Множество которое содержит все свои граничные точки называется открытым

Открытые и замкнутые множества

Определение 19.МножествоЕназываетсяоткрытым, если все его точки являются внутренними, то есть если оно не содержит своих граничных точек.

Определение 20.МножествоЕназываетсязамкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть. (Иначе,).

Пример 1. Любоеn-мерный интеграл – открытое множество. Любой отрезок – замкнутое множество.

Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.

Пример 2. Пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым. МножествоRдействительных чисел одновременно является и замкнутым, и открытым.

Множество Qрациональных чисел ни замкнуто, ни открыто. Линейный полуинтервал — ни замкнутое, ни открытое множество.

Теорема 3. Любой шарS(a,r)— открытое множество.

Доказательство:

Пусть . Возьмём. Докажем, что шар(это будет означать, что любая точка шара— внутренняя, то есть— открытое множество). Возьмём. Докажем, что, для этого оценим расстояние:

.

Следовательно, , то есть, то естьS(a,r)— открытое множество.

Теорема 4.Производное множество любого множестваEзамкнуто.

Доказательство:

Пусть . Тогдав любой окрестноститочкисуществует хотя бы одна точкамножества, отличная от. Так как— предельная точка множестваE, то в любой её окрестности (в том числе сколь угодно малой, содержащейся в) существует хотя бы одна точкамножестваE, отличная от точки. Таким образом, по определению точкаявляется предельной точкой для множестваE.Итак,, что по определению означает замкнутость множестваE.

Следует заметить, что в частном случае производное множество может оказаться пустым.

Свойства открытых и замкнутых множеств

Теорема 5. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть — замкнутые множества. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда— предельная точка хотя бы одного из множеств(доказывается от противного). Так как— замкнутое множество, то. Но тогда. Итак, любая предельная точка множестваему принадлежит, то естьзамкнуто.

Теорема 6.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть — любая совокупность замкнутых множеств. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда по теореме 1 в любой окрестностисодержится бесконечно много точек из. Но все точки множестваявляются и точками множеств. Следовательно, всодержится бесконечно много точек из. Но все множествазамкнуты, поэтомуи, то естьзамкнуто.

Теорема 7. Если множествоFзамкнуто, то его дополнениеCFоткрыто.

Доказательство:

Пусть . Так какзамкнуто, тоне является его предельной точкой (). Но это означает, что существует окрестностьточки, не содержащая точек множестваF, то есть. Тогдаи поэтому— внутренняя точка множества_.Так как— произвольная точка множестваCF,то все точки этого множества являются внутренними, то естьCFоткрыто.

Теорема 8. Если множествоGоткрыто, то его дополнениеCGзамкнуто.

Доказательство:

Пусть вместе с некоторой окрестностью. Следовательно,не является предельной точкой множестваCG. Итак, />не является предельной точкой для, то естьсодержит все свои предельные точки. По определению,замкнуто.

Теорема 9.Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть — произвольная совокупность открытых множестви. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 6 их пересечениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Теорема 10.Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть — пересечение любого конечного числа открытых множеств. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 5 их объединениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Дифференциалльное исчисление функций нескольких переменных

1 Множество в R n : открытые, замкнутые, ограниченные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах.

Пусть р₀ – точка в R n и ε – положительное число. Открытым шарам или просто шаром радиуса ε с центром в точке р₀ называется множество всех точек, расстояние которых от р₀ меньше ε.

Множество X Ì R n называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Пусть Х – множество в пространстве R n . Точка р Î Х называется:

внутренней точкой множества Х, если существует шар B(p,r), все точки которого принадлежат Х;

внешней точкой по отношению к Х, если существует шар B(p,r), ни одна точка которого не принадлежит Х;

граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой Х, иначе говоря, если любой шар с центром р содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х

Множество Х называется открытым, если его точки внутренние. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Выпуклое множество – часть плоскости, обладающая тем свойством, что соединяющий две любые точки отрезок содержится в ней целиком.

Пусть Х – множество в R n . Точка р₀ называется предельной для Х, если в любой окрестности точки р₀ (любом шаре B(p₀, ε)) имеются точки множества Х, отличные от р₀.

Топология – раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний. Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную плоскость и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т. к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше способом. В то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо – двумя.

Компактность – одно из основных понятий топологии. Множество называется компактным, если любая бесконечная последовательность его точек (элементов) имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую этому множеству. Например, на плоскости компактными являются ограниченные, замкнутые множества и только они.

Правило, по которому каждой точке x (x₁, x₂,…, x_n) Î X (X Ì R n ) ставится в соответствие единственное действительное число y Î E (E Ì R) называется функцией n переменных.

X Ì R n – область определения функции

E Ì R – множество значений функции.

Пусть на множестве X Ì R n задана функция f и пусть р₀ – предельная точка для Х. Число а называется пределом функции f в точке р₀, если для любой сходящейся к р₀ последовательности <р_n>, где все р_n ≠ p_a, соответствующая числовая последовательность n)> сходится к числу а. (lim f(p) = a)

Функция f, определенная на множестве Х Ì R n , называется непрерывной в точке p₀ Î X, если lim f(p) = f(p₀), а также если р₀ – изолированная точка

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

2. Топологическая классификация точек множеств

Определение 2.1. Пусть $x \in \mathbb , \varepsilon > 0$.

$B_\varepsilon (x) = \< y \in \mathbb \colon |y — x| < \varepsilon \> $ — $\varepsilon $ окрестность точки $x$.

$B_\varepsilon ^\circ (x) = B_\varepsilon ’(x) = B_\varepsilon (x) \backslash \ < x\>= \< y \in \mathbb \colon 0 < |y — x| < \varepsilon \> $ — проколотая $\varepsilon $ окрестность точки $x$.

Замечание. В дальнейшем, говоря об $\varepsilon $-окрестности, будем считать, что $\varepsilon >0$.

По отношению к множеству $E$ любая точка является точкой одного из следующих типов.

Определение 2.2.

Точка $x$ называется внутренней точкой $E \subset \mathbb $, если $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \subset E$.

$\mathop <\mathrm> E$ — множество всех внутренних точек.

Точка $x$ называется внешней точкой $E \subset \mathbb $, если $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \subset \mathbb \backslash E$.

$\mathop <\mathrm> E$ — множество всех внешних точек.

Точка $x$ называется граничной точкой $E \subset \mathbb $, если $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E \neq \varnothing $ и

$B_\varepsilon (x) \cap \mathbb \backslash E \neq \varnothing $.

$\partial E$ — множество всех граничных точек.

Замечание. Из определения непосредственно вытекает, что $\mathop <\mathrm> E = \mathop <\mathrm>(\mathbb \backslash E)$, $\mathop <\mathrm> E \subset E$.

Определение 2.3. Множество $E \subset \mathbb $ называется открытым, если все его точки внутренние (т.е. $E \subset \mathop <\mathrm> E$).

Определение 2.4. Множество $E \subset \mathbb $ называется замкнутым, если $\mathbb \backslash E$ — открыто.

Теорема 2.1.

a) $G_\lambda , \lambda \in \Lambda $ — открытые множества $\Rightarrow \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda $ — открытое множество.

b) $G_1, \ldots , G_ n$ — открытые множества $\Rightarrow \bigcap \limits _^<\smash > G_ k$ — открытое множество.

a) $F_\lambda , \lambda \in \Lambda $ — замкнутые множества $\Rightarrow \bigcap \limits _ <\lambda \in \Lambda >F_\lambda $ — замкнутое множество.

b) $F_1, \ldots , F_ n$ — замкнутые множества $\Rightarrow \bigcup \limits _^<\smash > F_ k$ — замкнутое множество.

$\blacktriangle $ 1.а) $x \in \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda \Rightarrow \exists \lambda _0\in \Lambda \colon x\in G_0$. $G_0$ — открыто $\Rightarrow \exists B_\varepsilon (x) \subset G_ <\lambda _0>\subset \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda $, т.е. $x$ — внутренняя точка $\bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda \Rightarrow \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda $ — открытое.

1.б) $x \in \bigcap \limits _^<\smash > G_ k \Rightarrow x \in G_ k\ \forall k = 1, \ldots , n$. $G_ k$ — открыто $\Rightarrow \exists B_<\varepsilon _ k>(x) \subset G_ k, k = 1, \ldots , n$. Положим $\varepsilon = \min (\varepsilon _ k) \Rightarrow B_\varepsilon (x) \subset B_<\varepsilon _ k>(x) \subset G_ k, k=1, \ldots , n \Rightarrow $ $B_\varepsilon (x) \subset \bigcap \limits _^<\smash > G_ k$, т.е. $x$ — внутрення точка $\bigcap \limits _^<\smash > G_ k \Rightarrow $ $\bigcap \limits _^<\smash > G_ k$ — открыто.

2.а) $\mathbb \backslash (\bigcap \limits _ <\lambda \in \Lambda >F_\lambda ) = \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >(\mathbb \backslash F_\lambda )$ — открытое $\Rightarrow \bigcap \limits _ <\lambda \in \Lambda >F_\lambda $ — замкнутое.

2.б) $\mathbb \backslash (\bigcup \limits _^ n F_ k) = \bigcap \limits _^ n (\mathbb \backslash F_ k)$ — открытое $\Rightarrow \bigcup \limits _^ n F_ k$ — замкнутое. $\blacksquare $

Замечание. Пересечение произвольного числа открытых множеств и не быть открытым множеством.

Пример: $\bigcap \limits _^\infty \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \ < 0\>$.

Определение 2.5. Число элементов множества $A$ равно единице, если $\exists a\in A\colon A \backslash \ < a\>= \varnothing $.

Пусть определено, что число элементов множества равно $n$, тогда по определению число элементов множества $A$ равно $n+1$, если $\exists a\in A\colon A\backslash \ < a\>$ имеет $n$ элементов.

Определение 2.6. Множество $A$ называют конечным, если либо $A = \varnothing $, либо $\exists n\in \mathbb \colon A$ имеет $n$ элементов. В противном случае множество называется бесконечным.

Определение 2.7. Точка $x$ называется предельной точкой множества $E \subset \mathbb $, если
$\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon ’ (x) \cap E \neq \varnothing $.

Лемма 2.1. $x$ — предельная точка множества $E$ $\Leftrightarrow $ $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E$ — бесконечное множество.

$\blacktriangle $ $(\Rightarrow )$ Пусть точка $x$ — предельная точка $E$. $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E$ — конечно $\Rightarrow $

$B_\varepsilon ’(x)\cap E = \ < x_1, \ldots , x_ n\>$. $\delta := \min \ < |x-x_ i|\>> 0$. Рассмотрим $B_\delta ’(x)\cap E=\varnothing $.

$(\Leftarrow )$ $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x)\cap E$ — бесконечное множество $\Rightarrow $ $B_\varepsilon ’(x)\cap E \neq \varnothing $. $\blacksquare $

Теорема 2.2. Следующие критерии замкнутости эквивалентны:

$E$ содержит все свои граничные точки.

$E$ содержит все свои предельные точки.

$\blacktriangle $ ($1\Rightarrow 2$) Пусть $x\in \mathbb \backslash E \Rightarrow \exists B_\varepsilon (x)\subset \mathbb \backslash E \Rightarrow $ $x\in \mathop <\mathrm> E \Rightarrow x\notin \partial E \Rightarrow $ $\partial E\subset E$.

($2\Rightarrow 3$) $x$ — предельная точка $E$ $\Rightarrow x\notin \mathop <\mathrm>\ E$. Тогда либо $x\in \mathop <\mathrm>\ E \Rightarrow x\in E$, либо $x\in \partial E \Rightarrow $ $x\in E$.

($3\Rightarrow 1$) $x\in \mathbb \backslash E \Rightarrow x$ — не предельная точка $E \Rightarrow $ $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E = \varnothing \Rightarrow $ $B_\varepsilon (x)\cap E = \varnothing \Rightarrow $ $B_\varepsilon (x)\subset \mathbb \backslash E \Rightarrow $ $\mathbb \backslash E$ — открыто $\Rightarrow $ $E$ — замкнуто. $\blacksquare $

Теорема 2.3. Любое непустое замкнутое ограниченное сверху (или снизу) множество имеет максимальный (или минимальный) элемент.

