Как по корням составить квадратное уравнение

Теорема Виета

,

где D = p 2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

x 2 + px + q = 0.

Доказательство:

Пусть дано x₁ + x₂ = —p, значит, x₂ = —p — x₁. Подставим это выражение в равенство x₁ · x₂ = q, получим:

x₁ 2 + px₁ + q = 0.

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x 2 — 3x + 2 = 0.

Решение: Так как

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2 — 3 · 1 + 2 = 0

2 2 — 3 · 2 + 2 = 0.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x 2 + 8x + 15 = 0.

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

Следовательно, искомое уравнение:

x 2 — 3x — 18 = 0.

Ответ: x 2 — 3x — 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

Составить уравнение по его корням

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /₄ и 1 /₆; г) — 1 /₂ и — 1 /₃ .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /₇ и — 1 /₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /₅ и — 1 /₇?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение и его корни

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac \right)(x+3) $$

$$ x_1 = \frac , x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac , \quad x_1 x_2 = — \frac $$

Примеры

Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:

Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$

Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$

$$ \left(x-\frac \right) \left(x-\frac \right) = x^2- \left(\frac +\frac \right)x+\frac \cdot \frac = x^2-\frac x+\frac $$

Искомое уравнение: $x^2-\frac x+\frac = 0 или 6x^2-5x+1 = 0$

$г) \frac $ — один корень

$$ \left(x-\frac \right)^2 = x^2-2 \cdot \frac x+ \left(\frac \right)^2 = x^2-\frac x+\frac $$

Искомое уравнение: $x^2-\frac x+ \frac = 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$

Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -7, b = 4

Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -15, уравнение имеет вид $x^2+3x-180 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -15, c = -180

Пример 4*. Дано уравнение $x^2+5x-7 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

Не решая его, постройте уравнение:

а) с корнями $y_1 = \frac , y_2 = \frac $

По теореме Виета для корней исходного уравнения получаем:

Для корней искомого уравнения можем записать:

$$ y^2-\frac y-\frac = 0 \iff 7y^2-5y-1 = 0 $$

б) с корнями $y_1 = \frac ,y_2 = \frac $

Для корней искомого уравнения можем записать:

$$ y^2+\frac y+1 = 0 \iff 7y^2+39y+7 = 0 $$

Составление квадратного трехчлена по его корням

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Класс : 8 «Б» Предмет : Алгебра Дата : _______

Урок № 64 Тема : « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

Организаци онный момент

Первичное усвоение новой учебной информации

Осознание и осмысление

Информация о домашнем задании

Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

Разложите на множители выражение:

а) Х 2 — 9; б) Х 2 – 9Х;

Найдите корень уравнения:

а) Х 2 — 9 = 0; б) Х 2 – 9Х = 0; в) Х 2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации

§ 54 . Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 — 4 ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x ₁ и x ₂ . Используя теорему Виета, получаем:

где x ₁ и x ₂ — корни трехчлена ax 2 + bx + c . Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни) .

Пример 1 . Разложить на линейные множители 6 x 2 — х —1.

Поэтому по формуле (2)

Пример 2 . Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 1 2 — 4•1•1 = — 3

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 — 406):

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x ₁ и x ₂ . Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x ₁ и x ₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x ₁ и x ₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 / ₄ и 1 / ₆ ; г) — 1 / ₂ и — 1 / ₃ .

2. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

3. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 / ₇ и — 1 / ₂ , а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0 х 2 -17/14х+5/14=0 14х 2 -17х+5=0 14+17+5=36

4. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 / ₅ и — 1 / ₇ ?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0 35х 2 -37х-6=0 (да)

5. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Второй корень будет сопряжён первому, т. е. x ₁ = √3−5; x ₂ = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0,
тогда по теореме Виета a = −( _x1 +x2) = −2•(−5) = 10, b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI .Информация о домашнем задании

№ 228, №234+ Повторить пройденную тему§12.

VII .Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.

