Найдите все целые n при которых n2 n 3 делится на n 1

Найдите все целые n, при которых n2−n+3 делится на n+1.

Для того, чтобы начать решать эту задачу, нам необходимо найти такую последовательность, которая приносила бы нам всегда удачу! Из условия ясно, что начинающий должен ходить первый. Можно предложить такой вариант ходов:
Начинающий должен взять один карандаш. Остается 17 штук. Какое бы количество карандашей ни взял противник, обязательно нужно оставить 13 карандашей на столе. По такому же раскладу, надо оставить 9 карандашей, а затем 5. Какое бы количество карандашей не взял соперник, начинающий всегда сможет оставить ему 1 карандаш.

Тема, как я понимаю, «Квадратные уравнения»?

Как решать квадратные уравнения?
Смотри. Уравнение: ах^2+bx+c=0 называется квадратным.
Например, х^2-х-6=0
Решается оно через дискриминант. Точное определение дискриминанта, к сожалению, дать не смогу. Находится он по формуле: b^2-4ac.
Найдём дискриминант нашего уравнения:
Д=(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25.
А теперь нам предстоит найти корни уравнения. В квадратном уравнении, как правило, их 2. Реже — 1 корень, или вовсе корней нет. Всё зависит от дискриминанта.
Если он больше нуля — то 2 корня, и формула: х_1,2=(-b(+-)√Д) / 2а.
Если дискриминант равен 0, то 1 корень, и формула: х=-b/2a.
А если дискриминант меньше нуля — то корней нет.
Найдём корни нашего уравнения: Их у нас два, так как дискриминант больше нуля:
х_1,2=(1+-√25)/2=(1+-5)/2.
Это формула двух корней. А теперь найдём каждый корень по отдельности:
х_1=(1+5)/2=6/2=3;
х_2=(1-5)/2=-4/2=-2.
Корнями будут являться числа 3 и -2.
Итак, запишем теперь ответ: х_1=3; х_2=-2.

Всё просто! Со временем ты будешь щелкать эти уравнения, как семечки! 😉

А решение твоих уравнений находится во вложении, только там кратко, не запутайся)

Найдите все целые n при которых n2 n 3 делится на n 1

Найдите все целые n при которых n2 n 3 делится на n 1

1.задача эквивалентна вот такой, насколько я понимаю:

найти все n, что 2*n/(n+1) — натуральное.

если не поможет подсказка, распишу подробнее.

2.а тут эквивалентно "натуральности выражения

• U-mail
• Дневник
• Профиль

• U-mail
• Дневник
• Профиль

.

• U-mail
• Профиль

чисто для четкости )))

там не плохо бы было бы проверять еще и выпадающие корни ))

по условию ведь n — любое натуральное число, а в получившемся уровнения 1) выпадает n=1, которую надо проверить тупо подстановкой )

• U-mail
• Дневник
• Профиль

Ой, я там ошиблась, прости пожалуйста

Там в знаменателе должно быть n+1

я сейчас выложу правильное решение

• U-mail
• Профиль

Да ничего страшного ))

Мне главное было сам ход решения )

• U-mail
• Дневник
• Профиль

в общем в рукописном варианте трудно что-то исправить, там должно быть n-1+2/(n+1)

комбинаторика — Задача о делимости

Доказать, что среди любых $%2^ -1$% целых чисел найдется $%2^n$% чисел, сумма которых делится на $%2^n$%.

задан 11 Ноя ’14 19:09

Надо заметить, что в такой формулировке условие неверно. Скажем, при $%n=1$% получается одно число, и двух вообще не найдётся. При $%n=2$% будет три числа, и четырёх там нет. При $%n=3$% утверждение тоже неверною Я думаю, что условие должно было звучать иначе. Скорее всего, было $%2^ -1$% целых чисел, среди которых надо найти $%2^n$%, сумма которых делится на $%2^n$%. В такой формулировке задача мне попадалась, и это «облегчённый» случай общего факта для $%2N-1$% чисел и делимости на $%N$% суммы $%N$% из них. Для степеней двойки это легко доказывается по индукции.

@falcao Спасибо, наверное условие действительно «среди $%2^ -1$% чисел выбрать $%2^n$% таких, что их сумма делится на $%2^n$%». Думаю, что у меня получится по индукции доказать.

@aid78: да, конечно. Там просто три раза можно выбрать по $%2^ $% чисел, поделив суммы на $%2^ $%, а потом из трёх чисел взять два одной чётности.