$\blacktriangle $ Пусть $F$ — непустое замкнутое ограниченное сверху множество. $S = \sup F$. Покажем, что $S = \max F$, тогда осталось доказать, что $S \in F$. Т.к. $S = \sup F$, то $\forall \varepsilon > 0\ \exists x’ \in F\colon x’ \in (S-\varepsilon , S]$, т.е. $(S-\varepsilon , S] \cap F \not= \varnothing $.

Имеется две возможности:

$\forall \varepsilon > 0\ (S — \varepsilon , S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon ’(S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow $ $S$ — предельная точка $F$ $\Rightarrow S \in F$ (по Т2).

$\exists \varepsilon > 0\ (S — \varepsilon , S) \cap F = \varnothing \Rightarrow S \in F$. $\blacksquare $

Определение 2.8. 1) Система $\ < G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \>$ называется покрытием множества $E$, если
$\bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda \supset E$.

2) $\forall \lambda \in \Lambda \ G_\lambda $ — открытое, то покрытие $\ < G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \>$ называют открытым.

Теорема 2.4 (Гейне Борель). $\ < G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \>$ — открытое покрытие $[a, b] \Rightarrow $ $\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda ,$ $G_ <\lambda _1>\cup \ldots \cup G_ <\lambda _ n>\supset [a, b]$.

$\blacktriangle $ Предположим, что из открытого покрытия $\ < G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \>$ отрезка $[a, b]$, нельзя выбрать конечной подпоследовательности таких покрытий $[a, b]$.

Положим, $[a_1, b_1] = [a, b]$, поделим $[a_1, b_1]$ пополам. Тогда хотя бы один из $[a_1, \frac<2>]$, $[\frac<2>, b_1]$ нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda $. Обозначим этот отрезок $[a_2, b_2]$, тогда хотя бы одну из его половин нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda $, обозначим его за $[a_3, b_3]$.

Продолжим процесс $\ < [a_ n, b_ n]\>_^\infty \colon $

$\forall n\in \mathbb \colon [a_ n, b_ n] \supset [a_, b_]$.

Ни один из $[a_ n, b_ n]$ нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda $.

$\forall n \in N, b_ n — a_ n = \frac<2^>$, т.е $\ < [a_ n, b_ n]\>_^\infty $ — стягивающаяся. По принципу вложенных отрезков $\exists c \in \bigcap \limits _^\infty [a_ n, b_ n], c\in [a_1, b_1]\subset \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda $, $c \in \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda \Rightarrow $ $\exists \lambda _0 \in \Lambda \colon c \in G_<\lambda _0>$, но $G_<\lambda _0>$ — открытое множество $\Rightarrow \exists \varepsilon > 0\ B_\varepsilon (c) \subset G_<\lambda _0>$, т.к. $\ < [a_ n, b_ n]\>_^\infty $ — стягивающаяся, то $\exists k \in N, b_ k — a_ k < \varepsilon $. Итак $c \in [a_ k, b_ k], b_ k-a_ k < \varepsilon \Rightarrow $ $[a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \Rightarrow $ $[a_ k, b_ k] \subset G_<\lambda _0>$, то есть $[a_ k, b_ k]$ — покрыт одним элементом $G_<\lambda _0>$ покрытия, получаем противоречие. $\blacksquare $

$F$ — замкнутое ограниченное множество. $\ < G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \>$ — открытое покрытие $F$ $\Rightarrow $
$\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda$, $G_<\lambda _1>\cup \ldots \cup G_ <\lambda _ n>\supset F$.

$\blacktriangle $ $F$ — замкнутое множество $\Rightarrow \exists [m, M]\colon [m, M] \supset F$. Пусть $A = \ < G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \>$ — открытое покрытие $F$.

$A’ = \ < G_\lambda , \lambda \in \Lambda \>\cup \< \mathbb \backslash F\> \colon \bigcup \limits _ <\lambda \in \Lambda >G_\lambda \cup (\mathbb \backslash F) \supset F \cup (\mathbb \backslash F) \supset \mathbb $.

По Т4. $\exists A” \subset A’$ — конечное покрытие $[m, M]$.

