Способы решения задач с помощью преобразования выражений с квадратными корнями
При извлечении квадратного корня из некоего числа в любом случае получается один результат, который больше нуля. Он и будет арифметическим корнем, имеющим ряд характерных свойств. Перечислим их:
- Корень произведения соответствует произведению корней: . Приведем пример: .
Решение задач по вынесению множителя из квадратного корня
Операция вынесения числа, то есть множителя, из-под знака корня представляет собой извлечение корня из выражения, находящегося под знаком корня. Такое выражение называют подкоренным.
Приведем несколько примеров:
Разберем несколько наглядных примеров, с которыми можно встретиться на уроках в классе, а также при решении контрольных и проверочных работ. Вынесем множитель из-под знака корня (с объяснением) в таком выражении:
Заметим, что извлечение квадратного корня в данном случае возможно лишь из числа 25. Выполним действия:
Все, за исключением первого выражения, являются неверными. В таких случаях целесообразно сначала выполнить действия под знаком корня, а затем переходить к его извлечению. Продолжим вычисления:
Во многих задачах по алгебре и физике можно встретить выражения, для решения которых необходимо вынести из-под знака корня не число, а букву. В таком случае необходимо выполнить тождественные преобразования и преобразовать эту букву в дробь. Роль числителя при этом будет играть степень подкоренного выражения, а знаменателем является непосредственно сам корень:
С помощью записанных закономерностей получилось значительно расширить возможности при решении разнообразных заданий. Например:
Когда в знаменателе дроби записан двучлен в виде суммы или разности пары одночленов, в один из которых включен корень, недопустимо выполнять умножение дроби на подобный двучлен, так как не получится исключить иррациональность:
Запишем для этого выражения обратное. На первом шаге следует выполнить деление единицы на это выражение. В том случае, когда имеется дробь, нужно поменять местами числитель со знаменателем. Важно заметить, что какое-либо выражение достаточно просто записать в виде дроби. При этом в знаменателе будет стоять единица.
Упростим выражение с помощью сокращения выражения, записанного в знаменателе:
Упростить записанное выражение:
Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня и выполним необходимые вычисления:
как решать примеры с корнем под корнем? Оо например 4 корень три и все это в корне,двойной корень то есть
у квадратных корней не пишут степень корня. но подразумевается. показатели корней перемножаются и получается один корень, но более высокой степени.
попробую на примере :
под знаком кубического корня квадратный корень из чего-нить, ну пусть М
корень квадратный из М можно записать как М в степени 1\2
аналогично М»1\2 в степени 1\3 получается М в степени \6 или корень 6 степени из М.
стало понятно?
Квадратный корень
Рассмотрим задачу. Нам известно, что длина квадрата равна 14 см. Какова площадь этого квадрата? Из курса геометрии мы знаем, что для ответа на вопрос надо просто умножить сторону саму на себя, то есть возвести ее в квадрат:
S = 14•14 = 196 см 2
Теперь рассмотрим обратную задачу. Известно, что площадь квадрата равна 196 см 2 . Чему равна длина его стороны? Очевидно, что она составляет 14 см. Для нахождения ответа мы произвели действие, обратное возведению во вторую степень. В математике оно называется извлечением квадратного корня, а само число 14 – квадратным корнем из 196.
Так, 5 – это квадратный корень из числа 25, так как
Очень часто квадратный корень является не целым, а дробным числом. Так, корень из 2 примерно равен 1,414213562 (способы вычисления значения корня будут рассмотрены в этом же уроке, но позже).
Отметим, что порою можно указать для числа не один, а сразу два квадратных корня. Они будут отличаться своим знаком, но совпадать по абсолютной величине (модулю). Так число (–5) также является квадратным корнем из 25:
Вообще у любого положительного числа есть 2 квадратных корня, у любого отрицательного числа их вообще нет, и только у нуля есть единственное значение корня – сам нуль. Докажем это.
