Найти все значения при которых вектор b линейно выражается через векторы

Сообщение было отмечено ewsdony как решение

Решение

Сообщение от ewsdony

1) Две системы векторов называются равносильными, если их линейные оболочки совпадают.
2) В нашем случае u=(1,0,0)=(2а3-а1)/7, v=(0,1,3)=а3-5(1,0,0) и наоборот a1=2v+5u и т.д.
3) Отсюда выводим, что b выражается через а1,а2,а3 тогда и только тогда, когда b выражается через u,v.
4) Теперь взглянем на равенство

Как видно при любых лямбда эта система не имеет решений.

Найти все значения параметра, при которых вектор является линейной комбинацией векторов
3.Найти все значения лямда, при которых вектор b является линейной комбинацией векторов a1, a2.

Найти все значения параметра лямбда, для которых указанная система векторов-строк будет линейно зависимой
Здравствуйте, помогиите, пожалуйста, с данной задачей: Найти все значения параметра лямбда, для.

найти базу через которую можно выразить линейно-независимые векторы
задание такое: Для каждой из систем векторов найдите такую базу, чтобы линейно-зависимые векторы.

Найти значение параметра t при котором векторы линейно зависимы
Найти значение параметра t при котором векторы (9, -5, 2) (2,-8,t) (-7, 6, -10) линейно зависимы.

пространство — Арифметические пространства

Найти все значения x при которых вектор b линейно выражается через векторы: a1=(2,3,5), a2=(3,7,8), a3=(1,-6,1), b=(7,-2, x). Если я правильно понимаю, то вектор b линейно выражается через векторы a1, a2, a3, если система векторов a1, a2, a3 линейно зависима, значит нужно составить матрицу, искать её ранг методом Гаусса, но решая я прихожу к тому, что система линейно зависима при любых x, а в ответе 15. подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

задан 2 Ноя ’15 22:45

Можно ещё сделать так: заметить, что система a1,a2,a3 линейно зависима (5a1-3a2=a3). Тогда лишний вектор убираем, и составляем определитель из строк a1,a2,b. Приравниваем к нулю, и находим значение x=15.

1 ответ

значит нужно составить матрицу, искать её ранг методом Гаусса — Всё так, с небольшим уточнением. Вы не просто находите ранг, а проверяете условие теоремы Кронекера-Капелли.

6. Исследовать, являются ли векторы

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства r2, заданного в некотором базисе матрицей

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 2.

Значит, — собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х₂=t →x₁=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы

Мы должны найти все λ, для которых уравнение (1)

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

При 18-3λ=0, т.е. при λ=6, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и = 3. И при таких λ система, а, значит, уравнение (1), имеет решение. При других λ решений нет.

9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где

Рассмотрим систему векторов , . И пусть θ, θ=0+0х+0х 2

Это приводит к системе:

Система имеет единственное решение:

И поэтому вектора , линейно независимы.

Рассмотрим систему векторов , , (1)

Это приводит к системе:

Определитель системы ≠ 0 → система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов (1) является базисом линейной оболочки. LimL(a₁, a₂, a₃)=3

Докажите, что линейные пространства и изоморфны:

C над R , R 2 .

Т-ма: 2 конечномерных векторных пространства изоморфны ↔, когда их размерности совпадают.

Размерностью пространства V (dim V) называется число элементов в базисе этого пространства. Найдем базисы для V₁ и V₂.

Для любого комплексного числа zЄV₁ мы имеем: z = a+b_i=0 . 1+0, любое комплексное число – есть линейная комбинация векторов 1, i (1).

Пусть теперь , значит система (1) линейно независима и поэтому является базисом в пространстве V₁. Итак, dimV₁=2

В пространстве R 2 имеется базис e₁=(1,0), e₂=(0,1). Значит dimV₂=2.

Следовательно, по теореме эти пространства изоморфны.

11 Найти матрицу, обратную матрице а

_{Решение: Обратную матрицу можно искать только для квадратной матрицы, у которой определитель ≠ 0}

_{т. к. обратная матрица существует}

_{Aij — алгебраические дополнения}

15. Даны два базиса и пространства Найти матрицу перехода от базиса к .

Так как векторы е₁, е₂ образуют базис пространства, то векторы а₁ и а₂ можно линейно выразить через е₁, е₂:

Каждое из этих равенств можно заменить системой уравнений α₁₁=1, α₁₂= -1. α₂₁=2, α₂₂= -1

Найти все значения лямбда при которых вектор b линейно выражается через векторы a1 a2 a3

Найти все значения x при которых вектор b линейно выражается через векторы: a1=(2,3,5), a2=(3,7,8), a3=(1,-6,1), b=(7,-2, x). Если я правильно понимаю, то вектор b линейно выражается через векторы a1, a2, a3, если система векторов a1, a2, a3 линейно зависима, значит нужно составить матрицу, искать её ранг методом Гаусса, но решая я прихожу к тому, что система линейно зависима при любых x, а в ответе 15. подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

задан 2 Ноя ’15 22:45

Можно ещё сделать так: заметить, что система a1,a2,a3 линейно зависима (5a1-3a2=a3). Тогда лишний вектор убираем, и составляем определитель из строк a1,a2,b. Приравниваем к нулю, и находим значение x=15.

1 ответ

значит нужно составить матрицу, искать её ранг методом Гаусса — Всё так, с небольшим уточнением. Вы не просто находите ранг, а проверяете условие теоремы Кронекера-Капелли.

Исследование системы на совместимость и решение методом Крамера. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

Т-ма Крамера: крамеровская система имеет единственное решение.

Крамеровская система – это система, удовлетворяющая следующим 2-м условиям:

1) число уравнений системы = числу неизвестных

2) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0

Система совместима, т.е. имеет хотя бы одно решение.

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Решение:Выпишем расширенную матрицу системы

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.

Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы

С – расширенная матрица системы, А – матрица системы

r(A)=2 r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе:

Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.

главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),

3. Разложить пространство R 4 на прямую сумму подпространств размерности 2.

R 4 – множество строк длины 4 (4-х мерное арифметическое пространство)

Если А и В – подпространства пространства V, то через А+В обозначают множество

В случае, если А∩В= – нулевое подпространство, то такая сумма V=A+B называется прямой и в этом случае пишут V=A. В нашем случае Ø=(0,0,0,0)

Проверим, что пространство задаётся в виде А+В

а=( в==(0,0,, значит R 4 =A.

Ответ: R 4 =A, где А= векторы которого имеют единичную длину и перпендикулярны друг другу. Тогда, разложив вектор по базису
= – координатная запись. Если вектора записаны в координатах, то операции сложения и умножения на число выполняются покоординатно, что согласуется с геометрическим определением суммы, разности и умножения на число.

1.21. По данным векторам , построить векторы:
= + 2 , = 0,5 – 2 и найти их координаты:

1) = (1; 2), = (2; –1); 2) = (–1; 1), = (3; 1);

3) = (–2; –2), = (1; 1); 4) = (2; 4), = (1; –1).

1.22. В треугольнике АВС проведена медиана АD. Выразить вектор через векторы = , = .

1.23. В некотором базисе даны векторы = (1; 2; 1), = (2; 1; 1),
=(–1; –2; –1). Найти все значения параметра m, при которых вектор
= (2; 3; m) линейно выражается через векторы .

Задача о разложении вектора по базису

Имеются три вектора = (–2; 0; 1), = (1; –1; 0), = (0; 1; 2). Выяснить, является ли вектор = (2; 3; 4) линейной комбинацией векторов . Найти его разложение по базису.

Пусть =х + у + z .Необходимо найти коэффициенты разложения х, у, z.

Имеем, (2; 3; 4) = x(–2; 0; 1) + y(1; –1; 0) + z(0; 1; 2) или

(2; 3; 4) = (–2х + у; –у + z; х + 2z).

Приравняв координаты, получаем систему уравнений:

Решаем её (х, у, z) = (–1,2; –0,4; 2,6), т. е вектор имеет разложение:

=–1,2 –0,4 + 2,6 .

1.24. Даны четыре вектора , , , в таблице 1.13.

№
(4, 5, 2)	(3, 0, 1)	(–1, 4, 2)	(5, 7, 8)
(3, –5, 2)	(4, 5, 1)	(–3, 0, –4)	(–4, 5, –2)
(–2, 3, 5)	(1, –3, 4)	(7, 8, –1)	(1, 9, 2)
(1, 3, 5)	(0, 2, 0)	(5, 7, 9)	(0, 4, –2)

Показать, что первые три из них образуют базис и найти координаты четвертого вектора в этом базисе.