Интегрирование по частям. Примеры решений
И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям.
Для эффективного изучения темы необходимо хорошо ориентироваться в материалах двух вышеуказанных уроков. Если Вы чайник, и только-только начинаете погружение в удивительный мир интегралов, то читать далее не имеет особого смысла – следует начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.
Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных. Если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста, посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы. Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.
Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы:
. Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).
И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:
1) , , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква «е». … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.
3) , , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
4) , – обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
Интегралы от логарифмов
Найти неопределенный интеграл.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям:
Формула применяется слева направо
Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .
В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал :
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.
Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства :
Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: .
Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:
Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.
Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.
Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».
Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.
В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.
Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.
Найти неопределенный интеграл.
Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Решаем.
Я еще один раз подробно распишу порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам урока.
Как уже говорилось, за необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Записываем в столбик:
Сначала находим дифференциал :
Здесь использовано правило дифференцирования сложной функции . Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений я акцентировал внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.
Теперь находим функцию , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства :
Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу
Теперь всё готово для применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью :
Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.
Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.
(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть.
(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.
(3) Берем последний интеграл.
(4) «Причесываем» ответ.
Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения:
Найти неопределенный интеграл.
Этот пример решается методом замены переменной (или подведением под знак дифференциала)! А почему бы и нет – можете попробовать взять его по частям, получится забавная вещь.
Найти неопределенный интеграл.
А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).
Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.
Вроде бы в примерах 3, 4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Кроме того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего.
По логарифмам, пожалуй, более чем достаточно. На закуску могу еще вспомнить, что студенты-технари логарифмами называют женскую грудь =). Кстати, полезно знать назубок графики основных элементарных функций: синуса, косинуса, арктангенса, экспоненты, многочленов третьей, четвертой степени и т.д. Нет, конечно, презерватив на глобус
я натягивать не буду, но теперь вы многое запомните из раздела Графики и функции =).
Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается многочлен
Найти неопределенный интеграл.
Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:
Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:
Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом или даже
То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Данный интеграл дважды интегрируется по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что – сложная функция.
Больше про экспоненту рассказывать особо нечего. Могу только добавить, что экспонента и натуральный логарифм взаимно-обратные функции, это я к теме занимательных графиков высшей математики =) Стоп-стоп, не волнуемся, лектор трезв.
Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается многочлен
Найти неопределенный интеграл.
Интегрируем по частям:
Хммм, …и комментировать нечего.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения
Найти неопределенный интеграл
Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах за обозначается многочлен.
Интегрируем по частям:
Если возникли трудности или недопонимание с нахождением интеграла , то рекомендую посетить урок Интегралы от тригонометрических функций.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Подсказка: перед использованием метода интегрирования по частям следует применить некоторую тригонометрическую формулу, которая превращает произведение двух тригонометрических функций в одну функцию. Формулу также можно использовать и в ходе применения метода интегрирования по частям, кому как удобнее.
Вот, пожалуй, и всё в данном параграфе. Почему-то вспомнилась строчка из гимна физмата «А синуса график волна за волной по оси абсцисс пробегает»….
Интегралы от обратных тригонометрических функций.
Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
Напоминаю, что к обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для краткости записи я буду называть их «арками»
Найти неопределенный интеграл.
Интегрируем по частям:
Интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде.
И здесь читатель задал вопрос: а куда же делся модуль под логарифмом? Ответ прост: если «начинка» логарифма неотрицательна (при любом возможном «икс»), то модуль можно не ставить. В данном примере для всех «икс», и поэтому достаточно круглых скобок. Но если вам трудно это проанализировать (да и «начинка» бывает мутная), то ставьте модуль в любом случае. Именно так я и поступил в Примере 10 урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Недочёт некритичный.
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения.
Как видите, помимо «чистого» интегрирования по частям нередко требуется применять и другие методы, приёмы решения.
И заключительный пример сегодняшнего урока под счастливым номером тринадцать: «арк», умноженный на многочлен. Он сложнее, и предназначен для маньяков желающих лучше разобраться в методе интегрирования по частям. Пример, пожалуй, будет тоже для самостоятельного решения, поскольку меня немного утомил тот логарифм в квадрате.
Найти неопределенный интеграл.
Что касаемо интегрирования по частям, почти всё разобрали. Рассмотренный метод часто применяется в комбинации с другими приёмами решения интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами на уроке Сложные интегралы.
А сейчас, как любила говорить моя учительница по математике, пора кончать.
