Как вычислить производную функции в маткаде

Как вычислить производную функции в маткаде

8.2 Вычисление производных

Для вычисления производных необходимо выбрать соответствующую пиктограмму на панели «Исчисление». Заметим, что функция, ставящаяся под производную, может быть, как определена заранее, так и непосредственно под знаком производной. Так же очень важно, что при вычислении производной не возможно равенство правой и левой частей выражения, поэтому следует использовать знак символьных вычислений вместо знака равенства. Он находится на панели «Символика» и выглядит как стрелка направленная в правую сторону.

Для вычисления производных высших порядков MathCAD предусмотрена функция, которая находит производные n -го порядка. Заполнять плейсхолдеры рекомендуется, начиная со знаменателя, т.е. с той переменной, по которой производится дифференцирование (см. рис. 12).

Лабораторная работа № 4. Дифференцирование средствами Mathcad.

Производной, как известно, называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. Математически производная функ­ции f(x) в точке х определяется как:

f‘(x)=

В Mathcad для вычисления производной предусмотрена команда Symbolics / Variable / Differentiate. Для того чтобы данная команда была доступна, в рабочем документе в дифференцируемом выражении предварительно сле­дует выделить переменную, по которой производная должна быть вычислена. Можно просто навести на эту переменную маркер ввода (для чего, например, достаточно на этой переменной щелкнуть кнопкой мыши).

1.1. Производная от выражения.

Н а Рис. 1 представлено выражение ax 2 + sin(bx), которое будет дифферен­цироваться по переменной х. Это выражение было предварительно введено в рабочий документ, и в нем маркер ввода наведен на переменную х в ар­гументе синуса.

Рис. 1. Дифференцируемое выражение. Рис. 2. Результат вычисления производной по х

После того как переменная в выражении выделена, выбираем команду Symbolics / Variable/ Differentiate. Результат выполнения команды по умолчанию отображается под тем выра­жением, от которого вычисляется производная (Рис. 2).

С полученным выражением можно работать так же, как и с обычным, вве­денным пользователем в рабочий лист. Например, от этого выражения можно вычислить еще одну производную. Например пускай это будет про­изводная по b. Выделяем эту переменную и в очередной раз вы­полняем команду Symbolics / Variable / Differentiate. В результате будет вычислена новая производная, которая отобразиться вни­зу под исходным выражением.

Таким образом, в документе можно вычислять производные практически от любых выражений. Хотя такой метод вычисления производных достаточно прост, он связан с рядом неудобств, которые становятся очевидными при ре­шении более сложных задач:

Прежде всего, этот метод не пригоден для вычис­ления производной от функции, определенной пользователем в рабочем листе. При попытке вычислить производную с помощью команды Differentiate ре­зультат будет представлен как формальная запись производной от функции. Чтобы получить значение производной в явном виде, придется прибегнуть к другим методам (в частности, использовать оператор вычисления символь­ного значения).

Еще один обширный класс задач связан с вычислением про­изводных высоких порядков. В этом случае придется несколько раз вызывать команду Differentiate, что не всегда приемлемо.

Поэтому на практике для вычисления производных часто обращаются не к помощи меню, а вводят команды непосредственно в рабочий лист. При этом очень удобны математи­ческие палитры Calculus и Evaluation.

1.2. Символьная производная

Вычислим производную от выражения, не прибегая к командам меню Symbolics. Для этого на палитре Calculus выберем кнопку с изображением символа производной (Рис. 3). В результате этот символ с двумя заполнителями появляется в рабочем доку­менте (Рис. 4).

Рис. 3. Вставка символа производной. Рис. 4. Символ производной.

На месте нижнего заполнителя вводится переменная, по которой вычисляется производная, а на месте второго — дифференцируемое выражение. Если не прибегать к помощи команд меню Symbolics, то после ввода диффе­ренцируемого выражения следует ввести оператор вычисления символьного значения (стрелка вправо). Это можно сделать, щелкнув на соответствующей кнопке палитры Evaluation. После ввода оператора вычисления символьного значения рабочий документ будет иметь вид, как на Рис. 5. Производная будет вычислена, если щелкнуть курсором мыши вне области вводимого выражения или нажать клавишу <Enter>. Результат вычисления производной представлен на Рис. 6.

Рис. 5. Ввод оператора вычисления Рис. 6. Результат вычисления производной

Несложно проверить, что точно такой же результат может быть получен, ес­ли воспользоваться командой Symbolics I Evaluate I Symbolically или на­жать комбинацию клавиш <Shift>+<F9>. Правда, в этом случае результат отображается не справа от вычисляемого выражения, а под ним. Кроме того, между вычислением символь­ного результата с помощью команд меню и ключевых слов (т. е. инструкций, вводимых непосредственно в вычисляемые или преобразуемые символьные выражения посредством палитры Evaluation или Symbolic) существует одна принципиальная разница: если выражение вычислялось через команды меню и затем в документ были внесены изменения, то результат таких вычислений не пересчитывается. При использовании ключевых слов результат обновля­ется автоматически.

Часто бывает необходимо вычислить производную от функции, определен­ной ранее в рабочем документе. В качестве иллюстрации рассмотрим сле­дующий пример.

Дифференцирование.

Применение MathCAD для дифференцирования функций может не только сэкономить время и силы, но и избежать возможных ошибок, неизбежно возникающих при сложных ручных расчетах. Система MathCAD позволяет производить дифференцирование функций как в символьном виде, так и численно.

