Как найти координаты вписанной окружности треугольника
Перейти к содержимому

Как найти координаты вписанной окружности треугольника

  • автор:

Научный форум dxdy

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугол.

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугольник

Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти радиус и координаты центра окружности, вписанной в треугольник—известны его вершины.
Например: $\[A\left( < - 25;15 - 15\sqrt 3 >\right),B\left( < - 25 + 20\sqrt 3 ; - 5 - 15\sqrt 3 >\right),C\left( < - 10;15>\right)\] $» /></p> <p>Самое главное: найти радиус и координаты с помощью системы уравнений, т.е. координаты должны быть в уравнении, без предыдущей обработки, возможно ли это?</p> <p>Для окружности, описанной около треугольника это возможно:</p> <p><img decoding=

$\[\begin<array> <l> <\left( <x + 20 - 5\sqrt 3 >\right)^2> + <\left( <y + 10\sqrt 3 - 10>\right)^2> = 100 \\ y = \frac<<30\sqrt 3 - 85 - 4x - 3\sqrt 3 x>><<4\sqrt 3 - 3>> \Rightarrow BC \\ \left( <8\sqrt 3 - 16;7 - 6\sqrt 3 >\right) \\ . \\ \end<array>\] $» /></p> <p>Но, радиус вписанной окружности пришлось находить по формуле <img decoding=

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугольник

Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти радиус и координаты центра окружности, вписанной в треугольник—известны его вершины.
Например: $\[A\left( < - 25;15 - 15\sqrt 3 >\right),B\left( < - 25 + 20\sqrt 3 ; - 5 - 15\sqrt 3 >\right),C\left( < - 10;15>\right)\] $» /></p> <p>Самое главное: найти радиус и координаты с помощью системы уравнений, т.е. координаты должны быть в уравнении, без предыдущей обработки, возможно ли это?</p> <p>Для окружности, описанной около треугольника это возможно:</p> <p><img decoding=

Я уже даже составил уравнение вписанной окружности, касательных к окружности, точки касаний и т.д.

$\[\begin<array> <l> <\left( <x + 20 - 5\sqrt 3 >\right)^2> + <\left( <y + 10\sqrt 3 - 10>\right)^2> = 100 \\ y = \frac<<30\sqrt 3 - 85 - 4x - 3\sqrt 3 x>><<4\sqrt 3 - 3>> \Rightarrow BC \\ \left( <8\sqrt 3 - 16;7 - 6\sqrt 3 >\right) \\ . \\ \end<array>\] $» /></p> <p>Но, радиус вписанной окружности пришлось находить по формуле <img decoding=

Ну, поскольку это не домашнее задание, то модераторы, думаю мне простят и в очередной раз не забанят из-за того, что не пользуюсь
LaTex`ом и привожу решение с вычислениями в Маткаде.
Можно, добавив третью координату (z=0) координатам заданных вершин треугольника, использовать понятие векторного произведения
(хотя, конечно, это необязательно). Короче см. картинку.
Изображение

Уравнения биссектрис для вершин $\[A\] $и $\[B\] $:

$\[\begin<array> <l> <l_B>\Rightarrow \left( <3 + \sqrt 3 >\right)x + \left( <3\sqrt 3 - 1>\right)y — 35\sqrt 3 + 145 = 0 \\ <l_A>\Rightarrow \left( <\sqrt 3 - 1>\right)x — \left( <1 + \sqrt 3 >\right)y — 55 + 25\sqrt 3 = 0 \\ \end<array>\] $» /></p> <p>Точка их пересечения: <img decoding=

А радиус? Как его найти?

@vvvv
С векторами я еще не очень, но была бы причина с ними разобраться, так как на первый взгляд вычисление координат и радиуса выглядит очень просто. Только это моё предположение, на самом деле Вы это в программе вычислили.

Поэтому меня сейчас интересует, как можно найти радиус?

Перпендикуляр на $AC$:

$\[\sqrt 3 x + 3y - 45 + 50\sqrt 3 = 0\] $

Точка их пересечения:

$\[\left( < - 20;15 - 10\sqrt 3 >\right)\] $» /></p> <p>Расстояние от центра до стороны:</p> <p> <img decoding=

Итак: Нахождение центра вписанной окружности и её радиуса через биссектрисы требует ещё больше времени, чем по формуле Герона и этим формулам:

$\[\begin<array> <l> <x_m>= \frac <<a \cdot <x_A>+ b \cdot <x_B>+ c \cdot <x_C>>><<a + b + c>> \\ <y_m>= \frac <<a \cdot <y_A>+ b \cdot <y_B>+ y \cdot <x_C>>><<a + b + c>> \\ \end<array>\] $» /></p> <p>Особенно мне не нравится формула биссектрис двух прямых, так как там находятся сразу 2 биссектрисы, и я сразу не могу правильную биссектрису угадать (трата времени):</p> <p><img decoding=или $\[ - \] $)?