Пусть есть произвольное число а, для которого надо вычислить квадратный корень. Обозначим этот корень как х. Тогда по определению можно составить уравнение:
Попробуем решить его с помощью графиков. Для этого построим отдельные графики для левой и правой части равенства. Оба графика, и у = а, и у = х 2 , мы уже строили в 7 классе. В итоге получаем три случая:
Видно, что при а> 0 графики пересекаются в 2 точках, то есть существует два квадратных корня, которые отличаются лишь своими знаками.
Для определенности математики ввели понятие арифметического квадратного корня.
Ещё раз уточним, что у числа может быть два квадратных корня. Например, у числа 25 это –5 и 5:
Арифметическим же называют тот квадратный корень, у которого НЕТ знака минус.
Существует специальный символ для арифметического квадратного корня, который именуют знаком радикала, или просто знаком корня. Выглядит он так:
Если надо показать, что, например, арифметический квадратный корень (часто говорят просто корень) из 25 равен 5, то получается такая запись:
Под знаком радикала может стоять и выражение, содержащее переменные величины. Для его обозначения используют термин подкоренное выражение. Так, в записи
выражением х 2 + 2х + 2 является подкоренным.
Мы уже поняли, что из отрицательного числа невозможно извлечь квадратный корень, ведь каждое действительное число при умножении на само себя становится неотрицательным. Поэтому если под знаком радикала находится отрицательное число, то говорят, что выражение не имеет смысла (так же как и дробное выражение, у которого в знаменателе стоит ноль). Так, бессмысленны выражения:
Если под корнем находиться переменная, то при одних ее значениях выражение с корнем имеет смысл, а при других нет. Так, выражение
при х = 9 имеет значение, равное двум:
Но если х = 4, то получаем бессмысленное выражение:
Изучая понятие иррационального числа, мы уже сталкивались с корнями. Исторически именно корень из 2 стал первым числом, для которого была доказана его иррациональность. Числа, чей квадратный корень является целым числом, называются полными квадратами. Примерами полных квадратов являются:
- 4 (потому что 2 2 = 4);
- 9 (3 2 = 9);
- 16 (4 2 = 16).
Для всех натуральных чисел, не являющихся полными квадратами, можно доказать, что их квадратные корни – это иррациональные числа.
Стоит отметить, что открытие иррациональностей корней изменило представления древних греков о числах и сыграло огромную роль в развитии математики.
Теперь рассмотрим порядок действий в выражениях с корнями. Сначала всегда производятся операции в скобках, потом под знаком радикала, далее происходит возведение в степень, и лишь потом другие арифметические операции. Например, есть выражение
Покажем последовательность действий, выделяя их красным цветом:
Если в ходе вычислений получили корень не из полного квадрата, то его следует оставить как есть, и продолжать вычисления, например:
Одинаковые корни можно складывать и вычитать друг с другом:
Из определения квадратного корня следует очевидное тождество:
Приведем пример с конкретными числами:
Однако здесь важно учитывать, что под знаком радикала не может находиться отрицательное число. Так, некорректной будет запись
так как под радикалом слева стоит отрицательное число. Но допускается такая запись:
потому что под знаком радикала слева стоит положительная величина (– 3)•( – 3) = 9.
Напомним, что модулем числа называется его величина, взятая без учета знака. Для обозначения модуля используются квадратные скобки:
Можно записать следующее тождество, связывающее модуль числа с его корнем:
Вычисление квадратного корня
Ранее для выполнения арифметических операций мы использовали метод «столбика». А как производить вычисление квадратного корня? Существует несколько приемов, мы рассмотрим простейший из них.
Очевидно, что чем больше число, тем больше и его квадрат. Например, 5 > 4, поэтому и 5 2 > 4 2 . Значит, справедливо и обратное утверждение: чем больше число, тем больше и его квадратный корень.
Убедиться в этом можно и с помощью графика функции у = х 2 . Будем отмечать на нем числа и их квадратные корни:
Видно, что чем выше на оси Оу располагается число, тем правее на оси Ох находится его квадратный корень.
