Как понять симметрична ли функция
Симметрии графиков функций и элементарные уравнения (Чучаев И.И. , 2000), МАТЕМАТИКА
Рассмотрены симметрии графиков функций, указаны способы применения этих симметрий при решении уравнений.
СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, Саранск
Хорошо известна роль симметрии в геометрии и алгебре. Многие сталкивались с задачами, решение которых значительно упрощается при использовании симметричности фигур или алгебраических выражений. Настоящая статья адресована преимущественно старшеклассникам. Ее цель — показать, что графики основных элементарных функций симметричны относительно преобразований, порожденных сдвигами, симметриями, гомотетиями и инверсиями прямой, и указать, как симметрии графиков функций могут быть использованы при решении уравнений.
Пусть X — непустое множество. Взаимно однозначное отображение f множества на себя называется преобразованием множества X. Ясно, что если f и g — преобразования множества X, то их суперпозиция f (g) и отображение f -1 (обратное к f ) также являются преобразованиями множества X.
В этом разделе будут рассмотрены преобразования числовых множеств (преобразования движения, подобия, инверсии), имеющие основополагающее значение в геометрии.
1.1. Преобразование движения
Преобразование f числовой прямой R называется движением на R, если оно сохраняет расстояния между точками R, то есть для любых x, y k R справедливо равенство
| f (x) — f (y) | = | x — y |.
Теорема 1. Если функция f — движение на R, то либо f (x) = x + a при всех x, либо f (x) = a — x. Если функция f (x) = x + a при любых x k R или f (x) = a — x, то f (x) — движение на R.
Действительно, пусть функция f (x) — движение на R, f (0) = a и x > 0. Ясно, что | f (x) — a | = x. Убедимся, что функция f (x) — a не меняет своего знака на (0; ?) и, значит, либо f (x) — a = x при всех x > 0, либо f (x) = a — x. Допустив противное, получим, что найдутся x1 > 0 и x2 > 0, такие, что f (x1) — a > 0, f (x2) — a 0, называется гомотетией (растяжением) R с коэффициентом гомотетии k. Очевидно, что гомотетии на R суть подобия и любое подобие можно задать в виде композиции гомотетии, симметрии и сдвига.
1.3. Преобразование инверсии
Пусть заданы точка a k R и число r > 0. Каждой точке x k R, отличной от a, поставим в соответствие лежащую по одну сторону от a точку f (x), такую, что произведение расстояний от a до x и от a до f (x) равнялось r 2. Легко заметить, что соответствие f (x) является преобразованием множества R \ . Оно называется инверсией R с центром в точке a радиуса r.
Пусть f (x) — инверсия R с центром в точке a радиуса r. Поскольку точки x и f (x) лежат по одну сторону от a, то
( f (x) — a)(x — a) = r 2.
Отсюда следует, что
где b = r 2 — a2 и, значит, a2 + b > 0.
Верно и обратное. Дробно-линейная функция (1) задает инверсию R с центром в точке a радиуса r = Тем самым справедлива
Теорема 3. Совокупность всех инверсий R совпадает с совокупностью всех дробно-линейных функций вида (1).
Функция g(x) = 1/ x задает инверсию с центром в нуле радиуса 1. Легко убедиться, что любую инверсию можно представить в виде суперпозиции двух сдвигов, гомотетии и инверсии с центром в нуле радиуса 1. Преобразование, обратное к инверсии f (x), является инверсией, совпадающей с f (x), а суперпозиция двух инверсий может и не быть инверсией.
1.4. Преобразования, задаваемые
где a, b, c и d — фиксированные числа, взаимно однозначна на области определения x ? — d / c. Она, вообще говоря, не является преобразованием R \
(в случае c = 0 полагаем j(?) = ?). Из предыдущего следует, что доопределенная функция j(x) на R является преобразованием Эти преобразования будем называть дробно-линейными преобразованиями R.
Нетрудно заметить, что суперпозиция двух дробно-линейных преобразований R является дробно-линейным преобразованием, обратное преобразование к дробно-линейному — дробно-линейным. Совокупность всех дробно-линейных преобразований содержит как сдвиги, симметрии, подобия и инверсии R, так и их суперпозиции.
2. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Напомним, что множество M ? X называется симметричным (инвариантным) относительно преобразования F : X X, если F (M ) = M, то есть если образ M совпадает с M.
Пусть j, y — дробно-линейные преобразования Тогда отображение F, которое каждой точке (x, y) множества ставит в соответствие точку (j(x), y(x)) этого же множества, является его преобразованием.
Пусть f — функция с областью определения D( f ) ? R. Доопределим функцию f (если это возможно) во всех предельных точках a области определения D( f ) по правилу
Теорема 4. График функции y = f (x) симметричен относительно преобразования F тогда и только тогда, когда y(x) ? D( f ) при всех x ? D( f ) и справедливо равенство
Отсюда следует, что функция y = f (x) периодическая периода T в том и только том случае, если ее график симметричен относительно преобразования R i R, при котором точка (x, y) переходит в точку (x + T, y) ; график функции y = f (x) имеет ось симметрии x = a, если и только если 2a — x k D( f ) для любого x k D( f ) и f (2a — x) = f (x); точка (a, b) является центром симметрии графика функции y = f (x) тогда и только тогда, когда 2a — x k D( f ) при всех x k D( f ) и f (2a — x) = 2b — f (x).
При помощи последнего утверждения нетрудно убедиться, что точка перегиба (- b / 2a, f (- b / 2a)) кубической параболы f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ? 0, является центром ее симметрии.
График функции y = (x2 — 1)/ x симметричен относительно преобразования, которое точке (x, y) ставит в соответствие точку (1/ x, — y). График функции y = (4 — — 2×2)/ x симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (4/ x, 1/ y).
Используя теорему 4, легко доказать, что если график функции имеет или две вертикальные оси симметрии, или вертикальную ось симметрии и центр симметрии, то функция является периодической; если график функции y = f (x) имеет два центра симметрии, то найдутся линейная функция h(x) и периодическая функция g(x), такие, что f (x) = h(x) + g(x) при всех x k D( f ).
Функции линейная f (x) = x, показательная f (x) = a x, a > 0, a ? 1, логарифмическая f (x) = loga x, a > 0, a ? 1, степенная f (x) = x a относятся к основным элементарным функциям. Оказывается, их можно охарактеризовать при помощи совокупности рассматриваемых нами преобразований, относительно которых их графики симметричны.
Теорема 5. Функция f линейная ( f (x) = x) на R тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно всех преобразований R i R, при которых точка (x, y) переходит в точку (x + a, y + a) либо точка (x, y) переходит в точку (b — x, b — y), a, b k R.
Теорема 6. График функции y = ax симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (x + b, aby) или точка (x, y) переходит в точку (b — x, ab / y), b k R. Если график функции y = f (x), определенной на R и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = ax при всех x k R.
Теорема 7. График функции y = loga x симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (abx, y + b) или точка (x, y) переходит в точку (ab / x, b — y), b k R. Если график функции y = f (x), определенной на (0, ?), симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = loga x для любого x k R.
Теорема 8. График функции y = x a симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (kx, k ay) или точка (x, y) переходит в точку (k / x, k a / y), где k > 0. Если график функции y = f (x), определенной на (0, ?) и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = x a при всех x > 0.
Доказательства приведенных теорем несложны. Докажем, например, теорему 7. Первая часть теоремы следует из свойств показательной функции и теоремы 4. Для доказательства второй части положим
Тогда функция h(x) определена на R и по теореме 4 при всех x, b k R справедливы равенства
h(x + b) = loga f (x + b) = loga ab f (x) = h(x) + b,
Согласно теореме 6, h(x) = x при всех x k R и, значит, f (x) = x a.
3. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Автоморфные функции являются обобщениями периодических и четных функций. Их теория, созданная в конце XIX и начале XX века, главным образом трудами А. Пуанкаре и Ф. Клейна, представляет собой в настоящее время обширную область комплексного анализа. Однако эти функции представляют интерес и при изучении функций действительного переменного.
Пусть функция f определена на D( f ) так, как указано в предыдущем разделе. Назовем ее автоморфной (квазиавтоморфной), если существует дробно-линейное преобразование j, такое, что j(x) т x, j(x) k D( f ) для любого x k D( f ) и f (j(x)) = f (x) (соответственно f (j(x)) = f (x)). При этом функцию j будем называть инвариантом (соответственно квазиинвариантом) функции f. Функцию j(x) ╞ x будем считать тривиальным инвариантом.