Имеется 2 возможности:

$\mathbb \backslash F \not\in A” = \< G_<\lambda _1>, \ldots , G_<\lambda _ n>\> , \bigcup \limits _^ n G_ <\lambda _ i>\supset [m, M] \supset F$

$\mathbb \backslash F \in A” \Rightarrow A” \backslash \< \mathbb \backslash F\> = \< G_<\lambda _1>, \ldots , G_<\lambda _ n>\> . \bigcup \limits _^ n G_ <\lambda _ i>\supset [m, M] \backslash (\mathbb \backslash F) = F$. $\blacksquare $

Теорема 2.5 (О существовании предельной точки). Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

$\blacktriangle $ Пусть $E$ — бесконечное ограниченное множество. Приведем два различных доказательства.

Доказательство 1. От противного:

Предположим, $E$ не имеет предельной точки. $\varnothing \subset E \Rightarrow E$ — замкнутое множество.

Если $x \in E \Rightarrow x$ — не является предельной точкой для $E \Rightarrow \exists \varepsilon _ x > 0\colon B_<\varepsilon _ x>’(x) \cap E= \varnothing $, значит $B_<\varepsilon _ x>(x) \cap E = \ < x\>$.

Рассмотрим $\< B_<\varepsilon _ x>(x)\colon x \in E\> $ — открытое покрытие $E \Rightarrow \exists x_1, \ldots , x_ n \in E\colon \bigcup \limits _^ n B_<\varepsilon _>(x) \supset E$, но из каждого $B_<\varepsilon _>(x)$ только 1 точка содержится в $E$ $\Rightarrow $ $E$ — конечное. .

$E$ — ограниченное множество $\Rightarrow $ $\exists [a_1, b_1] \supset E$. Разделим $[a_1, b_1]$ пополам, тогда хотя бы один из отрезков $[a_1, \frac<2>], [\frac<2>, b_1]$ содержит бесконечно много элементов из $E$, обозначим его за $[a_2, b_2]$, разделим $[a_2, b_2]$ пополам и обозначим через $[a_3, b_3]$ тот отрезок, в котором бесконечно много чисел из $E$. Будем продолжать и тогда получим $\ < [a_ n, b_ n]\>_^\infty $.

1) $\forall n\in \mathbb \colon [a_ n, b_ n] \supset [a_, b_]$.

2) $\forall n\in \mathbb \colon [a_ n, b_ n] \cap E$ — бесконечное множество.

3) $\forall n \in \mathbb , b_ n — a_ n = \frac<2^>$.

По принципу вложенных отрезков (Т1.4) $\exists c \in \bigcap \limits _^\infty [a_ k, b_ k]$.

Покажем, что $c$ — предельная точка $E$, возьмем $\varepsilon > 0$. Т.к. $\ < [a_ n, b_ n]\>_^\infty $ — стягивающаяся, то $\exists k\in \mathbb , b_ n — a_ n < \varepsilon $.

Итак, $c \in [a_ k, b_ k], b_ k — a_ k < e \Rightarrow \lbrack a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c)$ $\stackrel<\mbox<П.2>><\Rightarrow >$ $B_\varepsilon (c) \cap E$ — бесконечное множество $\stackrel<\mbox<Л.1>><\Rightarrow >$ $c$ — предельная точка $E$. . $\blacksquare $

Замкнутые и открытые множества

Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку дополнением множества , обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству или , если точка часть множества можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале , то оно ограничено снизу. Обозначим через , а значит . Далее, так как , то полуинтервал , лежащий левее точки и, следовательно, не содержит точек множества , не содержащий точек множества , не содержащий точек множества содержит точку и — два смежных интервала множества

Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой .

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество называется совершенным , если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество совершенно. Действительно, если бы некоторая точка , то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества не имеют общих концов.

Множество не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал . Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на -м шаге построения множества . Но это невозможно, так как при имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа. Пусть — непрерывная функция, заданная на отрезке . Зафиксируем число . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке . Точно так же множество точек , может быть каким угодно открытым множеством . Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке , то множество тех точек дескриптивной теорией множеств . Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам — Н.Н. Лузину и его ученикам П.С. Александрову, М.Я. Суслину, А.Н. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новикову, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунову и др.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

Похожие публикации:

1. В ядре нейтрального атома с массовым числом а 58 содержится 32 нейтрона сколько электронов
2. Как сделать широкий экран в самп
3. Почему инстаграм стал на английском
4. Установка и удаление программ в windows 10 где находится