Зная это свойство, легко оценить значение корня из любого числа. Продемонстрируем это на примере вычисления значение корня из 2. Нам известно, что
Значит, можно записать следующие неравенства:
Нам удалось определить, что корень из двух находится между единицей и двойкой, то есть
Теперь определим первую цифру после запятой для корня из двух. Будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3 и т. д, до тех пор пока не получим выражение, большее 2:
Теперь мы можем записать неравенства:
Получается, что корень имеет значение, находящееся между 1,4 и 1,5, то есть
Попытаемся определить ещё одну цифру после запятой:
Отсюда следует, что:
Продолжая подобные вычисления, можно вычислить любое количество знаков после запятой:
Конечно, на практике все вычисления выполняются компьютером, а не вручную. Однако программисты стремятся написать программы так, чтобы они работали как можно быстрее, то есть получали результат, выполняя меньшее количество вычислений. Поэтому на практике чаще используется метод бисекции (деления надвое), который отличается большей эффективностью. Для начала нужно найти очевидную оценку корня, например:
Получили, что корень из 2 находится между 1 и 2. Теперь найдем среднее арифметическое этих двух значений:
Возведем среднее арифметическое в квадрат:
Теперь мы можем записать неравенство
То есть искомое нами значение находится между 1 и 1,5. Снова найдем среднее этих двух оценок и возведем его в квадрат:
Зная это, можем записать:
На каждом следующем шаге вычислений мы будем всё точнее определять оценки корня, при этом вычислений мы делаем не очень много.
Периодически могут встречаться задания, в которых надо грубо оценить значение квадратного корня.
Пример. Сколько целых чисел на координатной прямой располагается между
Решение: Ближайшие к числу 60 полные квадраты – это 64 и 49, поэтому можно записать:
Также можно оценить и корень из 140:
Получаем, что между корнями располагается четыре числа: 8, 9, 10 и 11:
Функция квадратного корня
Каждому числу соответствует не более чем 1 арифметический квадратный корень. Поэтому формула
задает функцию. Исследуем ее.
Так как под знаком радикала может находиться лишь неотрицательное число, то областью определения корня является множество всех неотрицательных чисел. Такова же и область допустимых значений.
Построим график квадратного корня по точкам. Для этого вычислим ее значения в нескольких точках (указана точность до 0,1):
График функции квадратного корня будет выглядеть так:
Отметим, что полученная линия чем-то напоминает обычную параболу функции у = х 2 , которую «положили набок», то есть повернули против часовой стрелки на 90°, а после убрали одну из ветвей:
И это не случайность. Дело в том, что две эти функции являются обратными друг другу. Действительно, пусть с помощью графика параболы мы хотим найти значение величины а 2 . Стрелки показывают последовательность действий:
Мы должны найти а на оси Ох, построить от найденной точки вертикальную линию до пересечения с графиком, а потом провести горизонтальную линию. Но если нам надо вычислить корень из положительного числа b, то мы должны действовать в обратном порядке: найти b на вертикальной оси, провести горизонтальную линию до пересечения с параболой, и потом опустить перпендикуляр на горизонтальную ось:
Получается, для вычисления обеих функций можно использовать один график! Но, так как традиционно аргумент функции обозначают буквой х, а саму функцию как у, а также ось Ох располагают горизонтально, то для получения графика обратной функции надо буквально повернуть график основной функции так, чтобы оси Ох и Оу поменялись местами:
Действительно, в результате поворота получили уже знакомый график функции корня из х. Осталось лишь правильно переименовать оси и повернуть цифры в привычное положение.
Взаимное расположение этих графиков можно описать и иначе. Они симметричны относительно прямой линии, которую задает график у = х. Ведь если точка имеет координаты (а; b) принадлежит параболе у = х 2 , то, по определению корня, точка с обратными координатами (b; а) должна лежать на графике корня. Однако две такие точки будут симметричны относительно линии у = х:
Соответственно, симметричны относительно этой прямой и графики обратных функций:
Исключительно для большей наглядности (чтобы была очевидна симметрия, о которой идет речь), повернем эту картинку на 45°:
Свойства арифметического квадратного корня
Для упрощения некоторых выражений необходимо использовать особые правила работы с корнями. Сформулируем первое из них:
Математически это правило записывается так:
Тождество работает для любого количества множителей, а также в обратную сторону:
Однако следующее преобразование недопустимо:
Дело в том, что под знаком радикала не может быть отрицательное число! Слева под двумя радикалами стоят отрицательные числа, а справа под корнем находится уже положительная величина (– 2)•(– 32) = 64. В результате выражение слева не имеет смысл, а справа – имеет, поэтому знака равенства между ними быть не может.
Докажем это правило. Для этого возведем во вторую степень выражение
Получили, что по определению корня можно записать:
Следующее свойство касается дробей:
Символически это выглядит так:
Приведем примеры использования этого свойства:
Теперь докажем это правило. Можно записать, что
Значит, по определению верно равенство
Третье правило помогает извлекать корень из числа, возведенного в степень:
где а –действительное число (в том числе и отрицательное), а k – натуральное число.
Это тождество помогает выполнить следующие действия:
Стоит обратить внимание, что в последнем случае под корнем НЕ стоит отрицательное число, так как на самом деле (– 2) 10 – это положительное число. Вообще при возведении любого числа в четную степень получается неотрицательное число.
Для доказательства этого факта используем то, что
Зная это, можно выполнить преобразования:
Преобразование выражений с квадратными корнями
Изученные правила помогают преобразовывать некоторые выражения. Так, можно вынести множитель из-под знака корня:
Это действие может использоваться для сложения корней, у которых, казалось бы, стоят разные числа под знаком радикала:
Обратное действие называют внесением множителя под знак корня:
Пример. Какое число больше
Решение. Внесем множитель под знак корня:
Из двух корней больше тот, у которого больше подкоренное выражение, поэтому
Из этого следует, что
Заметим, что под знак радикала может быть внесен исключительно неотрицательный множитель! Знак минуса должен остаться перед радикалом:
Принято считать, что с дробью, содержащей радикал, проще работать, когда этот радикал находится в числителе, а не знаменателе. В связи с этим стремятся избавиться от иррациональности в знаменателе. В простейшем случае дробь просто домножают на квадратный корень:
Как видим, корень «переехал» из знаменателя в числитель. Несколько сложнее производится освобождение от иррациональности, если в знаменателе стоит сумма или разность корней. В этом случае помогает формула разности квадратов:
Рассмотрим несколько задач.
Пример. Найдите наибольшее значение выражения
Решение. По формуле разности квадратов можно записать:
Зная это, заменим знаменатель дроби:
Эта дробь принимает наибольшее значение тогда, когда ее числитель, наоборот, принимает минимальное значение. Это произойдет при а = 0, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Тогда наибольшее значение дроби будет составлять
Пример. Упростите выражение
Довольно тяжелым является случай, когда под знаком корня находится другой корень. Выражения вида
называют двойным радикалом.
Существует формула двойного радикала, с помощью которой его можно иногда упростить:
Для доказательства справедливости этого тождества возведем его правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы (х ± у) 2 = х 2 ± 2ху + у 2 :
Принципиально важно, что величина а 2 – b должна быть неотрицательной. Рассмотрим преобразование двойных радикалов на примере. Пусть надо освободиться от внешнего радикала в выражении
Для этого сначала внесем двойку под знак внутреннего радикала, а потом воспользуемся формулой:
Заметим, что формула двойного радикала полезна в том случае, если выражение а 2 – b является полным квадратом.
Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование
Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.
Что такое иррациональные выражения?
При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.
Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.
Основываясь на данном определении, мы имеем, что x — 1 , 8 3 · 3 6 — 1 2 · 3 , 7 — 4 · 3 · ( 2 + 3 ) , 4 · a 2 d 5 : d 9 2 · a 3 5 — это все выражения иррационального типа.
