Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 388 Ларина.
Если сделано 2 броска, то общее количество исходов 4 штуки (ОО; ОР; РО; РР) и только один с двумя орлами, то есть $$\frac<1><4>$$ — вероятность 2 орлов за 2 броска.
Далее за 3 считаем: всего исходов 8, с 2 орлами 3 (ООР; ОРО; РОО), но ООР мы не считаем, так как если бы первыми двумя бросками выпали орлы, то третий не делали бы. Значит $$2\Rightarrow P=\frac<2><8>=\frac<1><4>.$$
За 4 броска: всего 16 исходов, 2 орла: ОРРО; РОРО; РРОО (такие как ООРР или РООР исключаем). Итого $$P=\frac<3><8>.$$
И так далее. Получается:
| Кол-во бросков | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | . | n |
| Вероятность | 0 | $$0,5^2$$ | $$2\cdot0,5^3$$ | $$3\cdot0,5^4$$ | $$4\cdot0,5^5$$ | . | $$(n-1)\cdot0,5^n$$ |
При этом математическое ожидание есть сумма всех произведений количества бросков на соответствующую вероятность:
Задание №11 (Вероятность БАЗА)
1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, …, 98, 99, 100, 101, …, 998, 999.
2) Разделим 999 на 33.
999 : 33 = 30 (ост. 9). Значит, всего 30 чисел, трёхзначных 30 — 3 = 27, т.к.
К содержанию
Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
1) Всего трёхзначных чисел: 999 — 99 = 900.
1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, …, 98, 99, 100, 101, …, 998, 999.
2) Разделим 999 на 33.
999 : 25 = 39 (ост. 24). Значит, всего 39 чисел, трёхзначных 39 — 3 = 36, т.к.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет владеть мячом. Команда «Физик» играет два матча с разными командами. Найдите вероятность того, что оба раза мяч выиграет «Физик».
Обозначения: О – орёл, Р – решка.
Пояснение: оба раза выиграет мяч — ОО (m = 1); оба раза проиграет мяч — РР ( m = 1), один раз выиграет, один раз проиграет — ОР или РО (m = 2), хотя бы один раз выиграет мяч — ОО, ОР или РО (m = 3).
15 апреля на запись в первый класс независимо друг от друга пришли два будущих первоклассника. Считая, что приходы мальчика и девочки равновероятны, найдите вероятность, что оба пришедших оказались мальчиками.
Обозначения: М – орёл, Д – решка.
Пришли два мальчика — ММ (m = 1);
Пришли мальчик и девочка — МД или ДМ ( m = 2), Пришли две девочки — ДД (m = 1), хотя бы один мальчик — , ММ, МД или ДМ (m = 3). Ответ. 0,25
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите вероятность того, что к моменту впадения орла будет сделано ровно три броска .
1) При бросании монеты возможны два исхода (орёл или решка). Поэтому вероятность выпадения орла Р = 0,5. Вероятность невыпадения орла (выпадения решки) = 1 — 0,5 = 0,5.
2) Из условия следует, что орёл выпал только при третьем броске. Значит, искомая вероятность равна
1) Обозначения: О — орёл, Р — решка. Или так: 1 — орёл, 0 — решка.
2) ООО 000 ООР 001
РРО 110 РРР 111
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что к моменту впадения решки будет сделано ровно четыре броска .
При бросании монеты возможны два исхода (орёл или решка). Поэтому вероятность выпадения решки Р = 0,5. Вероятность невыпадения решки (выпадения орла) 0,5 = 0,5.
Из условия следует, что решка выпадет только при четвёртом броске. Значит, искомая вероятность равна
Обозначения:: 1 — орёл, 0 — решка.
Ответ. 0,0625
В ящике находятся чёрные и белые шары, причём черных в 4 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым. Решение.
Обозначения: х – количество белых шаров, тогда 4х — количество чёрных шаров. Всего х + 4х = 5х.
Вероятность того, что мобильный телефон выйдет из строя в течение первого года работы, равна 0,3. Если телефон проработал какое-то время, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же (телефон не содержит изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растёт со временем). Найдите вероятность того, что такой новый телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки.
1) Если Р = 0,3 — вероятность, что телефон в течение года выйдет из строя, то = 1 — 0,3 = 0,7 — вероятность, что телефон не выйдет из строя, т.е. будет работать.
2) Телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки, означает,что он может испортиться в течение первых трёх лет ( в перый, второй или в третий год после покупки).
Р = 0,3 — вероятность того, что телефон выйдет из строя в первый год.
— вероятность того, что телефон в первый год исправен, выйдет из
строя во второй год.
— вероятность того, что телефон исправен в первый и второй
год, выйдет из строя в третий год
3) Вероятность телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки равна:
В среднем из 300 садовых насосов, поступающих в продажу, 60 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает. Решение.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 118 качественных сумок приходится 7 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.
. n = 118 + 7 = 200, m = 7.
На борту 14 мест рядом с запасными выходами и 23 места за перегородками, разделяющими салоны. Эти места удобны для пассажиров высокого роста, а остальные — неудобны.Пассажир Г. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Г. достанется удобное место, если всего в самолёте 100 мест. Решение.
. n = 100, m = 14 + 23 = 37
В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения.
Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна 0,25. Вероятность того, что в качестве комплимента принесут рогалик, равна 0,35 Найдите вероятность того, что в качестве комплимента от заведения посетителю И. принесут одно из двух: тарталетку с сыром или рогалик. Решение.
Р = 0,25 + 0,35 = 0,6
Вероятность того, что новая батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки.Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.
Р =0,5 ∙ 0,5 = 0,0025
Ответ. 0,0025
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважда. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 1 раз.
Обозначения: О – орёл, Р – решка.
. n = 4, m = 2. Дополнение:
а) Если надо найти вероятность того, что решка не выпадет ни разу, выбираем вариант ОО, тогда n = 4, m = 1, Р =
б) Если надо найти вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый, тогда Выбираем варианты ОО и РР, тогда n = 4, m = 2, Р =
На олимпиаде по информатике 450 участников разместили в четырёх аудиториях.
В первых трёх удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите верятность, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
120 ∙ 3 = 360 (чел.) = в трёх аудиториях.
450 — 360 = 90 (чел.) — в запасной аудитории . n = 450 , m = 90.
№16 В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Углеводороды»..
В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в сельский магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист А., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,23. Покупатель не глядя берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Р = 0,23 — вероятность, что ручка пишет плохо.
= 1 — 0,23 = 0,77 — вероятность противоположного события (ручка пишет хорошо).
На конференцию приехали 4 учёных из Италии, 3 из России и 3 из Финляндии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятым окажется доклад учёного из России.
Каким по счёту окажется доклад — неважно, такое же решение. если доклад будет первым, последним или под любым номером.
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 4. Ответ округлите до сотых.
Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 2)
В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое определение вероятности.
Вероятность события А (объективная возможность наступления события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов: Р(А)=m/n, где:
- m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
- n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.
Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом.
 |
Определение вероятности в задачах про монету
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.
Решение.
Возможные варианты двух бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок |
| 1 | Орел | Орел |
| 2 | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = <орел выпадает 1 раз>соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких вариантов два m=2.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5
Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение. Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = <орел не выпадет ни разу>соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25
Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Решение. Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок |
| 1 | Орел | Орел | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка |
| 4 | Решка | Решка | Орел |
| 5 | Орел | Орел | Решка |
| 6 | Орел | Решка | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные исходы события А = <орел выпадает 2 раза>соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента. Таких вариантов три, значит m=3.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375
Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.
Решение. Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок | № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные исходы события А = <орел выпадет 3 раза>соответствуют вариантам №12, 13, 14 и 15 эксперимента, значит m=4.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Определение вероятности в задачах про игральную кость
Задача 5. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.
Решение. При бросании игрального кубика (правильной кости) может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий — выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = <выпало более 3 очков>означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5
Задача 6. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных.
Решение. При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий — выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = <выпало не более 4 очков>означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко). Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Задача 7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.
Решение. Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = <оба раза выпало число, меньшее 4>(они выделены жирным) подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,25
Задача 8. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных.
Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = <наибольшее из двух выпавших чисел равно 5>(они выделены жирным) подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Задача 9. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.
Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза», тогда число благоприятных исходов события А = <хотя бы раз выпало число, меньшее 4>(они выделены жирным) m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75
Задачи B6 с монетами
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:
где искомая вероятность, число устраивающих нас событий, общее число возможных событий.
Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа В этом и состоит вся сложность.
Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:
- — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
- — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.
Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!
Метод перебора комбинаций
Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:
- Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций —
- Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем
- Осталось найти вероятность:
К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):
Итого варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:
Таких вариантов оказалось Находим вероятность:
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Всего получилось вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, Осталось найти вероятность:
Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.
Специальная формула вероятности
Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:
Теорема. Пусть монету бросают Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно можно найти по формуле:
Где Cn k — число сочетаний которое считается по формуле:
Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.
На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
По условию задачи, всего бросков было Требуемое число орлов: Подставляем в формулу:
С тем же успехом можно считать число решек: Ответ будет таким же.
Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем числа Поскольку монету бросают 3 раза, А поскольку решек быть не должно, Осталось подставить числа в формулу:
Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.
Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.
Пусть вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда Имеем:
Теперь найдем вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае Имеем:
Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем: