Как найти матрицу в базисе
если она задана в базисе .
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
если она задана в базисе .
Составим матрицу перехода из координатных столбцов векторов в базисе . Тогда матрица перехода
Найдём обратную матрицу, используя метод элементарных преобразований над строками. Припишем единичную матрицу справа от матрицы перехода
Первую строку прибавим ко второй и вычтем из третьей, получим
Вторую строку прибавим к первой и дважды вычтем из третьей, получим
Третью строку умножим на (-1). Третью строку, умноженную на (-1) прибавим к первой, получим
Поменяем местами вторую и третью строки
Получилась матрица, которая содержит единичную матрицу слева. Следовательно, в правой части стоит искомая обратная матрица
Следовательно, обратная матрица найдена верно.
Матрица преобразования в базисе находится по формуле
Ищем произведение матриц
2. Базис и размерность линейного пространства
Фундаментальным вопросом теории линейных пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произвольный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксированного набора векторов из этого пространства. Далее мы получим ответ на этот вопрос.
Система линейно независимых векторов 
векторного пространства
называетсябазисом этого пространства, если любой вектор из 
может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора
существуют вещественные числа />такие, что имеет место равенство
.
Это равенство называется разложением вектора 
по базису 
, а числа
называютсякоординатами вектора 
относительно базиса (или в базисе) 
.
Утверждение
Базисом линейного пространства решений однородной системы является ее фундаментальная система решений.
ТЕОРЕМА (о единственности разложения по базису). Каждый вектор 
пространства
может быть разложен по базису 
единственным образом, т.е. координаты каждого вектора 
в базисе 
определяются однозначно.
Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая
ТЕОРЕМА. При сложении двух любых векторов линейного пространства 
их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число 
все координаты этого вектора умножаются на
.
Типовой пример
Исследуем вопрос о базисе пространства 
, введенного ранее при рассмотрении Типовой примеров векторных пространств. Покажем, что
элементов
указанного пространства образуют базис.
►Во-первых, эти векторы линейно независимы. Проверка линейной независимости набора 
состоит в определении значений
, при которых возможно равенство
.
Но в силу только что доказанной теоремы
,
а последний вектор является нулевым лишь при условии 
. Во-вторых, всякий вектор
заведомо представим в виде линейной комбинации векторов
:
и, значит, набор
образует базис. ◄
Векторное пространство 
называется 
-мерным, если в нем существуют
линейно независимых векторов, а любые
векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число
называетсяразмерностьюпространства
.
Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.
Размерность пространства 
обычно обозначают символом
.
Векторное пространство 
называетсябесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом случае пишут
.
Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.
ТЕОРЕМА.Если 
– векторное пространство размерности
, то любые
линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
ТЕОРЕМА.Если векторное пространство 
имеет базис, состоящий из
векторов, то
.
Утверждение
R n =n.
Типовые примеры
Образуют ли базис в пространстве R 3 векторы 
?
►По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) определяется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов:
.
Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трёх однородных уравнений относительно 
. Согласно схеме исследования линейной зависимости векторов вычислим определитель матрицы, составленной из координат векторов
Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R 3 . ◄
2.Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы:
►Представленная система состоит из трёх уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк :
Видно, что ранг матрицы 
равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, а три — свободными. Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных
. Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид
Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение
.
Фундаментальная совокупность решений является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном случае имеет вид
Размерность искомого пространства равна 3.◄
Матрицей переходаот базиса
к базису
называется матрица вида
где для каждого 
в 
-ом столбце стоят координаты
вектора
в базисе
.
Утверждение
Координаты 
вектора
в базисе
и координаты
этого же вектора в базисе
связаны равенством
где 
— матрица перехода от базиса
к базису
.
Утверждение. Матрица перехода 
от базиса
к базису
и матрица обратного перехода
от базиса
к базису
связаны равенством
=
.
Типовые примеры
1.Найти координаты вектора
в базисе
, если известно
►В соответствии с определением матрица перехода от базиса 
к базису
есть
.
Обозначим координаты вектора 
в базисе
через
, а в базисе
через
. Искомые координаты
связаны с известными координатами
следующим соотношением:
.
Видно, что для получения координат 
необходимо вычислить матрицу, обратную
. Используя стандартную процедуру, имеем
.
Вычислим теперь координаты 
:
. ◄
Найти матрицу перехода от базиса 
к базису
по данным разложениям этих векторов в базисе
:
.
►Чтобы построить матрицу 
перехода от базиса
к базису
, необходимо найти разложение векторов
по базису
. Сделаем это, представив
в виде разложения по
с неизвестными координатами, которые требуется определить:
,
или с учётом вида этих векторов в базисе 
.
