Какие колебания лучше распространяются в пространстве

Механические колебания и волны. Часть 2

Чтобы понять, что такое колебания в среде достаточно представить несколько простых примеров:

• камень бросили в воду, по поверхности воды тут же расходятся круги – это и есть колебания поверхности воды;
• игра на гитаре – струна начинает колебаться после прикосновения музыканта.

Рассмотрим простую ситуацию распространения колебаний в среде: длинная пружинка, закрепленная с одной стороны, а с другой на нее оказывается периодическое внешнее воздействие, например, равномерные толчки рукой (см. рисунок 1).

После первого толчка часть пружинки, которая находится ближе к руке, сожмется (см. рисунок 1а), а потом из-за упругих свойств пружины, разожмется, воздействуя на витки, лежащие правее первоначального сжатия (см. рисунок 1б). Таким образом сжатие будет «продвигаться» вправо (влево – нет, так как ему мешает рука, блокирующая левый край пружины). После следующего толчка рукой образуется новое сжатие, которое тоже будет «продвигаться» вправо, потом следующее сжатие и т.д. (см. рисунок 1в).

Обобщить все сказанное можно следующим образом: колебания в среде или даже колебания среды (ведь пружинка – это среда) представляют собой некое возмущение, распространяющееся от места их возникновения без переноса вещества. Источником таких возмущений является колеблющееся тело (или некое периодическое воздействие). Такое возмущение и называется волной. Рассмотрим это явление подробнее.

Волны. Продольные и поперечные волны. Волны сжатия и разрежения

Волна – это колебание, распространяющиеся в какой-либо среде с течением времени.

Волны бывают разные. В рассмотренном ранее примере с пружинкой (см. рисунок 1) волна распространяется вправо, а частицы вещества (пружины) сжимаются и разжимаются вдоль направления волны – такие волны называются продольными.

Продольная волна – волна, в которой направление колебаний частиц среды параллельно направлению распространения волны.

Теперь рассмотрим иной случай:волна в гитарной струне. Схематично ее колебание показано на рисунке 2. Направление распространения волны – вправо, а направление смещения частиц – вверх и вниз.

Рисунок 2 – Поперечная волна

Поперечная волна– волна, в которой направление колебаний частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны.

Важно отметить, что при возникновении поперечных волн в струне происходит деформация сдвига, а значит, колебания будут происходить под действием сил упругости, старающихся вернуть струну в исходное положение. Деформация сдвига и силы упругости могут возникнуть только в твердых телах (представьте, что один слой жидкости или газа смещается относительно другого – силы упругости в этом случае не возникают). Следовательно, поперечные волны распространяются только в твердых телах.

Продольные волны распространяются в любой среде, в том числе в жидкости и в газах. В любом типе вещества этот тип волны представляет собой чередование сгущений и разрежений частиц, поэтому продольные волны называются так же волнами сжатия и разрежения.

Продольными волнами является, например, звук.

Упругие волны. Основное общее свойство бегущих в среде волн

Волны могут распространяться в разных средах, однако особо выделяют волны, которые распространяются в упругих средах.

Упругая волна – это механическое возмущение или деформация, распространяющееся в упругой среде. Или, другими словами, это распространение колебаний в упругой среде.

*Для справки: тело (среда) называется упругим, если после прекращения воздействия на него оно возвращается в исходное состояние. Упругие деформации – обратимые, то есть те, после которых тело еще способно вернуться в исходное состояние. Например, если взять тонкий деревянный стержень, можно его немного согнуть, но как только воздействие прекратится, он вернется в начальное положение – это будет упругая деформация. Если согнуть стержень слишком сильно, так, чтобы он сломался, будет неупругая деформация.

Ранее рассматривалось разделение волн на продольные и поперечные. Помимо этого, все волны можно так же разделить на стоячие и бегущие.

Бегущие волны – тип волн, при котором происходит перенос энергии без переноса вещества.

В примере с пружинкой (рисунок 1) как раз рассматривается бегущая волна. Как известно, сжатая пружина обладает потенциальной энергией, следовательно, «продвигающееся» сжатие в пружине переносит с собой потенциальную энергию. При этом не происходит переноса вещества.

Основное общее свойство бегущих в среде волн: перенос энергии без переноса вещества.

Стоячие волны – такой тип волн, при котором не происходит переноса энергии. Стоячие волны являются суперпозицией (наложением друг на друга) бегущих волн. Это сложное явление, которое не изучается в курсе физики для 9-го класса. Однако, следует помнить, что такие волны существуют.

Основные характеристики волн

Из определения понятия «волна» следует, что волна – это колебание, а значит, ей будут присущи все характеристики колебаний: амплитуда, период и частота. Помимо этого, определение волны говорит, что она куда-то распространяется, следовательно, волны будут характеризоваться скоростью. И последняя характеристика – длина волны. С нее и начнется подробный разбор.

* Напоминание: скорость – векторная величина, а значит, она включает в себя и модуль скорости волны, и направление ее распространения.

Длина волны

Рассмотрим простой пример: веревка, которую с одной стороны держит ученик, а с другой она закреплена за опору (рисунок 3). Ученик начинает периодически встряхивать веревочку, вследствие чего по ней начинают идти волны.

Упрощенно можно сказать, что распространение колебаний волны в веревочке представляет собой чередование «горбов» и «впадин». Можно заметить, что расстояние между каждыми двумя соседними «горбами» или «впадинами» везде одинаковое. Это и есть длина волны для конкретно взятого примера. Длина волны обозначается буквой λ (читается как «лямба» или, иногда, «ламбда»). В СИ:

Чтобы обобщить понятие длины волны, нужно ввести другие характеристики.

Скорость распространения волны

Под скоростью распространения волны понимают скорость распространения колебаний (возмущения). Так же можно сказать, что скорость продольной или поперечной волны – это скорость переноса энергии бегущей волны. Скорость, как и всегда, обозначается буквой ν (в данном случае, скорость – вектор, в эту величину включается и модуль, и направление движения; если в условиях конкретной задачи необходим только модуль скорости, он обозначается ν).

Волны, распространяющиеся в пространстве, удобно рассматривать, используя функции. Обратимся к примеру, с пружиной, представленному ранее. Вдоль пружины можно выбрать координатную ось х. Волны, бегущие в пружине – это волны уплотнения и растяжения. Тогда можно задать относительную деформацию ε как функцию от координаты х:

То есть, пользуясь этой функцией, мы сможем вычислить деформацию в каждой точке пружины, а также можно построить график – рисунок 4.

Как уже говорилось ранее, волна распространяется (бежит) по пружине с течением времени (t). Скорость бегущей волны v. Чтобы учесть это, воспользуемся свойством смещения графика функции, и зададим плотность так:

График функции, заданной в таком виде, при равномерном увеличении t будет ползти вправо. То есть каждая точка графика будет двигаться вправо со скоростью v (рисунок 5).

Для задания волны, бегущей влево, нужно задать смещение с противоположным знаком:

Приведенные выражения называются уравнениями бегущей волны. Удобство такого рассмотрение заключается в том, что наложение множества волн с разными характеристиками можно рассматривать просто как математическую функцию, и использовать для этого весь мат. аппарат. В программе старших классах будет разобрано, как это применяется для исследования свойств одной волны и наложения двух и трех волн.А пока достаточно знать, как по виду функции определить, в каком направлении движется волна.

Напомним, что математическая функция в узком смысле — это закон, который в соответствие одному числу ставим другое. В записи:

Частоты и период волны

Если вернутся к примеру на рисунке 3, можно сказать, что частота волны – это количество гребней, проходящих мимо наблюдателя за единицу времени (то есть за секунду в СИ). Частота обозначается буквой v(«ню»). Напомним, что:

Даже свет и цвета, которые мы видим – это тоже особый вид волн, которые называются электромагнитными (они будут рассматриваться чуть позже). Например, красный цвет – это волны, длины которых находятся в диапазоне от 620 до 760 нанометров. Длина всех волн света (или световых волн) колеблется в промежутке примерно от 380 до 760 нанометров.

Какие волны называются поперечными, а какие продольными

Волна — изменение характеристик физического поля или среды, способное удаляться от места возникновения или колебаться внутри ограниченной области пространства.

Продольные волны — волны, при которых частицы вещества колеблются вдоль направления распространения.

Поперечные волны — волны, при которых частицы вещества колеблются перпендикулярно направлению распространения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В какой среде возможно распространение

И продольные, и поперечные волны относятся к упругим — возникающим только в упругой среде, обладающей свойством после деформации возвращаться к прежней форме.
Продольные волны возникают при сопротивлении среды изменению ее объема, их причина — деформация сжатия/растяжения (в твердой среде) или уплотнения/разрежения (в газах и жидкостях).

Чтобы узнать длину волны, нужно измерить расстояние между ближайшими точками сжатия или растяжения.
Продольные волны могут распространяться в любой среде: твердой, жидкой, газообразной. Во время этого процесса непрерывно изменяется давление в каждой точке среды.

В твердых телах продольные волны распространяются быстрее, чем поперечные. Для сравнения: продольная волна движется в стали со скоростью около 5900 м/с, поперечная — примерно 3250 м/с.
Поперечные волны возникают при сдвиге слоев среды относительно друг друга. Жидкости и газы не сопротивляются изменению формы, поэтому поперечные волны возможны только в твердых средах. Длина поперечной волны — расстояние между двумя ближайшими ее впадинами или горбами.

В каких направлениях совершаются колебания

1. Продольная волна заставляет частицы среды колебаться у своих положений равновесия, и этот процесс перемещается параллельно направлению распространения волны. Частицы сдвигаются строго по одной линии.
2. В поперечной волне колебания элементов происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Среда стремится вернуть деформированные частицы на место, при этом на несмещенные частицы рядом со смещенными воздействуют силы упругости и отклоняют их от положения равновесия.

Из-за преломления или отражения продольные волны на границе раздела двух сред могут превращаться в поперечные, и наоборот.

Как характеризуется поперечная волна или волна сдвига

Чтобы однозначно характеризовать движение волны, необходимо составить ее уравнение. Для упругих волн уравнением служит функция координат и времени смещения частиц среды от их положений равновесия.
Общее уравнение гармонической плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, которая не поглощает энергию:

В этом выражении A — амплитуда волны, \(\omega\) — циклическая частота, \(\varphi_0 \) — начальная фаза волны, определяемая началом отсчета х и t.
Скорость поперечной волны зависит от погонной массы \(\mu\) (массы единицы длины) и силы натяжения Т. Она рассчитывается по формуле \(\nu\;=\;\sqrt<\frac Т\mu>.\)

При распространении поперечной волны распределение возмущений среды происходит с нарушением симметрии.

Поляризация — характеристика поперечных волн, описывающая поведение вектора колеблющейся величины в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Поляризация влияет на скорость распространения волны, часто используется для создания оптических эффектов, например, 3D-изображения.
Поляризация бывает круговой, эллиптической и линейной — в зависимости от формы кривой, вычерчиваемой концом вектора амплитуды. Круговая или эллиптическая поляризация может быть правой или левой, что определяется направлением вращения вектора.

Примеры продольных и поперечных волн

Все акустические волны — продольные. Звуки, слышимые человеком, находятся в диапазоне 17–20000 Гц. Ниже этого диапазона расположены инфразвуковые волны, выше — ультразвуковые. Также к продольным волнам относятся сейсмические Р-волны, возникающие во время землетрясений.

Увидеть колебания продольной волны без специальных приборов можно на примере пружины, подвешенной горизонтально. Если ударить по одному ее концу, несколько витков пружины сблизятся, затем разойдутся. Это колебание будет постепенно переходить от витка к витку по всей длине пружины.

Поперечные волны возникают в натянутых струнах или нитях. В случае электромагнитных волн поперечные колебания совершают векторы электрического и магнитного полей. Механического колебания не происходит, но электромагнитные волны, например, световые, тоже принято относить к поперечным.

Какие колебания лучше распространяются в пространстве

Радио, Wi-Fi и вышки 5G — все это электромагнитные волны. Разбираемся, что это такое и рушим мифы про это странное явление.

· Обновлено 1 июля 2022

Волны: что это и какими бывают

Давайте сначала разберемся, что такое волна.

Волна — это распространение колебаний в пространстве.

Волны бывают механическими и электромагнитными.

Главные герои этой статьи — электромагнитные волны. Немного удовлетворим ваше любопытство и скажем, что это те волны, которые мы потрогать не можем. Но все остальное чуть позже. Главное — терпение.

Механические волны — это те волны, колебания которых можно почувствовать физически, потому что они распространяются в упругой среде.

Представьте, что вы стоите на железнодорожных путях. Нет, вы не Анна Каренина, вы — экспериментатор.

Если к вам приближается поезд, вы рано или поздно его услышите. Вернее, услышите, как только звуковая волна со скоростью �� = 330 м/с достигнет ваших ушей.

Если приложить ухо к рельсу, то это произойдет значительно быстрее, потому что скорость звука в твердом теле больше, чем в воздухе. Кстати, под водой скорость звука больше, чем в воздухе, но меньше, чем в твердых телах.

Если вы когда-нибудь трогали музыкальную колонку, то знаете, что звук чувствуется и на ощупь.

Волны также принято делить на продольные и поперечные:

Продольные — это те волны, у которых колебание происходит вдоль направления распространения волны.

• Дрожание окон во время грома или сейсмические волны (землетрясения) — это пример продольных волн.

Поперечные — волны, у которых колебание происходит поперек направления распространения волны.

• Представьте, что вы запустили волну из людей на стадионе — она будет поперечной.
• Видимый свет и дрожание гитарной струны — тоже поперечные волны.

Морская волна — продольная или поперечная?

На самом деле в ней есть и продольная, и поперечная составляющие, поэтому ее нельзя отнести к конкретному типу.

Электромагнитные волны

Увы, мы не можем потрогать руками электромагнитные волны. Осталось разобраться, как это так: волна есть, а возможности пощупать ее — нет.

Электромагнитная волна появляется благодаря электромагнитному полю.

Вот есть электрическое поле — его создает любой электрический заряд. Есть магнитное поле — оно возникает из-за движущегося заряда. А их взаимодействие — это электромагнитное поле.

Если совсем честно, то электрическое и магнитное поле не могут существовать в отдельности, потому что частицы всегда есть электрическое поле и она всегда худо-бедно да движется. Рассмотрение в отдельности электрических и магнитных полей может быть только в теоретической физике. В реальных инженерных задачах рассматривается обязательно электромагнитное поле.