Иными словами, функция f автоморфна (квазиавтоморфна), если ее график симметричен относительно некоторого преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (j(x), y) (соответственно (j(x), — y)), причем j(x) т x.
Ясно, что периодические функции (j(x) = x + T, T — период), четные функции (j(x) = j(- x)) являются автоморфными, а антипериодические и нечетные функции — квазиавтоморфными.
Функции x /(x2 + 1), ((x2 — 1) ln | x |)/ x являются автоморфными, j(x) = 1/ x — их инвариант; функция (x2 — — x + 1)3/ (x(x — 1))2 имеет пять инвариантов: 1 — x, 1/ x, 1/(1 — x), (1 — x)/ x, x /(1 — x).
Функции x /(x2 — 1), ln x, (x3 — 1)/(x3 + 1) квазиавтоморфные, j(x) = 1/ x — их квазиинвариант.
Отметим, что дробно-линейная функция j(x) является инвариантом (квазиинвариантом) многочлена ненулевой степени p(x) тогда и только тогда, когда j(x) = = 2b — x и (соответственно p(x) = ).
Теорема 9. Если непостоянная функция f (x) непрерывна на R, а линейная функция j(x) = kx + a является инвариантом или квазиинвариантом f (x), то | k | = 1.
Доказательство. Пусть j(x) = kx + a — инвариант f (x). Ясно, что k ? 0. Предположим, что | k | 1, то, заменив j(x) на
(j-1(x) — функция, обратная к j(x)), опять получим противоречие. Следовательно, | k | = 1.
Если j(x) — квазиинвариант функции f (x), то
j(2)(x) = k2x + ka + a
есть инвариант f (x) и, значит, k2 = 1.
Следующая теорема характеризует инварианты и квазиинварианты непрерывной периодической функции.
Теорема 10. Пусть f (x) — непрерывная периодическая функция на R периода T. Если j(x) — инвариант (квазиинвариант) f (x), то j(x) = x + nT + T /2, где n k Z.
Отыскание инвариантов функций — задача достаточно сложная. Однако для дробно-квадратичных функций
можно указать алгоритм их поиска.
s1 = bc1 — b1c, s2 = ac1 — a1c, s3 = ab1 — a1b.
Преобразуя равенство f (x) = f (y), где y = j(x), нетрудно получить, что
(y — x)(s1 + s2(x + y) + s3xy) = 0.
Отсюда следует, что
Заметим, что условие равносильно тому, что квадратные трехчлены ax2 + bx + c и a1x2 + b1x + + c1 имеют общий корень. Дробно-квадратичная функция f (x) не может иметь других инвариантов, ибо каждое свое значение она принимает не более двух раз (решение уравнения f (x) = c сводится к решению квадратного уравнения).
Если s3 = 0, то j(x) = — x — s1 / s2 . Это означает, что прямая x = — s1 /(2s2) является осью симметрии функции f (x). Условие s3 = 0 равносильно условию — b /(2a) = = — b1 /(2a1)). Поэтому график дробно-квадратичной функции симметричен относительно некоторой вертикальной прямой тогда и только тогда, когда оси симметрий парабол y = ax2 + bx + c, y = a1x2 + b1x + c1 совпадают.
4. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
В этом разделе изложим способы применения симметрий графиков функций при решении уравнений и начнем с приемов использования инвариантов автоморфных функций.
Применение инвариантов при решении уравнений вида
где f, g, h — некоторые функции, основано на следующем очевидном факте. Если функция j — инвариант f (в том числе и тривиальный), то решения уравнения
содержащиеся в ОДЗ уравнения (2), являются корнями уравнения (2). Заметим, что спектр уравнений (2) достаточно широк — от хорошо знакомых по курсу математики средней школы до уравнений олимпиадного характера, предлагаемых и на Соросовских олимпиадах (см. пример 2). Перейдем к примерам.
Пример 1. Решите уравнение
Решение. ОДЗ уравнения: x ? 0; 1; 3; 7/2. Уравнение имеет вид (2), причем
Используя инварианты f, выписанные в предыдущем разделе, получим, что решения совокупности уравнений
содержащиеся в ОДЗ исходного уравнения, являются его корнями. Следовательно, 6, 7/3, суть решения уравнения. Поскольку уравнение сводится к алгебраическому уравнению десятой степени, то оно других решений не имеет.