А главное: должен я все-таки согласиться, что радиус и координаты центра вписанной окружности не так легко и елегантно вычисляются, как для окружности, описанной около треугольника (напрямую, через систему уравнений)?

Точка пересечения биссектрис

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

\[ \frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }} \]

\[\frac{{y - ( - 3)}}{{ - 12 - ( - 3)}} = \frac{{x - 0}}{{12 - 0}}, \]

\[12(y + 3) = - 9x,\]

\[ 3x + 4y + 12 = 0. \]

Уравнение прямой AC:

\[\frac{{y - ( - 3)}}{{ - 0,48 - ( - 3)}} = \frac{{x - 0}}{{3,36 - 0}},\]

\[3,36(y + 3) = 2,52x,\]

\[2,52x - 3,36y - 10,08 = 0,\]

\[3x - 4y - 12 = 0.\]

Уравнение прямой BC:

\[ \frac{{y - ( - 12)}}{{ - 0,48 - ( - 12)}} = \frac{{x - 12}}{{3,36 - 12}},\]

\[ - 8,64(y + 12) = 11,52(x - 12),\]

\[- 3(y + 12) = 4(x - 12),\]

\[4x + 3y - 12 = 0.\]

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

\[ \frac{{3x + 4y + 12}}{{\sqrt {3^2 + 4^2 } }} = \pm \frac{{4x + 3y - 12}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }}, \]

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x-y-24=0: 0-(-3)-24<0; 3,36-(-0,48)-24<0. Получили числа одного знака, значит это уравнение не является биссектрисой внутреннего угла треугольника.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x+y=0: 0+(-3)<0, 3,36+(-0,48)>0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

\[\frac{{3x - 4y - 12}}{{\sqrt {3^2 + ( - 4)^2 } }} = \frac{{4x + 3y - 12}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }},\]

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-24<0, 7·12-(-12)-24>0. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

\[\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0, \\ 7x - y - 24 = 0, \\ \end{array} \right.\]

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

\[ r = \left| {OF} \right| = \frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot ( - 3) + 12} \right|}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }} = \frac{9}{5}. \]

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник через координаты его вершин

Известны координаты вершин треугольника и известный координаты точки. Нужно установить принадлежность точки треугольнику.
Существует несколько способов определения. лежит-ли точка внутри треугольника или снаружи:

1. Метод сравнения площадей — по формуле Герона находятся площади 3-х треугольников которые образует точка с каждой стороной треугольника, далее находится площадь самого треугольника и сравнивается с суммой трех предыдущих треугольников, если суммы равны то значит точка принадлежит треугольнику.

2. Метод относительности — выбирается ориентация движения по вершинам треугольника, например по часовой стрелке. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Если точка для всех прямых, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.

3. Метод геометрического луча — из точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении. Вычисляется количество пересечений со сторонами, если кол-во нечётное, то значит точка лежит внутри многоугольника.

Как найти координаты центра вписанной окружности треугольника?

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Ее центр называется центром вписанной окружности. Найти координаты центра вписанной окружности может быть нужно, например, при решении задач по геометрии и тригонометрии. В этой статье мы рассмотрим, как это сделать.

Шаг 1: Найдите длины сторон треугольника

Прежде чем найти координаты центра вписанной окружности, нужно знать длины сторон треугольника. Это можно сделать, используя теорему Пифагора или другие формулы для нахождения длин сторон. Обозначим длины сторон треугольника как a, b и c.

Шаг 2: Найдите полупериметр треугольника

Полупериметр треугольника вычисляется по формуле:

Обозначим полупериметр как s.

Шаг 3: Найдите радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Обозначим радиус вписанной окружности как r.

Шаг 4: Найдите координаты центра вписанной окружности

Координаты центра вписанной окружности находятся в точке пересечения биссектрис треугольника. Биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника на две равные части. Для каждого угла треугольника существует две биссектрисы, но только одна из них проходит через центр вписанной окружности. Чтобы найти нужную биссектрису, можно использовать следующие формулы:

где a, b и c — это длины сторон треугольника, а x1, y1, x2, y2, x3, y3 — это координаты вершин треугольника. Эти формулы позволяют найти координаты точки пересечения биссектрис.

Шаг 5: Проверьте свои вычисления

Проверьте свои вычисления, подставив найденные значения радиуса и координат центра вписанной окружности в уравнение окружности:

где x0 и y0 — это координаты центра вписанной окружности.

Вывод

Теперь вы знаете, как найти координаты центра вписанной окружности треугольника. Эта информация может пригодиться вам при решении задач по геометрии и тригонометрии. Не забывайте проверять свои вычисления, чтобы исключить ошибки.

Похожие публикации:
  1. Как зайти в настройки роутера мгтс
  2. Как обрезать объект в кореле
  3. Как сделать хаус в лайке
  4. Счетчик миртек как отключить реле с пульта

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *