Теорема. Линейный оператор А, действующий в линейном пространстве L, обратим тогда и только тогда, когда kerA=<0>, imA=L. Док-во. Допустим, что оператор А обратим. Для вектора x  kerA последовательно получаем: Ax=0, A -1 Ax=A -1 0, Ix=0, x=0. Следовательно, kerA=<0>. Для произвольного вектора y  L положим x=A -1 y. Тогда y=Ax  imA. Следовательно, imA=L. Пусть kerA=<0>, imA=L. Из условия imA=L следует, что для любого вектора yL существует такой вектор xL, что Ax=y. Покажем, что вектор x определяется вектором y однозначно. Действительно, допуская, что Ax’=y для некоторого x’L, имеем: A(x’-x)=Ax’-Ax=y-y=0, (x’-x)  kerA, x’-x=0, x’=x. Мы показали, что для каждого вектора yL существует единственный вектор xL, такой, что Ax=y. Определим оператор B:L->L, полагая By=x. Покажем, что AB=BA=I. Действительно, пусть yL. Найдём такой вектор xL, что Ax=y. Тогда AВy=Ax=y. В силу произвольности вектора y, AB=I. Пусть теперь xL. Положим y=Ax. Тогда By=x и Bax=By=x. В силу произвольности вектора x, BA=I. Мы доказали обратимость оператора А.

Число ₀P называется собственным значением оператора А, если существует такой ненулевой вектор x₀L, что Ax₀=₀x₀. Вектор x₀ называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению ₀. Множество всех собственных значений называется спектром линейного оператора А (Sp(A)).

Теорема. Число ₀P является собственным значением линейного оператора А тогда и только тогда, когда ker(A-₀I)<><0>. Док-во. Если ₀Sp(A), то для некоторого ненулевого вектора x₀L выполняется равенство Ax₀=₀x₀. Тогда Ax₀-₀Ix₀=0, (A-₀I)x₀ = 0, x₀ker(A-₀I), т.е. ker(A-₀I)<><0>. Обратно. Пусть ker(A-₀I)<><0>. Возьмём любой ненулевой вектор x₀ker(A-₀I). Тогда (A-₀I)x₀=0, Ax₀=₀x₀, т.е. x₀ – собственный вектор, ₀Sp(A).

Следствие. Ненулевой вектор x0L является собственным вектором, отвечающим собственному значению ₀, тогда и только тогда, когда x0ker(A-₀I).

Многочлен det(A-I) от переменной  называется характеристическим многочленом оператора А.

Теорема. Пусть L – конечномерное линейное пространство ненулевой размерности над полем P, А – линейный оператор, действующий в пространстве L. Число ₀P является собственным значением оператора А тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена этого оператора.

Базис линейного пространства называется собственным базисом линейного оператора, действующего в этом пространстве, если он состоит из собственных векторов этого оператора.

Теорема. Базис e1,…,en – является собственным для линейного оператора, тогда и только тогда, когда матрица оператора в этом базисе диагональная и по диагонали стоят собственные значения этого оператора.

Теорема. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Док-во. Допустим, что система x1, x2, …,xk собственных векторов линейного оператора А, отвечающих его различным собственным значениям 1, 2, …, k, линейно зависима. Рассмотрим последовательность её подсистем x1; x1, x2; x1, x2, x3; ….. x1, x2, x3, …, xk, начинающуюся линейно независимой подсистемой (т.к. x1<>0) и заканчивающуюся линейно зависимой подсистемой исходной системы. Тогда в этой последовательности подсистем можно найти такую линейно независимую подсистему, что следующая за ней подсистема будет линейно зависимой. Пусть подсистема x1, x2, …, xm, m<k, линейно независима, а подсистема x1, x2, …, xm, xm+1 линейно зависима. Тогда существуют числа 1, 2, …, m, m+1, не все равные нулю, и такие, что 1×1 + 2×2 +…+ mxm + m+1xm+1=0. Применим к обеим частям этого равенства оператор А. Учитывая, что Axk=kxk (k=1, 2, …, m+1) получим: 11×1 + 22×2 +…+ mmxm + m+1m+1xm+1=0. Вычтем из обеих частей этого равенства обе части равенства, умноженного на m+1. После приведения подобных получаем: 1(1 — m+1)x1 + 2(2 — m+1)x2 +…+ m(m — m+1)xm=0. Система x1, x2, …, xm линейно независима. Поэтому из последнего равенства выводим: 1(1 — m+1)=0, 2(2 — m+1)=0, …, m(m — m+1)=0. По условию 1-m+1<>0, 2-m+1<>0, …, m-m+1<>0. Тогда из предыдущих равенств следует, что 1=0, 2=0, …, m=0. Подставляя эти значения в равенство 1×1 + 2×2 +…+ mxm + m+1xm+1=0, получаем: m+1xm+1=0. Отсюда следует, что m+1=0, т.к. собственный вектор xm+1<>0. Мы доказали, что все числа  равны нулю, что противоречит их выбору.

