Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :
Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.
Построить график функции
Берём параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:
«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .
Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу нужно сдвинуть на 2 единицы влево.
Вот ещё один характерный случай:
Построить график функции
Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:
Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции. В данном примере , и уравнение прямой задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).
Вернёмся к тригонометрическим функциям:
Построить график функции
График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси вдоль оси на влево:
Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения.
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равен нулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:
Аргумент функции необходимо представить в виде и последовательно выполнить следующие преобразования:
1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).
2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на (. ) единиц, в результате чего будет построен искомый график .
Построить график функции
Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):
1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на (. ) влево: (красный цвет):
Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .
Продолжаем расправляться с функциями начала урока:
Построить график функции
Представим функцию в виде . В данном случае: Построение проведём в три шага. График натурального логарифма :
1) сожмём к оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси : ;
3) сдвинем вдоль оси на (. ) вправо: :
Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, и свериться с полученным графиком.
В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.
Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Структура второй части статьи будет очень похожа.
1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.
2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.
Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)
Построить графики функций .
Берём синусоиду за макушку/пятки:
И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:
Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .
Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:
Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .
Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!
И, конечно же, классический пример растяжения/сжатия параболы:
Построить графики функций .
Возьмём рога молодого оленя и вытянем их вверх вдоль оси в два раза: . Затем сожмём вдоль оси ординат в 2 раза:
И снова заметьте, что значения функции увеличиваются в 2 раза, а значения уменьшаются во столько же раз (исключение составляет точка ).
Отпустим в тундру удивлённое животное и продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :
Если ФУНКЦИЯ меняет знакна противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.
Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .
Построить график функции
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси : 
Ещё более наглядно симметрия просматривается у следующей типовой функции:
Построить график функции
График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси абсцисс:
Функции задают две ветви параболы, которая «лежит на боку». Обратная функция задаёт параболу целиком. С подобными графиками часто приходится иметь дело при нахождении площадей фигур, построении областей интегрирования двойных интегралов и в некоторых других задачах.
При умножении функции на отрицательное число , , построение графика следует выполнить в два этапа: сжатие (или растяжение) вдоль оси ординат, а потом – симметричное отображение относительно оси абсцисс. Конкретные примеры увидим в следующем топике.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Преобразование графиков функций
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее постоянно не хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
1. Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
2. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
3. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
4. Растяжение (сжатие) по вертикали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
5. Отражение по горизонтали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
6. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
7. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Преобразование графиков функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Как построить график функции
с помощью геометрических преобразований графиков?
Долгое время мне не хватало решимости подойти к детальной разработке раздела о полном исследовании функции, поскольку тема весьма обширна и предполагает построение большого количества графиков. Но после аналитической геометрии не страшны уже и чертежи ядерной электростанции, поэтому без колебаний возьмём в свои руки острозаточенные карандаши и длинные линейки. Не беспокойтесь по поводу значительного размера веб страницы – здесь очень много чертежей и важнейшей прикладной информации, которая потребуется в будущем.
Чайникам и вновь прибывшим посетителям рекомендую, прежде всего, ознакомительную статью Графики и свойства элементарных функций, где мы рассмотрели основные методы и правила построения графиков. И следующая ступень посвящения – геометрические преобразования графиков функций.
Что это такое? Рассмотрим какую-нибудь элементарную функцию, например, . Подавляющему большинству читателей не составит труда построить кубическую параболу, но что делать, если требуется начертить график функции или ? Интуиция подсказывает, что совершенно не нужно тратить уйму времени и проводить полное исследование функции, достаточно выполнить некоторые геометрические преобразования кубической параболы . График функции можно сжимать/растягивать, сдвигать вдоль осей, симметрично отображать. То есть, несколько волшебных пассов, и кривые готовы!
Зачем это нужно? Вы скажете, что можно применить метод поточечного построения, о котором я так много говорил в методичке о графиках функций. Вот взять ту же функцию и построить её по точкам! Да, способ рабочий. Однако знания геометрических преобразований позволят вам быстро понять, как расположен график, а в несложных случаях вроде практически мгновенно его нарисовать! Навыки грамотно разбираться с чертежами потребуются в различных задачах высшей математики, например, при исследовании функции на непрерывность, нахождении площади фигуры, объема тела вращения, в ходе вычисления двойных интегралов и т.д.
Кроме того, поточечное построение бывает не всегда удобным, так, значения периодической функции можно находить до нервного смеха. Конечно, существуют специальные программы для построения графиков, онлайн сервисы, но они далеко не всегда бывают под рукой.
Иногда на практике задание встречается отдельно, примерная формулировка такова: «построить график функции, используя преобразования графиков элементарных функций». Дана, скажем, функция . Задача состоит в том, чтобы с помощью геометрических преобразований ветки логарифма получить график функции .
Среди прочего материала мы рассмотрим функции с модулем, незаслуженно обойдённые вниманием на первом уроке. По существу, модуль тоже влечёт вполне определённое преобразование графика функции.
Перед тем как перейти непосредственно к примерам напомню некоторые теоретические моменты. В начале статьи о дифференцировании неявной функции я сформулировал определение функции одной переменной . Актуализирую два особо нужных сейчас термина: «икс» – независимая переменная или АРГУМЕНТ, «игрек» – зависимая переменная или ФУНКЦИЯ. При этом функцию можно обозначать как через «игрек», так равноценно и через «эф от икс», например:
Данный технический момент уже упоминался на уроке Типовые задачи с производной. Разницы особой нет, но есть традиции, и в теме «Функции и графики» значительно чаще используется обозначение .
Арсенал преобразований графиков разнообразен как набор пыток святой инквизиции, и опытные читатели могут сразу выбрать свою участь:)
ну а начинающим лучше изучить всё по порядку:
Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси
Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:
Сжатие графика функции к оси ординат
Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать к оси в раз.
И первой на эшафот взойдёт функция, которой я недавно грозился:
Построить график функции .
Сначала изобразим график синуса, его период равен :
К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра, даже до полумиллиметра. Впрочем, многие с этим уже столкнулись.
Теперь поиграем на бесконечно длинном баяне. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси в 2 раза:
То есть, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.
Аналогичную блиц-проверку полезно осуществлять в любом другом примере! Более того, она лучше поможет усвоить суть того или иного преобразования.
Построить график функции
«Чёрная гармошка» сжимается к оси в 3 раза:
Итоговый график проведён красным цветом.
Исходный период косинуса закономерно уменьшается в три раза: (отграничен жёлтыми точками).
Растяжение графика функции от оси ординат
Это противоположное действие, теперь баян не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть от оси в раз.
Продолжим мучить синус:
Построить график функции
Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»: 
И растягиваем её от оси в 2 раза:
То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.
Операции сжатия/растяжения графиков, разумеется, выполнимы не только для тригонометрических функций:
Построить графики функций
График функции получается путём сжатия графика экспоненты к оси в два раза. А график – путём растяжения графика экспоненты от оси в два раза:
В качестве ассоциации можете опять поиграть на «баяне» .
Продолжаем систематизировать умножение аргумента функции на число:
Мы рассмотрели два случая – сжатие () и растяжение ().
Очевидно, что нет практического смысла рассматривать значения . Есть более интересный вопрос: что происходит, когда аргумент умножается на отрицательное число? Ответ будет получен чуть позже, а пока рассмотрим распространённый частный случай, когда :
Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат
АРГУМЕНТ функции меняет знак.
Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .
Наглядный пример уже встречался на уроке Графики и свойства элементарных функций (вспоминаем ). Распечатаем ещё один комплект:
Построить график функции
График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси ординат:
Как видите, всё просто.
Если при умножении аргумента на число значение параметра отрицательно и не равно минус единице, то построение выполняется в два шага. Например: . На первом шаге выполняем сжатие графика к оси ординат в 2 раза: . На втором шаге график отображаем симметрично относительно оси ординат: . Конкретный пример обязательно рассмотрим ниже.
А следующий параграф посвящается одному интересному человеку из дворовой компании моего далёкого детства. Он вытягивал руки в стороны, открывал рот и прыгал влево/вправо по проезжей части. Водители крутили виском у пальца, сигналили, но догнать его так никто и не смог.
Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :
Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.
Построить график функции
Берём параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:
«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .
Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу нужно сдвинуть на 2 единицы влево.
Вот ещё один характерный случай:
Построить график функции
Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:
Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции. В данном примере , и уравнение прямой задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).
Вернёмся к тригонометрическим функциям:
Построить график функции
График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на влево:
Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения.
