестает быть аксиомой и переходит в разряд научных гипотез.
Поэтому, аксиома — продукт ума, не замутненного соображениями о соответствии измышлений объективной реальности.
Из такого понимания аксиомы не может не следовать вывод: логика для учёных вещь крайне вредная, нежелательная. Куда ж учёным без научной гипотезы? Никуда. А логика -кыш, зараза!
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Надобность в аксиомах продуцирует характер нашей натуральной практики.
И это легко доказать, если вспомнить всю историю становления науки Геометрии.
В самом начале строительства любого сооружения и для уверенности в том, что это сооружение реально приобретет ту форму, которая была выражена в представлении — необходимы действительные измерения на месте строительства и которые подтверждали бы, что сделанное соответствует задуманному.
Ну, например, при квадратном основании устраиваемого необходим прямой угол между стенами сооружаемого. Это было реализуемо посредством треугольника со сторонами 3, 4, 5 ед. измерений.
Для сооружения с круглыми абрисами и при задуманной площади — необходимо было знать о соотношении диаметра сооружения к его площади. (Шумеры (а может и ранее) было использовано отношение 22 ед. к 7 ед. (22/7).
Но практика практикой, а человеку было необходимо знать, что такое не зависит от принятых размеров, т.е., что это всегда так и есть.
Так вот, Эти проблемы и породили проблемы параллельности прямых, проблемы треугольников и их углов, а затем и задачу о квадратуре круга. И пошло — поехало.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Аксиома требует 99,99. 99% ВНИМАНИЯ в любом логическом построении! Всё остальное составляет 0,00. 01%, ибо "все", кроме "тяжёлых случаев", рассуждают логично, включая "блондинок". Меняются только исходные посылки суждений.
Те, кто полагает, что аксиома — ПРОИЗВОЛЬНОЕ основание, не мыслят, а МНЯТ МНЕНИЯ, начиная с мнения об ""аксиоме"" как ИСХОДНОЙ ПОСЫЛКЕ рассуждений.
Аксиома ДОЛЖНА БЫТЬ бесспорна ("очевидна") для любого мыслящего. Если она спорна, то она — вовсе не аксиома, а МНЕНИЕ, служащее основанием ЛОЖНЫХ рассуждений, ибо если "аксиома" (исходная посылка) ложна, то и все, основанные на ней, рассуждения ложны, при всей их логической безупречности.
София ДОЛЖНА иметь реальную аксиому (исходную посылку размышления) — "краеугольный КАМЕНЬ" ("АЛМАЗ"), а не МНЕНИЯ, подменяющие АКСИОМУ. В последнем случае софия подменяется софистиками — логическими системами с ПРОИЗВОЛЬНЫМИ основаниями (исходными посылками).
Софии нет уже со времён "грекопадения" — неспособности отличить мысль от мнения ("по Пармениду").
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Аксиома ДОЛЖНА БЫТЬ бесспорна ("очевидна") для любого мыслящего.
Да, полностью согласен. Вот, к примеру, аксиома выбора аксиоматической теории множеств бесспорна и очевидна для любого мыслящего:
«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество , в котором есть по одному элементу от каждого множества данного семейства .»
Хотя для меня очевиднее «Аксиома множества подмножеств»: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество , каждый элемент которого является [собственным либо несобственным] подмножеством данного множества .»
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Вот, к примеру, аксиома выбора аксиоматической теории множеств бесспорна и очевидна для любого мыслящего:
«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество , в котором есть по одному элементу от каждого множества данного семейства .»
Ну, кто так летает! Вам сейчас будет стыдно за эту наивнейшую, любому школьнику понятную запись. 🙂
Приступим. Известно, что чуть ли не самое строгое в мире описание основ математики средствами логики на базе теории множеств, разработано группой французских математиков под псевдонимом Николо Бурбаки. Ясно, что для этого разработан специальный, абсолютно строгий логический аппарат описания, где последовательно определяются и формируются обозначения математических объектов из заданных тегов (системы знаков), а также специальная система обозначений для связей между тегами и т.д.
После этого математические объекты и теоремы связанные с такими объектами можно записывать в краткой, но строгой форме, но чтобы их полностью "расшифровать" надо подставить для каждого тега и связи предшествующую более полную форму (которая подверглась сжатию за счёт введения специальной системы знаков). Например, обозначение пустого множества (перечёркнутый кружок) является сокращением записи (тоже формальной) по определению пустого множества, обозначения в котором (в определении) тоже являются сокращениями, и т.д.
Шедевром краткости многие считают, например, вот такую запись:
Любой человек на досуге (но, конечно, на свежую голову) может, заменяя последовательно все сокращения знаков, а также сокращения связей между знаками, получить, так сказать, расшифрованную запись данного выражения.
Нюансик заключается в том, что полная запись будет содержать примерно 2 на 10 в 54 (пятьдесят четвёртой) степени знаков и ещё примерно столько же знаков, расшифровывающих связи между знаками.
Подсчитатно, что это заняло бы примерно сто миллиардов квинтиллионов квинтиллионов книг.
Ну, и чтоб вам, Александр, ваша логическая жизнь не казалась совсем уж мёдом, надо всё же подчеркнуть последний нюансик — штрих, который делает это произведение гениальным. Вышеприведённая запись описывает строгое определение натурального числа 1.
Напомню, что именно подобный путь изложения математики принят не только во Франции (а упрощённый его вид — даже в школах), но и во многом на него перешли в России и некоторых других странах.
Академик В.И.Арнольд (1937-2010) — математик, профессор МГУ и Парижского университета, ученик Колмогорова, основатель целых направлений в математики и научных школ с известнейшими его учениками; член академии наук США, Французской академии, Лондоннского королевского общества, Американского философского общества, и т.д. и пр. награждённый кучей специальных математических премий в разных странах. Да, так вот он говорит о проблеме МИРОВОЙ "бурбакизации" простым языком плаката. Он говорит о бурбакистской мафии (именно так!). Другие известные математики ввели более точное (на мой взгляд) определение этому процессу. Они называют это обурбачиванием населения.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Ну, кто так летает! Вам сейчас будет стыдно за эту наивнейшую, любому школьнику понятную запись. 🙂
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Вам сейчас будет стыдно за эту наивнейшую, любому школьнику понятную запись. 🙂
Да, стыдно. Я-то думал, что нашел самую бесспорную ("очевидную") аксиому)
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Цитируя "классику" я немного напутал. Фраза "Ну, кто так летает!" относится не к тому мультику, который я на самом деле имел в виду.
Кстати, интересно, показывают ли его сейчас по российским ТВ, спустя 35 лет с момента создания?
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
_Вышеприведённая запись описывает строгое определение натурального числа 1._
_Он говорит о бурбакистской мафии (именно так!). Другие известные математики ввели более точное (на мой взгляд) определение этому процессу. Они называют это обурбачиванием населения._
Если ранее шизофрения была болезнью отдельных людей, ибо индивидуальные фантазии не располагали к образованию устойчивых сообществ ("мафий"), то ныне процесс кем-то явно возглавлен и организован, ибо шизофрении придаётся весьма высокий статус чуть ли не "гениальности".
Это касается не только МАТеМАТики ("науки о мнимом"), но и современного "искусства", публичной "политики" и прочая.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Аксиомы формулируются по результатам мысленного эксперимента.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Что значит "доказать"? Доказать значит подвести под основания, из которых данный тезис следует с логической необходимостью. Доказать — это и есть обосновать.
Можно приводить основания, затем искать основания для оснований и т.д., но нельзя же обосновывать до бесконечности. Рано или поздно вам придется просто принять на веру какие-то положения.
Вообще, доказывать можно любой тезис, никто не может вам этого запретить. Что хотите, то и доказывайте, если можете. Вот известную аксиому Евклида веками пытались доказать. Если бы это вдруг удалось, то данное положение уже было бы не аксиомой, а доказанной теоремой.
Математикам проще, а вот ученые часто строят свои рассуждения от следствий к основаниям. Постулаты СТО все же не с потолка взяты. Эти положения предложены как основания, объясняющие некоторые данные, полученные из опыта, экспериментов, наблюдений и т.д. Но никто не гарантирует, что все может быть объяснено только так, а не как-то по-другому.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
В открытой мною теме я намеренно подчёркиваю, что здесь меня не интересует понятие доказать. Тем более в интерпретации отождествления понятий доказать и обосновать [Об таком "тождестве" я надеюсь почитать в отдельном издании вашего сочинения]
Другими словами, я специально открыл тему, чтобы не смешивать проблему доказательства и обоснования, особенно в плане выявления ЦЕЛИ формулировки аксиом (об этом никто не хочет почему-то даже заикаться).
Короче, насчёт "доказательства". Прям-таки, по-черномырденски: сроду этим не занимался, и вот — опять.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Об таком "тождестве" я надеюсь почитать в отдельном издании вашего сочинения
А что об этом особо расписывать? Это одно и то же. Или сами объясните, в чем разница, ведь вы же сформулировали название темы как "Аксиомы не доказываются. А как насчёт обосновываются?"
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Ещё раз. Прямо в заглавии темы, не говоря уже о 4-х пунктах пояснений, я намеренно ПРОТИВОПОСТАВЛЯЮ понятия доказать и обосновать. Да, понятие обосновать в какой-то своей отдельной интерпретации может приближаться к понятию доказать. Именно это меня и НЕ интересует., а интересует понятие обосновать совсем в других значениях этого слова, а именно, привести доводы, поясняющие введение аксиомы; узнать о ЦЕЛИ введения аксиомы; указать ПРИНЦИПЫ формулировки аксиом, например, нужна ли очевидность формулируемого, обязательна ли она; насколько правомерно формулировать аксиомы на базе полной неочевидности, и даже — полнейшей неопределённости?
И вот, после всех этих уточнений, которые в общем-то, я прописал в открытой теме (и в заглавии) вы возвращаетесь к понятию доказательство. тут мы ставим многоточье, тут у нас конец куплета.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Я не просто возвращаюсь к понятию "доказательство", я утверждаю, что доказать и обосновать — это одно и то же. Мне не понятно, как тезис может быть обоснован, но не доказан. Ну, ладно.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Если тезис доказан, то этот тезис уже не будет аксиомой. А тема посвящена аксиомам.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
. аксиомам, которые не могут быть доказаны, но как-то могут быть обоснованы? Ну и как вы обосновываете аксиомы Евклида? 🙂
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Здрасьте! Об этом же и речь! Попытайтесь объяснить-обосновать введение аксиом. У меня на этот счёт очень призрачные мысли.
Ну, например, вся евклидова геометрия была заимствована от древнеегипетской. То есть, задолго до всякой там аксиоматики Евклида & K. Там геометрией пользовались на всю катушку в прикладных задачах, в частности в землемерии, астрономии, строительстве и пр. Прямые углы конструировали без всяких транспортиров и лазерных лучей, при помощи верёвки с несколькими узлами, и т.д.
Аксиомы они не формулировали, но математику использовали так, что современный цивилизованный человек, знающий аксиоматику геометрии, умер бы в судоргах, не догадавшись о многих прикладных математических заначках, которые помогли бы ему выжить, и которые были известны древнеегипетским "конструкторам".
Это один из многих нюансов насчёт целесообразности аксиоматического построения, который входит в понятие обоснование.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Весь комментарий просто великолепен!!
Я "устал" Вас нахваливать, ибо для возможного "диалога" нужно обнаружить какое-то "противоречие" с Вашими тезисами, а почему-то всё ещё никак не могу! Это "расстраивает"!))
А возможно, просто "современные изыски" математики меня не привлекают, ибо участвовать в этом бурбачизме — время (= Жизнь!!) терять!
_У меня на этот счёт очень призрачные мысли._
Вы интуитивно чувствуете, что "разгадка" аксиоматики где-то "совсем рядом", но словоблудие "логиков" мешает это сформулировать.
Откуда у Вас интуиция "=" . "аксиоматичность" (не путать с догматичностью!!) мышления? Возможно "с рождения", а возможно "Ваш Мельников" оказал на Вас сильное влияние.
_вся евклидова геометрия была заимствована от древнеегипетской. То есть, задолго до всякой там аксиоматики Евклида & K_
Именно так! Аксиомы Евклида & K стали уже априорными ("очевидными" и не требующими никакого обоснования) ЗАДОЛГО до него, и могу сказать, и до "древнеегипетских вершин", хотя это и "кануло в лету".
Аксиомы — НЕЗЫБЛЕМЫЕ положения, которые стали таковыми в результате лярдов практических "проверок" ("доказательств"). Любой может попробовать усомниться в них и "обнародовать". свою шизу!
Шиза в математике, и НЕ ТОЛЬКО, появляется, когда вводятся не "априорные", а ПРОИЗВОЛЬНЫЕ "основания" — результат буйной фантазии авторов, стремление "ВЫПЕНДРИТЬСЯ" которых очень точно совпадает с интересами тех, кто НУТРОМ заинтересован во всеобщем бурбачизме!!
Тогда появляется "параллельные", которые пересекаются, и значит. НЕ параллельны, оперирование бесконечностью как с чем-то конечным, и прочая-прочая-прочая.
Рассматривая очередной ВЫПЕНДРЁЖ и говорить при этом об "аксиомах" — это впадать в шизу, нарушив все заветы наших безвестных предков!))
Нельзя путать аксиомы с "авторитетным" МНЕНИЕМ!! Это означает МНИТЬ МНЕНИЯ совместно с ВОЗОМНИВШИМИ себя "гениями" шизиками. Если шиза "цветёт и пахнет", значит это кому-то ОЧЕНЬ надо!!
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Ну, например, вся евклидова геометрия была заимствована от древнеегипетской.