Электромагнитная волна — это распространение электромагнитного поля. А если конкретнее, то электрическое поле колеблется (меняет свое значение и направление вектор напряженности электрического поля), магнитное поле колеблется (меняет значение и направление вектор магнитной индукции), эти колебания распространяются, и получается электромагнитная волна.

К электромагнитным волнам относятся радио, Wi-Fi и даже свет.

Разве свет не из частиц состоит?

Ничего от вас не скроешь. Дело в том, что свет — это как Гермиона с маховиком времени в двух местах сразу — одновременно и частица и волна.

Можете перечитать фразу выше, чтобы с ней смириться. Это не шутка. Экспериментально давно обнаружено, что свет в одних экспериментах ведет себя, как частица, а в других, как волна.

Все это безумство называется корпускулярно-волновым дуализмом. И это работает не только со светом, но и с другими волнами. В общем, у физики тоже бывает раздвоение личности.

Характеристики электромагнитной волны

Чтобы изучать любое явление, его нужно как-то охарактеризовать.

Длина волны

Это самая важная характеристика для волны. Ей называется расстояние между двумя точками этой волны, колеблющихся в одной фазе. Если проще, то это расстояние между двумя «гребнями».

Обозначается эта величина буквой λ и измеряется в метрах.

Еще длиной волны можно назвать расстояние, пройденное волной, за один период колебания.

Период

Период — это время, за которое происходит одно колебание. То есть, если дано время распространения волны и количество колебаний, можно рассчитать период.

Формула периода колебания волны

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Для электромагнитных волн есть целая шкала длин волн. Она показывает длину волны и частоту для разных типов электромагнитных волн.

Частота

Частота — это величина, обратно пропорциональная периоду. Она определяет, сколько колебаний в единицу времени совершила волна.

Формула частоты колебания волны

υ = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Скорость

Также важной характеристикой распространения волны является ее скорость.

Чтобы вывести формулу скорости через длину волны, нужно вспомнить формулу скорости из кинематики — это раздел физики, в котором изучают движение тел без учета внешнего воздействия.

Формула скорости

Переходя к волнам, можно провести следующие аналогии:

• путь — длина волны
• время — период

А для скорости даже аналогия не нужна — скорость и Африке скорость.

Формула скорости волны

λ — длина волны [м]

Для электромагнитной волны скорость равна скорости света — �� = 3*10^8 м/с. Поэтому формулу скорости чаще всего используют для нахождения из нее длины волны или периода.

Задачка

Определить цвет освещения, проходящий расстояние, в 1000 раз больше его длины волны за 2 пс.

Решение:

Для начала переведем 2 пикасекунды в секунды — это 2*10^-12 с.

Теперь возьмем формулу скорости

По условию S = 1000λ

Выражаем длину волны

Подставляем значения скорости света и известного нам времени:

λ = 3*108* 2*10-121000 =600 нм

И соотносим со шкалой видимого света

Из шкалы видно, что длине волны в 600 нм соответствует оранжевый цвет излучения.

Ответ: цвет освещения при заданных условиях будет оранжевым.

Попробуйте онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по физике с опытным преподавателем в Skysmart!

Рубрика «Разрушаем мифы»

А теперь давайте немного о распространенных заблуждениях. Присаживайтесь поудобнее — этот разговор, к сожалению, не на пару минут.

Миф 1. Вышки 5G вредны для нашего здоровья

Одна из теорий против 5G гласит, что новый тип связи может стать причиной раковых заболеваний. Справедливости ради — такие же обвинения не раз поступали в адрес 2G, 3G, 4G и более ранних поколений беспроводных сетей.

Стандарт 5G может использовать разные частотные диапазоны. Как правило, это низкий диапазон 600 МГц, а также средние частоты 2,5 ГГц, 3,5 ГГц и 3,7–4,2 ГГц.

В России «Государственная комиссия по радиочастотам» (ГКРЧ) рекомендует для выделения и использования под 5G частотный диапазон 27,1-27,5 ГГц. Американским операторам также скоро будут доступны диапазоны 37 ГГц, 39 ГГц и 47 ГГц.

Диапазон от 30 ГГц (миллиметровые волны) относится к так называемому спектру крайне высоких частот — и именно он вызывает большинство опасений по поводу вреда 5G для здоровья человека. Все еще недостаточно исследований, которые изучают влияние высоких частот на организм.

Тем не менее, известно, что даже в верхнем диапазоне излучение 5G не обладает достаточной энергией для разрушения человеческой ДНК или влияния на клетки. А значит, не может вызвать рак и не представляет опасность для нашего организма. По этой же причине нельзя верить в теорию, что 5G убивает птиц — этому излучению просто не хватит сил, чтобы кого-то убить.

К опасному излучению относятся волны, распространяемые на частотах от 30 ПГц (петагерц) — утрафиолетовые, рентгеновские и гамма-лучи. Они могут влиять на атомную структуру клеток и разрывать химические связи в ДНК. Именно поэтому, например, врачи советуют избегать долгого пребывания на солнце.

Миф 2. Шапочки из фольги защищают от вредного излучения

Кстати, они наоборот любую электромагнитную волну усиливают. Это доказали студенты из MIT (Массачусетский технологический институт), которые исследовали это опытным путем.

Ребята установили антенну в четырех частях от головы добровольцев: на лбу, затылке, висках и в районе мозга. И сравнивали показатели радиосигнала в шапочке для фольги и без нее. Оказалось, что сигнал не ослабляется, а усиливается. Так что шапочка вас не спасет от вредного излучения, а наоборот — только усилит сигнал.

Миф 3. Микроволновки убивают еду, и она становится неживой

Электромагнитный фон возле СВЧ-печей выше больше, чем природный более, чем в миллион раз, но вреда человеку не наносит. Санитарные требования к этим приборам очень жёсткие, поэтому опасности микроволновка не представляет. Например, благодаря системе блокировки дверцы генерация микроволнового излучения прекращается, когда дверца открыта. Также в микроволновке обязательно должна быть система защиты от утечки излучения. Гораздо опаснее электромагнитные излучения от солнца или солярия, потому что там есть ультрафиолет, который легко повреждает клетки кожи человека.

Продукты становятся теплее за счёт нагревания в них воды. И когда мы их греем, могут образовываться радикалы — но это происходит при любом способе теплового воздействия. Например, при жарке могут образовываться ещё и канцерогены.

Наш организм способен бороться с небольшим количеством «вредных» радикалов благодаря иммунитету. При нагревании пищи образуется то количество радикалов, с которым организм способен бороться, поэтому ничего страшного ни в микроволновке, ни в кастрюле, в которой вы греете суп, нет.

Распространение колебаний в упругих средах. Продольные и поперечные волны

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Распространение колебаний в упругих средах. Продольные и поперечные волны»

Кто волны, вас оставил,

Кто оковал ваш бег могучий,

Кто в пруд безмолвный и дремучий

Поток мятежный обратил?

В прошлых темах говорилось о колебательных процессах.

Движение, при котором состояния тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях, называют механическим колебательным движением.

Оказывается, помимо просто колебательного процесса в узкой области пространства, возможно еще и распространение этих колебаний в среде.

Можно наблюдать рябь на поверхности озера или реки. Если бросить камень в воду, то от него пойдут круги. Подобные процессы распространения возмущения представляют собой волну.

Волна — это изменение состояния среды, распространяющееся в пространстве и времени.

Перейдем к обсуждению этого распространения. Прежде, чем обсудить возможность существования колебаний в среде, необходимо определиться с тем, что такое упругая среда.

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды.

Рассмотрим следующий пример, на поверхность воды в сосуде поместим легкий поплавок. Заставив его совершать колебания, можно увидеть, что от него по воде идут круги — волны.

Ког­да какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздей­ствует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совер­шать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела дефор­мируется, и в ней возникают упругие силы. Эти силы воздействуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение. Таким образом, частицы, которые прилегают вплотную к поплавку, будут повторять его движение, т.е. будут совершать колебания. Поскольку эти частицы взаимодействуют с другими более удаленными от поплавка частицами, то они также будут совершать колебания, но с некоторым запаздыванием. Таким образом, колебание будет распространяться по всем направлениям.

Подобное волновое движение можно наблюдать в длинной пружине, расположенной горизонтально. Если один конец пружины закрепить, а другой слегка сжимать и отпускать, то по пружине будет распространяться волна. При сжатии пружины возникает сила упругости, которая заставляет витки пружины разжиматься. Витки, подобно маятнику, колеблются возле своих положений равновесия. Эти колебания постепенно передаются от витка к витку вдоль всей пружины.

Во всех этих примерах источником волн являются различные тела. Их называют источниками волн. Т.е., источники волн — это тела, которые вызывают распространяющиеся в среде упругие волны. Это, например, колеблющиеся камертоны, струны музыкаль­ных инструментов.

Упругими волнами называются механические возмущения, производимые источниками, которые распространяются в упругой среде. Упругие волны в вакууме распространяться не могут.

Далее будут рассматриваться только бегущие волны. Основное свойство бегущих волн заключается в том, что они, распространяясь в пространстве, переносят энергию без переноса вещества. Пронаблюдаем это на опыте. В сосуд с водой, в котором находится поплавок, поместим второй поплавок. После того как первый поплавок начнет совершать колебания, начнет колебаться и второй поплавок, благодаря энергии полученной от волны. При этом сам поплавок будет оставаться на месте. Значит, частицы воды не переносятся волной, т.е. не происходит переноса вещества.

При описании волнового процесса среду считают сплошной и непре­рывной, а ее частицами являются бесконечно малые элементы объема, в которых находится большое количество молекул.

Геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фа­зах, образует волновую поверхность.

Волновую поверхность, отделяющую колеблющиеся частицы среды от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны. В за­висимости от формы фронта волны различают волны плоские, сфери­ческие и др.

Так, например, в плоской волне волновые поверхно­сти представляют собой плоскости, пер­пендикулярные к направлению распрост­ранения волны.

В сферической волне волновые поверх­ности представляют собой концентричес­кие сферы. Сферическую волну может создать пульсирующий в однородной уп­ругой среде шар. Такая волна распрост­раняется с одинаковой скоростью по всем направлениям.

Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распро­странения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.

Все волны делятся на два вида — продольные и поперечные. Волна называется поперечной, если частицы среды совершают колеба­ния в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Поперечная волна распрост­раняется, например, вдоль натянутого го­ризонтального резинового шнура, один из концов которого закреплен, а другой приведен в вертикальное колебательное движение.

Волна называется продольной, если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны. Продольная волна распрост­раняется, например, вдоль натянутой го­ризонтальнойпружины.

Распространение продольных и поперечных волн можно описать с помощью модели, в которой частицы среды представлены в виде совокупности шариков и пружинок.

В продольных волнах шарики испытывают смещение вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. Продольные волны могут распространяться в любых средах — твердых, жидких и газообразных.

Если же один или несколько шариков сместить в направлении, перпендикулярном цепочке, то в результате по ней побежит поперечная волна. Поперечные волны могут существовать только в твердых средах, т.к. смежные слои жидкости или газа могут свободно скользить друг по другу без проявления упругих сил.

Основные выводы:

– Волна — это изменение состояния среды, распространяющееся в пространстве и времени.

– Источники волн — это тела, которые вызывают распространяющиеся в среде упругие волны.

– Основное свойство волн заключается в том, что они, распространяясь в пространстве, переносят энергию без переноса вещества.

– Все волны делятся на два вида — продольные и поперечные.

– Волна называется поперечной, если частицы среды совершают колеба­ния в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны.Такие волны могут распространяться в любых средах — твердых, жидких и газообразных.

– Волна называется продольной, если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны. Продольные волны могут существовать только в твердых средах, т.к. смежные слои жидкости или газа могут свободно скользить друг по другу без проявления упругих сил.

Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t. Хотя приведенный график функции (х, t) похож на график гармонического колебания, но они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны , (рис.220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что Т = 1/ , где — частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоскoй или сферической.

Как устроены волны

Волны — это самое распространённое явление. Физические колебания, звук, свет, радио и рентген, волны вероятности в квантовой механике, гравитационные волны в теории относительности — физика практически состоит из волн. Каждое явление можно изучать отдельно, но есть что-то общее в волнах, универсальное.

Чтобы ухватить это общее предлагаю разбираться в волнах последовательно.

Начнём с вопроса, на первый взгляд не связанного с темой, но ответ на который сразу много прояснит.

Рис. 1. «Две параллельные линии». Канва, браш. Рама.

Перед вами две параллельные линии, с ограниченной областью их просмотра, квадратным окном. Для различия они раскрашены. Вопрос простой: если красная линия это сдвинутая зелёная, то в какую сторону произошел сдвиг?

1. По диагонали вправо-вверх.
2. Вправо.
3. Вверх.
4. Могут быть все три предыдущих ответа.
5. Не только отдельно вверх или вправо, но и все промежуточные направления..
6. Другой ответ, так как некоторые возможности не указаны.

Основы

Представляю вашему вниманию: волна, в самом естественном виде.

Рис. 2. Волна в движении. (Здесь задумана анимация. Но вместо анимации пространственного среза — функция от пространства и времени)

Что изображено? Пространственный профиль.
Какая особенность? Он движется, и при этом не меняется.
В самом общем смысле волна это соединение пространства и времени через распределённое, но единое содержание.

Разумеется, волна — это больше, чем движение профиля, но для демонстрации этого нужны дополнительные пояснения.

В предваряющей статье о разборе круга рассказывалось о том, как понятие производной дополняет определение круга, это не просто постоянство суммы квадратов координат.

Статья получилась объёмной. Было интересно последовательно разобрать одну тему и посмотреть, что получится. Советую читать не торопясь, и только если интересно.

Как вам картина (Рис. 1)? Эти две линии напоминают два идущих друг за другом гребня волны. Но правильный ответ на вопрос о направлении сдвига, как ни странно, шестой — «И не только промежуточные». Потому что направление может быть любое, кроме направления вдоль самой линии. Если не допускать отрицательной величины сдвига, то можно, конечно, исключить направления, для которых нужно двигаться в обратную сторону. Но движение по таким направлениям, которые приближены к самой линии больше, чем направление вверх или вправо — тоже вариант.