При рассмотрении выражения x · x — 7 · x + 7 x + 3 2 · x — 8 3 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.
Основные виды преобразований иррациональных выражений
При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.
Преобразовать выражение 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 .
Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что
81 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3
Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим
9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 — 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 — 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Ответ: 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3
Представить выражение x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.
x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 1 2 — 9
Представляем 9 в виде 3 2 , причем применим формулу разности квадратов:
x + 3 5 — 1 2 — 9 = x + 3 5 — 1 2 — 3 2 = = x + 3 5 — 1 — 3 · x + 3 5 — 1 + 3 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2
Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.
x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2
Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.
Преобразование подкоренного выражения
Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1 + 6 можно заменить на 7 или 2 · a 5 4 — 6 на 2 · a 4 · a 4 — 6 . Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.
Когда не существует а 1 , отличное от a , где справедливо неравенство вида a n = a 1 n , тогда такое равенство возможно только при а = а 1 . Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.
Использование свойств корней
Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , тогда из иррационального вида 1 + 3 · 12 можно стать тождественно равным 1 + 3 · 12 . Свойство . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , где a ≥ 0 говорит о том, что x 2 + 4 4 3 можно записать в форме x 2 + 4 24 .
Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то — 7 — 81 4 = — 7 4 — 81 4 записать не можем, так как формула a b n = a n b n служит только для неотрицательного a и положительного b . Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 7 4 81 4 .
Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.
Внесение множителя под знак корня
Внести под знак корня – значит заменить выражение B · C n , а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1 , равным выражением, которое имеет вид B n · C n или — B n · C n .
Если упростить выражение вида 2 · x 3 , то после внесения под корень, получаем, что 2 3 · x 3 . Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.
Вынесение множителя из-под знака корня
Если имеется выражение вида B n · C n , тогда его приводят к виду B · C n , где имеется нечетные n , которые принимают вид B · C n с четными n , В и C являются некоторыми числами и выражениями.
То есть, если брать иррациональное выражение вида 2 3 · x 3 , вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2 · x 3 . Или x + 1 2 · 7 даст в результате выражение вида x + 1 · 7 , которое имеет еще одну запись в виде x + 1 · 7 .
Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.
Преобразование дробей, содержащих корни
Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида ( 2 + 3 ) · x 4 x 2 + 5 3 , то числитель примет вид 5 · x 4 , а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x 2 + 5 6 . Исходную дробь можно будет записать в виде 5 · x 4 x 2 + 5 6 .
Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что
— x + 2 · x — 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x — ( — 3 · x 2 + 7 4 ) = x + 2 · x 3 · x 2 — 7 4
Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что
3 · x + 4 3 — 1 · x x + 4 3 — 1 3 сокращаем на x + 4 3 — 1 . Получим выражение 3 · x x + 4 3 — 1 2 .
Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.
Если взять дробь вида 2 · x — y x + y , то необходимо вводить новые переменные u = x и v = x , тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2 · u 2 — v 2 u + v . Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что
2 · u 2 — v 2 u + v = 2 · ( u — v ) · u + v u + v = 2 · u — v . После выполнения обратной замены придем к виду 2 · x — y , которое равно исходному.
Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x 3 — 1 0 , 5 · x , тогда приведем к знаменателю x . для этого нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2 · x , тогда получаем выражение x 3 — 1 0 , 5 · x = 2 · x · x 3 — 1 0 , 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 — 1 x .
Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.
Избавление от иррациональности в знаменателе
Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x 3 3 . После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 9 3 · x 3 .
Переход от корней к степеням
Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство a m n = a m n , то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5 — 2 3 , то иначе имеем право записать его как 5 — 2 3 . Эти выражения равнозначны.
Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула a m n = a m n не всегда применима. Если нужно заменить такие корни ( — 8 ) 3 5 и ( — 16 ) 2 4 степенями, тогда получаем, что — 8 3 5 и — 16 2 4 по формуле a m n = a m n не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула a m n = a m n применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.