Найдите все значения а при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума

ЕГЭ (профиль) / (C6) Задача с параметром

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет единственное решение:

Задание 1321

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наибольшее значение функции $$f(x)= |x-a|-x^<2>$$ не меньше 1

Задание 1322

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4ax+|x^<2>+6x+5|$$ больше, чем -24

Задание 1323

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4x^<2>+4ax+a^<2>-2a+2$$ на множестве $$|x|\geqslant 1$$ не менее 6

Задание 1324

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^<2>-2|x-a^<2>|-8x$$ имеет более двух точек экстремума

Задание 1325

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^<2>-2|x-a^<2>|-4x$$ имеет хотя бы одну точку максимума

Задание 1326

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых среди значений функции $$y=\frac-2x+a><6+x^<2>>$$ есть ровно одно целое число

Задание 1327

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых график функции $$f(x)=x^<2>-3x+2-|x^<2>-5x+4|-a$$

Задание 1328

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac+2ax+a^<2>+1>$$ содержит отрезок $$[0;1]$$

Задание 1329

Найдите все такие значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(4x-x^<2>)^<2>-32\sqrt<4x-x^<2>>=a^<2>-14a$$ имеет хотя бы одно решение

Задание 2503

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень: $$\left|x-2\right|+\left|x\right|-ax=2(a-1)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 2949

Найдите все значения параметра b, при которых система $$ \left\<\beginx=-|b-y^<2>|\\ y=a(x+b^<2>)\end\right.$$ имеет решение при любом значении параметра а.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3039

При каких значениях параметра a среди решений неравенства $$\log_<2>(x-100)-\log_<\frac<1><2>>\frac<|x-101|><105-x>+\log_<2>\frac<|x-103|(105-x)>> a$$ содержится единственное целое число?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3163

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$3*2^+\frac<3><2^>+a(18-x^<2>)=6(a^<2>+2)$$ имеет ровно одно решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3209

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$\frac-4x-5>-4x-5>\geq1$$ имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого a укажите эти решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Разбор задач с5 егэ по математике

Рассмотрим задачи с параметрами, которые присутствуют в заданиях егэ по математике. Один из самых распространенных способов решения – построение и исследование геометрической модели.

Пример 1. Найдите все значения a , при каждом из которых функция f (x) = x2 − 2 | x − a2 | − 8x имеет более двух точек экстремума.

Решение. Выпишем выражение для функции f(x) на различных областях числовой оси.

а) при x ≥ a 2 f (x) = x 2 −10x + 2a 2 , поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x= 5;
б) при x ≤ a 2 f (x) = x 2 − 6x − 2a 2 , т.е. ее график – это часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x= 3.
Все варианты взаимного расположения значений 3, 5, a 2 показаны на рисунке ниже.

Заметим, что графики обеих квадратичных функций проходят через точку (a 2 ; f (a 2 )) .

При этом функция f (x) имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в единственном случае

3 < a 2 < 5 ⇔ или .

При проверке данной задачи использованы следующие критерии:

4 балла Обоснованно получен правильный ответ
3 балла Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
2 балла Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решений условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна
1 балл Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Пример 2. Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Приведу скриншот решения из методических рекомендаций по оцениванию выполнения заданий егэ с развернутым ответом.

Критерии к этой задаче были такие

4 балла Обоснованно получен верный ответ
3 балла С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;
– или решение недостаточно обосновано
2 балла С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
1 балл Задача сведена к исследованию:
– или взаимного расположения трёх окружностей;
– или двух квадратных уравнений с параметром
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Пример 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение . График первой функции показан на рисунке красным, а g(x) представляет собой пучок прямых, проходящих через точку (0,-2).

Тогда исходное уравнение будет иметь более двух корней, когда эти две функции будут пересекаться 3 раза и более. Три точки пересечения будут с теми прямыми, которые находятся между синей и зеленой прямыми. Найдем значения параметров a, соответствующих этим двум прямым.

Для зеленой прямой выполняется условие f(5/3)=0, откуда находим, что а=6/5.

Для синей прямой коэффициент находим из условия, что функции f(x)=ax-2 и g(x)=3-5/x пересекаются только в одной точке, это приводит к исследованию квадратного уравнения . Данное уравнение имеет единственное решение при a=5/4.

Таким образом получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение при 6/5<a<5/4.

4 балла Обоснованно получен правильный ответ
3 балла С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек
2 балла С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а
1 балл Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых функция f(x) = x ^ 2 — 3|x — 2 — a ^ 2 | — 9x + 14 имеет более двух точек экстремума?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых функция f(x) = x ^ 2 — 3|x — 2 — a ^ 2 | — 9x + 14 имеет более двух точек экстремума.

Y = x ^ 2 — 9x + 14 — 3 * |x — 2 — a ^ 2| = x ^ 2 — 9x + 14 — 3 * |x — (a ^ 2 + 2)|

1) Если x 3 ; то есть a ^ 2 > 1, значит,

a ∈ ( — oo ; — 1) U (1 ; + oo)

2) Если x = a ^ 2 + 2, то |x — (a ^ 2 + 2)| = 0, тогда

y = x ^ 2 — 9x + 14

Экстремум этой функции (максимум) находится в точке x0 = 9 / 2 = 4, 5

x = a ^ 2 + 2 = 4, 5 ; a ^ 2 = 2, 5 = 5 / 2 ;

a = + — √(5 / 2) ; a1 ≈ — 1, 58 1 — оба подходят к 1 случаю.

3) Если x > a ^ 2 + 2, то |x — (a ^ 2 + 2)| = x — (a ^ 2 + 2), тогда

y = x ^ 2 — 9x + 14 — 3x + 3(a ^ 2 + 2) = x ^ 2 — 12x + (20 + 3a ^ 2)

Экстремум этой функции (минимум) находится в точке x0 = 12 / 2 = 6

Чтобы на графике появился экстремум, а не просто ветка параболы,

должно быть a ^ 2 + 2 17 янв. 2021 г., 12:02:40 | 10 — 11 классы

Найдите все значения параметра а, при котором система имеет более одного решения?

Найдите все значения параметра а, при котором система имеет более одного решения.

Укажите число точек экстремума функции y = f(x)?

Укажите число точек экстремума функции y = f(x).

Найдите все целые значения параметра m , при которых уравнение имеет два корня ?

Найдите все целые значения параметра m , при которых уравнение имеет два корня :

Для каждого значения параметра а найдите наименьшее и наибольшее значение функции :y = x² — 4x на отрезке [ — 1 ; a]?

Для каждого значения параметра а найдите наименьшее и наибольшее значение функции :

y = x² — 4x на отрезке [ — 1 ; a].

Найдите значение параметра a, при котором уравнение ax = 2x + 1 не имеет корней?

Найдите значение параметра a, при котором уравнение ax = 2x + 1 не имеет корней.

Y = x ^ 3 — 3x Найдите точки экстремума функции и значения функции в точках экстремума?

Y = x ^ 3 — 3x Найдите точки экстремума функции и значения функции в точках экстремума.

Найдите все значения а, при которых график функции у = х + 1 / a + 1 не имеет общих точек с графиком функции у = ах ^ 2 — (х / а — 1) + 1?

Найдите все значения а, при которых график функции у = х + 1 / a + 1 не имеет общих точек с графиком функции у = ах ^ 2 — (х / а — 1) + 1.

Решить параметрНайдите все значения а, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3 ; 4]?

Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3 ; 4].

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнениеx ^ 6 + (5a — 8x) ^ 3 + 3x ^ 2 + 15a = 24x не имеет корней?

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

x ^ 6 + (5a — 8x) ^ 3 + 3x ^ 2 + 15a = 24x не имеет корней.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение.

Вопрос Найдите все значения параметра a, при каждом из которых функция f(x) = x ^ 2 — 3|x — 2 — a ^ 2 | — 9x + 14 имеет более двух точек экстремума?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Алгебра и соответствует программе для студенческий. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

2012_МА_часть_1_методические рекомендации

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f ( x ) = 4 ax + x 2 − 6 x + 5 больше, чем – 24.

1. Функция f ( x ) имеет вид:

а) при x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1 )( x − 5 ) ≥ 0 f ( x ) = 4 ax + ( x 2 − 6 x + 5 ) = x 2 + 2 ( 2 a − 3 ) x + 5 ,

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными

вверх, и осью симметрии x = 3 − 2 a ;

б) при ( x − 1 )( x − 5 ) ≤ 0 1 ≤ x ≤ 5 f ( x ) = 4 ax − ( x 2 − 6 x + 5 ) = − x 2 + 2 ( 2 a + 3 ) x − 5 ,

а ее график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

2. Если 3 − 2 a принадлежит отрезку [ 1; 5 ] , то наименьшее значение функция может принимать только в конечных точках x = 1 и x = 5 . Если 3 − 2 a [ 1; 5 ] – то

еще и в точке x = 3 − 2 a .

f ( x ) больше – 24 тогда и только тогда,

3. Наименьшее значение функция

Решим первую систему:

f ( 3 − 2 a ) > − 24.

4 a > − 24, − 1 ≤ a ≤ 1 .

Решим вторую систему:

Обоснованно получен верный ответ

С помощью верного рассуждения получены все верные значения

параметра, но решение недостаточно обосновано

С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий

верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке

Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных

значения a , при каждом из которых функция

f ( x ) = x 2 − 2 | x − a 2 | − 8 x имеет более двух точек экстремума.

f ( x ) = x 2 − 10 x + 2 a 2 , поэтому ее график есть часть параболы

с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x = 5 ;

f ( x ) = x 2 − 6 x − 2 a 2 , поэтому ее график есть часть параболы с

ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x = 3 .

Все возможные виды графика функции f ( x ) показаны на рисунках:

2. Графики обеих

проходят через точку

3. Функция y = f ( x )

имеет более двух точек экстремума, а именно – три,

в единственном случае (рис. 1): 3 < a 2 < 5

Критерии оценивания выполнения задания С5, №3

Обоснованно получен правильный ответ

Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо

имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства

функции), либо содержит вычислительные ошибки

Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При

составлении или решений условий на параметр допущены ошибки,

в результате которых в ответе либо приобретены посторонние

значения, либо часть верных значений потеряна

Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено

верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика

функции в целом

Подчеркнем, что приведенный критерий на 3 балла формально содержит внутреннее противоречие: «Получен верный ответ…» не сочетается с «…либо содержит вычислительные ошибки». Более точно, имелось в виду следующее:

«Решение в целом верное, но:

либо получен верный ответ, а обоснования имеют пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции); либо в обосновании пробелов нет, но ответ неверен из-за вычислительных ошибок».

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система

y 2 + xy − 4 x − 9 y + 20 = 0, y = ax + 1,

имеет единственное решение.

Решение. Преобразуем исходную систему

( y − 4) x + yy = ax + 1, x > 2

( y − 4)( x + y − 5) = 0,

Уравнение ( y − 4)( x + y − 5) = 0

задает пару пересекающихся прямых y = 4 и

y = 5 − x . Система

( y − 4)( x + y − 5) = 0

части этих прямых, расположенные правее прямой x = 2 , т.е. лучи BD и CE (без точек B и C ), см. рис. Уравнение y = ax + 1 задает

прямую m с угловым коэффициентом a , проходящую через точку A (0;1) . Следует

найти все значения a , при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и CE .

а) Прямая AB задается

y = 1,5 x + 1 . Поэтому при a ≥ 1,5

пересечет ни луч BD , ни луч CE .

б) Прямая AC задается уравнением y = x + 1 . Поэтому при 1 ≤ a < 1,5 прямая

m пересечет луч BD , но не пересечет луч CE .

в) При 0 < a < 1 прямая m пересечет и луч BD , и луч CE .

г) Наконец, при − 1 < a ≤ 0 прямая m пересечет только луч CE , а при a ≤ − 1 она не пересечет ни луч BD , ни луч CE .

Схема другого решения.

— В уравнение y 2 + xy − 4 x − 9 y + 20 = 0 подставить y = ax + 1 ;

— Привести подобные, найти дискриминант и получить ( ax − 3)( x ( a + 1) − 4) = 0 ;

— Рассмотреть все случаи расположения корней последнего уравнения

относительно 2 и отобрать нужные.

Ответ. − 1 < a ≤ 0, 1 ≤ a < 1,5 .

Критерии оценивания выполнения задания С5, №4

Обоснованно получен правильный ответ

Решение в целом верное. Обоснованно найдены оба промежутка

значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны

неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная

Обоснованно найден хотя бы один промежуток значений параметра

из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением

концов и(или) вычислительная погрешность

— или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия

— или верное получение квадратного уравнения с параметром а

относительно одной из переменных

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных

Отметим еще одну особенность рассматриваемых заданий с параметром. Практика проверки реальных работ учеников показала, что правильно построенная и грамотно изображенная геометрическая модель задачи зачастую не только необходима, но и в определенном смысле достаточна для получения высокого балла при оценивании решения.

Например, если в предложенном выше способе решения задачи 4 оставить преобразования системы, рисунок в его имеющемся виде и сопроводить этот рисунок лишь кратким перечнем типа « a > 1,5 — 0 решений,

1 ≤ a < 1,5 — одно решение, …., a ≤ − 1 — 0 решений», то меньше 3 баллов поставить будет невозможно.

Примеры оценивания заданий С5.

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

( x − 6 ) 2 + ( y − 12 ) 2 = 4,

( x + 1 ) 2 + y 2 = a 2

имеет единственное решение.

Ответ: 11; 193 + 2 . (См. критерии задачи 1.)

Комментарий. Подход, как говорят, «в принципе» верен. Одно нужное значение параметра найдено верно и обоснованно (хорошо, что в ответе есть исправление). Так что по критериям менее 2 баллов — не поставить. Нельзя поставить и более 2 баллов, так как не «…получены оба верных значения параметра…»

Оценка эксперта: 2 балла.

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

( x − 6 ) 2 + ( y − 12 ) 2 = 4,

( x + 1 ) 2 + y 2 = a 2

имеет единственное решение.

Ответ: 11; 193 + 2 . (См. критерии задачи 1.)

Комментарий. Имеется классическая ученическая ошибка с «отбрасыванием» модуля. В итоге, хотя одно значение параметра, при котором происходит касание, и найдено верно, но это – именно то значение, которое не является верным из-за пропущенной второй окружности с центром (-6; 12).

Оценка эксперта: 0 баллов.

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f ( x ) = 4 ax + x 2 − 6 x + 5 больше, чем – 24.

Ответ: 3 − 2 29 < a < 3 + 2 29 . (См. критерии задачи 2.)

Комментарий. Получен верный ответ, но получен он не обоснованно! На

утверждение x ( A или B ) заменено утверждением

( x A ) или ( x B ) , что

является обычной, но весьма грубой логической

ошибкой. Конкретнее, при решении неравенства (1) (или (2)) ошибка состоит в том, что рассматриваются x R , а нужно рассматривать x вне отрезка [1;5] (или x в отрезке [1;5]). Значит, задача не «…сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол…»

Оценка эксперта: 0 баллов.

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f ( x ) = 4 ax + x 2 − 6 x + 5 больше, чем – 24.

Ответ: 3 − 2 29 < a < 3 + 2 29 . (См. критерии задачи 2.)

Комментарий. Имеется арифметическая ошибка при делении на -4. Без нее ответ совпадал бы с верным ответом. Однако для обоснованного получения ответа не достаточно одного неравенства y верш > − 24 . Кроме того,

явно не хватает указания тех промежутков, где автор «раскрывает модуль» с плюсом или с минусом. С некоторой натяжкой, но задача «…сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол…»

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 5. Найдите все значения a , при каждом из которых функция f ( x ) = x 2 − | x − a 2 | − 9 x имеет более двух точек экстремума.

Ответ: − 5 < a < − 2 ; 2 < a < 5 . (См. критерии задачи 3.)

Ответ верен с точностью до странности 4 и описки − 2 , вместо

− 2 = − 4 . В оригинале текста самое загадочное – это индексы у абсцисс вершин парабол. Фотоувеличение показывает, что это «extr» — экстремум. В остальном, — довольно ясно и прямо по критериям: «…Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции),…»

Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 6. Найдите все значения a , при каждом из которых функция f ( x ) = x 2 − | x − a 2 | − 7 x имеет более двух точек экстремума.

Ответ: − 5 < a < − 2 ; 2 < a < 5 . (См. критерии задачи 3.)

Модули раскрыты верно, имеются верные эскизы графиков во всех трех случаях и указаны необходимые свойства функции, ответ верен.