Тут бы и спросить: а что греки не заимствовали у египтян? Если египтянин в математике собирал, так сказать, "с миру по нитке", то греки занимались тем, что египтянам, может быть, показалось бы совершенно бессмысленным — греки не довольствовались одними лишь какими-нибудь математическими правилами и установками, им надо было как раз все доказывать, даже если доказываемый тезис казался очевидным, общепринятым и не требующим каких-то доказательств. Доказательство очевидного — не правда ли странно звучит? Разве не понятно и так, что углы при основании равнобедренного треугольника равны? Зачем это доказывать? Начертите равнобедренный треугольник, и на глаз можно будет определить, что это так. Грек мог похвастаться перед египтянином тем, что мало ли что там кому кажется очевидным, одни просто довольствуются чувственной достоверностью, а он — грек — доказал, что это так! Вот вам и обоснование аксиоматического метода и построения систем — так надежней, что ли. Достовернее как-то. 🙂 Логическое доказательство более убедительно, чем "на глаз".
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
узнать о ЦЕЛИ введения аксиомы; — достоверность и минимизация реальных измерений
при реализации этапов возведения сооружения
указать ПРИНЦИПЫ формулировки аксиом, — их измеримость и их конструктивно оправданность.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Очевидность аксиом — кажущаяся.
Автор аксиомы, пытаясь решать задачи, не сразу её находит, как полезный, не меняющийся инструмент для решения задач. Методом тыка.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Метод тыка — это ясно, как огурец. Интересен "послетычный" период жизни аксиомы. Когда уже всё подано к столу, когда теория уже работает — вот тогда интересно получить анализ аксиомы.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Спокус Халепний, 9 Март, 2018 — 00:02, ссылка
Метод тыка — это ясно, как огурец. Интересен "послетычный" период жизни аксиомы. Когда уже всё подано к столу, когда теория уже работает — вот тогда интересно получить анализ аксиомы.
Аксиома — продукт удачного тыка.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Аксиомы и постулаты
Понятия » аксиом а» и » постул ат» появились очень давно, до нашей эры, в эпоху господства философии, заменяющей все науки. Тот смысл , который закладывался первоначально, по мере развития научной методолог ии и, в частности, аксиом атического метода, не мог не меняться существенно, и сегодня в нем присутствуют представления о доказательствах, об очевидности, о том, как и почему возникает убеждение ученого в истинности сначала предположительных утверждений.
Все эти смысл овые дополнения требуют понимания сути психи ки и ее законов, представления, которые до сих пор не является общепринятыми. На этом сайте, в рамках целостной модели организации психи ки этой статьей формируется контекст для понимания понятий » аксиом ы» и » постул аты». Формализация этих представлений принимается как терминологическое определение для материалов сайта.
Аксиом ы — это выверенные между передовыми носителями данной предметной области науки объективные истины. Они не опровержимы в своем принципе потому, что непосредственно описывают систему причинно-следственных зависимостей в определенных условиях, а такие зависимости не меняются, если не изменились условия. Т.е. аксиом ы — не субъективные выводы, а объективные данные о реальности.
Психофизиологический корреля т абстракции » аксиом а» — очевидная убежденность, на которую можно полагаться в дальнейшем развитии представлений, слова » постул ат» — пробное предположение ( гипотез а), которое может быть опровергнуто опытом.
В математике в начальных построениях, в силу того, что буквально все может переопределяться, постул ат может выполнять роль предположительной аксиом ы, но после становления данного раздела математики он становится аксиом ой. Это характерно только для математики потому, что в науках, описывающих объективную действительность, нет подобных предположительных фактических образований. Предположения или гипотез ы используются исследователями субъективно — для развития следующего этапа исследования, расширяющего представления.
Субъективное убеждение может оказаться иллюзией, но научная методолог ия предоставляет способы определения, исключающие иллюзии: так, если в каких-то условиях что-то фактически и постоянно воспроизводится, то это можно считать аксиом ой с заданными граничными условиями применения, включая ошибки проведения эксперимента.
Сначала коротко и по существу. Аксиом ы и постул аты — не синонимы, хотя различия смысл а для неискушенного бывают не заметны.
Самые принципиальные различия:
1. В отличие от аксиом ы постул ат может быть опровергнут опытом.
2. Если постул ат может быть принят как совершенно произвольн ое утверждение, то аксиом а — то, истинность чего очевидна (см. доказательные свойства очевидности).
И аксиом а и постул ат не требуют доказательств, они принимаются в виде утверждения, не использующего условий кроме границы применимости данного утверждения.
Существует заблуждение о том, что аксиом а и постул ат будто бы — синонимы. Это проистекает от непонимания их сути и особенностей использования, что проясняют многие популярные статьи об этом, например: эта и эта.
Динамика развития убежденности в верности утверждений начинается с предположительного постул ирования, теор етического развития на этой основе, проверке на опыте в корректном эксперименте, получение очевидной убежденности в истинности утверждения после которого постул ат принимает качество аксиом ы как уже надежной основы для дальнейшего развития представлений.
Самой характерной и обязательной чертой научного метода является базирование области научного описания мира (абстракции) на факте (или системе фактов), который всегда воспроизводится в условиях, ограничивающих эту область. Таким фактом должно быть описание ( формализ ация) взаимоотношений, взаимосвязей некоторых выделенных процессов в мире или — закон природы, описывающий эти взаимосвязи. Он может описываться математически, как законы Ньютона, или иметь нематематическую, но не менее строго определенную терминологию.
В аксиом ы никогда не включаются логические цепочки и условия, доказательства и построения. Аксиом ы — описание в форме утверждения тех фактических причинно-следственных закономерностей, существование которых имеется основание считать доказанными, для чего имеются описание опыта и методика проведения этого опыта, в котором это всегда подтверждается. Подтверждение соотвествия утверждения аксимы действительности независимыми специалистами увеличивает вес аксиом ы и делает ее все более общепризнаваемой.
Поэтому в аксиом ах (естественно, в их описаниях) никогда не фигурируют абстракции как чисто субъективные образования, не имеющие прямого соответствия с объективным.
Поэтому в аксиом ы не включаются понятия, зависящие от условий — границ абстракций, созданных человеком, в отличие от строгих терминов (см. подробнее ниже). Аксиом ы не зависят от того, какими границами наделил абстракцию человек, но должны включать в себя область корректности их описаний, которая и оказывается граничными условиями применимости аксиом ы. Так, законы Ньютона являются абстракциями, область корректного описания действительности которых — не релятиви стские скорости. Для каждого из значений взаимных скоростей существует возможность определить точность (погрешность) описания аксиом ы.
Если считать, что вообще все, что изрекает человек в символьной форме является абстракциями (а это, конечно же, в пределе так), то любая аксиом а состоит из абстракций. Но такие абстракции как точка, прямая, плоскость имеют совершенно четкие соответствия со свойствами действительности. Из любой воспринимаемой картины действительности можно выделить составляющие ее более элементарные признаки: линии, точки, круги, полосы. Именно это и делает наш зрительный анализатор, формируя модель воспринимаемого. И абстракции, выраженные в виде символов соответствующих этим выделенным признакам, имеют четкую корреля цию с действительностью. Но есть абстракции, которых нет в действительности, точнее, которые невозможно выделить как наблюдаемые признаки действительности. Это: время, пространство, силовые линии, меридианы, и, конечно же, объекты и формы. В одной и той же действительности мы можем совершенно произвольн о выделить бесконечный ряд объектов и форм — смотря чем и как ограничивать их.
Однако, закономерности, связанные с такими абстракциями, объективны потому, что эти абстракции отражают некие объективные причинно-следственные зависимости.
Аксиом ы — объективно наблюдаемые причинно-следственные явления, группируемые субъективно (ну прямо как операция группировки в базе данных) в символьной формулировке описания аксиом . Т.е. сознание выделяет нечто из реальности, соответствующее объективно наблюдаемой многими закономерности, отсеивает второстепенное при сопоставлении схожих явлений, обобщает системную составляющую и условия, в которых это всегда выполняется, формулирует закономерность в виду условных символов. Получается аксиом а. Аксиом а — не описание чего-то как сущности, а описание причинно-следственных закономерностей.
Аксиом а не описывает понятие круга (меридианы, пространство и т.п.), но может описывать то, какими свойствами обладают круглые тела, если это достаточно значим о как основы какой-то предметной области.
Аксиом ы могут описывать то объективное, что составляет продукты психи ки, например, математические представления — как отражение определенной логики, не обязательно отражающей логику причин и следствий реального мира. Такая логика, выраженная формальных в символах, доступной для других людей, тем самым, становится объективной, выражая некие свойства абстракций.
У аксиом ы нет самоцелью быть аксиом ой, а есть только одно оправдывающее ее существование предназначение — составить основу выверенных закономерностей в какой-то предметной области, т.е. использоваться как доказанная закономерность, на которую можно полагаться в дальнейшем развитии представлений.
Конечно, в выдуманном мире мы можем сами придумывать любые свойства и любые аксиом ы для развития наших предположений. Но сам принцип аксиом атики при этом вырождается, т.к. в реальности, как правило, нет такого места, где такие аксиом ы могут быть корректно проверены эмпирическ и. Поэтому в таком случае говорят о постул атах.
Дух аксиом . Аксиом а — это описание некоего закона действительности, в котором мы можем всегда убедиться эмпирическ и. Описание закона взаимодействия, описание свойств и условий развития закона. В аксиом у нельзя безнаказанно включать такие абстракции как «силовая линия», » энерги я», «истина», «красота», «объект» и т.п. Потому, что такая аксиом а окажется зависимой не только от определения самой абстракции, но от того, какими границами мы ее наделяем.