Например, сдвиг, который складывается из двух шагов вверх и одного шага влево. Сумма коэффициентов при смешивании у шагов вправо и вверх единица, даже если один из коэффициентов отрицательный. Такое, допускающее внутренние варианты, равенство. А с применением комплексных чисел в сумме одно из слагаемых может быть отрицательным, даже если складываются квадраты.

Движение пространственного профиля во времени может быть представлено функцией от двух аргументов, от пространства и времени. Причём, у такой функции значения вдоль диагонали, совпадающей своим направлением с совмещением движения профиля в пространстве и времени, будет сохраняться. Производные такой функции вдоль координаты пространства и вдоль координаты времени будут по абсолютному значению равны, но противоположны по знаку.

Если бы профиль двигался в другом направлении, влево, то производная по пространству осталась бы той же, а производная по времени поменяла бы свой знак, и они стали бы равны.

По сравнению с предыдущим изображением здесь изменено направление

Вторые производные по пространству и по времени будут между собой совпадать. И для функции, сдвиг у которой происходит в противоположную сторону, вторая производная по времени со второй производной по пространству тоже совпадает. В качестве иллюстрации, можно показать, что участок с постоянным ускорением в пространстве выглядит как участок параболы, и если на графике компенсировать постоянную скорость, то относительно точки с этой скоростью график будет симметричен.

Когда говорится о равенстве вторых производных, речь о раздельных направлениях пространства и времени. Направления, совмещающие направления перемещения гребня в пространстве и времени — ведут к неизменности функции, а значит, и нулевым производным вдоль них. Зато, в других совмещениях направлений, в которых пространственное направление противоположно направлению распространения, множитель результата второй производной может доходить до двух.

Если мы возьмём функцию, вторая производная по пространству и вторая производная по времени у которой совпадает, то она позволит существовать не только профилю, движущемуся вправо, или профилю, движущемуся влево, но и функции, которая представляет собой сумму таких профилей. Это и есть дополнительная особенность волны: возможность прохождения через одну точку нескольких профилей в разных направлениях.

Формула волны это равенство второй производной по времени и второй производной по пространству.

Расширение на многомерное пространство выглядит так: для каждого пространственного направления, с различием противоположных направлений, задан свой отдельный профиль, включающий и данные для отрицательных отступов. Такие профили движутся во времени по своим направлениям с одинаковой скоростью.

Где — все пространственные координаты.
— направление в пространстве.
— величина проекции координат на выбранное направление.

Пространственная производная зависит от направления дифференцирования. Общая пространственная производная это вектор, проекция которого говорит о производной в заданном направлении. Вторая производная в прямом и обратном направлении совпадает, общая вторая производная по пространству это число.

Общая вторая производная по пространству это сумма вторых производных по отдельным координатам.

Если отношение значения функции и второй производной для всей области определения постоянно и отрицательно, то функция будет характеризоваться частотой. Коэффициент, отражающий отношение значения и второй производной, будет минус квадрат частоты.

У волн с определённой абсолютной величиной частоты может различаться как знак частоты, так и пространственное направление. В одномерном случае существует четыре вида функций, подходящих под это уравнение, с одним модулем частоты, но с различной зависимостью от времени и от пространства.

Каждый профиль может состоять из набора произвольных комплексных значений, но можно внести дополнительное ограничение. Чтобы профиль, сдвигающийся в положительную сторону, имел в составе только положительные частоты. То есть, сделать так, чтобы знак частоты у каждой составляющей одновременно указывал и сторону распространения, а волн, в которых пространственное направление распространения противоположное, а частота составляющих та же самая, не было.

Другими словами, исключить «сопряжённые волны». И тогда два профиля противоположного направления будут иметь раздельные частотные диапазоны и могут быть совмещены в один профиль, с общим преобразованием по времени.

Частота у частотных составляющих при указании смещения фазы при движении во времени ставится под модуль. Тогда с течением времени части функции, соответствующие положительным и отрицательным частотам, сдвигаются в пространстве в противоположных направлениях.

У движущихся навстречу профилей в одномерном пространстве можно отметить два эффекта:

1. Эффект отражения. Если встречные профили одинаковы вдоль своих собственных направлений, за исключением противоположного знака, то можно найти точку, в которой у профилей совпадают внутренние координаты, сумма в ней приводит к нулю. Эта точка будет приводить к зеркальному эффекту: профиль идущий на эту точку будет как бы отражаться и идти обратно, поменяв знак.
2. Эффект стоячих волн, когда встречные гармонические колебания одной частоты периодически, то гасят друг друга в ноль, то складываются в гребни и впадины, при этом образуя узлы постоянных нулевых значений и пучности колебаний двойной амплитуды, не сдвигаясь ни в одну из сторон. В пространственно-временном распределении это выглядит как сетка из линий нулевых значений вдоль пространства и времени, в квадратных ячейках которой присутствуют гребни, знак которых определяется в шахматном порядке.

Из-за введённого ограничения все пространственные частоты, и положительные и отрицательные, относительно времени становятся отрицательными, вращение в комплексной плоскости частотных составляющих при движении во времени выполняется в одну сторону.

Для положительных частот вращение во времени идёт в обратном направлении по отношению к вращению в пространстве. Пояснить это можно на примере болта. У болтов правосторонняя резьба, и чтобы закрутить, нужно крутить болт вправо, по часовой стрелке. Но при закручивании гребень волны приближается к шляпке болта, вместе с прикручиваемой деталью. Поэтому, для того чтобы гребень волны отдалялся, вращение нужно производить в противоположную сторону. Отрицательные частоты и в пространстве закручиваются против часовой, и во времени вращение идёт против часовой, это приводит к отрицательному направлению движения в пространстве.

Если мы видим отсутствие мнимой составляющей у среза функции на определенный момент, это значит, что мнимые составляющие противоположных частот погасили друг друга. В следующий промежуток времени один профиль разойдётся на два одинаковых, движущихся в противоположных направлениях, с появлением противоположных мнимых составляющих.

Добавление ограничения частот делает производную по времени характеристикой, включённой в пространственное распределение. Вместо содержания отдельно состояния и отдельно данных о его изменении, всё содержится в функции в пространственном распределении, в комплексных значениях. Ограничение возможных состояний приводит к более тесной взаимосвязи составляющих.

Потоки и их столкновение

Перемещение профилей можно воспринимать как поток, как размеренную передачу некоторого ресурса на расстояние. Величина потока больше связана с изменением значения функции, чем с самим значением, так как при постоянном значении можно сказать, что передачи не происходит.

Поток в виде постоянной передачи в случае одномерной функции с действительным значением выглядит как

Производная и по пространству и по времени с точностью до знака даёт величину . Но в таком случае значение функции с течением времени выходит за любые рамки.

Если для функции использовать комплексные значения, то постоянная скорость изменения может быть постоянной не сама по себе, а с учётом перпендикулярного движения в качестве изменения фазы, вращения. И тогда чистый поворот в комплексном пространстве будет одновременно и постоянным изменением и изменением ограниченным.

Для двумерного пространства постоянное рассеяние ресурса из точечного источника выражается в распределении величины значения и производной по времени обратно пропорционально расстоянию от источника.

Поток можно интегрировать по контуру вокруг источника с учётом локального направления: интегрировать производные отдельно по составляющей вдоль и отдельно по составляющей поперёк контура.

Интеграл по контуру с заданным расстоянием от источника приводит к постоянному значению функции, постоянному суммарному значению производной по времени и постоянному суммарному значению пространственной производной относительно контура, что значит, что поток при расхождении сохраняется.

Интересно, что не смотря на то, что распространение занимает время, при условном смещении общего уровня на такое распространение выглядит как мгновенное.

Если величина потока из источника будет зависеть от времени нелинейно, эффекта мгновенности не будет, но интегрально поток на постоянном расстоянии будет равен потоку источника в соответствующий момент.

При действительной функции несколько источников постоянного потока при таком интегрировании по любому контуру, включающему источники, дают сумму величин исходящих потоков.

Если заменить постоянно изменяющиеся действительные потоки на постоянно вращающиеся комплексные, то можно заметить, что при одном источнике для постоянного потока постоянной частоты интеграл по контуру постоянного радиуса даст одно и то же значение, с фазой, которая прямо соответствует фазе источника в момент испускания. То есть, интеграл совпадает с величиной испускания, также, как и в случае действительной функции.

Но если центр у контура интегрирования в виде окружности сместить, то у суммарного потока значение уменьшится, кроме векторного сложения значений произойдёт и гашение комплексной амплитуды, из-за размытия фазы.

Для нескольких разнесённых источников с колебаниями в одинаковой фазе потоки будут накладываться так, что интеграл и значений и производных по окружающему контуру всегда будет меньше, чем сумма потоков самих источников.

Конечно, интересный вопрос, куда исчезает поток, и не стоит ли компенсировать это через различие фаз, а то и изменение амплитуд? Нормировку какую-нибудь произвести… Но есть и более важный вопрос. А ничего, что представленное двумерное рассеяние уже не выполняет волновое уравнение?

Похоже, с двумерным распределением потока волн не так всё просто.

Если взять интеграл по окружающему контуру от производной вдоль радиуса, для функции, заданной как распределение волны одной частоты с рассеянием обратно пропорционально расстоянию, получим

При вычислении такой общей для одинакового отступа производной получено дополнительное слагаемое. А это значит, что для соблюдения волнового уравнения рассеяние должно его учитывать, и значит, отличаться от простой зависимости «обратно расстоянию».

Самые простые волны для рассмотрения это плоские. Плоская волна характеризуется тем, что колеблется в пространстве вдоль только одного направления, вдоль всех поперечных ему направлений она постоянна. Для изучения потоков можно разобрать, как накладывается две плоские волны одной частоты разных направлений.

Первая производная вдоль , вместе с самим значением, будет иметь коэффициент, меняющийся как удвоенный косинус вдоль .

Частота вдоль снижена до . Интеграл у такой производной вдоль будет колебаться около нуля. Похоже, даже частичная встречность потоков требует развития методов расчёта величины суммарного потока.

После расхождения потоки выглядят точно так же, как выглядели бы без наложения, какими сошлись, такими и разошлись. Так что, само распределение потоков при их наложении можно описать как сохранение суммарной величины потока, но с перераспределением отдельных частей вдоль поперечной координаты, в виде коэффициента, создающего области обнуления и области удвоения. При расхождении это перераспределение возвращает потокам поперечную составляющую.

Рассмотрим ситуацию с двумя точечными источниками волн. Здесь можно предположить, что накладываясь, волны не гасят, а плавно перераспределяют потоки друг друга, изменяют направление распространения, это как мягкая форма такого же перераспределения, которое было в примере с плоскими волнами. На поток будто наложен множитель, оставляющий неизменным суммарное значение по контуру, но производящий перераспределение. И волны в результате даже в некоторой степени концентрируются в общем направлении, подобно лучу лазера, который с расстоянием не рассеивается.

При таком перераспределении суммарная величина потоков должна сохраняться. Наложение колебаний увеличивает удельный поток в месте концентрации, поток переходит туда из мест взаимного гашения. И результат наложения с эффектом концентрации будет превышать результат расчётного наложение волн, рассеянных обратно расстоянию. Но разве амплитуда наложения двух волн может быть больше суммы амплитуд по отдельности? Если рассеяние правильное, то нет.

Правильное — это какое? Суммарно по контуру амплитуда может и не сохраняться.

Самое время разобраться, что именно сохраняется у волны при распространении.

Иллюстрация того, как волны одной частоты от двух источников влияют на максимальную высоту волны в других местах.

Разумеется, при распространении волн сохраняется энергия.

В примере с двумя плоскими волнами энергия двух потоков перераспределяется в энергию двух видов: кинетическую — которая при сложении потоков сложилась не как вектор, а как два числа, и потенциальную, которая в сложенном виде не проявлена, но при расхождении потоков возвращает вклад в поперечное направление.

В гребне волны энергия тоже двух видов: потенциальная, в виде возвышения гребня, и кинетическая, в виде скорости изменения. Скорость входит в энергию как квадрат величины, . У плоской гармонической волны поток энергии постоянный, поэтому там, где скорость нулевая, уже квадрат отклонения компенсирует недостающую часть энергии, но с коэффициентом, равным квадрату частоты.

Энергия это действительная величина, её можно считать отдельно для каждой комплексной составляющей, или можно сохранить фазу, не удваивая при возведении в квадрат и умножении.

Получается, для вывода распределения энергии можно либо возвести в квадрат гармоническую функцию, предварительно умножив на частоту, либо возвести в квадрат вторую производную гармонической функции, предварительно поделив на частоту, либо взять со знаком минус произведение функции и её второй производной, что подходит для любых функций.

Общая амплитуда входит в энергию как квадрат величины. Значит, при складывании одинаковых функций суммарная энергия возрастёт в четыре раза. При этом, совсем не пересекающиеся функции дают вклад в энергию линейно, энергией суммы будет сумма энергий. Это значит, что когда при совмещении двух функций требуется сложить энергию, принцип совмещения самих функций уже не является суммой. В таком совмещении для сохранения энергии требуется сбалансировать не только пару функций, а одновременно пару функций и пару их вторых производных. Или пару первых производных по времени, но в квадрате.

Производная по пространству это две составляющих вектора, каждая из которых комплексное число, а в целом это кватернион. А значит, на одну амплитуду приходится три раздельных фазы. Совмещать квадраты двух кватернионов в квадрат третьего меня жизнь не учила, но вполне можно обнаружить, что октонион, как показатель, что куда переходит, на одну амплитуду имеет семь фаз. Не самое удачное время вернуть сопряжённые волны, ведь тогда на горизонте будут седенионы, а там с делением составляющих на амплитуду и фазу уже не всё так просто.

Аппроксимация точечными источниками

Если точечные источники с одной фазой излучения выстроить в ряд, то из всех направлений будет выделяться одно. Для излучения сразу всем рядом в других направлениях нужно сдвигать фазу, в линейной зависимости от позиции в ряду, иначе для этих направлений одинаковая излучаемая фаза будет восприниматься вразнобой, и от этого суммарные волны уменьшат свою амплитуду.

Подсчитать как точечный источник излучает гармоническую волну можно двумя способами.

Сбор волны через сложение профилей для каждого направления полностью согласуется с уравнением волны. От точечного источника излучение волны идёт сразу во все стороны, во всех профилях точка даёт одинаковый вклад. Смещённые в пространстве и времени профили дают вклад обратно в функцию. Так как профиль влияет на соседние направления как проекция, то есть, с растяжением обратно степени сходства направлений – значит, с умножением аргумента гармонической составляющей на степень сонаправленности – то для получения результата суммирования профилей для выбранной частоты нужно проинтегрировать экспоненту с умножением мнимого аргумента на косинус интегрируемого угла.

Осталось избавиться от отрицательных частот, тогда появится ещё и мнимая составляющая.

Существует формула для вычисления этой функции без интеграла.

Второй способ.
Сначала нужно выяснить, как выглядит вторая производная по отдельной координате от произвольной функции радиуса.

Затем сложить вторые производные для обеих координат.

При выборе одной частоты будет верно, что

Но, так как выполняется симметрия масштаба, можно решить с единичной частотой, а затем функцию просто масштабировать.

Решая это дифференциальное уравнение Бесселя, получим функции, которые в реальной части совпадают с результатом первого способа. Если исключить из решения встречное направление потока, от двух констант останется одна

Полученная функция затухает пропорционально квадратному корню расстояния, но в точности с таким распределением не совпадает. Неравномерность отношения есть и в амплитуде и в фазе. В представленном виде общий сдвиг фазы , в нуле сдвиг увеличивается ещё на . Амплитуда отношения стремится к . В нормализованном для приближения к виде функция будет:

Если считать, что волны рассеваются обратно расстоянию, то волны, рассеивающиеся обратно корню от расстояния — на одинаковых расстояниях, начиная с определённого, имеют бо́льшие значения, и их превышающую часть можно считать переизлучением. Правда, тогда вблизи источника обнаруживается и область, где переизлучение отрицательное.

А сами функции Бесселя по модулю в области нуля даже ещё меньше такого рассеяния.

Фаза функции Бесселя

Нормализованная функция Бесселя с компенсацией рассеяния и сдвигом фазы. Видно падение амплитуды в районе нуля. Комплексные составляющие на отдалении больше 0.5 остаются сходны с косинусом и синусом.

Для отрицательных аргументов функции в мнимой составляющей можно задать удвоенное значение , чтобы в паре с ней в области отрицательного аргумента изменить знак у реальной части, чтобы волна на отрицательной стороне не была сопряжённой. При компенсации рассеяния функция Бесселя умножается на корень аргумента, для отрицательных значений это будет мнимое число, производящее сдвиг фазы на четверть оборота. Выбором знака корня можно выбрать положительную или отрицательную сторону сдвига.

Фаза функции Бесселя с компенсацией рассеяния и выбором такого знака у компенсирующего множителя, который выравнивает фазу.

Участок замкнутого контура можно представить состоящим из точечных источников, которые повторяют амплитуду и фазу каждой пришедшей на них гармонической волны от источников изнутри контура. Во внешнем пространстве это будет хорошим приближением волны, за исключением излучения краёв, которое проявляет себя вплоть до добавления оставшихся участков замкнутого контура. В случае замыкания контур сработает как зеркало внутрь, повторитель наружу. Распределение излучения точечных источников должно быть функциями Бесселя, тогда это будет точное представление принципа Гюйгенса.

Концентрические волны

По любой функции и её производной можно определять локальную частоту вдоль направления, имеющую для каждой точки своё отдельное значение.

Локальная частота может быть комплексной — при изменении амплитуды вдоль направления дифференцирования, в том числе при неравномерном изменении фазы.

Вторые производные можно представить через значение функции и локальную частоту

Дополнительная координата используется как проекция координаты , с условием, чтобы .

По этим равенствам видно, что должно быть комплексным. Значит, частота тоже комплексная.

Частотная характеристика энергии делится на две комплексные величины, у которых мнимые части в сумме дают ноль. Эти комплексные величины в роли производных отражаются в негармоническом изменении амплитуды и фазы вдоль перпендикуляра к округлому фронту.

Расхождение фаз у функции и у второй производной по отдельному направлению говорит о процессе концентрации или рассеивании потока вдоль этого направления. Общая вторая производная, суммарная по координатам, при этом может оставаться в той же фазе, что и значение, отличаясь только знаком.

Взаимосвязи

Выполнение волнового уравнения не подразумевает источников потока. Приходится делить одну функцию на две, в отдельном виде выполняющих уравнение везде, кроме областей перевода потока с одной на другую. Относительно источника это внутренний и внешний уровень.

На внутреннем уровне точечного источника волна также центрально-симметрична, только наоборот, концентрируется со всех сторон в одну точку. Можно подробно представить такую волну: так как суммарно энергия по одному значению радиуса постоянна, то постоянен по модулю и окружающий интеграл квадрата значения, умноженного на квадрат частоты, а значит, если локальная частота не меняется, то амплитуда меняется обратно корню от расстояния.

Общая ситуация при простом сложении двух функций это изменение энергии: возможно как дополнительное усиление в два раза, так и полное гашение. Так как при позитивном сложении энергия должна сохраняться, то при суммировании требуется использовать коэффициенты, причём, комплексные. Коэффициенты срабатывают так, что сколько суммарно энергии было в функциях, столько и осталось, но пропорция здесь — это уже отношение двух комплексных чисел, а значит, включает не только количественное отношение, но и степень расхождения фаз, дополнительную вариацию. При выбранной пропорции смешивания вариация разности фаз может отражаться на вариации усиления амплитуды. Можно отметить, что для отдельных двух плоских волн, если у них различаются направления или частоты, коэффициенты не нужны. Если и направление и частота совпали, коэффициенты зависят от различия фаз. Если у волн присутствуют и другие составляющие, то отдельный вклад плоских волн зависит от общих коэффициентов, они же общие.

Если рассмотреть по порядку: когда точечный источник выпускает концентрическую волну с обоими знаками одного абсолютного значения частоты, мнимые части гасятся, в результате распределение выглядит как затухающий синус с единицей в нуле. При компенсации рассеяния функция становится похожей на косинус, сдвинутый по аргументу на , и с провалом вокруг нуля. Эта компенсация иллюстративная, её можно в любой момент отменить. Возвращение мнимой части немного компенсирует провал, но волна в результате остаётся сдвинутой по фазе на четверть круга и с повышенной от добавочной компоненты энергией, поэтому применяется коэффициент выравнивания фазы , коэффициент выравнивания энергии и коэффициент компенсации различия итоговых амплитуд у пары совпадающих и пары встречных волн одинаковых энергий .

Волны обоих знаков частоты из центра во все стороны плоскости
Компенсация рассеяния, восстановление мнимой части (левая сторона — внутренняя часть источника)
Возвращение фазы
Величина относительного смещения амплитуды. Видно, что без иллюстративной компенсации рассеяния фаза при прохождении точки сдвигается на четверть круга.
Можно рассмотреть волну в контексте изменения размерности. В одномерном случае всё просто — если посреди пространства есть точка перехода, в ней переключаются уровни. На плоскости относительно такой точки надо рассматривать концентрические волны. Они, в дополнение к концентрическому рассеянию, обратному расстоянию, для сохранения баланса энергии усилены на корень от расстояния. Такое усиление ближе определённого расстояния срабатывает как ослабление. Но эффект от балансировки энергии на этом не заканчивается, это ослабление вблизи перехода усиливается дополнительно, при этом меняется не только амплитуда, но и сдвигается фаза.

При переходе через точку фаза проворачивается на четверть круга. А это значит, что если отследить моменты, когда встречные волны различаются на четверть круга, то получим следующее. Разница в четверть имеет направление — сдвинута прямая волна относительно обратной или наоборот. Противоположные варианты вдоль радиуса чередуются. Но при переходе через точку очерёдность переключается. Как будто добавилось пространство, причём, размер изменения пространства имеет обратную зависимость от частоты, прямую зависимость от длины волны. Для произвольных волн это выглядит как обмен мнимой и реальной составляющей, с изменением знака для одного из направлений обмена.

Совмещение противоположных частот требует перебалансировки энергии, значит в профильном представлении у встречных концентрических волн присутствуют общие компоненты. Вывод: ясно, что концентрические волны это не плоские, а плоские не концентрические, возможно, стоит поискать и другие типы волн, промежуточные к этим двум видам. «И не только промежуточные».

Огибающие

Получилось уравнение огибающей для волны с одной частотой.

У этого уравнения прослеживаются знакомые черты. Если обозначить , тогда можно переписать его так:

Что уже очень похоже на уравнение Шрёдингера:

Для совпадения нужно добавить

Для наглядности можно модифицировать волновое уравнение

Так что, волновое уравнение Шрёдингера — это уравнение огибающей для волны одной частоты, со слагаемым, говорящем о дополнительном измерении, колебания вдоль которого идут с частотой, квадрат которой зависит от разницы квадрата частоты колебания вдоль времени у самой функции и заранее заданной функции .

Координаты и — похоже, координаты для разделения внутренней и внешней энергии. Если задать , то координата перестанет влиять на волновое уравнение, пространство и время станут равноправны, за исключением присутствия модулируемой волны.

Только, при решении уравнения Шредингера — это исходная функция, а — результат решения. Обратная зависимость невозможна в рамках задачи.

Альтернативный вид уравнения Шрёдингера:

Если исключить встречные по времени волны, то производную второй степени по времени от можно свести к квадрату производной первой степени. Уравнение Шредингера оперирует функцией — огибающей к волне, а значит, индикатором степени перехода энергии в потенциальную.

Частотное пространство

Преобразование Фурье основано на том, что интеграл произведения двух гармонических функций не равен нулю только если их частоты в сумме дают ноль. Два аргумента в интеграле работают вместе, один внутри интеграла проходит пространство, а второй является внешним аргументом, срабатывает как детектор амплитуды для выбранной частоты.

Преобразование переводит функцию из пространственного представления в частотное. При втором применении может перевести обратно в пространственное, только частоты поменяют свой знак, функция развернётся по аргументу, и потребуется нормировочный коэффициент для каждого применения. Суммарной энергией для всей функции можно считать сумму раздельных по комплексным составляющим интегралов квадрата функции. Эта величина при преобразовании Фурье не меняется. Дополнительный общий коэффициент при преобразовании переходит в такой же коэффициент. Произведение двух функций переходит в их свёртку. Свертка переходит в произведение.

Гауссиана — особенная функция.

Особенность в том, что форма частотного распределения этой функции совпадает с формой пространственного распределения.

Каждая из частотных составляющих занимает всю область определения, но все вместе они складываются так, что в центре образуется одиночный всплеск, а чем дальше от центра, тем точнее все частоты компенсируют друг друга. У каждой частоты свой вклад в энергию, но как энергия распределяется в пространстве, определяется только общей, сложенной из всех частот в соответствии с их фазами, формой функции.

С гауссианой при преобразовании Фурье всё просто — когда функцию сужаешь, результат её преобразования расширяется, общая амплитуда, для сохранения энергии, уменьшается. Соответственно, при расширении функции результат преобразования, наоборот, сужается, и его общая амплитуда при этом растёт.

Если гауссиану сдвигаешь в пространстве — у её преобразования сдвигается фаза, пропорционально этому сдвигу в пространстве и пропорционально частоте. Если точно так же сдвинуть фазу у самой гауссианы, то она в частотном представлении тоже сдвинется, только в обратную сторону.

Если захочется одновременно сдвинуть и в пространственном и частотном диапазоне, то надо учесть, что в случае разного порядка выполнения этих сдвигов получатся разные результаты. Если хочется результата независимо от порядка сдвига, тогда надо сначала на половину сдвинуть в одном диапазоне, потом сдвинуть в другом диапазоне, затем завершить первый сдвиг — таким образом закручивание фазы будет в обоих диапазонах вокруг средней точки между пиком и нулём, и порядок будет не важен.

Степень закручивания фазы на пике будет половиной от произведения величин отдельных сдвигов, форма линии одной фазы в фазовом пространстве — гипербола. Преобразование Фурье от сдвинутой гауссианы можно представить плавным поворотом положения пика на четверть круга в фазовом пространстве, со сдвигом общей комплексной фазы, в соответствии пересекаемым при этом гиперболам.

Все функции, раскладываемые на гауссианы, можно подвергать плавному преобразованию Фурье. Для этого придётся различать фазу как множитель и фазу как проявление сдвигов гауссиан. Первая при повороте не меняется, а вторая, пропорционально произведению сдвигов, меняется на противоположную.

Если гауссиану умножать на экспоненту, то это будет эквивалентно её сдвигу и умножению на коэффициент. Если умножать на гармоническую функцию, это тоже будет эквивалентно сдвигу и умножению на коэффициент, который уже сам будет как гауссиана от частоты. Но тогда и сдвиг имеет мнимую компоненту.

Отсюда видно ещё и то, почему гауссиана при преобразовании Фурье переходит в себя: достаточно взять интеграл по в зависимости от .

Интеграл гауссианы при константном мнимом сдвиге аргумента не зависит от его величины, так же как при действительном сдвиге. Сдвиг аргумента в мнимую сторону увеличивает общую амплитуду функции обратно гауссиане от сдвига, но неравномерность фазы значения функции вдоль реальной части аргумента уменьшает интеграл обратно на ту же величину, и результат интеграла остаётся тем же самым.

Для того чтобы интеграл гауссианы привести к единице есть два способа: поменять общую амплитуду, поделив на , либо умножить аргумент на , что будет выглядеть как домножение квадрата аргумента на без деления на .

Разумеется, есть и промежуточные варианты, и не только промежуточные. Для при этом можно выбирать любое независимое от значение.

Преобразование Фурье от функции Бесселя имеет интересное аналитическое представление

Это деление на корень из разности единицы и квадрата величины напоминает о теории относительности. Мнимая часть в правой части равенства обрезается — в отличие от того, как мнимая часть аргумента в предыдущей формуле игнорируется.

В продолжение, мнимая часть решения уравнения Бесселя, функция Неймана, преобразуется в ту же функцию, с изменённым знаком под корнем.

Не сказать, что неожиданно. Но интересно, что за волны такие, распределение которых состоит только из функции . И что за волны были бы, если бы центральная точка была бы зеркалом, имеющим постоянное значение? А, ну да, если волны концентрические, то это — они и есть.

Преобразование Фурье функций и имеет такое же распределение, как они сами.

Тёмная сторона волны

Добавочная величина позволяет менять составные частоты, компенсируя все изменения, для сохранения общей локальной частоты. Квадрат величины в основном положительный, поэтому происходит гашение частот. Но может быть и комплексным, чтобы загасить и мнимую составляющую.