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равен нулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:
Аргумент функции необходимо представить в виде и последовательно выполнить следующие преобразования:
1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).
2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на (. ) единиц, в результате чего будет построен искомый график .
Построить график функции
Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):
1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на (. ) влево: (красный цвет):
Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .
Продолжаем расправляться с функциями начала урока:
Построить график функции
Представим функцию в виде . В данном случае: Построение проведём в три шага. График натурального логарифма :
1) сожмём к оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси : ;
3) сдвинем вдоль оси на (. ) вправо: :
Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, и свериться с полученным графиком.
В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.
Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Структура второй части статьи будет очень похожа.
1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.
2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.
Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)
Построить графики функций .
Берём синусоиду за макушку/пятки: 
И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза: 
Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .
Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:
Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .
Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры № 1, 3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!
И, конечно же, классический пример растяжения/сжатия параболы:
Построить графики функций .
Возьмём рога молодого оленя и вытянем их вверх вдоль оси в два раза: . Затем сожмём вдоль оси ординат в 2 раза:
И снова заметьте, что значения функции увеличиваются в 2 раза, а значения уменьшаются во столько же раз (исключение составляет точка ).
Отпустим в тундру удивлённое животное и продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :
Если ФУНКЦИЯ меняет знак на противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.
Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .
Построить график функции
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :
Ещё более наглядно симметрия просматривается у следующей типовой функции:
Построить график функции
График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси абсцисс:
Функции задают две ветви параболы, которая «лежит на боку». Обратная функция задаёт параболу целиком. С подобными графиками часто приходится иметь дело при нахождении площадей фигур, построении областей интегрирования двойных интегралов и в некоторых других задачах.
При умножении функции на отрицательное число , , построение графика следует выполнить в два этапа: сжатие (или растяжение) вдоль оси ординат, а потом – симметричное отображение относительно оси абсцисс. Конкретные примеры увидим в следующем топике.
Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат
Настала пора дать передышку ногам и сесть в лифт.
Если к ФУНКЦИИ добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :
Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вверх;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вниз.
Построить графики функций .
В комментариях, думаю, нет особой необходимости:
Комбинационное построение графика в общем случае осуществляется очевидным образом:
1) График функции растягиваем (сжимаем) вдоль оси . Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси .
2) Полученный на первом шаге график сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы .
Построить график функции
График косинуса (чёрный цвет):
1) Растягиваем вдоль оси в 1,5 раза: (синий цвет);
2) Сдвигаем вдоль оси на 2 единицы вниз: :
Простой, но весьма распространённый кадр:
Построить график функции
1) отобразим симметрично относительно оси абсцисс: ;
2) сдвинем вдоль оси на 4 единицы вверх: :
Да, конечно, данную кривую легко построить и поточечно, но такие параболы очень часто встречаются в практических заданиях, поэтому весьма полезно сразу представлять, как они расположены.
Аналогичный трехходовой пример с растяжением и симметричным отображением графика относительно оси :
Построить график функции
График экспоненциальной функции :
1) растянем вдоль оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси абсцисс: ;
3) сдвинем вдоль оси на 1 единицу вверх: :
Заметьте, что в результате последнего преобразования горизонтальная асимптота графика тоже «уехала» вверх на 1 единицу. Аналогичный факт мы уже наблюдали при сдвиге гиперболы (см. Пример № 7).
Систематизируем всю информацию:
Общая схема построения графика функции
с помощью геометрических преобразований
Рассмотрим функцию , которая «базируется» на некоторой функции . Для многих читателей алгоритм построения графика уже понятен:
– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с АРГУМЕНТОМ функции (см. первые два параграфа), в результате чего получаем график функции ;
– на втором шаге выполняем только что рассмотренные преобразования, связанные с самой ФУНКЦИЕЙ, и получаем график .
Завершим самое длинное построение данного урока:
Пример 19 (концовка Примера 10)
Построить график функции
В примере № 10 мы выполнили построение графика , то есть полностью разобрались с аргументом функции. И сейчас осталось выполнить завершающие шаги.
4) отобразим симметрично относительно оси : ;
5) сдвинем вдоль оси на 3 единицы вверх: :
На практике, к счастью, построения почти всегда более коротки, например:
– кубическую параболу сдвигаем вдоль оси на 5 единиц вправо и сжимаем вдоль оси в 3 раза.
– график экспоненты отображаем симметрично относительно оси ординат, затем – симметрично относительно оси абсцисс.
– график функции смещаем влево на 5 единиц, затем – вверх на 1 единицу.
И т.д. Некоторые геометрические преобразования можно поменять местами, но это возможно далеко не всегда! Поэтому «чайникам» лучше придерживаться алгоритма, изложенного в начале параграфа.
Весь материал статьи, который носит в бОльшей степени всё-таки справочный характер, потребуется для выполнения чертежей в других задачах, но время от времени на практике рассматриваемое задание встречается отдельно, причём, бывает, в «сыром» виде:
Построить график функции с помощью преобразований графиков элементарных функций
Методику быстрого построения параболы я разобрал на первом уроке о графиках функций, однако здесь по условию необходимо применить вполне определённый способ.
На первом шаге представим функцию в виде . Для этого используем так называемый метод выделения полного квадрата. Советую не пренебрегать задачей, поскольку типовой приём потребуется и в будущем, например, при нахождении интегралов от некоторых дробей.
Идея состоит в том, чтобы искусственно преобразовать функцию ТАК, чтобы воспользоваться одной из формул сокращенного умножения либо .
Начнём преобразования. Коэффициент при выносим за скобку:
Очевидно, что выражение сведётся к формуле . В скобках конструируем :
Таким образом, . Теперь организуем , для этого в скобках прибавим и вычтем :
Последнее слагаемое выносим из скобок:
Используем формулу и суммируем два последних слагаемых:
В целях проверки целесообразно раскрыть скобки и убедиться, что получится исходная функция:
Построим график . Параболу :
1) Сдвинем вдоль оси на влево: (синий цвет);
2) Вытянем вдоль оси в 2 раза: (малиновый цвет);
3) Сдвинем вдоль оси на вверх: (красный цвет):
Рассмотрим ещё один типовой трюк:
Построить график функции с помощью преобразований графиков элементарных функций.
Сначала сведём функцию к виду . Все действия я закомментирую:
(1) В знаменателе выносим –1 за скобки. Это необходимо, чтобы аргумент функции представить «в привычном» порядке .
(2) Минус знаменателя поставим перед дробью. В числителе проведём искусственное преобразование – прибавим и вычтем единицу. Это необходимо для почленного деления на следующем шаге.
(3) Почленно делим числитель на знаменатель. Возьмите на заметку рассмотренный приём, он используется при интегрировании дробей.
(4) Раскрываем скобки.
Проведём построение. График гиперболы (чёрный цвет):
1) Сдвинем вправо на 1 единицу: (синий цвет);
2) Отобразим симметрично относительно оси абсцисс: (малиновый цвет);
3) Сдвинем вдоль оси на единицу вниз: (красный цвет):
Перейдём к заключительной части урока, в которой речь пойдёт о модуле. Хотел её сделать отдельной небольшой страничкой или pdf-кой, да потом передумал, чего уж тут мелочиться. Хотя эта статья далеко не рекордная по количеству букв, солидную часть объема занимают чертежи.
Графики функций с модулем
Для качественного усвоения материала необходимо понимать, что такое модуль. Краткую информацию о нём можно найти на странице Математические формулы и таблицы в справочном материале Горячие формулы школьного курса математики.
Применение модуля тоже представляет собой геометрическое преобразование графика. Не буду создавать сверхподробный мануал, отмечу только те моменты, которые, с моей точки зрения, реально пригодятся для решения других задач по вышке.
Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.
Правило: график функции получается из графика функции следующим образом: при график функции сохраняется, а при «сохранённая часть» отображается симметрично относительно оси .
Построить график функции
И снова вечная картина: 
Согласно правилу, при график сохраняется: 
И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси в левую полуплоскость: 
Действительно, функция – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на и . А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: , то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.
Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: . В данном случае:
То есть, правая волна графика задаётся функцией , а левая волна – функцией (см. Пример 13).
Построить график функции
Аналогично, ветвь «обычной» экспоненты правой полуплоскости отображаем симметрично относительно оси в левую полуплоскость:
Распишем функцию в кусочном виде: , то есть правая ветвь задаётся графиком функции , а левая ветвь графиком .
Модуль не имеет смысл «навешивать» на аргумент чётной функции: и т.п. (проанализируйте, почему).
И, наконец, завершим статью весёлой нотой – применим модуль к САМОЙ ФУНКЦИИ.
Правило: график функции получается из графика функции следующим образом: часть графика , лежащая НАД осью сохраняется, а часть графика , лежащая ПОД осью отображается симметрично относительно данной оси.
Странно, что широко известный график модуля «икс» оказался на 24-й позиции, но факт остаётся фактом =)
Построить график функции
Сначала начертим прямую, известную широкому кругу лиц: 
Часть графика, которая ВЫШЕ оси , остаётся неизменной, а часть графика, которая НИЖЕ оси – отображается симметрично в верхнюю полуплоскость: 
Модуль функции также раскрывается аналитически в кусочном виде:
Внимание! Формула отличается от формулы предыдущего пункта!
В данном случае: , действительно, правый луч задаётся уравнением , а левый луч – уравнением .
Кстати, – редкий экземпляр, когда можно считать, что модуль применён, как к аргументу: , так и к самой функции: . Изучим более «жизненную» ситуацию:
Построить график функции
Сначала изобразим график линейной функции : 
То, что ВЫШЕ оси абсцисс – не трогаем, а то, что НИЖЕ – отобразим симметрично относительно оси в верхнюю полуплоскость: 
Согласно формуле , распишем функцию аналитически в кусочном виде: .
Или, упрощая оба этажа: , то есть правый луч задаётся функцией , а левый луч – функцией . Сомневающиеся могут взять несколько значений «икс», выполнить подстановку и свериться с графиком.
На какие функции модуль «не действует»? Модуль бессмысленно применять к неотрицательным функциям. Например: . Экспоненциальная функция и так полностью лежит в верхней полуплоскости: .
Всё возвращается на круги своя, синусом начали, синусом и закончим. Как в старой доброй сказке:
Построить график функции .
Изобразим сами знаете что =) 
И снова – то, что находиться в верхней полуплоскости – оставим в покое, а содержимое подвала – отобразим симметрично относительно оси :
Кстати, понятен ли вам неформальный смысл такого симметричного отображения? Модуль «съедает» у отрицательных чисел знак и делает их положительными, именно поэтому «подвальные» точки занимают противоположные места в верхней полуплоскости.
Распишем функцию в кусочном виде:
Решив два простейших школьных неравенства , получаем:
, где – любое целое число.
Да, статья была не самой приятной, но крайне необходимой. Однако повествование завершилось и стало немножко грустно =) Чем-то напомнило мне всё это урок про метод Симпсона, который тоже создавался в марте, и тоже достаточно долгое время. Наверное, громоздкие вещи пишутся по сезону =)
Как правильно сдвинуть график по оси х
Положение графика по горизонтальной оси является одним из ключевых аспектов при создании информативных графических изображений. Будь то график продаж, диаграмма или круговая диаграмма, изменение положения графика может значительно повлиять на его визуальное восприятие и понимание данных.
Для изменения положения графика по горизонтальной оси можно использовать несколько подходов. Один из самых простых способов — использование программного обеспечения для создания графиков, такого как Microsoft Excel или Google Sheets. В этих приложениях вы можете легко изменить положение графика, перетаскивая его мышью.
Если у вас нет доступа к такому программному обеспечению, вы можете воспользоваться языком разметки HTML и CSS. С помощью CSS вы можете создать контейнер для графика и указать его положение при помощи свойства «margin» или «position». Вы также можете использовать фреймворки, такие как Bootstrap, чтобы более эффективно изменить положение графика и создать адаптивный дизайн.
Независимо от выбранного метода, важно помнить о нескольких аспектах: ясность передачи данных, понятность осей и меток, а также цель графика. Изменение положения графика должно быть обоснованным и соответствовать задачам визуализации информации.
Установка точки отсчета
При построении графиков важно правильно выбирать точку отсчета на горизонтальной оси. Эта точка будет определять, каким образом будут указываться значения на оси Х. Все значения будут отсчитываться от этой точки вправо или влево.
Чтобы установить точку отсчета, следует выполнить следующие действия:
- Определить диапазон значений, которые будут отображены на графике. Если все значения являются положительными, то точкой отсчета может быть ноль. Если имеются как положительные, так и отрицательные значения, то нужно выбрать точку отсчета так, чтобы она была достаточно удалена от границы диапазона значений.
- Отметить точку отсчета на графике. Это можно сделать при помощи вертикальной линии или символа, например, нулевой точкой.
- Разместить значения на горизонтальной оси относительно точки отсчета. Значения, меньшие нуля, помещаются слева от точки отсчета, а значения, большие нуля, – справа.
Правильно выбранная точка отсчета позволяет наглядно отобразить значения на графике и сделать его более понятным для анализа.
Перемещение графика вправо или влево
При работе с графиками иногда необходимо изменить положение графика по горизонтальной оси. Это может понадобиться, например, для улучшения визуального отображения данных или для сравнения различных временных периодов.
Для перемещения графика вправо или влево можно использовать несколько подходов:
- Изменение значений на горизонтальной оси. Если график представляет собой временной ряд, то можно изменить значения на оси, сместив их на определенное количество единиц. Например, если нужно переместить график на 2 дня вправо, то к каждому значению на оси можно прибавить два.
- Использование полей графика. Многие инструменты для создания графиков позволяют настраивать отступы с помощью полей. Например, можно увеличить значение поля слева, чтобы сместить график вправо.
- Перемещение графика в программном коде. Если вы работаете с программами или библиотеками для создания графиков, то, вероятно, есть возможность переместить график вправо или влево с помощью программного кода. Например, в Python можно использовать библиотеку Matplotlib и функцию ax.set_xlim() для изменения пределов оси x.
При выборе метода перемещения графика важно учитывать цель и контекст использования. Один метод может быть более удобным и эффективным в определенной ситуации, в то время как другой метод может быть более подходящим в другой ситуации.
Изменение масштаба горизонтальной оси
При работе с графиками важно иметь возможность изменять масштаб горизонтальной оси, чтобы более детально изучать данные и анализировать тренды.
Для изменения масштаба горизонтальной оси можно использовать различные методы:
- Масштабирование оси — это изменение длины оси по горизонтали. Для этого можно использовать функции или методы в библиотеках для создания графиков, таких как Matplotlib или Chart.js. Например, в Matplotlib можно использовать методы set_xlim или xlim для установки желаемого диапазона значений оси X.
- Изменение делений на оси — это изменение количества и расположения делений на оси X. Опять же, это можно сделать с помощью методов в библиотеках для создания графиков. Например, в Matplotlib можно использовать метод xticks для установки желаемого расположения делений.
- Изменение подписей делений — это изменение текста, который отображается на делениях оси X. Для этого также можно использовать методы в библиотеках для создания графиков. Например, в Matplotlib можно использовать метод xticks с аргументом labels для установки желаемых подписей делений.
Изменение масштаба горизонтальной оси может быть полезным при анализе данных, так как позволяет увеличить или уменьшить уровень детализации в зависимости от потребностей пользователя.
Использование дополнительных инструментов и функций
Для изменения положения графика по горизонтальной оси вам может понадобиться использование дополнительных инструментов и функций. В этом разделе рассмотрим некоторые из них:
- Функция axis: данная функция позволяет установить положение оси и ее меток.
- Функция xticks: этой функции можно передать массив со значениями, которые будут отображаться на оси X, и она автоматически установит метки на этой оси.
- Функция xlim: данная функция устанавливает пределы для оси X.
- Функция xticklabels: с помощью этой функции можно установить метки на оси X вручную.
Давайте рассмотрим пример использования этих инструментов и функций:
import matplotlib.pyplot as plt
# Создаем список точек на оси X и оси Y
plt.plot(x, y) # Строим график
# Используем функцию axis для установки положения осей и их меток
plt.axis([0, 6, 0, 12])
# Используем функцию xticks для установки меток на оси X
# Используем функцию xlim для установки пределов для оси X
# Используем функцию xticklabels для установки меток на оси X вручную
plt.show() # Отображаем график
В этом примере мы использовали функции axis и xticks для установки положения оси X и ее меток. Функция xlim установила пределы для оси X, а функция xticklabels помогла нам установить метки на оси X вручную.
Использование дополнительных инструментов и функций позволяет более точно настраивать положение графика по горизонтальной оси и устанавливать метки на оси X вручную.