Символьное дифференцирование можно осуществить тремя способами:

1. Вставить шаблон из панели Calculus, заполнить его и применить команду из меню

Symbolics/Simplify или Symbolics/Evaluate/Symbolically

2. Вставить шаблон из панели Calculus, заполнить его и применить команду символьного вывода или ключевое слово simplify c панели Symbolics (кардинальская шапка);

3. Набрать выражение для функции, выделить переменную, по которой необходимо провести операцию дифференцирования и дать команду из меню

В вышеприведенном примере показано и численное дифференцирование функции в точке x=2, при этом символьная производная запоминается в функции D(x), затем происходит обращение к этой функции и дается команда численного вычисления (знак “=”). Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм Риддера, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8 знака после запятой. Существенно, что погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL и CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом.

Возможности MathCAD позволяют продифференцировать любую непрерывную функцию, но иногда возникает необходимость находить производную от функции вблизи точки разрыва. В математике для дифференцирования функции вблизи точки разрыва используют операцию односторонней производной. В MathCAD нет встроенных операторов для вычисления односторонних производных, но вычислить их все-таки можно. Для этого следует скомбинировать оператор обычной производной с операторами односторонних пределов, как это сделано в нижеприведенном примере

Производные высших порядков. Для вычисления производных высших порядков в MathCAD предусмотрен специальный оператор на панели Calculus. Шаблон этого оператора содержит на два поля ввода больше, чем оператор обычной производной. В эти два поля может быть вписан порядок производной, причем достаточно ввести значение в одном из них, а в другом оно появится автоматически. Производные высших порядков можно вычислять и в символьном виде, и численно, но при численных расчетах вы можете вычислить производную не выше пятого порядка. Это связано с тем, что используемый алгоритм численного дифференцирования очень быстро теряет точность при росте порядка производной. В символьном же виде вычисление производных высших порядков производится так же просто и точно, как и производной первого порядка.

Частные производные. С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование. Для того, чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, необходимо выбрать из контекстного меню для области оператора дифференцирования пункт View Derivative As (Изображать производную как), в появившемся подменю выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.

Презентация "Возможности математического пакета MathCAd. Вычисления, производ-ные, интегралы. Уравнения и их системы. Символьные решения."

2. Ниже определения x , набрать «?» . Появляется оператор производной с двумя полями:

3. В знаменателе набираем x – это имя переменной, по которой проводится дифференцирование:

4. Затем на поле справа от d/dx набираем x 3 – это выражение, которое нужно дифференцировать:

5. Чтобы увидеть результат, нажимаем знак «=»:

• Хотя дифференцирование возвращает только одно число, можно определить одну функцию как производную другой функции.

• Например:

• Вычисление f ( x ) будет возвращать в численной форме производную g ( x ) в точке x .

• Эта методика может быть использована для вычисления производной функции в последовательности точек.

Пример вычисления производной функции в последовательности точек:

• Замечания относительно численного дифференцирования в Mathcad:

– выражение, которое нужно дифференцировать, может быть вещественным или комплексным;

– переменная дифференцирования должна быть простой неиндексированной переменной.

• В Mathcad так же существует оператор для вычисления производной n -ного порядка. Например, чтобы найти третью производную функции x 9 по x в точке x = 2, нужно выполнить следующие действия:

1. Определите точку, в которой необходимо вычислить производную, т.е. x:=2.

2. Ниже определения x , нажмите клавиши [Ctrl]?, чтобы появился оператор производной с двумя полями в знаменателе, одним в числителе и еще одним справа:

3. На поле внизу набираем x – это имя переменной, по которой производится дифференцирование:

4. Далее на поле выше и правее от предыдущего и набираем 3. Это должно быть целое число между

0 и 5. Обратите внимание, что поле в числителе автоматически отображает любой порядок, печатаемый в знаменателе:

5. На поле справа от d/dx набираем x 9 – это выражение, которое нужно дифференцировать.

6. Нажимаем знак « = », чтобы получить третью производную выражения в заданной точке.

Интегралы в MathCad

• Оператор интегрирования в Mathcad предназначен для численного вычисления определенного интеграла функции по некоторому интервалу. Например, определенный интеграл sin( x ) 2 от 0 до p/4 может быть вычислен следующим образом:

1. Наберите в свободном месте знак «&», чтобы появится знак интеграла с пустыми полями для подинтегрального выражения, пределов интегрирования и переменной интегрирования:

2. Внизу набираем 0, а в верхнем поле p/4. Так задаются верхний и нижний пределы интегрирования:

3. Затем добавляем выражение, которое нужно интегрировать, т.е. sin( x ) 2 :

4. Затем набираем переменную интегрирования, т.е. x , и нажимаем знак «=» для получения результата:

• Замечания относительно численного интегрирования в Mathcad:

– пределы интегрирования должны быть вещественными. Выражение, которое нужно интегрировать, может быть, однако, вещественным либо комплексным;

– кроме переменной интегрирования, все переменные в подинтегральном выражении должны быть определены ранее в другом месте рабочего документа;

– переменная интегрирования должна быть простой переменной без индекса;

– если переменная интегрирования является размерной величиной, верхний и нижний пределы интегрирования должны иметь ту же самую размерность.