В характеристическом равенстве кинетическая энергия выглядит как разница коэффициентов, соответствующих общей и потенциальной энергии.

Чтобы явно задать пространственные составляющие этой величины можно пересечь по две плоских волны для каждого базисного направления, и она даже будет похожа на вектор. Но у вектора все проекции на любой базис согласованы, а здесь распределение по координатам может иметь отдельное значение для каждого направления. Так же как в профильном представлении волны в каждой точке для каждого направления даётся отдельное значение функции, так и здесь для каждого направления разделение величины на вдоль него и поперёк своё.

Впрочем, эта величина выражает прежде всего то, как задана потенциальная энергия, а поэтому представляет собой характеристику огибающей. Огибающая не такое простое понятие — как видно из разбора наложения плоских волн, она может даже менять частоту результата. Если разбирать детально, то нужно учесть, что у огибающей может быть и своя огибающая, значит, придётся разбирать, как несколько последовательных или равноправных огибающих выражаются в одном описании локальных изменений. Сложение двух функций тоже можно рассмотреть как операцию с огибающими.

Тёмная сторона волны представляется мне циклическим потоком внутри каждого отдельного места, энергия вложена, но на приём-передачу не идёт. Но зато она идёт на изменение формы огибающей, а это значит, что может являться вкладом, который забирает не тот, кто положил — а значит, всё равно, в каком-то смысле, передачей.

Третье измерение

При добавлении третьего измерения в профильном представлении в координате направления размерность станет на единицу больше.

Но изменится не только это. Для плоской волны фронт в пространстве уже действительно становится плоскостью, и на ней можно дополнительно выбрать направление колебания, появится поляризация. Это приводит к делению одной волны на две составляющие, по одной на каждое базисное направление, перпендикулярное к направлению распространения.

Причём, у каждой части не только своя амплитуда, но и фаза — парная волна может повторять в мнимой составляющей реальную, а в реальной мнимую, с изменением знака для одного из направлений. Для таких волн оценку энергии можно делать исходя только из реальных составляющих. Конечно, парная фаза может и просто совпадать с исходной. А может быть так, что в парной составляющей будет нулевая амплитуда, что делает добавление поляризации похожим на возвращение сопряжённых волн — те похожим образом гасят поперечные колебания в комплексном пространстве. Но деление на две составляющих даёт явное развитие по сравнению с волнами на плоскости.

Из-за такой поляризации значение у пространственного распределения волны становится вектором. Дать общее пространственное направление у вклада два профиля могут только если направления их распространения перпендикулярны этому общему направлению. Иначе вклад профиля вместе с отличием от перпендикуляра уменьшается, а вклад в другие направления, в степени сходства с общим перпендикуляром, увеличивается. Получается, чем более сходны направления у значения и распространения, тем меньше вклад.

Очень подозрительно, когда значение функции похоже на всё что угодно, только не на направление распространения.

Поделить волну на две части можно и по-другому.

Волновое уравнение — это равенство вторых производных по пространству и по времени, а в трёхмерном пространстве уже для первых производных по пространству и времени можно обозначить выражение равенства, но — только для разделённых между собой полей.

У таких полей для каждого их всех трёх базисных пространственных направлений задано своё значение. Производная по времени одного поля одной составляющей будет пространственной производной другого поля во втором направлении от составляющей третьего направления. А так как таких соответствий два, то одно значение делится «на двоих», пропорция подбирается на месте, и для одного из направлений изменён знак. От второго поля к первому такая же зависимость, только, тоже, изменён знак. Не сложно правильно расставить знаки, самосогласованных вариантов — как вариантов вращения, всего два.

Два поля остаются одной волной, их взаимное переизлучение — это условность в рамках последовательного восприятия времени. Обе части волны летят ровно так, как их выпустил источник — так же как волна в профильном представлении идёт по своему направлению, не меняясь, особенно когда нет препятствий.

Будем разбираться как связаны эти два представления. Сравним количество локальных характеристик. В профильном представлении итоговое пространственное значение это три числа, поляризация умножает на два, итого шесть. В полевом представлении по три действительных составляющих на два поля, итого составляющих тоже шесть. Совпадает, можно разбираться дальше.

Для этого надо разобраться в векторном произведении двух векторов. В нём нет ничего сложного, как и в произведении двух комплексных чисел, амплитуду можно подсчитать отдельно, фазу — или уже направление — отдельно. Амплитуда, разумеется, является произведением, только добавится множитель, равный косинусу отличия угла между векторами от прямого. А вот направление у результата имеет две особенности. Первая особенность — что результат перпендикулярен двум исходным направлениям. А вторая особенность — что, так как таких перпендикулярных направлений два, выбор зависит от последовательности аргументов умножения. У базисных векторов в пространстве есть порядок, один из двух вариантов, и векторное умножение можно считать операцией, сохраняющей этот порядок.

Произведение двух векторов можно представить определителем матрицы. Матрица — вектор, составляющие которого — тоже вектора, одинаковой размерности. Определитель матрицы — это величина объёма параллелепипеда, составленного из составляющих матрицу векторов. Но если из трёх трёхмерных векторов один вектор имеет в составе не величины, а три вектора от базиса, то определитель станет тоже вектором, это и будет векторное произведение. В такой математике, в которой самая сложная операция — вычисления объема параллелепипеда, нет ничего сложного. Но если первый аргумент умножения будет содержать вместо вектора оператор производной по базису, определитель матрицы превращается в ротор.

Если бы мы на плоскости вместо определения площади параллелограмма один из векторов превратили бы в производную: , то у нас получился бы индикатор степени вращения значения функции вдоль плоскости. Стало бы ясно, как вектор сдвигается вверх при смене координат вправо, и как вектор сдвигается влево при смене координат вверх, и, из-за линейности на малых расстояниях, в любых линейных комбинациях этих направлений тоже. Получилась одна скорость поворота на все направления смены координат.

В объёме всё точно так же, только результат не число, а вектор. Значит, ротор — это тоже индикатор вращения. Вот кто бы знал. Казалось бы, волны и вращение — какая может быть связь? Придётся разбираться и в этом.

Вращение

Рассмотрим поворот на плоскости. У плоских волн выполнить поворот просто — надо притормозить волну в прямом направлении, умножив на коэффициент и разогнать в перпендикулярном направлении, умножив на . Это перемещает вклад выделенной частоты профиля в профиль другого направления той же частоты, больше ничего.

Для концентрических волн поворот тоже возможен. Чтобы не нарушать концентрическую форму, его нужно выполнить в профильном представлении как добавление смещения у профиля, по направлению движения, с линейной зависимостью от направления. Если сдвиг фазы будет одиночно кратен обороту направления, тогда профили противоположных направлений будут сходиться в центре в противофазе, а это говорит о постоянном значении, и значит, зеркале в точке схода. Если там будет зеркало, возможности сконцентрировать весь фронт в одной точке и выкинуть на другой уровень уже не будет.

Определим значение профиля и проинтегрируем, чтобы получить значение функции вдоль одного направления.

Вот это да. Опять функция Бесселя. Теперь с индексом .

Уравнение Бесселя, три формулировки и решение:

График функции .
Распределение амплитуды.
Мнимая составляющая
Распределение является решением уравнения Бесселя, как соответствия общей второй производной, взятой как сумма вторых производных по радиальному и тангенсальному направлениям — при единичной частоте самому значению функции, взятому с минусом.

Во вторую производную по тангенсальному направлению входит проникновение первой производной по радиальному направлению и отражение энергии, ушедшей на закрученность.

Иллюстрация границы фаз. Распределение со временем вращается.

При разделении координат на радиус и направление

Сама функция будет равна:

Это выглядит как прохождение волны перпендикулярно радиусу, вдоль окружности. Циркуляция волны по кругу звучит странно, как может кружиться волна без источника?

При рассмотрении аналогии со сложением двух плоских волн можно сделать вывод: кручёная концентрическая волна в процессе пересчёта волны из до-потенциальной в после-потенциальную, с выделением огибающей, сталкивается сама с собой и идёт в новом направлении.

У закрученной концентрической волны, так же как было с обычной концентрической волной, можно восстановить мнимую составляющую, функцию , являющуюся линейно-независимым решением того же уравнения. Распределение на плоскости, с зависимостью фазы от направления, состоит из таких же колец, только сдвинутых вдоль радиуса. Результат соединения зависит от направления вращения и заданной фазы. Однообразно соединять можно двумя способами, в зависимости от знака мнимой части.

Амплитуда функции с однообразно восстановленной мнимой частью центрально-симметрична. Но отдельно реальная и мнимая составляющие выглядят как спираль. Если у поменять знак, направленность спирали изменится на противоположную. Направление вращения во времени сохранится.
Отдельно и не производят переброса энергии через центр, так как каждая является своим отражением в центре, вдоль радиуса имеет нули и является стоячей волной, кружащейся вокруг центра. Но при соединении вместе, с образованием спирали, нули пропадают, и в центре, так же как было при совмещении частей у не кручёной волны, будет переброс, с зависимостью направления переброса от знака мнимой части. Если, конечно, не считать, что кроме вращения ничего не происходит — а наблюдая за крутящейся спиралью можно подумать и так.

Интересно, как такое распределение, движение которого во времени выглядит как вращение результата в пространстве, выглядит в профильном представлении? Может быть, так же как у повёрнутой концентрической волны — со сдвигом, пропорциональным направлению — только, мнимая часть по каким-то причинам не гасится? Это говорит о том, что при учёте стоков и источников профильное представление будет расширено — например, разделением в пространстве областей для вкладов встречных профилей.

Производные

Для функции от нескольких координат производная это функция, которая показывает, как меняется исходная функция вдоль каждого из направлений этих координат. Получается, сколько координат, столько значений — то есть, это вектор. Чтобы получить эту векторную функцию, нужна функция от функции, то есть, оператор. Обозначается как , градиент. Вектора, чтобы отличать их от скаляров, будут обозначаться заглавными буквами.

Если мы на плоскости возьмём две функции — по одной на координату, то производная будет иметь четыре значения — с делением на два по тому, от какой функции берётся производная, и с делением на два, по какой координате. Среди этих значений — два значения будут взяты по своим координатам, а два значения по противоположным. Для векторных функций на плоскости можно выделить две производных, состоящих из сумм этих значений.

Функцию с комплексным аргументом и комплексным значением можно считать за две действительных функции на плоскости. Изменение комплексного аргумента для таких функций приводит к изменению комплексного значения — но относительно существующего значения функции любое изменение можно поделить на изменение амплитуды и изменение фазы. Этим величинам и соответствует дивергенция и ротор. Зная эти производные можно определить изменение комплексного значения по выбранному изменению комплексного аргумента.

Обе характеристики весьма информативны. Если бы векторная функция на плоскости обозначала направление движения, то ненулевой ротор говорил бы о тенденции ходить кругами. Ненулевая дивергенция говорила бы о том, что количество идущих не постоянно. Можно ясно представить, как элементы массы движутся, и движение спровоцировано двумя способами: либо в каком-то месте элементы добавляются и требуют распределения, вплоть до места, где их обратно забирают, либо происходит хождение кругами. Либо и то и другое вместе.

Ротор показывает степень изменения направления перемещения, и такой поворот это вовсе не следствие включённости элемента в поток распределения, это всегда противодействие такому потоку. А дивергенция показывает как распределён по пространству источник, из которого приходит то, что движется по векторному направлению значения функции.

У функции, полученной градиентом, движения элементов согласованы и нет тенденций кружить — ротор любого градиента будет нулевой. Ротор убирает все признаки источника, почему-то даже у результата, дивергенция от ротора ноль. Ротор для пространства удобней обозначать , а дивергенцию . Можно подсчитать ротор ротора — степень эффекта, когда сама тенденция кружить имеет тенденцию кружить на другом уровне.

— Лапласиан, показывает степень пространственной изогнутости, в виде суммы вторых производных по базисным координатам. Другими словами, общая вторая производная. Если лапласиан равен градиенту дивергенции, то ротор ротора нулевой. Так же как на плоскости: если умноженная на значение функции сумма вторых производных равна сумме квадратов первых производных, то «тёмной» части в волне нет.

— расчёт источника векторного произведения приводит к разнице двух скалярных произведений вектора и ротора другого вектора в различном порядке.

В пространстве для волны, представленной функциями и выполняется

Брать производную по времени и вычислять ротор для векторной функции можно в любом порядке, результат будет одинаковый. Поэтому можно определить функцию , такую, что будет выполняться соотношение

Дальше можно поделить функции и каждую на две части.

От отделится градиент одного скалярного поля, а в отделится градиент другого скалярного поля, связаны через производную по времени. Так как ротор градиента это ноль, на это не окажет влияния. Но скалярное поле в отделяется так, что будет выполнять условие, что его производная по времени равна дивергенции оставшегося .

И тогда будет выполняться второе соотношение

Где — функция для учёта источника волны, степень отклонения от волнового уравнения.

Если проследить за тем, что соответствует источнику поля, которое является векторным произведением полей

То получим уравнение сохранения энергии, которое говорит, что отдельные плоские волны идут в направлении, перпендикулярном к обоим полям и амплитуды полей при этом одинаковые.

Сама функция это волновое излучение, источник которого распределён в виде :

В итоге вся схема выглядит так:

Между и есть связь, которая имеет простое представление:

И они согласованы между собой. Но то, что связь между и не прямая можно показать и более наглядно. Опосредованность заключается в возможности существования промежуточного поля , которое добавляет вклад в изменения со временем , через вихревую форму распределения в пространстве.

Опосредованных связей во всей системе уравнений несколько, их можно продемонстрировать так: то, что находится в квадратных скобках не влияет на равенство.

Опосредованную связь можно показать на примере первого же уравнения всей системы, , в нём распределением по всему пространству мгновенно задаётся величина заряда. Но можно заметить, что связь является опосредованной через дивергенцию. Обратная связь позволяет такое распределение поля, в котором конкретные значения смещены, а величина смещения распределена так, что не даёт вклада при вычислении дивергенции. А значит, обратное влияние заряда на поле не обязательно мгновенное.

Изменение распределения заряда может мгновенно изменять одну часть распределения, но при этом будет менять и другую часть, которая полностью отменяет влияние до тех пор, пока до тех мест не дойдёт сигнал об изменениях, а когда это будет — совсем другое вопрос. Может вообще не дойти, если отменят. То есть, даже просто поле из-за опосредованной связи с зарядом можно разделить на безвихревое поле мгновенного распространения и компенсирующее всю мгновенность вихревое поле.

Поляризация

Чтобы выяснить, как связаны три различных представления волны, нужно рассмотреть связи их компонентов. Профильное представление содержит комплексные числа, количество которых для отражения поляризации расширено до двух. Представление через поля имеет по два поля, по три действительных компоненты для каждой пространственной точки. Для промежуточного представления, в котором так же как у профильного для выделенного направления и сдвига задаётся значение, которое представлено векторным произведением полей, состав может быть дополнен характеристиками, дающими возможность их восстановления. В рамках плоскости, перпендикулярной к произведению, в качестве поляризации даётся направление , без указания модуля. И дополнительно — скалярные характеристики и .

Количество компонент: полевое представление: , промежуточное представление: , волновое представление: . Количество компонент промежуточного представления легко довести до шести, включив все дополнительные характеристики. Для того, чтобы в профильном представлении компонент стало шесть, поляризацию нужно расширить, допустить третье измерение — поляризацию вдоль распространения.

Здесь и заключается тонкая грань между представлениями. В профильном представлении третье направление поляризации считается характеристикой источника, а не поля. Если в поле сохраняется поляризация вдоль направления распространения, это значит, что действие источника ещё не прекратилось, профили не разошлись. А с другой стороны, что, жалко что ли добавить третью компоненту? Да не жалко. Пусть летит волна, одна из компонент которой вдоль направления движения — значит, в каком то смысле, вдоль времени.

В целом, получилось интересное поле — характеризующееся шестикомпонентным числом, совмещающим три комплексных числа, или два вектора — способов разделения на компоненты несколько. Но в промежуточном представлении вектор совпадает с направлением движения, а значит, количество скалярных компонент не три, а одна. Похоже, для чистых волн без связи с источником, их действительно только четыре. Так что, вопрос количества компонент поляризации — это вопрос сохранения связи волны и её источника. На связь уходит как минимум две компоненты из шести.

Источники и стоки

Рассматривая сток/источник посреди спирали можно сделать вывод, что источники могут быть разные: один вид испускает во все стороны волны, соответствующие значению в центре, другой вид имеет нулевое значение в центре, а волны противоположных направлений имеют противоположные фазы. Да ещё и вращаться можно. Если говорить о соответствующем стоке, он тоже выполняет свою функцию: перевод энергии на другой уровень точно так же не даёт волнам встречных профилей зайти на общее пространство.

Два источника, отправляющие волны на встречу друг другу, могут рассчитывать на два варианта событий: на пространственное наложение встречных волн, с компенсацией потока энергии, или на нахождение между ними стока, который проведёт волне смену пространства, забрав энергию.

Волны задаются распределением источников, а сами источники имеют правила распределения, включая правила движения и реакции на приходящие волны. В целом, статья про волны закончена, осталось небольшое исследование возможных распределений источников и совмещения волн и источников вместе.

Распределение заряда и распространение волны может представлено в различных пространствах, для соотнесения пересчитываемых между собой через свёртку. При размытии функции результат получается свёрткой с профилем размытия. Преобразование Фурье заменяет свертку двух функций на произведение значений для одинаковых частот. Но у размытия есть и обратная операция: наведение чёткости — свёртка с обратным для исходного профилем. Обращение профиля достаточно простое действие, если нет частот с нулевой амплитудой. Когда есть два пространственных распределения: заряда и волны, и одно из них размыто, то можно произвести наведение чёткости. То что было размытым — станет чётким, а вот тому, что было обычным, придётся стать сверх-чётким. Что, вполне ожидаемо, позволяет появиться повсеместному ненулевому заполнению, исчезающему при размытии.

Преобразование Фурье от гауссианы

даёт интересные следствия. Одно в том, что если обратить знак у , знак у обоих функций может остаться одинаковым. А второе, что при можно подобрать такой общий коэффициент для обоих сторон, при котором преобразование Фурье от действительной функции даст функцию с исключительно мнимыми значениями. Здесь нужно обратить внимание, что при прохождении через ноль функция как бы выворачивается наизнанку. А у гауссианы, у которой в абсолютная величина мнимой части больше абсолютной величины реальной — тоже происходит выворачивание, по уровню, и энергия для такой функции при интегрировании перестаёт сходится.

График функции , это гауссиана при

И её преобразование Фурье, . Отличатся знаком мнимой части.

При противоположных значениях правила соответствия знака противоположны, и если абсолютное значение мнимой части больше абсолютного значения реальной, то для положительной величины мнимой части и для отрицательной правила тоже будут противоположны. Значит, есть четыре правила, при прохождении по кругу они последовательно меняются. Без меняющихся правил схема знаков будет выглядеть как край ленты Мёбиуса: при переключении на противоположную сторону — два равнозначных варианта.

Здесь — символ неопределённости знака, участвующий как множитель с зависимостью от . В самом простом виде он повторяет минус, если отрицательное число.

График функции , это гауссиана по второй формуле при том же

И её преобразования Фурье, .
Распределение источника может быть точечным, может быть гауссианой, а может быть расширенной гауссианой, с единичной амплитудой по всему простраству, из-за распределения фазы дающее единичный интеграл.

Реальная часть интеграла от расширенной гауссианы. Похожа на ступеньку, соответствующую точечному источнику.
Диаграмма интеграла расширенной гауссианы в комплексной плоскости. Пример перемещения из одного пункта в другой при постоянной скорости, без резких изменений направления и без ограничений по времени.
Квадрат коэффициента можно представить в виде суммы реальной и мнимой составляющей.

Теперь видно, чему знаковый множитель пытается соответствовать. Соответствие преодолевает даже то, что корень для комплексных чисел не разделяет варианты значений на положительные и отрицательные.

Что у коэффициента больше по абсолютному значению, мнимая часть или реальная, определяется только знаком величины .

Изменением одного только не получится перейти через границу по энергии, изменение пойдёт по гиперболе, не пересекающей диагональ.

Преобразование Фурье сохраняет энергию функции — каждая разделённая по области аргумента часть функции содержит одинаковую энергию до и после преобразования. При суммировании частей функции энергия зависит от их пересечения. В исходной функции части поделены по аргументу. Результат преобразования из-за различия частот также не содержит влияния частей на энергию других. Но и при плавном преобразовании Фурье каждая часть перераспределяется так, что вместе с преобразованием других частей наложение происходит без изменения энергии функции.

Рассмотрим, какое влияние на энергию оказывает изменение коэффициента .

Норма интеграла позволит выводить энергию без отношения к расходящемуся интегралу как к исключительному случаю.

Развернём коэффициент, вынесем неопределённость знака в знаковый множитель

Различие между квадратом функции и покомпонентным квадратом проявляется в различных результатах:

Косинус в квадрате и синус в квадрате выразить через экспоненты просто:

Части внутри скобок можно каждую отдельно скомпоновать с экспонентой, стоящей перед скобкой под интегралом. А вот то, что для каждой из трёх частей знак интеграла будет своим, надо учитывать. И хотя при положительном они будут одинаковы, в других случаях у них может быть четыре комбинации. Это два в степени количества бинарных характеристик, но с учётом, что общий знак влияет на линейность.

Теперь надо вывести выражение для энергии заданной гауссианы.

Рассмотрим эту сумму по частям, первое и второе слагаемое отдельно.

Эта функция по горизонтали не симметрична. Она распределена в виде кардиоиды.

Фигура кардиоиды — это проявление механизма, когда один единичный круг вращается вокруг второго единичного круга, зацепившись как шестерёнка. Видимо, это ещё и волновой механизм. Для построения кардиоиды нужно сложить два единичных вектора, только один из них нужно поделить пополам: одна половина будет постоянного направления, а угол направления другой будет удвоенный относительно угла второго вектора.

Несколько уравнений, задающих кардиоиду выбранного размера:

Размер можно наоборот, определить по координатам

По размеру можно определить значение функции

Как видно, не только произведение , но и сумма корней имеет короткое обозначение.

Всё это может казаться сложным, но если принять , , то при построении графика в зависимости от из кардиоиды функция превращается в две окружности:

Знак функции при отрицательной реальной части определяется тем, учитывали ли мы дополнительную бинарную координату — знак величины — при задании изначальной функции, или задали функцию только для одного её значения, а для другого знак можно обратить.

Если знаки у правой и левой части первого слагаемого не совпадают, то направление кардиоиды вдоль горизонтали меняется, значение функции становится мнимым, и кроме того, при переходе через будет меняться знак. График по координатам будет двумя окружностями, расположенных в вертикальном порядке, и у них будет смена знака по вертикали. Смена знака по горизонтали тоже будет, но её можно убрать так же, как можно было добавить в предыдущем случае.

Если вдруг перестанут быть бинарными значениями, и станет верным , тогда и реальная и мнимая часть будут иметь одинаковое распределение — круги, повёрнутые на восьмую часть оборота. То есть, фазовое вращение распределяется на пространственное и фазовое вращение результата, каждое с половинной скоростью. Пространственное вращение — так ещё и в обратном направлении, в отличие от .

Второе слагаемое энергии зависит от одного действительного числа и график в координатах представляет собой гиперболу с мнимым значением для положительного аргумента, реальным для отрицательного, и зависимостью знака результата от .

Деление на превращает сумму исходных составляющих в реальную составляющую, а разницу в мнимую. При таких поворотах сумма обеих составляющих результата соответствует мнимой части исходного числа.

Энергию можно расписать немного шире.

И тогда при использовании обращённых координат

Дроби будут оставаться на своих местах:

Кроме упрощённой замены переменных и добавления множителя , знаковые множители и как будто поменялись местами. Пока они одинаковые это ничего не значит.

Преобразование Фурье гауссианы в аспекте преобразования энергии можно записать как

Если к функции добавляется множитель, то модуль энергии меняется соразмерно квадрату модуля этого множителя. По приведённому выражению для энергии видно, что при единичных гамма-коэффициентах модуль комплексной энергии сохраняется. Так как энергия функции это сумма раздельных по комплексным составляющим интегралов квадрата функции, то важен не модуль результата, а сумма составляющих. Множитель, меняющий фазу исходной функции, изменяет только разницу составляющих результата, и не влияет на конечное число.

Преобразование Фурье служит методом пересчёта движущегося профиля в статичные колебания, образующих движение только совместным действием. Одно такое колебание выделенной частоты не различается в пространстве по амплитуде и не различается по пространству и по времени иначе, чем по стабильно меняющейся фазе. С одной стороны, энергия должна сохраняться, так как это свойство смены представления одного и того же процесса. Можно даже попробовать источники, со всем их процессом изменений включить в систему рассмотрения с другого ракурса. Но с другой стороны, дополнительные преобразования проявляются внутри преобразования Фурье как дополнительные характеристики, и здесь кое что не ясно — они задают сохранение энергии, или подчиняются ему?

Можно запутаться, но я, вспомнив принцип болтика, понял: к чему прицепился — то и не двигается. То есть, вопрос взаимосвязи функции и энергии зависит от того, кто спрашивает: физик или математик. И физик, который исходит из того, что энергия сохраняется, бывает не прав — так как этим отсекает передачу её в ещё неизвестных направлениях. Не смотря на то, что действительно, что сохраняется — то и энергия. Математик может разобраться, каковы условия сохранения энергии. Но и в математике есть принципиальные недостатки: можно незаметно для себя всё слишком упростить. Это видно на примере задачки про линии. Только физика может напомнить, что практика важнее математики. Физика открыта новому, поэтому часто движет математику. Математика же принципиально не может разделить автоматическое упрощение и непрактичность.

Энергия

Отличие энергии, использованной для определения энергии волны, от энергии, полученной через покомпонентное интегрирование квадратов функции в том, что для волны результат составляет энергию не самой функции, а её производной. Она могла быть определена через произведение значения функции и второй производной именно потому, что в этом случае множитель локальной частоты распределяется, и остаётся только один раз на функцию. Он отражает относительную скорость изменения, вместе со значением функции становится просто скоростью, и общее значение возводится в квадрат. При вычислении энергии через интегрирование квадрата функции постоянная составляющая даёт весомый вклад в энергию. Но если энергию брать от производной, то перед возведением в квадрат этот вклад умножается на частоту — и у нулевой частоты вклада не будет.

У нас есть пара типов энергии. Уже вполне ясно что с этим можно сделать, искать другие.

Значение функции и энергию с остатком фазы в заданной точке можно представить как

Выражение для соответствующей энергии можно немного развернуть, чтобы реальная часть отражала сумму составляющих.

Предоставленное для вычисления энергии одиночное значение можно распределить в интегрируемую функцию от дополнительных аргументов — на величины, квадраты которых могут давать в реальной части отрицательные числа, но при этом общая сумма сориентированных квадратов своей реальной частью будет сходится к фиксированному числу.

Зададим функцию, вклад в различие составляющих энергии у которой будет зависеть от аргумента. Два варианта поворота.

Для этих выражений можно по тем же принципам рассчитать энергию.
Получится два интеграла

Реальная часть сохранилась. Мнимая часть зависит от поворота исходного интеграла.

Просчитаем вид интеграла в общем виде для всех направлений

Обобщим на комплексную функцию

Этот интеграл не зависит от поворота. Можно даже скорректировать значение функции, умножив на расстояние до точки, , и тогда та же энергия будет просто суммой покомпонентных интегралов квадратов функции.

Мнимая часть зависит от удвоенного угла.

Интеграл синуса поворота симметричен, по всему диапазону сходится к нулю.

Но этот результат соответствует только константной функции. Как влияет он на произвольную функцию можно рассмотреть через его преобразование Фурье.

Для положительных частот множитель уменьшает амплитуду частотных составляющих пропорционально экспоненте от минус частоты. Интеграл по всему диапазону возвращает значение для нулевой частоты. Но так как умножение функций под интегралом в частотном диапазоне это свёртка, то влияние коэффициента под интегралом это влияние всех частот на нулевую частоту, которое пропорционально экспоненте от модуля частоты.

Итог интересный: для функции с учётом рассеяния, для нормировки на одинаковое количество «мнимой энергии» амплитуды должны быть дополнительно усилены в экспоненциальной зависимости от частоты. Какую роль это будет играть в ситуации, когда и сами будут комплексными, или распределёнными функциями?

