Как находить стороны четырехугольника описанного около окружности
Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
-
Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
| Фигура | Рисунок | Утверждение |
| Ромб |  |
В любой ромб можно вписать окружность |
| Квадрат |  |
В любой квадрат можно вписать окружность |
| Прямоугольник |  |
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом |
| Параллелограмм |  |
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом |
| Дельтоид |  |
В любой дельтоид можно вписать окружность |
| Трапеция |  |
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
| Ромб |
|
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.
Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.
Теорема.
В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.
Обратная теорема.
Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.
Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.
Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.
Как найти сторону четырехугольника описанного около окружности
Четырехугольник, описанный вокруг окружности, имеет особые свойства. В частности, все его стороны равны. Но как найти длину этих сторон? В статье рассмотрим метод, который поможет решить эту задачу всего за 4 простых шага.
Для начала стоит уточнить, что четырехугольник, описанный вокруг окружности, называется описанным. Это значит, что все его вершины лежат на окружности. Такой четырехугольник часто встречается в геометрических задачах и имеет много интересных свойств.
Один из таких четырехугольников — квадрат. Ведь квадрат можно описать вокруг окружности, диаметр которой равен длине его стороны.
Но как найти длину сторон описанного четырехугольника, если он не является квадратом? Для этого нужно применить некоторые формулы и приемы, которые мы сейчас рассмотрим.
Шаг 1: Разберемся с понятием описанного около окружности четырехугольника
Описанный около окружности четырехугольник — это четырехугольник, вершины которого лежат на окружности, описанной вокруг этого четырехугольника. Другими словами, описанный около окружности четырехугольник — это такой четырехугольник, у которого все вершины лежат на окружности и его стороны являются секущими окружности.
Для такого четырехугольника можно рассчитать длины всех его сторон, используя формулу, которая связывает радиус окружности и длины сторон четырехугольника.
Разберемся более подробно. Если AB, BC, CD, DA являются сторонами описанного около окружности четырехугольника, а R — радиус этой окружности, то мы можем вывести следующую формулу:
Сумма квадратов противоположных сторон равна удвоенному квадрату радиуса окружности:
Шаг 2: Применим теорему Пифагора для нахождения длины диаметра
Теорема Пифагора гласит, что для любого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенузой является диаметр, катетами — полуоси эллипса.
Таким образом, для нахождения длины диаметра нам необходимо знать длины полуосей вписанной окружности. Если обозначить полуоси за a и b, то по теореме Пифагора длина диаметра будет равна:
d = √(a² + b²)
Полученное значение является длиной отрезка, проходящего через центр вписанной окружности и описывающего четырехугольник.
Шаг 3: Рассчитаем радиус окружности, описанной вокруг данного четырехугольника
Чтобы рассчитать радиус описанной вокруг четырехугольника окружности, нам необходимо знать длины его диагоналей.
Для этого воспользуемся формулой Пифагора:
- диагональ AC^2 = a^2 + b^2;
- диагональ BD^2 = c^2 + d^2.
Где a, b, c и d – стороны четырехугольника.
Теперь найдем полупериметр четырехугольника:
- Первый способ: p = (a + b + c + d) / 2.
- Второй способ: p = (диагональ AC + диагональ BD) / 2.
Когда получен полупериметр, мы можем найти радиус описанной окружности, используя следующую формулу:
R = (a * b * c * d) / (4 * S), где S – площадь четырехугольника, которую мы рассчитывали на предыдущем шаге.
Таким образом, мы можем определить радиус окружности, описанной вокруг данного четырехугольника.
Описанные четырехугольники
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
ЗАМЕЧАНИЕ . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
ТЕОРЕМА 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH = AE + BE + CG + DG,
AH + BF + CF + DH = AD + BC,
AE + BE + CG + DG = AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
ПРИМЕРЫ ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.
Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны
Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.
Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.
Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.
Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.
Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.
Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Задача 4. Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна
Задача 5. Углы четырехугольника относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Сумма всех углов четырехугольника равна
А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).
Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:
Подставляем второе уравнение в первое и получаем
Задача 6. Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .
Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е.
Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е.
Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.
Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и
Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.
Сумма дуг и составляет
Вписанный угол А равен половине дуги т.е.
Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна
Выразим сторону квадрата через его диагональ:
Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.
Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.
Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями
Тогда боковые стороны
Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. Поэтому
– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и
Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –
Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.
Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.
Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований
Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:
Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:
Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.
В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как
Радиус окружности равен половине диаметра:
Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому
Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).
Боковая сторона тогда боковая сторона
Радиус вписанной окружности равен половине т.е. 2.
Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:
Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.
Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:
Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.
Рассмотрим равнобедренную трапецию
Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),
Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .
Радиус вписанной окружности
Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),
Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:
Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.
Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а
Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.
Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника
При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это
Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:
Мы получили систему уравнений.
Сложив первое и третье из них и выразив как получим:
Кроме того, Это мы нашли в самом начале.
Из системы уравнений
Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.
Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.
Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.
По условию, , тогда
опирается на диаметр.
– прямоугольный, – его гипотенуза.
По теореме Пифагора для :
Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.