Оператор называется оператором простого типа, если для него существует в пространстве собственный базис.

Следствие. Оператор является оператором простого типа тогда и только тогда, когда существует базис пространства в котором его матрица диагональная.

Следствие. Оператор является оператором простого типа тогда и только тогда, когда его матрица во всех базисах подобна диагональной.

Теорема. Линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве L, имеет в базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда этот базис состоит из собственных векторов оператора А.

Док-во. Пусть е1, у1 ,…,еn – базис в L и Ae=((1 0 … 0)(0 2 … 0)…(0 0 … n)). Тогда Ae1=1e1, Ae2=2e2,…,Aen=nen, т.е. базис состоит из собственных векторов оператора А. Обратно. Если базис состоит из собственных векторов оператора А, то Ае1=1e1, Ae2=2e2,…, Aen=nen, для некоторых чисел 1, 2 ,…, nP. Отсюда следует, что матрица Ае имеет указанный выше вид.

Следствие. Линейный оператор А, действующий в n-мерном линейном пространстве, является оператором простого типа тогда и только тогда, когда он имеет n линейно независимых собственных векторов.

Следствие. Если спектр линейного оператора А, действующего в n-мерном линейном пространстве, состоит из n различных точек, то А является оператором простого типа.

Док-во. Пусть Sp(A)=<1, 2 ,…, n>, е1, е2 ,…,еn  L – соответствующие собственные векторы. Система как система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, линейно независима. Так как, кроме того, число элементов этой системы равно размерности пространства, то она является базисом. Из следствия получаем, что А – оператор простого типа.

Теорема (достаточное условие того, что оператор является оператором простого типа). Если все корни характеристического уравнения действительны и различны между собой, то оператор является оператором простого типа.

Док-во. 1, …, n – корни уравнения i<>j. e1, …, en – соответствующие собственные векторы ei<>0 Aei=iei. Т.к. e1, …, en линейно независимы, то dimV=n => < e1, …, en > — собственный базис.

Теорема. Линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве над полем P, является оператором простого типа тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен разлагается на линейные множители над этим полем, и алгебраическая кратность каждой точки спектра оператора А совпадает с её геометрической кратностью.

Билинейность – линейность по каждому аргументу. Билинейной формой называют отображение пары чисел: B(x,y)R, B:(x,y)R, x,yV

Билинейная форма называется симметричной, если B(x,y)=B(y,x).

Каждой билинейной форме можно сопоставить квадратичную форму. B(x,y) – B(x,x). B(x,x)=x T Bx.

Каноническим видом квадратичной формы называется форма в которую входят только квадраты переменных. Нормальной квадратичной формой называют форму в которую входят квадраты только с коэффициентами 0 или 1.

Теорема: любая квадратичная форма, заданная в n-мерном линейном пространстве V, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (док-во осуществляется методом Лагранжа).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа (метод выделения полного квадрата – последовательное дополнение квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата).

( x1)2-(x2)2+2(x3)2+2x1x2+2x1x3 = [(x1)2+2x1x2+2x1x3 +(x2)2+(x3)2+ 2x2x3]=(x1+x2+x3)2+(x3-x1)2-3(x2)2;

y1=x1+x2+x3; y2=x2-x3; y3=x2; (y1)2+(y2)2-3(y3)2;

Y=(T) -1 X канонический вид;

Z1=y1; z2=y2; z3=3(y3); (z1)2+(z2)2+(z3)2 нормальный вид

При каждой замене будет осуществляться переход к новому базису. Матрица формы канонического вида диагональна.

Т еорема: матрица квадратичной формы при переходе от базиса B к базису B’ преобразуется следующим образом.

Т еорема: матрица билинейной формы при переходе от базиса к базису изменяется следующим образом:

Теорема: ранг матрицы квадратичной билинейной формы изменяется при переходе от базиса к базису. Рангом матрицы квадратичной билинейной формы называется её ранг в любом базисе. Ранг квадратичной формы канонического вида равен числу ненулевых коэффициентов. Ранг матрицы билинейной формы является инвариантом.

Закон инерции квадратичной формы. Теорема: число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом или нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Док-во: B=<e1…en> — базис в V; B’=<e1’…en’>; Пусть форма A(x,x) при помощи некоторого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду: (1)2+( 2)2+…(q)2-(q-1)2-…-(k)2 и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду (1)2+( 2)2+…(p)2-(p-1)2-…-(k)2. Очевидно, что для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства p=q. Пусть p>q. Убедимся что в этом случае имеется ненулевой вектор x такой, что по отношению к базисам, в которых форма A(x,x) имеет вид (1) и (2) координаты 1…q и p+1…n этого вектора равны нулю. Так как координаты i получены путем невырожденного преобразования координат 1…n, а координаты i – с помощью аналогичного невырожденного преобразования координат 1…n, то соотношения 1=0, 2=0…q=0, p+1=0, n=0 можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат 1…n искомого вектора x в базисе e=(e1…en). Т.к. p>q, то число однородных уравнений меньше n и поэтому система имеет ненулевое решение относительно координат 1…n искомого вектора x. Следовательно, если p>q то сущетвует ненулевой вектор x, для которого выполняются эти соотношения. Посчитаем значение формы A(x,x) для этого вектора x. Обращаясь к соотношениям (1) и (2) получим: A(x,x) = -(q+1)2-…-(k)2=(1)2+(2)2+…+(p)2. Последнее равенство может иметь место лишь в случае q+1=…=k=0 и 1=2=…=p=0. Таким образом в некотором базисе все координаты 1…т ненулевого вектора x равны нулю, т.е. вектор x равен нулю. Следовательно предположение p>q ведет к противоречию. Точно так же ведет к противоречию и предположение, что p<q. Итак, p=q. Теорема доказана.

О пределение: число положительных коэффициентов в каноническом или нормальном виде квадратичной формы называется её положительным индексом (i+), отрицательных – отрицательным индексом (i-). (i+)+(i-)=r. Т.о. у квадратичной формы имеется три инварианта: ранг, положительный и отрицательный индексы.

Доказать что линейный оператор простого типа

Лемма. Собственные векторы соответствующие попарно различным характеристическим числам, всегда линейно независимы.

Применяя к обеим частям этого равенства оператор получим:

Умножим обе части равенства (61) на , и вычтем почленно (61) из (62). Тогда получим:

Можно сказать, что равенство (63) было получено из (61) путем почленного применения оператора . Применяя к (63) почленно операторы , мы придем к следующему равенству:

откуда . Так как в (61) любое слагаемое может быть поставлено на последнее место, то в (61)

т. е. между векторами нет линейной зависимости. Лемма доказана.

Если характеристическое уравнение оператора имеет различных корней и эти корни принадлежат полю , то на основании леммы собственные векторы, соответствующие этим корням, линейно независимы.

Определение 11. Линейный оператор в называется оператором простой структуры, если имеет в линейно независимых собственных векторов, где — число измерений.

Таким образом, линейный оператор в имеет простую структуру, если все корни характеристического уравнения различны между собой и принадлежат полю . Однако это условие не является необходимым. Существуют линейные операторы простой структуры, у которых характеристический многочлен имеет кратные корни.

Рассмотрим произвольный линейный оператор простой структуры. Обозначим через базис в , состоящий из собственных векторов оператора, т. е.

Другими словами, воздействие оператора простой структуры на вектор может быть описано следующим образом:

В -мерном пространстве существует линейно независимых «направлений», вдоль которых оператор простой структуры осуществляет «растяжение» с коэффициентами . Произвольный вектор может быть разложен на компоненты, идущие вдоль этих собственных направлений. Эти компоненты подвергаются соответствующим «растяжениям», после чего они в сумме дают вектор .