Пример 2. Найдите наименьший положительный корень уравнения
Решение. Ясно, что искомый корень уравнения содержится в одном из промежутков (0; p /2) и (p /2; p]. Будем искать его (если он есть) в интервале (0; p /2). В этом случае уравнение имеет вид (2) (sin x =
f (x) =
Функция f периодическая периода 1 и строго возрастающая на [0, 1), поэтому уравнение на (0; p /2) равносильно совокупности уравнений
где k k Z. Поскольку tg x — sin x — строго возрастающая на (0; p /2) функция, то каждое уравнение совокупности может иметь не более одного корня, при этом если k1 0, то Ясно, что f ‘(x) > 0 при x > 1 и f ‘(x) f (1) = 0 при x > 0, x ? 1. Поскольку функция f (x) нечетная, то из предыдущего следует, что она каждое свое значение принимает дважды. Поэтому если есть потерянный корень, то он является решением уравнения x = 1/ x. Проверкой убеждаемся, что 1 является решением исходного уравнения, а -1 нет. В итоге получим, что корнями исходного уравнения являются 1, 2,
Пример 4. Решите уравнение
где
замечаем, то уравнение имеет вид (2). Функция f (x) является дробно-квадратичной, поэтому она каждое свое значение принимает не более двух раз. Инвариантом функции f будет функция
Так как g(x) ? 1 при любом x и уравнение j(g(x)) = g(x), то есть уравнение
решений не имеет, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Очевидно, что корнем первого уравнения семейства будет 1/2. Поскольку 0 #
Уроки математики и физики для школьников и родителей
Если у функции имеется ось симметрии, то при выборе координатной системы стараются обыкновенно совместить одну из координатных осей с осью симметрии.
Если имеются две взаимно перпендикулярных оси, то естественно совместить с ними обе координатные оси.
Если имеется центр симметрии, целесообразно совместить с ним начало координат.
Если функция имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения есть центр симметрии.
Обратное утверждение неверно: из существования центра симметрии не следует существование хотя бы даже одной оси симметрии (например, функция у = х 3 ).
Очень важно при построении по точкам функций у = f (х) уметь пользоваться признаками того, что:
– ось Ох есть ось симметрии ;
– ось Оу есть ось симметрии ;
– начало координат О есть центр симметрии.
Если кривая у = f (х) не меняется при замене у на –у , то ось Ох есть ось симметрии функции.
у 2 = 2рх – ось симметрии Ох , так как
Как понять симметрична функция или нет?
Нужно исследовать четность функций. А я не понимаю, симметричны они или нет..
«Исследовать на четность» — это означает ответить на вопрос, является ли функция четной, нечетной, или ни той, ни другой (т. е. является функцией общего вида).
Если для любого x из области определения f(x) = -f(-x), то функция нечетная. Остальное вам уже сказали.
Симметричные графики функций
График функции может быть симметричен относительно оси ординат, оси абсцисс или некоторой прямой, проходящей через начало координат. Для симметричных функций существуют определенные правила записи формулы, которые позволяют определить симметричные и точки функции.
Симметричные функции относительно оси ординат
Функция симметрична относительно оси ординат, если f(-x)=-f(x). Это означает, что для каждого значения x на графике функции существует соответствующее значение -x, которое дает значение функции, равное противоположному значению функции от x.
Примером такой функции может быть f(x)=-2x+4. Для проверки симметрии относительно оси ординат необходимо подставить -x вместо x в формулу функции:
Заметим, что значение функции для аргумента -x равно значению функции для аргумента x с обратным знаком, что подтверждает симметричность графика относительно оси ординат.
Запись формулы для симметричной функции
Для записи формулы для симметричной функции относительно оси ординат необходимо заменить x на -x в формуле функции:
Тогда общая запись формулы для симметричной функции относительно оси ординат будет иметь вид:
Заключение
Симметричные графики функций могут быть относительно осей ординат или абсцисс, а также по отношению к любой прямой, проходящей через начало координат. Для симметричных функций существуют определенные правила записи формулы, которые позволяют определить симметричные точки функции на графике. Они позволяют не только легче проводить графические построения, но и применять математические методы для решения задач в различных областях науки и техники.