Почему же некорректно называть аксиом ой абстракции, порожденные человеческим умом? Потому, что границы (формы) этих абстракций определяются произвольн о и эти абстракции не существуют сами по себе в действительности. Аксиом а это, в первую очередь, то, что можно воспроизводимо и однозначно показать эмпирическ и.
Однажды случился затяжной спор с человеком, который утверждал, что мысль материальна. Потому, что когда мыслим, то вот же электроны особым образом в нейрон ах циркулируют и .т.п. То, что само понятие «мысль» — это придуманная человеком абстракция, имеющая свои условные и довольно произвольн ые формы, он никак не хотел понять. Не помогал пример меридианов, которых на самом деле нет, но которые, конечно же, человек может выделить на земном шаре (в отличие от мысли, которую не выделишь вообще принципиально). Меридианы тоже оказывались материальными, потому, что мы реально имеем с ними дело.
Аксиом а — это базовая формализ ация (не утверждение, требующее обоснования) эмпирическ и достоверного факта в рамках данной теор ии (в граничных условиях использования).
Пример аксиом ы, где ее достоверность не зависит от субъективной оценки: это — любая формализ ация закона природы, которая воспроизводится у любых исследователей в данных условиях. Например все три закона Ньютона — аксиом ы, описывающие фундаментальные законы природы, суть которых пока неизвестна. Эти аксиом ы объективно достоверны в рамках условий теор ии классической механики и не зависят от оценки субъектом. Суть этих аксиом — формализ ация эмпирическ и достоверного закона природы.
Постул ат можно было бы считать равноценным аксиом е, но на самом деле есть отличие: само слово означает, что это — предположительное утверждение (при постул ировании), базовое утверждение для какой-то гипотез ы. Это отличие — общепринятое обозначение тех утверждений, которые пока еще не очевидны эмпирическ и, но, в отличие от гипотез ы постул ирование характерно для математики, когда постул ат предположительно используется в качестве аксиом ы. Если на основе постул ата строится непротиворечивая теор ия, описывающая свою абстракцию реальности, то есть основания попытаться найти такие условия в действительности, в которых этот постул ат окажется равноценным аксиом е: т.е. можно будет доказать его объективную достоверность. Не раз случалось, что постул ированное оказывалось не адекватн ым развиваемой теор ии, и от такого постул ата отказывались.
Теперь можно коротко описать структуру научного знания.
Знание есть только в голове субъекта, в виде его субъективной модели (описание этого механизма индивидуальной адаптивн ости — в статье: Субъективные модели действительности), интерпретирующей понимание воспринятого, придающее ему определенный смыл в различных условиях. Чтобы обмениваться представлениями необходимо знания формализ овать в виде сведений, освободив его от условий эмоционального контекст а, придающего самобытную значим ость, но сохранив описания условий, в которых описываемое явление (результат причинно-следственных процессов) будет воспроизводимо.
Все происходящее так или иначе уникально в деталях, но следует совершенно определенным закономерностям, которые были выявлены в ходе научного исследования (т.е. в соответствии с научной методолог ией), были убедительно верифицированы независимыми специалистами так, что на них можно уверенно полагаться в логике происходящего (логика — это отражение взаимосвязанной системы закономерностей в субъективных моделях). Вот такие определяющие закономерности просто условимся здесь называть аксиом ами. Для каждой предметной области есть уже хорошо выверенная система специфических для нее аксиом — аксиом атики, на основе которой можно делать предсказания и расширять область, строя гипотез ы (в отличие от фантазий и философствования — в шаговой близости от надежной аксиом атики), которые проверяются и любой результат вносит свой вклад в модель личного представления ученого, а виде формализ ованных сведений об этом дает возможность дополнить область другим ученым.
Итак, аксиом ы — наиболее принципиальные для описания данного явления закономерности, на основе которых возникает непротиворечивая картина любых уникальных событий, динамика которых подчиняется этим закономерностям. Так, в исторической науке возникают модели общих особенностей и направлений развития произошедших событий. При этом эти модели уже включают в себя представления о более общих, фундаментальных закономерностях из других наук (физика, химия, математика, биология, адаптология и т.п.) так, что предсказания при гипотез ах реконструкций в рамках исторических моделей опираются на всю иерархию аксиом атик и не приводят к не адекватн ым, фантастическим выводам.
Представления до уровня использования аксиом атики данной предметной области, характеризуют философский подход, — предположительный и основывающийся на наиболее общих аксиом ах логики реального мира (философия вне такой логики или мист ическая философия так же не является свободной от своей, но специфической логики потому, что субъективные модели основываются на опыте реального взаимодействия с окружающим). Поэтому наука начинается именно с построения начальной аксиом атической базы. Научные работки могут и не сознавать этого (мало кто из них вообще сегодня хорошо владеют всеми разделами научной методолог ии), но так или иначе без этого просто не начнется развитие и расширение области надежно исследованного.
Обсуждение с раскрытием сказанного можно посмотреть в теме Структура научного знания. Фрагмент оттуда:
Аксиом а никогда не опровергается (хотя всегда может быть проверена), если не было ошибки в исследовании, которая выявила ее суть потому, что она — не выдуманное, произвольн о постул ированное утверждение, а формализ ация того, что выявлено в природе, того, что всегда воспроизводится в неизменных условиях. Поэтому, в отличие от постул ата, аксиом а не принимается произвольн о в качестве допущения. А вот постул ат — основополагающее утверждение, играющее роль предположения. И только если в природе такое предположение будет найдено в виде сущности явлений, после верификаций и убеждения в верности результатов исследования, такой постул ат приобретает в понимании исследователей-специалистов качество аксиом ы, на которую можно полагаться в логике понимания явления и предсказаниях.
Эйнштейн вовсе не сфантазировал совершенно произвольн о допущение о постоянстве скорости света в вакууме, а постул ировал это (выдвинул основополагающую гипотез у) на основе сопоставления многих фактических данных исследований, сделав такое вот обобщение. После проверок постул ат (в виде мат. формализ ации преобразований Лоренца) приобрел качества аксиом ы, хотя проверки до сих пор не прекращаются, уже более убедительно и без сомнений поднимая уровень доверия к этой аксиом е (что дело — очень личное).
При этом Эйнштейн понятия не имел, почему именно скорость света в вакууме постоянна (от понятия несущего возмущения эфира он уже отказался, иначе бы можно было предположить, что дело, как в среде с ограничением скорости звука). Аксиом а не требует объяснения своей сути, оно просто ее констатирует. В этом и проявляется обезличивание научной формализ ации. Сегодня уже есть предположения почему так происходит со скоростью света, но пока не верифицированные достоверно. Когда же будут выявлены механизмы этого на уровне причин и следствий (как бы странно это ни звучало в отношении квантовомеханических процессов вне пространства и времени), то модель реальности будет углублена новыми аксиом ами. Так что система аксиом атики в науке — не некая стабильно-неизменная основа, а постоянно развивающаяся системная модель.
Без взаимно-согласованной системы аксиом современная наука представляла бы собой просто набор несвязанной эмпирики, как это было с психологией, порождая множество школ и трактовок.
Все, что еще не познано можно правдоподобно объяснить бесконечным числом вариантов различных предположений. Но к науке это не имеет отношения и гипотез ами не назовешь потому, что наука никогда не сможет проверить бесконечное число вариантов и никогда не исследует явление, начиная от полностью непознанного. Гипотез а это — такое предположение, которое уже хорошо обосновано из существующих известных и проверенных фактов — аксиом , это — экстрапол яция от известного — в неизвестное и лишь только один ближайший шаг такой экстрапол яции.
Зачем обязательно нужно, чтобы теор ия базировалась на аксиом е? Аристотель придумал метод, названный его именем, с помощью которого он объяснял явления. Он использовал для этого «виртуальные шаблоны понятий».
Для примера предложу одну очень коротенькую » теор ию»:
«Сосиска это — специфический вид астральной сущности.»
Пока ничего не сказано. Все зависит от перевода терминов астральный и сущность. Мы имеем лишь виртуальный шаблон понятия, в который можно поместить любой смысл .
Все мист ические и религиозные теор ии обязательно используют эти шаблоны таким образом, как если бы это были уже определенные понятия. Создается иллюзия целостной и убедительной картины. Этим эксплуатируется свойство психи ки использовать вербальны е символы как эквивалент субъективных понятий. Причем возможно использовать эти символы даже в том случае, если еще нет почти никаких понятий. Например ребенок, на панический возглас: «Туда не ходи, там иксирикс!» прореагирует вполне адекватн о и вряд ли пойдет «туда» (во всяком случае, сразу), несмотря на то, что совершенно не представляет себе, что такое иксирикс, который может быть как опасностью, так и источником удовольствия. Причем просто возглас: «Туда не ходи!» возымел бы намного меньшее действие.
Порочность всех мист ических теор ий в том, что они пытаются описать картину мира, начиная с «самого начала», т.е. с сотворения, вводя при этом самый первый виртуальный шаблон — понятие Бога. Любые отдельные мист ические суб теор ии так же, как правило, начинают с определения базовых понятий как виртуальных шаблонов.
Теория, основанная на неопределенных понятиях, принципиально не может развиваться в описании действительности окружающего мира, используя логику. Потому, что сама логика — это есть описание, формализ ация законов взаимодействия, которые стали бесспорными для того, кто использует эту логику. И если базовая логика окажется неопределенной, то всегда можно будет указать условия, в которых она перестанет соответствовать реальности.
Что такое реальность — в статье Яйцо или курица.
Что такое истина (которая является результатом сравнения логики и ее соотвествия реальности) — в статье Что такое истина?
В статье ученый:
. в какой бы форме ни проводились исследования, основа научной методолог ии любой предметной области это — формализ ация той аксиом атики, на которой основываются обобщения этой предметной области, призванные сделать наиболее правдоподобное предположение ( гипотез ы) о закономерностях и фактических вытекающих отсюда проявлениях — основы аксиом атики следующего уровня. Эти предположения становятся личной аксиом атикой для носителей методолог ии и становятся общепризнанной аксиом атикой, когда их сообщество предметной области признает, что опытные проверки предположений бесспорны в рамках, определенных для их описания (вне этих рамок использования описаний может быть иное).
Так, Ньютон предложил сообществу свои 3 знаменитых закона и сегодня они признаны как аксиом атика, хотя для него это были гипотез ы, которые он сделал на основе убедительных для себя фактических наблюдений и исследований.
Всегда есть кто-то первый, кто предложит факты исследования или обобщения, которые потом или признаются или находится их порочность. Бывает, что аксиом атика присутствует как негласное, подчас невербальное признание некоей «очевидной» истины. «Земля очень большая и плоская» — вполне верная аксиом атика в определенных рамках ее использования (что можно сказать про любую аксиом атику), но без таких рамок может быть неверна или даже просто теряет определенный смысл . Как и личная аксиом атика, так и признанная сообществом, не может быть гарантией истины, поэтому из нее не стоит делаеть догмы и всякий раз когда появляется возможности проверки нового качества приближения, они проводятся.
Напротив, стоит только остановиться на некоей гипотез е или даже на аксиом атически убедительном утверждении, как это означает, что исследователь остановился на уровне мист ического восприятия. Ведь, делая следующий уровень предположений на основе пока не проверенных гипотез , увеличивается неопределенность, вероятность не адекватн ости. И через несколько ступеней появляется Бог. Главная задача ученых — обобщение достоверно известных фактов в наиболее правдоподобно описывающую явление гипотез у, определить границы использования этого описания, в которых оно будет всегда истинно (давать результат «истина» в операции сопоставления предположения и соответствующими предмету исследования проявлениями реальности, см. Истина и ее критерий).
В случае же не всего сообщества, а только одного ученого, все сказанное об аксиом атике, обобщающих предположениях и их проверке — соответственно, относится к нему одному: аксиом атикой он принимает не вызывающие у него возражений в достоверности факты, на их основе делает обобщения и предлагает все это научному сообществу предметной области, после чего его субъективизм корректируется личностным восприятием и пониманием всех заинтересовавшихся в сообществе. Сопоставляя предоставленные данные с реальным проявлением предмета исследования, они находят, в каких границах есть соответствие ( адекватн ость) — результат сопоставления — истина, а в каких условиях — ложь.
.
На этом сайте любому предоставлена техническая возможность построить собственную систему обоснований. Для этого в марте 2008г. создана Система ведения личной аксиом атики, которая позволяет не просто оформить верифицируемые открыто обоснования своим теор етическим утверждениям, но и предоставить возможность оптимизировать обобщение с помощью корректировки мнением сообщества, конечно при условии, что его работа вообще кого-то заинтересует.
Для того, чтобы можно было посмотреть результат, предлагается пример реализации системы личной аксиом атики. В тексте обобщения становится возможным делать ссылки на фактические источники и автоматически выводить их список низу в стиле использованной литературы.
Вот как ответил GPT на вопрос: » Аксиом а и постул ат — это синонимы или нет?»:
Нет, » аксиом а» и » постул ат» — не являются полностью синонимичными терминами, хотя они имеют схожие значения и часто используются в логике и математике.
Аксиом а — это утверждение, принимаемое без доказательства как истинное. Она служит основой для построения логической или математической теор ии. Аксиом ы обычно принимаются на основе интуиции, опыта или предшествующих выводов.
Постул ат — это утверждение, которое принимается без доказательства и служит базой для построения логических или математических рассуждений. Однако постул аты чаще всего используются в геометрии и формулируются в виде основных геометрических фактов или правил, которые принимаются без обоснования.
Таким образом, можно сказать, что постул аты являются частным случаем аксиом , применяемых в определенной области, какой-то конкретной теор ии или системе. В то же время, аксиом ы могут быть более общими и связаны с широкими областями знания.
В итоге, аксиом ы и постул аты имеют схожее назначение и подобные функции, но их использование и контекст могут различаться в зависимости от конкретной области знания, в которой они применяются.