Энергия без сдвига фазы рассчитывается так:

Как устроены волны? Как и всё — непреодолимо загадочно. Но из них, как и из всего, можно сделать зеркало. Чтобы разгадать главную загадку. А зачем ещё они нужны?

Сегодня международный день полёта человека в космос, и день космонавтики.
Шестьдесят лет назад человек вышел в космос! Поздравляю вас с этим праздником.

Распространение электромагнитных волн

Электромагнитные волны — распространяющееся в пространстве возмущение (изменение состояния) электромагнитного поля. Среди электромагнитных полей, порождённых электрическими зарядами и их движением, принято относить к излучению ту часть переменных электромагнитных полей, которая способна распространяться наиболее далеко от своих источников — движущихся зарядов, затухая наиболее медленно с расстоянием.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Распространение электромагнитных волн

Электромагнитные волны – это электромагнитные колебания, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью. Точечный источник излучения – это источник, размеры которого много меньше расстояния, на котором оценивается его действие, и он посылает электромагнитные волны по всем направлениям с одинаковой интенсивностью.

Дисперсия и поглощение

В однородной среде электромагнитная волна распространяется с неизменной скоростью и в неизменном направлении. Скорость волны в пустоте максимальна. Скорость волны в среде равна

или, так как в большинстве интересных случаев

Отношение скорости распространения волн в пустоте к скорости распространения в среде носит название показателя преломления. Таким_образом, электромагнитная теория приводит к равенству которое неплохо выполняется для очень длинных волн. С изменением длины волны показатель преломления меняется. Это явление, называемое дисперсией, чуждо электромагнитной теории Максвелла, полагающей среду непрерывной и не учитывающей взаимодействия излучения с веществом. Как бы то ни было, равенство для быстрых электромагнитных колебаний не имеет места.

Распространяясь по веществу, электромагнитная волна приводит в колебательное состояние электрические заряды молекул. Так как электронное облако легко подвижно по сравнению с тяжелыми ядрами, то электрическое колебание состоит в смещении центра тяжести электронов по отношению к неподвижному центру тяжести положительных зарядов атомных ядер. Обозначая через заряд и массу колеблющихся электронов, можно записать уравнение колебания в форме

или, деля наш и пользуясь формулой собственной частоты колебания

Мы приравняли произведение массы на ускорение двум силам: возвращающей силе— и внешней периодически меняющейся силе Это — уравнение вынужденных гармонических колебаний. Оно удовлетворяется, если положить

После подстановки в уравнение найдем

Дипольный момент молекулы будет равен

Вектор поляризации — дипольный момент в единице объема — будет в N раз больше, если N — число молекул в единице объема:

Вспоминая формулу, связывающую поляризацию с напряженностью,

мы видим, что выразили диэлектрическую проницаемость среды через параметры молекулярного диполя

Показатель преломления среды должен быть равен корню квадратному из этого выражения.

Общий характер зависимости хорошо подтверждается опытом, как это показывает рис. 136, на котором сравниваются кривые показателя преломления в функции частоты, рассчитанные по приведенной формуле и измеренные для

конкретного вещества *). В чем же состоит основной результат опытов и расчета? Показатель преломления вообще растет с увеличением частоты во всем интервале частот, за исключением области, непосредственно примыкающей к частоте резонансного поглощения. Эта область носит название области аномальной дисперсии. У вещества может быть не одна, а несколько резонансных частот, соответствующих разностям его энергетических уровней. Тогда и областей аномальной дисперсии будет несколько.

Итак, скорость распространения волны, т. е. показатель преломления, существенным образом зависит от соотношения частоты волны и собственных частот молекулярных диполей.
Разумеется, от этих же причин зависит степень поглощения электромагнитной волны веществом. Повторяя рассуждения, приведенные на стр. 104 для упругих волн, мы придем к совершенно аналогичной формуле

позволяющей оценить отношение прошедшей интенсивности излучения к падающей если известны коэффициент поглощения и толщина слоя Напоминаем, что коэффициент поглощения равен величине, обратной толщине слоя, ослабляющего интенсивность излучения в раз. Благодаря сложной системе энергетических уровней, свойственной веществу, зависимость коэффициента поглощения от частоты падающей волны может быть причудливой и «скачущей».

До сих пор речь шла о диэлектрических средах, в состав которых входят лишь связанные электрические заряды. Иные закономерности имеют место при распространении электромагнитной волны в такой среде, где в заметном числе присутствуют свободные электроны. К таким средам относятся металлы, а также подобный газу коллектив свободных зарядов — ионосфера. Применяя изложенную теорию, мы должны положить собственную частоту свободного заряда в формуле для е равной нулю (частота пропорциональна жесткости связи). Тогда диэлектрический коэффициент представится формулой

При достаточно больших значениях показатель преломления стремится к единице. Наоборот, при показатель преломления становится мнимым. Последнее означает, что при указанных значениях частоты волны не могут проникать в металл или ионосферу. Напротив, при больших частотах волны «не замечают» среды, в которой имеются электроны. Эти предсказания хорошо оправдываются для радиоволн. Действительно, длинные и средние волны отражаются от ионосферы и не проникают в нее, короткие волны способны проникать в ионосферу, а УКВ проходят через нее беспрепятственно.

Приведенные соображения крайне упрощены, и не приходится удивляться, что они не оправдываются для оптического диапазона, где значения показателя преломления могут быть и близки к нулю и много больше единицы.

Поведение электромагнитной волны на границе двух сред

Так же как и упругая волна, электромагнитная волна отражается и преломляется, если ка ее пути встречается граница раздела двух сред. Основные закономерности этих явлений поддаются теоретическому анализу с помощью пограничных условий для векторов электромагнитного поля. Эти условия, рассмотренные на стр. 231 и 261, являются в свою очередь следствиями уравнений Максвелла.

Поскольку соотношения между полями с обеих сторон от границы не произвольны, расщепление волны на отраженную и проходящую становится тоже не произвольным.

Два соотношения являются решающими: тангенциальные составляющие электрического и магнитного векторов с обеих сторон границы раздела должны быть одинаковыми.

Посмотрим, какие ограничения будут наложены этими соотношениями для простейшего случая нормального падения. Этот случай

изображен на рис. 137. В плоскости чертежа пусть лежат электрические векторы, тогда магнитные будут расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Мы знаем, что с направлением распространения электрический и магнитный векторы должны образовывать правовинтовую систему: вектор Е поворачивается по кратчайшему пути к вектору Я против часовой стрелки, если смотреть против направления распространения. Мы видим, что удовлетворить этому непременному следствию из электромагнитной теории можно двумя способами: изменить на обратное направление вектора Н отраженной волны или сделать то же самое для вектора Е. Таким образом, либо электрический, либо магнитный векторы терпят скачок фазы на 180° при отражении.

Решение вопроса о том, какой из двух случаев имеет место, приходит при рассмотрении косого падения. Оказывается, что оба случая имеют место: один при переходе волны в среду с большим другой — в среду с меньшим

При нормальном падении дальнейший расчет не зависит от того, какую схему мы изберем. Пограничные условия запишем в виде

Но между числовыми значениями векторов имеется связь

Следовательно, мы получим два уравнения

из которых можно найти отношения Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды и показателю преломления (ср. стр. 292), то для коэффициентов отражения и прохождения получим, вводя относительный показатель следующие простые формулы:

Аналогия с упругими волнами (ср. стр. 112) весьма велика.

Подобным вычислением, проделанным для случая произвольного наклона луча и любого поляризационного состояния волны, получены все общие результаты, к изложению которых мы и переходим. Все они весьма удовлетворительно совпадают с экспериментом.

Так как сумма коэффициентов отражения и прохождения равна единице, то результаты теории полностью описываются рисунком 138, на котором интенсивность отраженной волны представлена как функция угла падения.

Расчёт и опыт показывают, что характер отражения существенным образом зависит от поляризационного состояния падающей волны по отношению к плоскости падения. Вектор напряженности электрического поля «важнее» вектора Н хотя бы в том смысле, что фотохимическим действием обладает вектор Е. Поэтому принято, описывая поляризационное состояние волны, описывать его по

отношению к электрическому вектору. Положение вектора всегда легко найдется, если только известно направление распространения. Итак, оказывается, что коэффициент отражения различен для двух волн, падающих под одним и тем же углом на одну и ту же границу раздела, если в одном случае электрический вектор лежит в плоскости падения, а в другом случае перпендикулярен к ней. Кривая на рисунке соответствует случаю, когда вектор Е перпендикулярен к плоскости падения; кривая III соответствует вектору Е, лежащему в плоскости падения; кривая II — случаю, когда падающая волна не поляризована.

В первом случае коэффициент отражения меняется монотонно; при нормальном падении отражение мало — коэффициент порядка 5%, при увеличении угла коэффициент отражения растет и при этом тем быстрее, чем ближе к положению скольжения. Совсем иначе ведет себя луч, электрический вектор которого лежит в плоскости падения. Его интенсивность отражения падает и доходит до нуля при угле удовлетворяющем следующему интересному равенству: Наш рисунок построен для значения (переход из воздуха в стекло), в соответствии с чем угол обращения коэффициента отражения в нуль равен 56° 40′. Далее коэффициент отражения возрастает к единице.

Чем же вызвано отсутствие отражения именно для этого случая, чем он специфичен? Очевидно, мы должны искать ответ в тех же пограничных условиях, из которых следует вся теория явления. Предоставляем читателю произвести построение векторов поля для этого угла и доказать требуемое.

У читателя может возникнуть вопрос. Если пограничные условия позволяют понять все явления на границе двух сред, то как быть с полным внутренним отражением, когда поле имеется в одной средев то время как в другой среде поля нет. Вопрос вполне законный, и теория дает на него ответ. Оказывается, что в условиях полного внутреннего отражения поле проникает во вторую среду, но не распространяется в глубь среды. Равенство не нарушается.

Существует ряд опытов, доказывающих проникновение во вторую среду световых волн в условиях полного внутреннего отражения. Упомянем лишь простой по идее опыт, описанный Мандельштамом. Стеклянная призма погружается в раствор флуоресцина — вещества, обладающего способностью давать характерное свечение под действием света. Луч света заставляют падать на призму так, чтобы происходило полное отражение с внутренней стороны грани призмы, опущенной в раствор. Флуоресцин в этом опыте интенсивно светится (в исключительно тонком слое, примыкающем к стеклу), доказывая этим проникновение электромагнитной волны в раствор.

Естественный и поляризованный свет

Естественный свет — совокупность электромагнитных волн со всевозможными равновероятными направлениями световых векторов (напряженности электрического поля ��), перпендикулярных направлению распространения света. • Поляризованным светом называется свет, в котором направления колебания вектора напряженности электрического поля �� каким-либо образом упорядочены.

Поляризация при отражении

Установим стеклянную пластинку под углом к световому лучу. Луч отразится. Начнем поворачивать луч около его оси (фактически мы будем поворачивать источник света около оси, вдоль которой идет луч),, рассчитывая на то, что рано или поздно отраженный луч пропадет. Однако, если мы воспользуемся для опыта лучом естественного света, то наши ожидания не оправдываются: отраженный луч одинаковой интенсивности будет возникать при любом азимутальном положении падающего луча. Было бы ошибочным делать из этого вывод об опровержении только что изложенной теории. Этим опытом доказано лишь одно: поляризационное состояние естественного луча более сложно, чем это дается схемой двух векторов Е и Н, имеющих фиксированное направление колебания.

Продолжая этот же опыт, заставим падать уже отраженный под углом луч на вторую такую же пластинку, установленную под тем же углом к лучу, отраженному от первой пластинки. Начнем теперь вращать луч около самого себя. Так как, разумеется, важно лишь относительное положение луча и зеркала, то проще вращать вторую стеклянную пластинку. Следя за двукратно отраженным лучом, мы обнаружим, что отражаться он будет по-разному, и без труда найдем такое положение, при котором отражение отсутствует. Очевидно, это такое взаимное положение луча и зеркала, при котором электрический вектор луча лег в плоскость падения. Мы можем сделать отсюда вывод: отражение от первого зеркала привело естественный луч в поляризованное состояние, при котором электрический вектор имеет одно-единственное выделенное направление колебания.

В отличие от естественных лучей лучи с определенным направлением колебания векторов носят название поляризованных. Как же мы должны представить себе поляризационное состояние естественного луча? Приходится допустить, что в естественной электромагнитной волне равномерно представлены все возможные направления колебания электрического вектора. Мы подчеркиваем слово «возможные», так как электромагнитная теория говорит о поперечности электрического вектора. Следовательно, естественная неполяризованная волна является, по сути дела, наложением бесчисленного количества линейно поляризованных волн с равномерно представленными направлениями колебания векторов. Все поперечные направления являются направлениями колебания электрических векторов естественного луча света.

Отражение от двух последовательных зеркал, установленных под углами является одним из возможных способов поляризации световых лучей.

Электрические векторы естественного света можно всегда разложить по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Если исследуется отражение, то удобнее всего разложить векторы на составляющую, лежащую вдоль плоскости падения, и другую, к ней перпендикулярную. Поведение естественного луча эквивалентно поведению двух таких волн, если считать, что разность фаз между ними меняется по закону случая. Поэтому, когда говорят о поляризации света, употребляют выражения: одна из составляющих не прошла, или прошла в такой-то доле. Если при отражении света или при преломлении одна из составляющих проходит в большей степени, чем другая, а именно это и имеет место при отражении и преломлении, как показал рисунок кривых отражения, то происходит частичная поляризация света.

Этим явлением можно воспользоваться для того, чтобы поляризовать какой-либо луч полностью. Пользоваться двумя зеркалами, расположенными под углами к лучам, неудобно. Гораздо удобнее пропустить луч света через стопу стеклянных пластинок. Каждое преломление будет на известный процент увеличивать долю одной из компонент в луче. Таким образом может быть осуществлена практически полная поляризация.

Естественное состояние светового луча — неполяризованное. Отсюда не надо делать вывод, что каждый луч, который не подвергался отражению или преломлению, является неполяризованным. Это прежде всего относится к радиоволнам. Короткие электромагнитные волны, на которых ведется телевизионная передача, сильно поляризованы. Именно это обстоятельство позволяет по расположению телевизионной антенны определить, в каком направлении находится передающий центр. Электромагнитная волна, несущая телевизионную передачу, сильно поляризована; антенну надо устанавливать так, чтобы направление колебания электрического вектора совпало с направлением антенны.

Распространение световых волн в среде с градиентом показателя преломления

Различие в плотности влечет за собой, как правило, различие в показателях преломления. Возникает естественный вопрос о характере распространения волны в такой среде, где значения коэффициента преломления меняются от точки к точке (т. е. градиент показателя преломления отличен от нуля).

Различие в показателях преломления означает разницу в скоростях продвижения фронта волны. Отсюда следует, что фронт волны по мере продвижения в такой среде будет непрерывно деформироваться. Если мы построим нормали к фронту волны, то получим кривую линию. Можно сказать, что свет распространяется в неоднородной среде не по прямым, а по кривым линиям.

Мы уже обсуждали в свое время аналогичную проблему для звуковых волн (стр. 129). Закономерности здесь те же самые и ход лучей управляется тем же принципом Ферма. При распространении в неограниченной среде с градиентом показателя преломления луч света будет распространяться так, чтобы пройти расстояние между двумя точками за минимальное время. Поэтому луч света будет загибаться так, чтобы сократить свой путь в участках пространства, где показатель преломления велик, и, наоборот, будет «стараться» проделать как можно большую часть пути в областях пространства с малым показателем преломления.

Наиболее известным примером распространения света в среде с градиентом является прохождение светового луча через земную атмосферу. Плотность и показатель преломления воздуха падают с высотой. Это приводит к явлению астрономической рефракции: луч, идущий от какой-либо звезды к Земле и входящий в атмосферу не по радиусу, а под углом, будет изгибаться и видимое положение звезды будет смещено по отношению к ее истинному положению.

Для звезд, расположенных у горизонта, угол смещения достигает огромной для астрономии величины в градуса.

Наличие градиента показателя преломления у атмосферы приводит к возникновению миражей. Миражи наблюдаются в африканских пустынях по той причине, что над раскаленным песком могут легко возникнуть тепловые потоки, приводящие к температурным перепадам, следовательно, к градиенту плотности, а значит, и показателя преломления. В результате луч света идет по кривой линии и возникает картина пейзажа в том же месте, куда его мысленно помещает зритель, привыкший к прямолинейному распространению света.

Разумеется, нельзя говорить о сферической или плоской волнах, когда речь идет о распространении света в неоднородной среде. Следует напомнить, что переменная скорость распространения означает, что длина волны также меняется от точки к точке. Какое же уравнение описывает движение волны в среде, где показатель преломления меняется от точки к точке? Имея в виду изменение параметров волны от точки к точке, мы должны поискать дифференциальное уравнение, описывающее это явление, поскольку лишь дифференциальное уравнение устанавливает закон, связывающий физические величины для данной точки пространства.

Это уравнение можно найти с помощью уравнений Максвелла. Вывод несколько сложен, и мы не сможем его провести. Результат вычислений таков: как для вектора Е (или его проекции), так и для вектора Н (или его проекции) справедлив следующий закон:

Функцию называют волновой функцией. Она представляет вектор Е или Н или их составляющие, поскольку для них всех уравнения одинаковы. — координата в направлении распространения волны, — время, — скорость распространения.

Написанное уравнение называется волновым, и справедливо для точек пространства, лежащих вне источников поля (т. е. вне заряженных областей и вне областей, по которым текут электрические токи).

Покажем, прежде всего, что написанному дифференциальному уравнению удовлетворяет простейший волновой процесс — плоская волна. Как нам известно (стр. 99), выражение плоской волны с частотой распространяющейся вдоль направления имеет вид

Вычислим вторые производные волновой функции по времени и по координате. Получим

Мы видим, что между вторыми производными имеется нужная связь:

значит предложенное дифференциальное уравнение содержит в себе уравнение плоской волны. Однако написанное дифференциальное уравнение много шире. Его решением является любая функция аргумента так какдля любой функции выражения производных через будут те же самые.

Зависимость функции от аргумента рассматривается как единственный признак волнового процесса. Смысл этого аргумента заключается в следующем: если состояние в точке характеризуется в момент времени некоторым значением волновой функции, то такое же состояние имеет место в точке через момент времени в точке — через момент времени и т. д.

При этом з есть координата, отсчитываемая вдоль любого прямого или криволинейного пути.

является общим уравнением волнового процесса, справедливым для любой среды, в том числе и неоднородной, в которой меняется от точки к точке.

Если волновая функция должна быть выражена через три координаты пространства то обобщением волнового уравнения является следующая формула:

Для суммы вторых частных производных какой-либо функции существует краткое обозначение: (читается: лапласиан Итак,

Дифференциальное уравнение волны справедливо для произвольного процесса, в котором значения длины волны и амплитуды волны меняются от точки к точке.

Обозначим через амплитуду волновой функции Именно представляет интерес для большинства задач. Если в пространстве существует колебательный процесс с частотой то

в самом произвольном случае. Следовательно, волновая функция будет всегда удовлетворять уравнению

Часть выражения для зависящая от времени, всегда сократится в подобном равенстве, поэтому последнее уравнение есть уравнение для амплитуды волны При помощи соотношенияего можно также записать в виде

Иногда и это уравнение называют волновым.

Распространение радиоволн

Законы отражения и преломления определяют закономерности распространения радиоволн. Чтобы обсуждать конкретные результаты, нужно лишь обобщить теорию на случай среды с непрерывно меняющимся коэффициентом преломления. Но эти рассуждения были проведены (стр. 128) для упругих волн. Они полностью сохраняют свой характер и для электромагнитной волны, как для света, так и для радио. Двигаясь в среде с переменным т. е. с переменной скоростью, волна распространяется таким образом, чтобы затратить кратчайшее время на прохождение расстояния между двумя точками. Путь волны будет криволинейным, причем, переходя из слоя с меньшим в слой с большим волна будет отклоняться в сторону нормали, проведенной к границе раздела.

Чтобы судить о характере распространения радиоволн, следует знать электрические свойства земли и атмосферы. Значения электропроводности и диэлектрического коэффициента этих двух сред решительным образом сказываются на электромагнитном поле волны.

Чем объясняется различие в поведении электромагнитных волн разной длины? Разумеется, существенную роль играет дисперсия. Однако примерное суждение о поведении электромагнитной волны мы получим, если оценим соотношение между током смещения и током проводимости. Понятно, что среда обнаруживает диэлектрические свойства, если ток смещения много больше тока проводимости. Напротив, если током смещения можно пренебречь, то среду можно назвать проводящей.

С этой точки зрения нужно оценивать свойства земной поверхности и свойства атмосферы.

Приведем характерный пример. В радиотехнике известно, что равнинная местность, покрытая лесами, характеризуется диэлектрическим коэффициентом порядка 12 и удельной электропроводностью (в системе СГС) При распространении волн над морем важны значения для морской воды. Соответствующие цифры:Отношение плотности тока проводимости к плотности тока смещения (на стр. 285 мы приводили нужные формулы) выражается формулой

(в системе СГС). Для длинных волн (возьмем, например, 2000 м) это отношение равно для лесистой местности 77, а для поверхности моря 1600. Среду можно считать в обоих случаях хорошим проводником, в особенности это касается распространения над морем. Для коротких волн (скажем, для 20 м)- первая цифра падает до 0,77, а вторая — до 16. Это значит, что для коротких волн морская вода продолжает оставаться в основном проводящей средой, но лесистая местность ведет себя в значительной степени как диэлектрик.

При распространении волн над проводящей поверхностью последняя «не отпускает» волны от себя. Электрические силовые линии подходят к Земле под прямым углом и перемещаются вдоль земной поверхности. Именно поэтому электромагнитная волна легко обходит вокруг земного шара (на это требуется время 0,13 с; вполне возможно весьма точное определение этого времени и, таким образом, определение скорости распространения радиоволн). Это относится к длинным волнам. Короткие волны будут удерживаться у поверхности только морем. В других же местах они могут вести себя, как совершенно свободные волны. При движении вдоль земной поверхности волна проникает в глубь Земли и поглощается ею и притом тем сильнее, чем выше частота колебаний.

Целый ряд замечательных особенностей в поведении радиоволн объясняется наличием в верхних слоях атмосферы слоя, содержащего значительное число свободных ионов и электронов (ионосфера). Таким образом, грубо можно представить себе пространство, в котором движется электромагнитная волна, в виде диэлектрического слоя, зажатого между двумя проводящими слоями.

Ионизация атмосферы не однородна, т. е. число свободных зарядов в единице объема меняется от слоя к слою. Как мы видели в §125, с увеличением числа зарядов коэффициент преломления падает. Так как коэффициент преломления проводящей среды меньше единицы, то волна, поступившая из диэлектрической среды в ионосферу под некоторым углом, будет отклоняться в сторону от нормали. Ионизация растет, значит, отклонение будет возрастать от слоя к слою.

Далее, как показывает рис. 139, волна может либо быйти из ионосферы и уйти от Земли, либо, продолжая искривляться, вернуться на Землю. Грубо говоря (если не учитывать неоднородности ионосферы), волна вернется на Землю, если она попадет на ионосферу под углом, большим угла полного внутреннего отражения:

в противном случае волна уйдет в мировое пространство. Путем многократных отражений то от ионосферы, то от земной поверхности-короткая волна способна огибать земной шар со значительно меньшими энергетическими потерями, чем те, которые имеют место для длинных волн.

Так как УКВ пропускаются слоем свободных зарядов, то они не отражаются ионосферой. Это делает возможным радиоприем на УКВ лишь в пределах прямой видимости.

Мы сильно упростили картину атмосферы. Исследования показали, что распределение плотности свободных электрических зарядов в атмосфере характеризуется несколькими максимумами, так что ионосфера распадается на несколько слоев. Эти слои обладают разной устойчивостью в различные времена года. Интересно, что существование слоев связано с деятельностью Солнца, так как наблюдаются изменения состояния ионосферы в соответствии с 11-летним циклом солнечных пятен. Ионизация верхних слоев атмосферы несомненно связана с приходом к Земле космической радиации.

Из рассмотрения электрических свойств ионосферы и земной поверхности радиотехника делает ряд выводов о наиболее благоприятных условиях радиопередачи и приема на волнах различной длины. На этом мы останавливаться не будем.

Радиолокация

Радиолокационная установка состоит из передающей и приемной частей. Передатчик посылает в пространство импульсы продолжительностью а (порядка микросекунды) через каждую десятитысячную долю секунды (А,) (рис. 140). Если в телесном угле, «освещенном»

радиоволнами, имеется предмет, способный отражать волну, то она отразится и вернется обратно к радиолокационной установке, которая примет отраженный сигнал через время после отправления в пространство очередного импульса.

Это время измеряется при помощи электронного осциллографа. Развертка луча синхронизируется с отправлением в пространство импульсов передатчика. На вторую пару пластин осциллографа подается напряжение, возникающее в приемнике в результате демодуляции сигнала. Тогда на экране осциллографа возникнет «зубец», сдвинутый по отношению к точке начала развертки на расстояние, пропорциональное времени Если в поле зрения локатора попал неподвижный предмет, то и «зубец» на экране осциллографа двигаться не будет; действительно, синхронизация заключается в том, что время развертки делается равным одной десятитысячной доле секунды, т. е. интервалу времени, через который следуют один за другим импульсы передатчика. Если предмет, «увиденный» локатором, перемещается, то движется и зубец, видимый на экране осциллографа.

От этой схемы техника современной локации ушла уже далеко вперед. Электронному лучу осциллографа дают возможность совершать более сложное движение от центра экрана вдоль радиуса к краю экрана. Одновременно линия, описываемая электронным лучом, медленно вращается вокруг центра экрана наподобие стрелки часов.

Это вращение синхронизировано с вращением антенны локатора, так что светящаяся линия направлена в ту же сторону, что и радиолуч передатчика. Далее вносится следующее важное изменение в работу осциллографа: если радиолуч не встречал препятствия и, следовательно, приемник не поймал отраженного луча, то экран осциллографа остается темным. Напротив, если импульс принят, то на экране вспыхивает точка.

Таким образом, тело, встретившееся лучу при ощупывании им горизонта, даст о себе знать светящейся точкой на экране осциллографа. При этом расстояние этой точки до центра экрана будет пропорционально расстоянию от локатора до предмета, а ее азимутальный угол укажет направление, в котором расположен предмет.

Экраны осциллографа обладают послесвечением. Поэтому светящаяся точка, возникшая один раз, не исчезнет и после того, как локатор, проделав обзор местности, вернется опять в то же положение.

Если светящаяся точка возникла благодаря отражению луча неподвижным предметом, то она даст неподвижное изображение на экране осциллографа. Если предмет движется, то на экране будет видно его движущееся изображение.

Благодаря разным коэффициентам отражения различных предметов на экране локатора с круговым обзором видна своеобразная картина местности. Реки и озера представятся темными полосами (малое отражение), земля — более светлая, лес — еще светлее. Разумеется, весьма отчетливо «видны» металлические предметы.

Работая на различных длинах волн, можно изменять характер видимости. Так, на радиоволнах сантиметрового диапазона можно хорошо наблюдать за облаками. Более длинные волны не чувствуют облаков и дождя, и локаторы на таких волнах пригодны в любую погоду, если, наоборот, не ставится специальная задача наблюдения за облаками.

Применение принципов радиолокации в науке и технике многообразно. Локаторы позволяют самолетам легко совершать ночные

полеты и производить посадку на неосвещенные аэродромы. Существенное значение имеет радиолокация для метеорологии; кроме обнаружения на далеких расстояниях или в ночное время облаков и туч, что существенно при составлении прогнозов, радиолокаторы могут следить за шарами-зондами. Радиолокаторы, установленные на морских судах, значительно повышают безопасность движения, сводят на нет возможность случайных столкновений судна с препятствиями или другими судами. При помощи радиолокационных методов в астрономии находят расстояние до метеоров и определяют направление и скорость их полета. Волны отражаются в основном от «хвостов» метеоров, которые представляют собой ионизированные газы. Возможна радиолокация Луны, Солнца и планет. Радиолокационная астрономия имеет большое практическое значение, так как позволяет создать навигационные приборы, при помощи которых в любую погоду и любое время суток будет возможно определить положение корабля по наблюдениям за небесными телами.

Проблемам радиолокации посвящена значительная литература. Поскольку вопросы радиолокации принадлежат радиотехнике, а не физике, то нам кажется достаточным освещение принципа этого замечательного метода.

На рис. 141 изображена блок-схема радиолокатора.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.