Откуда для координат 
имеем
Теперь, зная разложение 
по
, выпишем матрицу
:
.◄
5. Линейные оболочки и подпространства
Подпространством 
линейного пространства
называется множество векторов из
такое, что для любых двух векторов
и
из
и любых двух вещественных чисел
и
линейная комбинация
также принадлежит
.
Утверждение. Подпространство само является линейным пространством.
Линейной оболочкойсистемы векторов
называется множество всех линейных комбинаций векторов
. Обозначается
.
Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством.
Пересечениемдвух подпространств
и 
называется множество всех векторов, принадлежащих одновременно и
, и 
. Обозначается 
.
Суммой двух подпространств
и 
называется множество всех векторов
, представимых в виде
, где
, 
. Обозначается 
.
Утверждение. Сумма и пересечение подпространств 
и 
являются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством
+
=
+
.
Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора.
Типовой пример
Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами 
.
►Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства 
, порождённого векторами
, равенство нулю линейной комбинации
, эквивалентное системе уравнений
, достигается лишь при условии
. Следовательно, векторы
линейно независимы и размерность подпространства
равна 2:
. Для подпространства
, порождённого векторами
, проводя аналогичный анализ, получим
.
Вычислим теперь размерность пересечения подпространств 
и
. По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный вектор
подпространства
является линейной комбинацией базисных векторов
:
. Аналогично для подпространства
имеем
, тогда условие принадлежности пересечению есть
или
.
Это условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов 
. Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований:
Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим 
,
откуда 
.
Полагая свободное неизвестное 
, для остальных имеем
. Итак, пересечение подпространств
имеет один базисный вектор
.
Размерность пересечения 
. Следовательно, в соответствии с равенством
размерность суммы подпространств 
. В качестве базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы
, дополненные вектором
. В линейной независимости векторов
убедиться нетрудно.◄
Матрица линейного оператора. преобразование подобия. собственные значения и собственные векторы линейного оператора. диагонализация матриц
Задание 1. Линейный оператор преобразует векторы , , в векторы , , . Найти матрицу линейного оператора.
Связаны между собой соотношением , откуда .
Так как , то , а искомая матрица линейного оператора .
Задание 2. Пусть линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если матрица является матрицей перехода от базиса к базису .
Решение. Матрицы и линейного оператора , заданного в разных базисах, связаны между собой соотношением . Так как , то
Задание 3. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .
Решение. Связь между матрицами и линейного оператора в разных базисах определяется формулой , где – матрица перехода от базиса к базису .
Составим матрицу : , тогда и, следовательно,
Задание 4. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .
Решение. Матрицы и связаны между собой соотношением , где – матрица перехода от базиса к базису .
Составим матрицу : , тогда и, следовательно,
Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .
Решение. Для нахождения собственных значений линейного оператора составим характеристическое уравнение , т. е. . Раскрывая определитель, получим , т. е. , .
По определению называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению , если .
Найдём собственные векторы и , соответствующие собственным значениям и .
При получим: , что равносильно такой однородной системе уравнений:
Если – базисная переменная, а – свободная, то .
При : , что равносильно однородной системе уравнений
Пусть – базисная переменная, – свободная. Примем , тогда , а следовательно, .
Так как собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, то они должны быть линейно независимы. Проверим линейную независимость полученных собственных векторов и .
Составим матрицу . Так как , то собственные векторы и линейно независимы.
Ответ: собственные числа , ; собственные векторы , .
Задание 6. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.
Решение. Матрица линейного оператора будет диагональной в базисе из собственных векторов, если такой базис существует. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Запишем характеристическое уравнение: , т. е. или , откуда получаем , .
Найдём собственные векторы И .
При получим: , что соответствует следующей однородной системе уравнений:
Пусть – базисная переменная, – свободная. Полагая , получим .
При : . Соответствующая однородная система уравнений имеет вид:
Откуда . Пусть – базисная переменная, – свободная, примем тогда , а, следовательно, .
Собственные векторы и отвечают различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, т. е. могут составить базис. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов и имеет диагональный вид: .
Можно проверить полученный результат. Так как , где матрица в случае перехода к базису из собственных векторов и имеет вид , следовательно,
Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов и найти матрицу этого линейного оператора в базисе из собственных векторов.
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
Найдём собственные векторы линейного оператора.
При : , тогда соответствующая однородная система уравнений примет вид:
Что равносильно такой системе:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Полагая , получим .
При : , или, переходя к однородной системе уравнений, получим
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Если , то .
При получим: , и однородная система уравнений примет вид:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Тогда если , то . Найденные собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, значит, существует базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису , тогда
Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет вид: .
Можно сделать проверку полученных результатов:
Ответ: , , ; , , ; матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов .
Линейные преобразования для «чайников»
На двух ближайших уроках я вкратце расскажу вам ещё об одном разделе высшей алгебры, который касается линейных преобразований… и тут сразу, заметьте, напрашивается добавить «преобразований чего-то». Тема обширная, тема интересная, и моя скромная задача состоит в том, чтобы в доступной форме донести до читателя её основы. В этой связи статья будет посвящена не только абстрактным алгебраическим вопросам, но и наполнена богатым геометрическим содержанием. Кроме того, сегодня мы обобщим такое важное понятие как вектор, имеющий к сему содержанию лишь частное отношение.
Есть ли среди вас начинающие изучать высшую математику? …хотя, чего тут спрашивать, конечно же, есть… – не смогли ведь пройти мимо заголовка! …Ну вот вы мне и попались, голубчики =) Для эффективного изучения материала нужно знать основы алгебры, аналитической геометрии, а также уметь выполнять действия с матрицами. На самом деле всё довольно просто, но если у вас возникнут вопросы (или уже встретился какой-то непонятный термин), то, пожалуйста, воспользуйтесь ссылками.
Обобщение понятия вектора. Векторное пространство
Ожидание казни хуже самой казни и поэтому лучше сразу почувствовать леденящий холодок настоящей алгебры =) Начнём с обещанного разбора полётов, а именно с понятия вектора. Давайте вспомним, что мы о нём знаем. Палочка со стрелочкой, знакомая ещё из школы. В высшей математике эта палочка «поднялась» до свободного вектора плоскости и пространства. Хорошо…. Далее слово «вектор» встретилось нам в ходе изучения матриц. Так, например, матрицу «один на два» мы называем вектором-строкой, а матрицу «три на один» – вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор – это упорядоченный набор чисел (обычно действительных)… и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё как-нибудь.
Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число .
Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи?
Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения и умножения на скаляр , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами (никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством
Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква .
Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее:
– все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству.
– для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства.
И здесь следует отметить, что термины «сложение» и «умножение» тоже носят общий символический смысл – в зависимости от природы того или иного векторного пространства эти операции определяются по-разному.
В курсе линейной алгебры проводится скрупулезная проверка различных множеств на предмет того, образуют ли они линейное пространство. И если удастся определить сложение и умножение на скаляр медведей на велосипеде и доказать для данных операций выполнение указанных 8 аксиом, то векторами будут и эти объекты =)
А теперь к основной теме урока:
Что такое линейное преобразование?
Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: (во избежание разночтений с другими математическими записями скобки нередко опускают: ).
Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики:
,
, где – произвольные векторы данного пространства, а – действительное число.
Линейное преобразование также называют линейным оператором.
Следующий пример оброс не только бородой, но и волосами на спине: рассмотрим линейное пространство векторов-строк вида , в котором определены операция сложения и умножения вектора на число .
Никакой геометрии. – то, что я сформулировал в статье о ранге матрицы, называется
-мерным арифметическим векторным пространством, и сейчас мы имеем дело с частным арифметическим пространством размерности 2.
Докажем, что функция векторного аргумента является линейным преобразованием. Доказательство состоит в проверке свойств линейности:
Здесь мы воспользовались дистрибутивностью умножения на скаляр относительно сложения векторов (одна из аксиом векторного пространства)
А здесь – аксиомой ассоциативности умножения на скаляр, коммутативностью (перестановочностью) самих действительных чисел (аксиома поля) и снова той же аксиомой ассоциативности.
Читателям, которым предстоит изучать теорию высшей алгебры, следует привыкнуть к таким доказательствам. Беспощадно формально, но, как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =)
Таким образом, – это линейное преобразование.
Разумеется, далеко не всякий оператор является линейным, и в других источниках информации можно найти массу примеров, как на удачную, так и неудачную проверку различных преобразований на линейность. И со строгостью доказательств на практике обычно всё попроще, …хотя, тут от преподавателя зависит – и по-хорошему, в математике ещё нужно обосновать, почему «ноль не равен единице».
Ну а сейчас мы спускаемся на землю грешную и переходим к геометрическому смыслу линейных преобразований. Пусть – это множество геометрических векторов плоскости. Для простоты рассмотрим привычный ортонормированный базис и прямоугольную систему координат .
Если задан какой-либо базис, то линейное преобразование удобнее представить в матричном виде. Как записать оператор в виде матрицы? На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо).
Наш случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец:
– матрица линейного преобразования в базисе .
Протестируем построенную матрицу с помощью вектора . Для этого «уложим» его координаты в вектор-столбец и выполним следующее матричное умножение:
– в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить.
Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором ( – начало координат), то матрица преобразования, по существу, применима и к координатам точек. И далее для простоты я буду говорить, что, например, точка :
– перешла в точку .
Наверное, все уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название:
Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём:
– если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз;
– если – то о сжатии (уменьшении) в раз;
– если , то преобразование тождественно (ничего не меняет).
И если меньше нуля, то дополнительно к растяжению/сжатию/неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат.
При имеет место так называемое нулевое преобразование.
Следует отметить, что на прикладном и «любительском» уровне линейные преобразования чаще всего как раз и ассоциируются именно с геометрическими преобразованиями. Рассмотрим ещё несколько популярных примеров по теме, и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости кошачью морду. Можно и не мысленно =)
…Представили? Нарисовали? Отлично!
Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего кот Леопольд радует нас своей широкой-широкой улыбкой!
…хотя у многих, наверное, не кот… да и не факт, что с улыбкой… – как говорится, у каждого в голове своя морда =)
И в самом деле, преобразуем точку :
– «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась.
Преобразование сожмёт кота по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений приготовить мясорубку тестировать для рассматриваемых матриц различные векторы и точки. Читателям с маломальскими навыками матричного умножения не составит особого труда делать это устно.
Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Это будет очень удивлённый кот.
Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат).
– образно говоря, «челюсть налево, лоб направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае).
– данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол .
И, наконец, венчает все эти метаморфозы ещё один лохматый пример:
преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами .
А тут уж дело случая – может получиться, как комната смеха, так и комната страха – зависит от того или иного преобразования.
Из вышесказанного нетрудно понять, что в базисе любой квадратной матрице «два на два» соответствует некоторое линейное преобразование, и наоборот любому линейному преобразованию соответствует своя матрица «два на два». И данный факт справедлив вообще для любого аффинного базиса , причём одно и то же линейное преобразование в разных базисах будет иметь в общем случае разные матрицы (что следует из самого принципа формирования этих матриц).
По аналогичной схеме можно рассмотреть векторы нашего трёхмерного пространства, с тем отличием, что преобразований будет больше, преобразования будут веселее. И, разумеется, линейные преобразования «работают» в векторных пространствах бОльшей размерности, однако там они уже далеки от геометрии.
В некотором аффинном базисе задано линейное преобразование . Найти образ точки . Используя обратное преобразование, выполнить проверку.
Решение: потихоньку нагружаю вас терминологией: образ – это то, что должно получиться в результате преобразования. В данном случае, очевидно, должна получиться некоторая точка . Исходная точка , соответственно, является прообразом.
! Надеюсь, все понимают, что штрихи в данном контексте не имеют никакого отношения к производным.
Образы векторов и точек мы уже неоднократно находили выше:
Таким образом, линейное преобразование перевело точку в точку .
Теперь найдём матрицу обратного преобразования, которое превращает образы векторов и точек обратно в их прообразы. Для этого запишем простейшее матричное уравнение (где – координатный столбец прообразов, а – образов) и для его разрешения относительно умножим обе части на обратную матрицу слева:
«Развернём» уравнение в привычном порядке:
Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения либо методом Гаусса-Жордана, но здесь я рекомендую первый способ, поскольку он позволит быстро выяснить, а существует ли матрица вообще.
Заряжаем стандартный алгоритм. Сначала вычислим определитель:
, значит, матрица линейного преобразования обратима. С содержательной точки зрения это означает, что обратное линейное преобразование существует и задаётся оно в точности матрицей .
Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что превратится найденная точка :
– получены координаты исходной точки , что и требовалось проверить.
Ответ:
Следует отметить, что обратное преобразование осуществимо далеко не всегда. Так бывает, например, при проектировании векторов на координатные оси или при тривиальном нулевом преобразовании. В таких случаях определитель матрицы прямого оператора равен нулю и обратной матрицы не существует.
Творческая задача для самостоятельного решения:
В результате применения оператора в некотором базисе получены образы . Найти прообразы данных векторов.
Краткое решение и ответ в конце урока. Обратите внимание, что формулировка данной задачи вовсе не утверждает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Как оно, собственно, и бывает в большинстве типовых заданий, которые для полного комфорта оформляются малопонятной клинописью:
Даны два линейных преобразования:
Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся…
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .
Решение: и как раз первое, что здесь можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Известно только, что они заданы в некотором базисе, ибо матрица линейного преобразования НЕ МОЖЕТ существовать без базиса (т.к. она порождается базисными векторами). Сам базис нам тоже не известен, но для решения задачи информация о нём и не нужна.
Тем не менее, для пущего понимания предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =)
Запишем матрицу левого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомого матричного уравнения:
или, если короче: .
Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял).
Теперь ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости.
Аналогично – запишем преобразование в матричном виде:
или:
По условию, нужно найти результирующее (композиционное) преобразование, которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Подставим в уравнение :
Всё оказалось до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования:
Если вы позабыли само матричное умножение, обратитесь к статье Свойства матричных операций, где я подробнейшим образом разобрал этот случай.
Осуществим матричное умножение в правой части:
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов, запишется в виде следующей системы:
Выполним проверку. Для этого подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения 2-й системы:
Что и требовалось проверить.
Этот способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основой, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления
Ответ:
Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём например, вектор и тупо подставляем его координаты:
– таким образом, он превратился в вектор .
Более академичный способ – использование матричного уравнения .
Энтузиасты могут смоделировать деформацию кота Леопольда с помощью специализированного программного обеспечения и отправить мне картинку, которую я обязательно опубликую. Мне и самому интересно, что же там с ним на самом деле произошло =)
В том случае, если нужно «вернуть кота к первоначальному виду», следует найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться уравнением .
«Плоский» случай для самостоятельного решения:
Даны два линейных преобразования в некотором базисе:
Найти образ вектора двумя способами:
1) путём последовательного применения преобразований и ;
2) с помощью композиционного оператора, выражающего координаты через .
Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее:
– системы запросто могут быть переставлены местами;
– условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования;
В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз – не лишним будет даже порисовать.
А сейчас переходим к вопросу, который назревал в течение всего урока:
Матрица линейного преобразования в различных базисах
В начале статьи мы выяснили происхождение матрицы линейного преобразования на примере оператора и ортонормированного базиса . Напоминаю: для того, чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). В результате «обработки» векторов нами была составлена матрица данного линейного преобразования в данном базисе.
Но ведь на «школьном» базисе свет клином не сошёлся! Ничто нам не мешает перейти к произвольному базису , где это же линейное преобразование, скорее всего, выразится другой матрицей. Но сам-то оператор не изменится – он будет по-прежнему увеличивать векторы плоскости в 2 раза. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое по существу уже было озвучено ранее:
Одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет РАЗНЫЕ матрицы.
И следующие две задачи как раз посвящены этому вопросу:
В базисе задано линейное преобразование . Найти матрицу данного преобразования в базисе , если
Решение: в условии задачи опять ничего не сказано о характере векторов, но для наглядности предположим, что данные базисы являются аффинным базисами плоскости. Как заметили внимательные читатели, предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе . Для решения этого вопроса существует специальная формула:
, где – матрица перехода от базиса к базису .
Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения (внимание!) в 1-й столбец матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:
Внимание! Базисные векторы, в данном случае векторы , следует «перебирать» строго по порядку!
Остальное дело техники. Находим обратную матрицу:
И, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе:
Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, можно было сначала найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали.
Ответ:
Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе.
Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т. е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: . Таким образом, при желании всегда можно вернуться к старому базису: . Обратная формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно .
Иногда матрицы и называют подобными.
Какой базис удобнее? Ну конечно, исходный , где матрица преобразования имеет вид , и сразу виднА характерная особенность этого преобразования. А что это за такой интересный базис, и как отыскать эту матрицу, вы узнаете на уроке о собственных векторах.
Трехмерный случай для самостоятельного решения:
Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе .
Пожалуйста, не путайте это задание с Примером № 3 – по первой оглядке здесь тоже какие-то похожие равенства, тоже штрихи, но смысл совершено другой. Если там шла речь о двух линейных преобразованиях и взаимосвязи координат векторов, то здесь – об одном и том же преобразовании и взаимосвязи векторов двух базисов.
Краткое решение и ответ совсем рядом.
И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так – у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии.
Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов.
Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: найдём матрицу обратного преобразования:
(см. урок. Как найти обратную матрицу)
Найдём прообразы:
Ответ:
Пример 4: Решение: запишем матрицы преобразований:
1) Последовательно применим к вектору преобразования и :
2) Найдём результирующее преобразование:
Таким образом:
Ответ: (нулевой вектор)
Пример 6: Решение: Решение: Используем формулу . Запишем матрицу перехода к новому базису:
Найдём матрицу обратного перехода:
Вычислим:
Ответ: