Как найти инвариантные подпространства линейного оператора

Как найти все инвариантные подпространства линейного оператора?

Есть задачка: найти в трёхмерном векторном пространстве V все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора фи с матрицей.

Понятно, что само про-во V инвариантно относительно фи, так же как и подпространство, состоящее из одного нулевого элемента <0>.
Но как найти все остальные инвариантные подпространства и показать, что других, кроме тех, что мы нашли, не существует?

Можно на примере:
Заранее спасибо!

Найти размерность пространства и базис линейного подпространства
Помогите пожалуйста. Найти размерность пространства и базис линейного подпространства Rn, заданного.

СЛУ (найти систему линейных уравнений, определяющую ортогональное дополнение линейного подпространства)
Помогите найти систему линейных уравнений, определяющую ортогональное дополнение линейного.

Найти размерность подпространства U и характеристический и минимальный многочлены оператора сдвига Т’
Пусть V — пространство всех бесконечных последовательностей (x1, x2, . . .) с элементами из k.

Найти матрицу оператора сопряжённого для данного линейного оператора
Здравствуйте! Подскажите мне, пожалуйста, как делать данную задачу: Матрица линейного оператора.

mihailm,
собственно я понимаю, что подпространства P = <(2,2,-1)>, W = <(1, 1, 0),(-1, 0, 1)>, <(2, 2, -1), w> где w∈W
но из чего это следует? Я имею ввиду откуда это утверждение "Подпространства, порожденные собственными векторами, являются инвариантными."

Добавлено через 5 минут
mihailm,
Для любого линейного преобразования ядро и образ являются инвариантными подпространствами
Выдержка
http://mathhelpplanet.com/stat. ostranstva
Теперь понял
По сути я нашёл ker(φ-λE)

Лучший ответ Сообщение было отмечено Molotov как решение

Решение

Сообщение от mihailm
Сообщение от Molotov

Понятия линейного многообразия и подпространства
Чем отличаются понятия линейных многообразия и подпространства? По определениям из статей вики.

Выписать базис линейного подпространства
Добрый день! Дана такая задача: Выписать базис линейного подпространства L = \left ( 3a -.

Найти матрицу линейного оператора
5. Оператор Фи переводит векторы a1,a2,a3 соответственно в векторы b1,b2,b3 . Найти матрицу.

Найти матрицу линейного оператора
найти матрицу линейного оператора переводящего стандартный базис е1=(1,0,0),е2=(0,1,0).е3=(0,0,1).

Найти матрицу линейного оператора
Может ли кто-нибудь помочь мне с этой задачей, пожалуйста. Спасибо. Наитй матрицу линейного.

Научный форум dxdy

Вот и у меня такое же подозрение. Задачник Беклимешовой по ангему и линалу.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Хорошо. А какие можно найти точно и как?

То есть найти такие подпространства n-мерного вещественного пространства, что при действии на элементы этих подпространств оператора k они преобразуются сами в себя.

Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы). Если среди этих чисел нет единицы, то таких подпространств нет (т.е. только нулевой элемент n-мерного вещественного пространства преобразуется сам в себя). Если — есть, то нужно найти все собственные векторы оператора k, соответствующие единице. Все элементы линейной оболочки над этими векторами при действии на них оператора k преобразуются сами в себя. Соответственно любое подпространство этой линейной оболочки будет инвариантным
относительно оператора k. Наверное (в этом случае) так и следует сформулировать ответ — это все подпространства линейной оболочки, построенной на таких-то векторах (которые нужно будет вычислить).

Вроде бы так, если я правильно догадался, что такое подпространство, инвариантное относительно некоторого оператора.

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного ( $n$ -мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

имелось в виду последнее, но откуда взялось число ? и как доказать, что больше инвариантных подпространств нет?

Для конечномерного ( $n$ -мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

В нашем курсе отсутствует понятие жордановой формы.

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

имелось в виду последнее, но откуда взялось число ?

Такое количество инвариантных подпространств будет в случае, когда все собственные числа — ненулевые, вещественные и разные. Это число всех возможных сочетаний из $n$ собственных векторов за исключением пустого сочетания.

Я ошибся, посчитав это число максимальным и полностью упустив из рассмотрения случай кратных собственных чисел (корней характеристического уравнения). Если у характеристического уравнения существует хотя бы один ненулевой кратный корень (неважно действительный или комплексный), то число инвариантных подпространств будет бесконечным.

Но Вам, похоже, это было всегда известно.

Добавлено спустя 40 минут 30 секунд:

Я думал, что речь идет о каком-то конкретном операторе, для которого эти числа можно найти, а автор темы просто обобщил вопрос. (Рядом там было написано «операторы, срочно».)

Ну, правилами форума это, вроде бы, не запрещено. (Может быть, хотя бы для разделов типа «помогите помочь разобраться» имело бы смысл ввести такие ограничения и банить всех тех, кто их нарушает?)

Последний раз редактировалось нг 13.04.2008, 22:06, всего редактировалось 1 раз.

Не запрещено. Не запрещено и ошибаться. И все мы (включая меня) ошибаемся время от времени.

Я думаю ( B. — включаю модуль телепатии ), Brukvalub говорил об ответственности , которую берёт на себя помогающий. О том, что дав неудачный совет, он подводит того, кому помогает. И что поэтому стоит перепроверить то, что пишешь ещё раз (в частности, проверить определения, в которых не уверен).

Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.

Если для любого вектора подпространства его образ тоже лежит в этом подпространстве, то это подпространство называется инвариантным.

Т Пусть (1) нетривиальное инвариантное подпространство относительно оператора (2). Тогда существует базис пространства, в котором матрица оператора (2) имеет квазитреугольную форму (дополним базис инвариантного подпространства e1…ek до полного, Ae1 = a11e1 +… + ak1ek…, значит матрица имеет вид |A | B|

Т Если пр-во является прямой суммой нетривиальных инвариантных подпространств, то в пространстве существует базис, в котором матрица оператора принимает квазидиагональную форму (аналогично предыдущей). Рассматривая линейный оператор на инвариантном подпространстве можно получить новый оператор (A|L)=Ax для любых x из L, называемый индуцированным оператором или сужением оператора.

Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.

Т В n-мерном комплексном пространстве для любого линейного оператора существует система n вложенных друг в друга инвариантных подпространств L1…Ln, всех размерностей от 1 до n.

Док-во: индукция по n:

для n = 1 очевидно

Лемма: линейный оператор действующий в n-мерном пр-ве имеет инвариантное подпространство, размерности n – 1 (линейный оператор в комплексном пр-ве имеет хотя бы одно собственное значение – размерность dim im(A – lI)<=n-1, есть подпространство содержащее весь образ, рассмотреть воздействие на него исходного оператора), из леммы существует пр-во размерности n-1, а по индукционному предположению получаем.

Т Для любого линейного оператора, действующего в комплексном пр-ве, существует базис, в котором матрица оператора имеет треугольную форму (в предыдущей теореме берем базис наименьшего подпространства и дополняем).

Т Шура Для любого оператора, действующего в унитарном пр-ве существует ортонормированный базис, в котором он имеет треугольную матрицу (на каждом шаге предыдущей теоремы строим ортонормированный базис).

Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.

Линейный оператор называется нильпотентным, если существует его степень, равная нулевой матрице. Наименьшая такая степень называется индексом нильпотентности (высотой) линейного оператора.

Т Если A – нильпотентный оператор степени (1) и (2) – вектор, который оператор предпоследней степени не переводит в 0, то векторы x0, Ax0,…, (A^(q-1))x0- линейно независимы (приравняем линейную комбинацию к нулю и последовательно будем применять операторы в нужной степени, показывая равенство 0 коэффициентов).

Следствие 1: индекс нильпотентности не превосходит размерности пр-ва.

Т В комплексном пр-ве линейный оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны 0 (необходимрость A^qx0 = (l0^q)x, достаточность – проверить умножение матриц).

Если все пространство – прямая сумма подпространств, инвариантных относительно A, то оператор называется прямой суммой индуцированных операторов.

Рассмотрим оператор B= A – liI, выполним сдвиг на li оператора A.

f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp- многочлен A, f’(l) = (l1 – lj – l)^m1 * …(lp – lj – l)^mp

Инвариантные подпространства

Пусть — линейное преобразование линейного пространства называется инвариантным относительно преобразования принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство .

Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором , совпадают.

Примеры инвариантных подпространств

Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).

1. Для нулевого преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение нулевого преобразования является нулевым преобразованием.

2. Для тождественного преобразования является инвариантным, так как . Сужение тождественного преобразования является тождественным преобразованием.

3. Для центральной симметрии любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение центральной симметрии является центральной симметрией.

4. Для гомотетии любое подпространство является инвариантным, так как (при ). Сужение гомотетии является гомотетией.

5. Для поворота плоскости (при ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое и вся плоскость . Других инвариантных подпространств нет.

6. Для оператора дифференцирования каждое из подпространств является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.

7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора проектирования на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — нулевым .

8. Рассмотрим оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора отражения на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — центральной симметрией , так как .

9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , вокруг оси инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство

Свойства инвариантных подпространств

1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования , то его сужение также обратимое линейное преобразование.

2. Для любого линейного преобразования ядро и

3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем

В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, . Докажем, например, включение . Для любого существует вектор , что . Следовательно, .

4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.

Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство

Пусть — линейное преобразование n-мерного пространства — подпространство, инвариантное относительно преобразования пространства

где преобразования , . И наоборот, если в некотором базисе матрица ), то преобразование подпространства и дополним его векторами до базиса всего пространства базисных векторов по этому базису, получаем

так как . Следовательно, последние элементов первых столбцов матрицы Следствие. Если n-мерное пространство , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид

где — матрица сужения преобразования .

Например, рассмотрим операторы проектирования и отражения . Объединяя базисы подпространств и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид