Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат
Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. 
У квадрата:
- все углы прямые, то есть, равны 90°;
- все стороны, как и углы, равны;
- диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.
При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.
Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:
Для наглядности приведем численный пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной равной 13 см. В данном случае значение вписанного радиуса будет равно: 
.
Окружность описанная около квадрата
Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):
, отсюда 
Численный пример нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата будет таким.
Предположим, что диагональ квадрата равна 
, тогда: 
Рассмотрим пример 
Задача: радиус окружности вписанной в квадрат равен 
Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на корень из двух (по теореме Пифагора), если использовать вместо стороны удвоенное значение радиуса, то получится радиус, умноженный на два корня из двух. d=√2 a=2√2 r
Углы квадрата, образованные диагоналями, остаются неизменными во всех случаях и равны между собой. (рис. 69.1) m(
Радиус описанной вокруг квадрата окружности через радиус вписанной окружности выводится с помощью формулы со стороной, вместо которой подставляется удвоенный радиус. При сокращении коэффициенты дают в итоге два в минус второй степени. R=a/√2=2r/√2=r/√2
Радиус вписанной окружности в квадрат
Прежде всего вспомним, что квадратом считается многоугольник с прямыми углами и равными четырьмя сторонами. У квадрата диагонали равны и пересекаются между собой под углом, равным 90°. В точке пересечения диагонали делятся пополам. Окружность, вписанная в квадрат, должна касаться всех сторон квадрата. Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности на сторону квадрата, является радиусом этой окружности и определяется по формуле:
В представленной формуле:
r — радиус;
a — сторона квадрата.
Величина радиуса окружности, которая вписана в квадрат, составляет половину величины одной стороны квадрата.
С помощью онлайн калькулятора, можно в считанные секунды определить r вписанной окружности в заданный квадрат.
Калькулятор расчета радиуса вписанной в квадрат окружности
В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета радиуса вписанной в квадрат окружности через сторону фигуры или ее диагональ.
- Расчет радиуса окружности
- Через сторону квадрата
- Через диагональ квадрата
Расчет радиуса окружности
Инструкция по использованию: введите сторону квадрата (a) или его диагональ (d), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислен радиус (r) вписанной в фигуру окружности.