Краткое описание документа:

Урок № 64 Тема: « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

I. Организаци онный момент

II. Актуализация знаний

III. Первичное усвоение новой учебной информации

IV. Осознание и осмысление

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

— Разложите на множители выражение:

— а) Х2- 9; б) Х2 – 9Х;

— Найдите корень уравнения:

— а) Х2- 9 = 0; б) Х2 – 9Х = 0; в) Х2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 885 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 02.03.2015
• 546
• 0

• 02.03.2015
• 5382
• 199

• 02.03.2015
• 2266
• 36

• 02.03.2015
• 506
• 0

• 02.03.2015
• 2142
• 1

• 01.03.2015
• 510
• 0

• 01.03.2015
• 505
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.03.2015 3360
• DOCX 30.3 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бондаренко Ирина Казимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8805
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Составить квадратное уравнение если его корни?

Составить 4 уравнения на множестве рациональных чисел с ответами без квадратного корня?

Составить 4 уравнения на множестве рациональных чисел с ответами без квадратного корня.

Как составить двумя способами приведённое квадратное уравнение, если известны его корни?

Как составить двумя способами приведённое квадратное уравнение, если известны его корни?

С примером пожалуйста.

Составить квадратное уравнение по его корням : x1 = 2 — 3i, x2 = 2 + 3i?

Составить квадратное уравнение по его корням : x1 = 2 — 3i, x2 = 2 + 3i.

Помогите, пожалуйста?

Составь квадратное уравнение, имеющее корни :

Составить приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 2 + 7(7 в квадратном корне) и 2 — 7(7 в квадратном корне)?

Составить приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 2 + 7(7 в квадратном корне) и 2 — 7(7 в квадратном корне).

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни :x1 = — 4 ; x2 = 0?

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни :

Как составить квадратное уравнение с корнями 9 и — 4?

Как составить квадратное уравнение с корнями 9 и — 4.

Помогите пожалуйста составить квадратное уравнение с помощью задуманных корней 9 ; 0?

Помогите пожалуйста составить квадратное уравнение с помощью задуманных корней 9 ; 0.

Составить квадратное уравнение имеющее корни : 3 и –3 0 и 6?

Составить квадратное уравнение имеющее корни : 3 и –3 0 и 6.

Составить квадратное уравнение корни которого — 25 и 8?

Составить квадратное уравнение корни которого — 25 и 8.

Перед вами страница с вопросом Составить квадратное уравнение если его корни?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

— 9 (8 — 9x) = 4x + 5 — 72 + 81x = 4x + 5 81x — 4x = 5 + 72 77x = 77 x = 1.

( — 10)²( — 0, 7 — 5 * ( — 10)) — 32 = 100 * ( — 0. 7 + 50) — 32 = 100 * 49. 3 — 32 = 4930 — 32 = 4898.

Photomath скачай , он решит.

АВ ( 3 ; 1 ) BC ( (1 — 3) ; (7 — 1)) BС( — 2 ; 6) Скалярное произведение векторов AB * BC = 3 * ( — 2) + 1 * 6 = 0 Вектора перпендикулярны. Угол B прямой.

— 48. Если хочешь скачай калькулятор дробей.

Минус 47. Одна треть. Вот так вот.

— (4 а в 5 степени * в в 3 степени ) 2 степень / 8a в 7 степени в в 4 степени . — 16 а в 10 степени в 6 степени / 8а в 7 степени в в 4 степени . — 2а в 3 степени в 2 степени .

Математика

Когда вы просыпаетесь утром и слышите за окном размеренный стук капель, то сразу понимаете, что на улице идет дождь. Для этого вам даже не надо выглядывать в окно. Или мама приготовила вам с братом 5 бутербродов в школу. Увидев только 2 бутерброда, вы понимаете, что ваш брат взял с собой 3, хотя и не видели, как он это сделал.

В жизни мы часто сталкиваемся с такими ситуациями: наблюдаем одно, а на основании этих наблюдений делаем выводы о другом. Если речь идет о числовых величинах, то по результатам наблюдений мы можем составить уравнение для получения вывода – нахождения неизвестной величины.

Как измерить толщину листа бумаги? Обычная линейка не подойдет – у нее цена деления больше измеряемой величины. Но можно воспользоваться тем, что толщина у листов, обычно, практически одинаковая. Значит, если взять много листов, то толщина одного – это толщина пачки, разделенная на количество листов в ней.

Получаем метод измерения: взять пачку такой толщины, чтобы ее можно было достаточно точно измерить имеющейся линейкой, затем посчитать количество листов в ней. Если, к примеру, толщина пачки из 500 листов оказалась равной , то получаем уравнение:

Откуда толщина одного листа:

Другой пример. Вам нужно посчитать, сколько конфет лежит в пакете. Конечно, это можно сделать напрямую. Ну, а если конфет очень много? Выход есть! Если мы знаем массу одной конфеты (например, на упаковке написано: 15 г), то можем взвесить весь пакет (пусть получилось 1800 г). Обозначив количество конфет за , составляем уравнение:

Решая уравнение, получаем ответ:

Квадратные уравнения

Полученные в примерах уравнения: и – это линейные уравнения (уравнения вида ). С ними и с задачами, которые ими описываются, мы уже умеем работать.

Но в линейных уравнениях переменная всегда в первой степени (. Понятно, что так будет не всегда. Например, если мы ищем сторону квадрата с площадью , то должны решить уравнение: , которое уже не будет линейным (логично так и назвать его – нелинейным).

Многие задачи могут быть смоделированы нелинейными уравнениями. Например, для нахождения минимальной начальной скорости мяча , с которой нужно его подбросить, чтобы он перелетел через забор высотой метра, нужно решить квадратное уравнение .

Как получилось такое уравнение?

Воспользуемся формулой из курса физики, а именно – формулой для вычисления расстояния, которое прошло тело при равноускоренном движении.

Когда мы подбрасываем мяч, то на него действует только сила тяжести, т.е. мяч движется с ускорением , которое направлено вниз. Пока мяч летит вверх, это ускорение замедляет его начальную скорость до (в верхней точке), а когда он начинает падать, наоборот, разгоняет (увеличивает скорость).

Рис. 1. Когда мяч начинает падать, ускорение увеличивает его скорость

В этом случае расстояние от земли до мяча можно вычислить по формуле:

где – начальная скорость мяча, – скорость мяча на данной высоте, – ускорение свободного падения:

Мяч перелетит через забор, если высота его подлета станет равной высоте забора:

м

Т.к. мы ищем минимальную скорость, то достаточно, чтобы это была верхняя точка траектории, т.е. скорость мяча в ней равнялась

Кроме того, мы обозначили:

Подробнее о решении таких задач (и о том, откуда взялась использованная нами формула) вы узнаете на уроках физики в 9 классе

Рассмотрим два линейных уравнения:

Если мы их перемножим, то получим уравнение:

Понятно, что у этого уравнения два корня: и , потому что произведение равно только тогда, когда хотя бы один из множителей равен .

Если мы раскроем скобки в левой части, то получим уравнение:

Мы получили пример простейшего нелинейного уравнения – квадратного уравнения.

Строгое определение: квадратное уравнение – это уравнение вида:

где – заданные числа (коэффициенты квадратного уравнения), причем, ведь если , то уравнения будет линейным .

Алгоритм решения квадратных уравнений

В рассмотренном нами примере квадратное уравнение можно решить, разложив левую часть на множители:

Но для любых ли можно разложить квадратный трехчлен (так называется выражение в левой части квадратного уравнения – три члена – три слагаемых, старшая степень – квадрат) на линейные множители?

Например, разложить на множители нам не удастся, у уравнения нет действительных корней (потому что, как мы знаем, квадрат действительного числа не может быть отрицательным: ).

Но можно ли как-то определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения по его коэффициентам? Оказывается, да. И это мы сегодня тоже научимся делать.

Итак, как решать квадратные уравнения? Один способ мы уже нашли – попытаться разложить левую часть на линейные множители, и приравнять каждый из них к . Алгоритм будет следующий:

1. перенести все слагаемые в одну сторону;
2. разложить полученное выражение на множители;
3. решить полученные линейные уравнения.

Для разложения на множители, можем использовать различные уже известные нам приемы:

1. вынесение множители за скобки;
2. формулы сокращенного умножения;
3. метод группировки;
4. выделение полного квадрата.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

Перенесем слагаемое из правой части уравнения в левую:

Представим число так:

Применяем формулу разности квадратов:

Часто в квадратных уравнениях получается ответа, поэтому возле неизвестной ставят индексы и записывают так:

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Выносим общий множитель за скобки:

Ответ: .

Неполные квадратные уравнения

Рассмотренные квадратные уравнения называются неполными квадратными уравнениями. Если вы сравните их с общим видом квадратного уравнения: , то поймете, почему.

Так, в уравнении отсутствует слагаемое с , т.е. в нем коэффициент . В уравнении отсутствует свободный член, т.е. . Рассмотрим еще несколько примеров неполных квадратных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение:

Чтобы использовать здесь формулу разности квадратов, вспомним соотношение для квадратных корней:

для любого неотрицательного . Соответственно:

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

Формулы для суммы квадратов нет, поэтому мы не можем разложить левую часть уравнения на множители. В таком случае, уравнение не имеет решений. Покажем это:

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицательная величина, значит, нельзя найти такое значение , при котором .

Ответ: нет действительных корней.

С примером ситуации, когда квадратное уравнение не имеет решений, можно ознакомиться ниже.

Пример задачи, которая не имеет решения

Уравнения возникают, как модели для решения некоторых задач. Понятно, что некоторые задачи могут не иметь решения, а, значит, не будет иметь решения и соответствующее уравнение.

Вернемся к примеру с мячом, который бросают вертикально вверх. Выше мы говорили о формуле для пройденного мячом расстояния:

Если воспользоваться тем, что скорость при таком движении изменяется по формуле: , то получим:

Тогда, если тело подбросили вертикально вверх со скоростью м/с, то зависимость высоты над поверхностью будет иметь вид:

Чтобы определить время, через которое тело будет находиться на высоте метра, нужно будет решить уравнение:

На высоте м – уравнение:

Но тело, брошенное вертикально со скоростью м/с, не долетит до высоты метров (максимальная высота составит метров). Поэтому вполне естественно, что уравнение не будет иметь решений.

Когда мы говорим о том, что квадратное уравнение не будет иметь корней, то всегда будем говорить о действительных (вещественных) корнях. Мы говорили, что можно расширить такой инструмент число и ввести числа, квадрат которых может быть отрицательным (см. рис. 1):

Рис. 1. Действительные и комплексные числа

Такие числа называются комплексными. Если рассматривать решение квадратного уравнения на множестве комплексных чисел, то у него всегда будет два корня. Например:

Но, если по определению:

Решение квадратных уравнений

Рассмотрим еще несколько примеров квадратных уравнений.

Пример 5. Решить уравнение:

Здесь видим формулу полного квадрата:

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение:

ФСУ здесь не видно, поэтому применим метод выделение полного квадрата. Квадрат первого выражения уже есть . Далее должно идти удвоенное произведение: . Глядя на выражение, видим, что вместо знака вопроса должно быть (чтобы получить ):

Для полного квадрата не хватает квадрата второго выражения. Добавим и вычтем его:

Не забудем о последнем слагаемом :

Получим разность квадратов :

Ответ: .

Дискриминант квадратного уравнения

Итак, раскладывая на множители левую часть, мы можем решить любое квадратное уравнение. Если же разложить на множители нельзя, то уравнение не будет иметь решений. Это один из методов решения. Но, обратите внимание, он эффективно работал, когда нам удавалось легко разложить левую часть на множители.

Универсальный метод – это метод выделения полного квадрата, но, как мы видели на примере, он может быть достаточно громоздким. Попробуем с его помощью вывести готовую формулу для вычисления корней квадратного уравнения по его коэффициентам.

Квадратное уравнение в общем виде можно преобразовать к виду:

Преобразование квадратного уравнения

Поскольку , можем разделить обе части уравнения на :

Второе слагаемое должно представлять из себя удвоенное произведение:

Выделим полный квадрат – прибавим и вычтем :

Рассмотрим подробнее вторую дробь:

Поэтому знак дроби определяется знаком выражения . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения:

В зависимости от знака дискриминанта, получаем разные решения:

1. если , то можно записать:

Используем формулу разности квадратов:

В этом случае уравнение имеет два корня. Их можно записать одной формулой:

2. если , то:

Получаем один корень уравнения. Иногда еще говорят, что «уравнение имеет два совпадающих корня». Полученное выражение для корня уравнения согласуется с формулой для квадратных корней при положительном дискриминанте:

3. если, то разложить на множители левую часть не удастся. При этом квадратное уравнение не будет иметь корней. Покажем это:

В левой части стоит неотрицательное выражение. В правой части – отрицательное:

Таким образом, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Решим несколько квадратных уравнений, используя полученные формулы. Начнем с уравнения, которое мы уже решали.

Пример 6*. Решить уравнение:

Сравнивая с общим видом уравнения , выпишем коэффициенты:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Естественно, получаем те же корни, что были получены при решении другим методом.

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение:

Сравнивая с общим видом уравнения , выпишем коэффициенты:

Дискриминант , уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных корней.

С решением еще одного квадратного уравнения вы можете ознакомиться ниже.

Решение еще одного квадратного уравнения

Пример. Решить уравнение:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Используем свойства корня, чтобы упростить выражения (см. урок «Свойства квадратного корня»):

Ответ: .

Теорема Виета

Чтобы рассмотреть еще один способ решения, снова обратимся к общему виду квадратного уравнения . Поскольку , можем разделить обе части уравнения на :

Для удобства введем новые обозначения:

Теперь в уравнении коэффициент при равен . Квадратное уравнение в таком виде называют приведенным квадратным уравнением.

В рассмотренных ранее методах решения мы убедились, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то уравнение имеет корни.

Верно и обратное утверждение: если данное уравнение имеет корни, то его левую часть можно разложить на множители. Причем, это разложение будет иметь вид:

,

где и – это корни уравнения.

Из этого утверждения мы получаем два важных следствия.

Следствие 1. Мы получили еще один способ разложения на множители: многочлен вида можно представить в виде , где и – корни уравнения .

Чтобы получить второе следствие, раскроем скобки в левой части равенства:

Сравнивая коэффициенты в левой и правой части, получаем:

Эти соотношения являются записью теоремы Виета. Итак, мы получили еще один способ решения квадратного уравнения: если подобрать такие числа и , что:

то они будут корнями приведенного квадратного уравнения .

Пример 8. Решить уравнение:

Составим приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета:

Подберем такие числа, которые удовлетворяют этим условиям. Этими числами являются и , ведь:

Таким образом:

Ответ: .

С несколькими рекомендациями о том, как быстро подбирать корни по теореме Виета, вы можете ознакомиться ниже.

Подбор корней

Несколько рекомендаций по подбору корней.

1. Лучше всего подбор начинать с произведения корней. Раскладываете свободный член на множители и проверяете, выполняется ли соотношение для суммы корней:

можно разложить на и ; сумма будет – не подходит. Можно на и ; сумма равна – подходит:

2. Подбирая корни, можно сначала подобрать модули корней, а затем уже определиться с их знаками. Рассмотрим на примере:

Знак перед свободным членом «плюс», значит, корни одного знака. Поэтому раскладываем на множители так, чтобы сумма была . Подходят и . Теперь определяемся со знаками. Сумма корней равна , значит, числа берем со знаком «минус»:

Знак перед свободным членом «минус», значит, корни разного знака. Поэтому раскладываем на множители так, чтобы разность была равна . Подходят и . Теперь определяемся со знаками. Сумма корней равна , значит, должно быть со знаком «плюс», а – со знаком «минус»:

3. Теорему Виета удобно применять к приведенному уравнению с целочисленными коэффициентами. Но если изначально в уравнении коэффициент , то могут возникнуть дробные числа, с которыми работать менее удобно:

Этого можно избежать, рассмотрев другое приведенное уравнение:

Сделав замену , получаем приведенное квадратное уравнение:

Задача свелась к нахождению таких корней уравнения , произведение которых равно, а сумма равна . Корни исходного уравнения будут в раз меньше:

Рассмотрим на примере уравнения:

Ищем числа, произведение которых равно , а сумма равна . Это числа и . Корни исходного уравнения в раза меньше этих чисел, т.е.

Разберем несколько типичных заданий, в которых удобно использовать теорему Виета.

Задание 1. Один из корней уравнения равен . Определить второй корень уравнения.

Составим приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета:

Один из корней равен единице , тогда:

Ответ: .

Задание 2. Найти значение выражения:

,

где и – корни уравнения:

Конечно, можно найти корни уравнения с помощью дискриминанта и затем вычислить сумму кубов. Но вы можете убедиться, что корни не будут целыми числами, поэтому расчеты будут затруднительны. Данное задание удобнее решать с помощью теоремы Виета:

Выразим искомое выражение через сумму и произведение корней. Используем формулу суммы кубов :

Можем подставить значения из теоремы Виета:

Осталось выразить . Для этого выделим полный квадрат:

Подставляем значения из теоремы Виета:

Ответ: .

Мы рассмотрели несколько способов решения квадратных уравнений.

1. Разложение на множители. Этим методом быстро и удобно решать неполные квадратные уравнения.
2. Использование готовых формул для корней квадратного уравнения. Этот алгоритм является наиболее универсальным и четким: можно решить любое квадратное уравнение и есть строгий алгоритм действий.
3. Использование теоремы Виета. Позволяет подбирать корни квадратного уравнения. Способ удобен для уравнений, корни которого являются целыми числами.

Какой способ лучше? Попробуйте сами и выберите наиболее удобный для себя: кому-то легче угадывать по теореме Виета, а кто-то будет четко идти по алгоритму, считая дискриминант. Различие понятно – подобрать корни по теореме Виета можно не всегда, и здесь больше элемент везения, а считать через дискриминант – это всегда наверняка, но дольше.

Итак, вы уже знаете алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений. Естественно, при моделировании различных задач могут встретиться и более сложные уравнения. Некоторые из них можно свести к решению линейных и квадратных уравнений.

С тем, как это можно сделать, вы познакомитесь на практическом занятии. В общем виде также можно выписать формулы для решения любого уравнения 3 и 4 степени. Но эти алгоритмы решения не входят в курс школьной алгебры, поскольку они достаточно сложные и требуют введения понятия комплексного числа.

Интересна ситуация с уравнениями 5 и выше степени. Есть теорема о существовании корней этих уравнений. А другая теорема утверждает, что не существует алгоритмов, позволяющих найти точные решения этих уравнений в общем виде. Для уравнений 5 и выше степеней решения можно найти только для некоторых уравнений или же найти корни любого, но приближенно. Вот такая вот ситуация: решения есть, а универсальной формулы для их нахождения нет.

Список рекомендованной литературы.

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 8 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 8 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра. 8 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Интернет-портал «youclever.org»
2. Интернет-портал «school-assistant.ru»
3. Интернет-портал «yaklass.ru»

Домашнее задание.

1. Решить уравнение:

2. Уравнение имеет два корня и . Найти:

3. В уравнении один из корней равен . Найти второй корень и коэффициент .