Нетрудно видеть, что оператору в «собственном» базисе соответствует диагональная матрица

Если мы через обозначим матрицу, отвечающую оператору в произвольном базисе , то

Матрицу, подобную диагональной, будем называть матрицей простой структуры. Таким образом, оператору простой структуры в любом базисе отвечает матрица простой структуры и наоборот.

Матрица в равенстве (64) осуществляет переход от базиса к базису . В -м столбце матрицы стоят координаты (в базисе ) собственного вектора, соответствующего характеристическому числу матрицы (). Матрица называется фундаментальной матрицей для матрицы .

Равенство (64) перепишем так:

Переходя к -м ассоциированным матрицам (), получим (см. гл. I, § 4):

— диагональная матрица -го порядка (), у которой на главной диагонали стоят всевозможные произведения по из . Сопоставление (65) с (64′) дает нам теорему:

Теорема 3. Если матрица имеет простую структуру, то при любом ассоциированная матрица также имеет простую структуру; при этом характеристическими числами матрицы являются всевозможные произведения по () из характеристических чисел матрицы , а фундаментальной матрицей матрицы является ассоциированная для фундаментальной матрицы матрицы .

Следствие. Если характеристическому числу матрицы простой структуры отвечает собственный вектор с координатами и , то характеристическому числу () матрицы отвечает собственный вектор с координатами

Произвольную матрицу можно представить в виде предела последовательности матриц , каждая из которых не имеет кратных характеристических чисел и поэтому имеет простую структуру. Характеристические числа матрицы в пределе при переходят в характеристические числа матрицы , т. е.

Так как, кроме того, , то из теоремы 3 вытекает

Теорема 4 (Кронекера). Если — полная система характеристических чисел произвольной матрицы , то полная система характеристических чисел ассоциированной матрицы состоит из всевозможных произведений по из чисел .

В этом параграфе мы исследовали операторы и матрицы простой структуры. Изучение структуры операторов и матриц общего типа будет произведено в главах VI и VII.

© 2022 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Линейные Операторы (Задачи для подготовки к экзамену — Решение), страница 3

Файл «Линейные Операторы» внутри архива находится в папке «Прорешанные задачи для подготовки к экзамену». Документ из архива «Задачи для подготовки к экзамену — Решение», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из раздела «», которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «к экзамену/зачёту», в предмете «алгебра и геометрия» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Линейные Операторы»

Текст 3 страницы из документа «Линейные Операторы»

3.32. В пространстве Р₂ многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу . Найти его матрицу в каноническом базисе, собственные значения и собственные векторы. Является ли оператор оператором простого типа?

Если , то

т.е. вектор переводится данным оператором в вектор .

Следовательно, матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Получаем единственное собственное значение , которому соответствуют два собственных вектора: .

По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства. Данный оператор имеет всего два собственных вектора, размерность пространства Р₂ равна 3, следовательно, данный оператор не является оператором простого типа.

3.33. Оператор А действует на матрицы второго порядка по правилу , где . Показать, что А – линейный оператор на подпространстве симметрических матриц второго порядка, найти его собственные значения и собственные векторы.

Условие некорректно: определение оператора фактически определяет для каждого вектора одно и то же значение , а такой оператор нелинеен.

3.34. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора из задачи 3.22.

Матрица линейного оператора из задачи 3.22 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Получаем три собственных вектора: .

3.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора из задачи 3.23.

Матрица линейного оператора из задачи 3.23 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Получаем три собственных вектора: .

3.36. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора из задачи 3.24.

Матрица линейного оператора из задачи 3.24 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Т.е. собственному значению соответствуют два собственных вектора собственному значению — один собственный вектор .

Доказать что линейный оператор простого типа

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Линейный оператор Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В этой главе исследуются так называемые линейные отображения линейных и евклидовых пространств, т. е. такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. При этом мы будем рассматривать комплексные линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально.

§ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение. Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x₁ u x₂ пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ ( x₁ u x₂) = λ x₁+ λ x₂ (свойство аддитивности оператора);
2°. А ( λ х) = λ Ах (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)

Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λ А, определяемый равенством

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ (АВ) = ( λ А)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их п оследовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ. С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение A n+m = A n A m .
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А -1 .
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А -1 Ах = х.
Таким образом, если А -1 Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x₁ и x₂ отвечают различные элементы y₁ = Ax₁ и у₂ = Аx₂.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x₁,x₂. x_n пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax₁,Ax₂. Ax_n элементов этого же пространства.
Итак, пусть x₁,x₂. x_n — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α₁ Ax₁ + α₂ Ax₂. + α_n Ax_n представляет собой нулевой элемент пространства V:

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A( α₁ x₁ + α₂ x₂. + α_n x_n) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α₁ x₁ + α₂ x₂. + α_n x_n = 0. Но элементы x₁,x₂. x_n линейно независимы. Поэтому α₁ = α₂ = . = α_n = 0. Следовательно, элементы Ax₁,Ax₂. Ax_n также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x₁ и x₂, x₂ — x₁ ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax₁ = Ах₂. Но тогда А(x₂ — x₁) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x₁ — x₂ = 0. Но выше было отмечено, что x₂ — x₁ ≠ 0 . Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А , обладающий тем свойством, что А -1 у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.
Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x₁ и x₂ отвечают различные у₁ = Ax₁ и у₂ = Ах₂ (если бы y₁ = у₂, то А(x₂ — x₁) = 0, т. е. x₁ = х₂ и элементы x₁ и x₂ не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.

Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V₁ пространства V, что V₁ будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V₁ + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V₁ = dim (im A).
Пусть dimV₁ = р, dim(im A) = q и y₁,y₂. y_q — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V₁ в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V₁ такой, что Ах = у. Поэтому в V₁ определены элементы x₁,x₂. x_q такие, что Ах_k = у_k, к = 1, 2. q. Элементы x₁,x₂. x_q линейно независимы, ибо если α₁ x₁ + α₂ x₂ + . + α _qx_q = 0, то A( α₁ x₁ + α₂ x₂ + . + α _qx_q) = α₁y ₁ + α₂y ₂ + . + α_qy _q = 0, а так как элементы y₁,y₂. y_q линейно независимы, то α₁ = α₂ = . = α_q = 0, т. е. и x₁,x₂. x_q линейно независимы. Таким образом, в V₁ имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V₁).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x₁,x₂. x_q элементы x_q+1,x_q+2. x_p так, что x₁,x₂. x_p образуют базис в V₁. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax₁,Ax₂. Ax_p , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ₁,λ₂. λ_p такие, что λ₁ Ax₁ + λ₂ Ax₂ + . + λ_p Ax_p = 0. Отсюда следует, что A( λ₁ x₁ + λ₂ x₂ + . + λ_p x_p) = 0. Так как А действует из V₁ в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ₁ x₁ + λ₂ x₂ + . + λ_p x_p = 0.
Но x₁,x₂. x_p — базис в V₁. Поэтому λ₁ = λ₂ = . = λ_p = 0.
Выше указывалось, что не все λ₁,λ₂. λ_p равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V₁ и V₂ — два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV₁ +dimV₂ = dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V₁= im A и V₂ = ker А.
Доказательство. Пусть dim V₁ = p, dim V₂ = q. Выберем в пространстве V базис е₁, е₂. е_n так, чтобы элементы е₁, е₂. е_n принадлежали V₂. Далее в пространстве V₁ выберем некоторый базис g₁, g₂. g_p.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е₁, е₂. е_n пространства V следующим образом:

Далее, если х = x₁e₁ + x₂e₂ + . + x_pe_p + x_p+1e_p+1 + . +x_ne_n,
то Ах = x₁g₁ + x₂g₂ + . + x_pg_p. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А -1 необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.

Доказательство. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang AB ≥ rang A + rang В — n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1

dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)

Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n — dim (ker AB). (5.6)

Поскольку, согласно теореме 5.1,

dim (ker A) + dim (ker В) = 2n — (rang A + rang В), (5.7)

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

rang AB ≥ n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть

dim (ker В) = q. (5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение

dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)

Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выб р ать базис x₁,x₂. x_p+q так, что элементы x_p+1. x_p+q образуют базис в ker В. При таком выборе x₁,x₂. x_p+q элементы Bx₁,Bx₂. Bx_p линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x₁,x₂. x_p, лишь при λ_k , = 0, к = 1, 2. р). Поэтому элементы Bx₁,Bx₂. Bx_p принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),

rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).

Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.