Сравнения по модулю для задач на делимость ⁠ ⁠

С ужасом обнаружил, что на пикабу нет статьи про такую прекрасную вещь, как сравнения по модулю и их применение в решении задач на делимость. А тем временем школьники страдают от сложности задачи «Найти, при каких натуральных n выражение n^4 + n^3 + n^2 + 2 делится на 4 без остатка или показать, что таких нет». Вне всяких сомнений особо шустрые школьники решат эту задачу, но сколько на это уйдёт времени? Я же предлагаю использовать метод сравнений по модулю, который в сущности своей довольно прост. В конце мы режим и эту задачу. Кстати, кажется, он может пригодиться даже на ЕГЭ. Итак.

Вспомним несколько простых фактов о делимости в Z. Собственно, иную и не рассматриваем. Поделить a на b (условимся рассматривать только целые числа) означает представить a как

a = bk + r, где r — остаток. На него накладываются определённые условия:
0 =< r < |b|. Важно запомнить, что остаток не может быть отрицательным, так что -9 равно не 4*(-2) — 1, а 4*(-3) + 3. Далее, при последовательном делении чисел на m получается m остатков со значениями 0, 1, . m — 1. Это всё простые вещи. Теперь новшества.

Два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если их разность нацело делится на m = два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если при делении на m они дают одинаковы остаток = два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если a = b + mk. Пишется это так:
a ≡ b (mod m)

Что там с примерами? Уже готовы.

Ну и зачем это? Сейчас всё будет. Для начала покажем некоторые свойства сравнений по модулю:

a — a = 0 — делится на m.

2. Если a ≡ b (mod m), а b ≡ c (mod m), то a ≡ c (mod m)

Док-во:
Если a ≡ b (mod m), то они дают при делении на m некий одинаковый остаток z. Из b ≡ c (mod m) следует, что c при делении на m даёт тот же остаток z. Отсюда уже по определению следует сравнимость a и c по модулю m.

3. Если a ≡ b (mod m), а c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m)

Док-во:
Сами докажите и не забудьте ещё про разность. Мне лень. ��

4. Если a ≡ b (mod m), то ah ≡ bh (mod m), где h — целое число.

Док-во:
Из сравнимости следует, что

Домножим обе части на целое число h
ah — bh = mkh

Вот тут можно как перейти к модулю mh, так и остаться в модуле m. Мы останемся, так что воспользуемся ассоциативностью умножения в кольце (Z, +, *) и очевидной замкнутостью относительно * (это, впрочем, следует из определения кольца):
ah — bh = m(kh)

ah — bh = mg, где g = kh — целое число

Итак, мы получили, что ah — bh делится на m с нулевым остатком. Следовательно.

5. Если a ≡ b (mod m), то a^n ≡ b^n (mod m), где n — натуральное число.

Док-во:
Так хочется полежать.

6. Ну тут сами или загляните в википедию. Я и так написал слишком много, чтобы изобрести уже два велосипеда. Вы совершенно справедливо заметите, если скажете, мол, хватит нам пудрить мозги — давай уже за дело. Даю.

Но! Сперва я введу ещё одну структуру — класс вычетов по модулю m. Чтобы объяснить взаимозаменяемость, которой мы позже коснёмся. ��

Будем последовательно делить на m, отвлекаясь от неполного/полного частного. Нас интересуют только остатки от деления. Скажем, будем последовательно делить на 4 (из дидактических соображений не увожу в область отрицательных чисел) и искать значение числовой функции Rest, которая выдаёт остатки от деления:

Далее получится 0 и снова будут повторяться остатки. Цикл замкнулся. Далее заметим, что числа с равными остатками в общем виде представимы как a = 4k + r, где r принадлежит множество [ мы берём модуль 4, то есть делим на 4]. Эти числа разбивают всё множество Z на определённые группы чисел, которые имеют одинаковые остатки при делении на 4. Обобщим это на любой модуль m: последовательное деление на m разбивает множество Z на классы чисел, дающие при делении на m одинаковый остаток. Эти числа, очевидно, сравнимы по модулю m. Такие классы называются классами вычетов по модулю m. Их всего будет m штук. Множество классов вычетов по модулю m обозначается как G(m). Образуем, примера ради, множество G(2). Итак, всего будет 2 класса вычетов, причём они будут сравнимы по модулю 2 с числам 0 и 1. Если обозначить класс вычетов по модулю m как [k], где k — наименьший положительный вычет, то получатся два класса:
[0] =

Таким образом классы вычетов суть множества (классы, если точнее). Зачем они нам? В нашем случае — на самом деле это очень богатая структура — они позволяют взаимозаменять числа, сравнимые по модулю m, ибо тогда они попадут в один класс вычетов по модулю m. Иными словами, все числа из одного класса вычетов по модулю m тождественны при решении задач на остатки. Вот теперь мы готовы к задачам.

1. При каких натуральных n выражение n^2 + 2 делится на 2 без остатка?

Решение:
Переформулируем задачу на языке сравнений по модулю 2:
n^2 + 2 ≡ 0 (mod 2)

Будем смотреть на n в упор, для которого существует всего два случая:
1. n ≡ 0 (mod 2)

Далее возводим в квадрат обе части сравнения:
n^2 ≡ 0 (mod 2)

Многие здесь недоумевают, почему n^2 + 2 ≡ 0 (mod 2), а не n^2 + 2 ≡ 0 (mod 2). На самом деле всё просто: прибавляя к обеим частям число вида ml, где m — модуль сравнения, правая или левая часть не меняется, «счётчик обнуляется» (подумайте почему, см. остатки и определение сравнения).

Итак, наше требование выполняется только при n ≡ 0 (mod 2), то есть n = 2k -чётном натуральном числе. Записывайте ответ.

2. Доказать, что a^n + b^n, где n — натуральное число, делится на a — b без остатка.

Решение:
Нужно доказать, что a^n + b^n ≡ 0 (mod a — b)

Давайте с галёрки:

a ≡ b (mod a — b) — проверьте!

3. Найти последнюю цифру 17^2132

Нас просят найти x с условием 17^2132 ≡ x (mod 10)

Идём с галёрки:
17^2132 ≡ 7^2132 [помните про классы вычетов. ] (mod 10)

Делимость.

Целое число делится на целое число , если существует такое целое число , что .

1. 
2. Если и то и .
3. Если и , то .
4. Если в равенстве и , то .

Всякое целое представляется единственным способом с помощью целого равенством вида где — целые, . Число называется частным, — остатком от деления на .

Пример 1. Найдите все натуральные числа, при делении которых на в частном получится то же число, что и в остатке.

Решение.

По условию задачи остаток равен частному:

По теореме о делении с остатком: . Следовательно, .

Получаем:

Из полученных чисел выбираем натуральные и записываем в ответ.

Ответ:

Пример 2. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на alt=»5» width=»8″ height=»12″ />. Докажите, что каждое из данных чисел делится на alt=»5» width=»8″ height=»12″ />.

Решение.

Пусть — данные натуральные числа.

.

По условию задачи сумма каждых делится на .

Следовательно,

Следовательно, и

Получается, что каждое данное число делится на

1. Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на .
2. Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
3. Сумма двух натуральных чисел равна . Докажите, что произведение этих чисел не может делиться на .
4. делится на . Докажите, что делится на .
5. и делятся на . Докажите, что делится на .
6. Для некоторых целых и число делится на . Докажите, что число также делится на .
7. Известно, что выражение делится на при некоторых целых и . Докажите, что также делится на при таких и .
8. Найдите все натуральные , для которых делится на .
9. Докажите, что при любом натуральном число не делится на .
10. Пусть и – целые числа. Докажите, что если делится на , то и делится на .

Помогите пожалуйста решить задачку. Найдите все целые числа n, при которых n^5 + 3 делится нацело на n^2 + 1

Вот правильное решение. пусть А=n^5+3 и B=n^2+1. прибавим и отнимем от А одно и то же число n, тогда A=(n^5-n)+(n+3)=n(n^4-1)+(n+3)=(n^2+1)n(n^2-1)+(n+3). возмем отношение A/B=n(n^2-1)+(n+3)/(n^2+1). А/В будет целым если: 1. n+3=0, n=-3. 2. n+3 делится нацело на n^2+1. отсюда получаем еще четыре решения: n=0, n=1, n=-1 и n=2

Похожие вопросы Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

1 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Помогите пожалуйста решить задачку. Найдите все целые числа n, при которых n^5 + 3 делится нацело на n^2 + 1

Вот правильное решение. пусть А=n^5+3 и B=n^2+1. прибавим и отнимем от А одно и то же число n, тогда A=(n^5-n)+(n+3)=n(n^4-1)+(n+3)=(n^2+1)n(n^2-1)+(n+3). возмем отношение A/B=n(n^2-1)+(n+3)/(n^2+1). А/В будет целым если: 1. n+3=0, n=-3. 2. n+3 делится нацело на n^2+1. отсюда получаем еще четыре решения: n=0, n=1, n=-1 и n=2

Похожие вопросы Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Остальные ответы

N 3 делится нацело на n 2 1.

Otvet. mail. ru

Любые данныеЛюбые данныеЛюбые данныеЛюбые данные Любые данные Любые данные

Любые данные

Любые данные

Найдите все целые n, при которых n2−n+3 делится на n+1

1 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 1

0,0 /5 Ответ разместил: kastuev331 Доступ после просмотра рекламы Ответы будут доступны после просмотра рекламы Показать ответы

Удалить ответ +1 балл

Другие вопросы по Алгебре

Алгебра, portal1234 Найдите значение выражения 1,4x^3+0,3^2-2 при х=-2. Ответов: 3

.(1) выделив штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе условий x> =-1 и y= =-1 и y=