Пример 3: Решение:
Пример 4: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 6: Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 10: Решение:
Примечание: Здесь мы использовали известную тригонометрическую формулу двойного угла . Её можно было использовать и сразу: , а потом интегрировать по частям.
Похожим способом также решаются интегралы вроде , – в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
Пример 12: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 13: Решение:
Интегрируем по частям:
Примечание: Если возникли трудности с интегралом , то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей.
Интегрирование по частям, основы
Продолжаем осваивать базовые приёмы интегрирования. В предыдущих уроках мы рассмотрели три таких приёма — непосредственное интегрирование (то бишь, по таблице), метод подведения функции под знак дифференциала и метод замены переменной . Три ножки для стула. Сидеть уже можно, но… как-то неудобно.)
Сегодняшний наш урок будет началом изучения ещё одной обширной темы интегрального исчисления. Последней, четвёртой ножки для нашего стула.) А именно — метода интегрирования по частям. Великого и могучего. Фраза «интегрируем по частям» вселяет уверенность и так же обнадёживает студентов, как и фраза «решаем через дискриминант» у школьников. 🙂
В чём же заключается столь сильная мощь данного метода и почему именно он так популярен при вычислении львиной доли неопределённых интегралов? А дело вот в чём.
Ключевой момент №1
Как мы уже знаем, в отличие от производных, в матанализе не существует стандартных правил для интегралов от произведения, частного и сложной функции. Но в процессе интегрирования такие операции с функциями встречаются сплошь и рядом. И очень часто именно метод интегрирования по частям позволяет свести вычисление интеграла от навороченной функции к совсем простенькому выражению, проинтегрировать которое не составит труда. Если таблицу знать, конечно.
Ключевой момент №2
Нередко под интегралом могут стоять всякие нехорошие трансцендентные конструкции — логарифмы, арксинусы, арктангенсы и прочие ужасы. Таблица интегралов не катит: нету в ней ни логарифмов, ни арков. И замена не годится тоже.
И в таких случаях тоже надо уметь как-то выкручиваться, да…
Какие же именно интегралы берутся по частям?
Вот типовые схемы подынтегральных функций:
Например, что-то в таком духе:
Что общего во всех таких интегралах? А общее то, что подынтегральная функция представляет собой произведение (а в ряде случаев и частное) «разнородных» функций. Многочлена и логарифма, синуса и экспоненты и так далее… Или же под интегралом тусуются всякие там арксинусы, арктангенсы и прочая жесть.
Под последним шестым пунктом стоит слово «прочие». Это такие функции, которые не относятся к предыдущим пяти типам, но которые также вполне можно проинтегрировать по частям (а иногда и только по частям). Как правило, сочетая в себе и другие способы интегрирования — замену переменной , подведение под дифференциал и т.п. Это всякие сложные экзотические функции, а также некоторые дроби и функции с корнями.
И тому подобные примеры. Их разберём в соответствующем уроке.
Ну вот. Про таинственный метод упомянули, какие именно интегралы с его помощью вычисляются — тоже. Пора бы уже начать более близкое знакомство. Знакомимся? Поехали!
Формула интегрирования по частям — вывод и смысл.
Итак, прошу любить и жаловать:
Это и есть формула интегрирования по частям собственной персоной.)
Откуда же она берётся и почему так называется? Она берётся из обычного правила дифференцирования произведения.
Все вы (надеюсь) его хорошо помните ещё со школы:
Или почти то же самое, только по-взрослому, через дифференциалы:
Все формулы в матанализе, если слева и справа стоят функции или их производные (или дифференциалы), можно почленно интегрировать. Вот и проинтегрируем левую и правую части нашего правила. Имеем полное право!
Подвешиваем на крючки левую и правую части и получаем:
Осталось сообразить, что значок интеграла всегда «съедает» значок дифференциала (согласно соответствующему свойству). Стало быть, слева останется просто произведение u∙v. А справа приведём первый интеграл к приличному виду и отправим его влево к u·v (со сменой знака, разумеется). Получим:
И, наконец, финальный бросок. Меняем местами левую и правую части и получаем:
Всё! Больше никаких научных хитростей.)
Собственно, формула производной произведения и формула интегрирования по частям — это две взаимно обратных формулы. 🙂 Так же, как и операции дифференцирования сложной функции и подведения функции под знак дифференциала . Вот и вся суть.
Запоминается формула на удивление легко и просто. Чаще всего, в виде секретного заклинания:
Интеграл у-дэ-вэ равен у на вэ минус интеграл вэ-дэ-у. 🙂
Итак, будем считать, что с происхождением формулы разобрались. Теперь разбираемся с названием — что ещё там за части какие-то. 🙂
Смотрим на формулу ещё разок:
В чём основная суть? Исходное подынтегральное выражение (то, что слева) разбивается на два кусочка. Или две части.) Причём только с помощью умножения! Именно поэтому в общей формуле я отдельно и выделяю знаки умножения.
Первая часть (первый множитель) — это некоторая функция u. Функция как функция. Выражаемая какой-то формулой.
Вторая часть (второй множитель) — это не функция, а дифференциал некоторой другой функции v. То есть, dv.
Что это за таинственные u и v? Об этом дальше подробненько будет. Никаких тайн.)
Что же происходит при применении формулы? С точки зрения математики ничего особенного не происходит:
1. Первый множитель — u — дифференцируется. Было u, а становится du.
2. Второй множитель — dv – наоборот, интегрируется. Было dv, а после интегрирования стало просто v.
Зато с точки зрения наших хотелок происходит оч-чень много полезного! Исходный интеграл:
который, по каким-то причинам, нам не очень нравится, заменяется на другой интеграл
вычисление которого должно оказаться проще исходного.
Вот и всё. Вот и вся ключевая идея применения формулы!
Что брать за u, а что за dv?
Вопрос хороший! Этот момент — стратегически самый важный при применении формулы. Давайте разбираться. В самых общих чертах.) Выпишем ещё раз формулу:
Как видно из формулы, нам надо интегрировать новое выражение v∙du. И оно должно оказаться проще старого подынтегрального выражения u∙dv. Вот такая ключевая идея — упростить исходное подынтегральное выражение!
Поскольку в новом подынтегральном выражении стоит дифференциал du, то за функцию u всегда принимается функция, упрощающаяся при дифференцировании.
И какие же функции упрощаются при дифференцировании? Как правило, это всякие ужасы типа логарифмов или «арков». Почему же они упрощаются при дифференцировании? А потому, что их производные — гораздо более простые функции! Рациональные дроби или, в худшем случае, выражения с корнями (для арксинуса/арккосинуса). Вспоминаем нашу старую добрую таблицу производных:
И так далее. С дробью 1/х всяко проще работать в процессе интегрирования, чем с логарифмом, правда? И с арками та же история.
Точно так же упрощаются при дифференцировании и многочлены, степень которых после каждого дифференцирования понижается на единичку:
В общем, принцип выбора функции u предельно ясен — упрощение после дифференцирования. А что же со вторым множителем dv?
Поскольку множитель dv нам придётся интегрировать, то за dv всегда берётся конструкция, не усложняющаяся при интегрировании!
Например, это вполне может быть экспонента. Или же тригонометрическая функция — синус там или косинус… Или степенная функция или многочлен. Эти функции никак не усложняются при интегрировании! Почему? Вспоминаем теперь уже таблицу интегралов (первообразных) : экспонента при интегрировании превращается сама в себя, синус/косинус — друг в друга (с точностью до знака), а любой многочлен степени n — также в многочлен, но степени n+1.
Запоминаем:
За функцию u всегда принимаем выражение, упрощающееся при дифференцировании.
За dv принимаем выражение, не усложняющееся при интегрировании.
Разумеется, сразу увидеть и сообразить в уме, что упростится/усложнится после дифференцирования/интегрирования, не всегда возможно. Всё от конкретного примера и от опыта зависит. Не всегда с первого раза получается. Бывает.)
Но для некоторых типовых схем я всё же приведу небольшую сводную табличку. Пользуйтесь на здоровье! 🙂
Что ж, думаю, хватит грузной теории, давайте перейдём к конкретным примерам — всё станет куда понятнее.) В этом уроке рассмотрим интегралы из группы №1.
Произведение многочлена и показательной/тригонометрической функции.
Это интегралы из первой группы нашей сводной таблички.
Общий рецепт здесь следующий:
Если под интегралом стоит произведение многочлена и показательной/тригонометрической функции, то за функцию u всегда берётся МНОГОЧЛЕН.
А что берётся за dv? А за dv всегда берётся оставшаяся часть подынтегрального выражения вместе с dx! Что уж там осталось, то и берётся, так уж формула интегрирования по частям устроена: всё подынтегральное выражение надо по кусочкам распределить между u и dv.
Ну что, посмотрим на формулу интегрирования по частям в действии?)
Например, пусть надо найти вот такой интересный интеграл:
Пример 1
Казалось бы, всё просто. Под знаком интеграла стоит произведение знакомых табличных функций — икса и e x . Вроде, всё хорошо. Но есть одна проблемка: общей стандартной формулы для интеграла от произведения не существует! По отдельности каждая функция интегрируется без проблем, а вот произведение — уже проблема, да…) Как быть?
Как-как… Надо разделить разные типы функций!
Вот и разбиваем наше подынтегральное выражение на кусочки! Наша задача представить конструкцию
в виде произведения функции u и дифференциала другой функции dv.
Определяемся, что выбираем за u и за dv!
Работаем прямо по правилу для группы №1. В роли показательной функции у нас, очевидно, e x . А множитель х служит как раз тем самым многочленом, который целесообразно брать в качестве функции u. Не так очевидно, что это многочлен, но это именно он.) Состоящий всего из одного члена — икса. Бывает.)
А вот к dv мы должны отнести то, что осталось — выражение e x dx.
Да-да, именно так и выделяем, прямо в тетрадке!
Итак, выбор u и dv сделан. Вот он:
Теперь следующим шагом мы начинаем операцию, которую я условно называю «миграция дифференциала»: функцию u мы будем дифференцировать и превращать в du, а dv — наоборот интегрировать и превращать в v. Таким образом, под дифференциалом вместо функции v окажется функция u. Вспоминаем нашу картинку с пляшущими человечками.)
Дифференцируем функцию u, считаем du:
Интегрируем множитель dv и ищем функцию v:
Внимание! Не прибавляем константу С после отыскания функции v! Ведь в качестве функции v нам нужна только какая-то одна конкретная первообразная! А не всё бесконечное множество, да…) Самая простая такая первообразная — очевидно, с константой С, равной нулю (С=0). Именно поэтому я и пишу
А теперь берём формулу интегрирования по частям
и аккуратно подставляем все исходные данные на свои места:
Как всегда, для пущей уверенности, дифференцируем результат:
Что у нас произошло после применения формулы интегрирования по частям? А произошло то, что мешающий нам множитель х исчез из примера, и исходный интеграл от нехорошего произведения
свёлся к табличному (!) интегралу от безобидной экспоненты
Берущемуся в уме. Если таблицу знать.) Здорово, правда?
Именно так и работает формула интегрирования по частям. Разделяет разнотипные функции и превращает ужасный на вид интеграл в белый и пушистый. Вот и вся суть метода интегрирования по частям.)
Не вопрос, давайте посмотрим:
Тогда, подставляя всё в формулу, получим:
Хм… И что нам с таким интегралом делать?! Даже ещё хуже стало, чем было…
Да! При таком выборе u и dv новый интеграл не упрощается, а, наоборот, усложняется! Экспоненте-то всё равно, что с ней делают — дифференцируют/интегрируют. У неё ко всем воздействиям врождённый иммунитет.) В отличие от многочлена, который при таком раскладе не понижает свою степень, а повышает. Что никак не делает пример проще, да…)
Собственно в этом-то и кроется причина выбора именно многочлена в качестве функции u для интегралов первой группы — понизить его степень.
А для общего развития запоминаем:
Если после применения формулы новый интеграл получился сложнее исходного, то, скорее всего, неудачно сделан выбор u и dv. Не падаем духом и пробуем другую комбинацию.
Эта рекомендация относится не только к этому уроку, на примеры из первой группы, а ко всему интегрированию по частям вообще.
Но самое надёжное — не бездумно расчленять подынтегральное выражение и комбинировать кусочки, задумчиво глядя на пример, а понимать общий смысл формулы и принцип выбора u и dv для конкретного типа интеграла. Уметь заранее просчитывать ситуацию и оценивать последствия того или иного выбора. Такой опыт только с практикой приходит. Прорешаете хотя бы 20-30 примеров — и проблема выбора u и dv отпадёт сама собой.)
Ну вот. Первый пример разобран по косточкам. Разумеется, так подробно расписывать следующие примеры я уже не буду. Это чисто для знакомства сделано. Чтобы общую идею уловить.)
А теперь можно записать и общий алгоритм вычисления неопределённых интегралов по частям.
Алгоритм вычисления неопределённых интегралов по частям.
1. Внимательно осматриваем подынтегральную функцию и определяем, к какой группе относится данный интеграл.
2. Разбиваем подынтегральное выражение на две части (u и dv), согласно правилу именно для данной группы.
3. Дифференцируем функцию u и считаем дифференциал du.
4. Интегрируем дифференциал dv и ищем саму функцию v.
5. Подставляем исходные данные (u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям.
6. Срабатываем по формуле, берём новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставляем результат, упрощаем (если надо) и записываем окончательный ответ примера.
Ну что, потренируемся в применении алгоритма?)
Пример 2
И опять под интегралом стоит произведение функций разной природы — икса и косинуса. Значит, разделяем разнородные функции и интегрируем по частям: у нас просто нет других вариантов!
Работаем строго по пунктам.
1. Внимательно осматриваем подынтегральную функцию и определяем, к какой группе относится данный интеграл.
Очевидно, это интеграл из первой группы — типа «многочлен на синус/косинус». Переходим к пункту 2.
2. Разбиваем подынтегральное выражение на две части ( u и dv), согласно правилу именно для данной группы.
Наше правило для первой группы гласит, что за функцию u следует принимать многочлен — то есть, просто множитель x.
Ну, а за dv, ясен перец, принимаем то что осталось, т.е. cos x dx.
Итак, выбор сделан. Переходим к пунктам 3 и 4. Тут всё просто, без фокусов:
3. Дифференцируем функцию u и считаем дифференциал du.
4. Интегрируем дифференциал dv и ищем саму функцию v.
5. Подставляем исходные данные ( u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям.
Итак, все исходные данные для применения формулы подготовлены. Подставляем:
6. Срабатываем по формуле, берём новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставляем результат, упрощаем (если надо) и записываем окончательный ответ примера.
Проверяем ответ дифференцированием:
Мы видим, что новый интеграл опять оказался табличным и берущимся в уме! От синуса. Халява! 🙂 Но далеко не всегда выпадает такое счастье. Иногда при поиске функции v надо дополнительно потрудиться. Поэтому теперь решим что-нибудь посложнее. Чтобы в ступор не впасть, в случае чего…
Пример 3
Чем-то похоже на предыдущий пример, правда? Только синус ещё затесался, в качестве третьего множителя. Поскольку перед нами снова произведение разнородных функций — икса и тригонометрии, то такой интеграл можно попробовать взять только по частям. Но под интегралом произведение трёх функций, а не двух, как обычно! Что делать?
Что-что… Не бояться, вот что! Ибо из трёх множителей всегда можно сделать два. Нас спасут… скобочки! Вот так:
А дальше опять по алгоритму. Поехали!
1. Внимательно осматриваем подынтегральную функцию и определяем, к какой группе относится данный интеграл.
Всё ясно. Это первая группа, т.к. под интегралом произведение многочлена (икса) и тригонометрии (sinx∙cosx).
2. Разбиваем подынтегральное выражение на две части ( u и dv), согласно правилу именно для данной группы.
И здесь вопросов нет. Икс — это u. То, что осталось (т.е. sinx∙cosxdx) — это dv.
Итого имеем следующее:
3. Дифференцируем функцию u и считаем дифференциал du.
4. Интегрируем дифференциал dv и ищем саму функцию v.
А вот здесь начинается самое интересное.) Для поиска v нам надо проинтегрировать выражение sinx∙cosxdx.
Вот тут уже с ходу, в уме, этот интеграл не возьмёшь. В одно действие. Подумать надо.)
Варианта два. Можно внести косинус (или синус) под знак дифференциала и старым добрым способом, но в данном случае гораздо выгоднее искусственно выделить под интегралом синус двойного угла:
А проинтегрировать синус двойного угла уже никакого труда не составляет. В уме интегрируется. Как это делается, смотрим этот урок. Самое главное — не забываем про дополнительные коэффициенты и про знаки.
Всё. Функцию v мы нашли. Идём дальше по алгоритму.
5. Подставляем исходные данные ( u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям.
6. Срабатываем по формуле, берём новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставляем результат, упрощаем (если надо) и записываем окончательный ответ примера.
И снова мы видим, что новый интеграл, от косинуса двойного угла, много проще старого интеграла от сборной солянки x∙sinx∙cosx. Интегрируем косинус двойного угла, «причёсываем» ответ и добиваем наш злой пример.
Пишу подробно, со всеми знаками и коэффициентами, поскольку именно в них народ и косячит на 99%:
Вот и все дела.) Кому не нравятся двойные углы, те могут перейти обратно к одинарным по соответствующим формулам, но в таком виде ответ выглядит гораздо компактнее.
Что, сомнения нахлынули? Не ленимся, дифференцируем:
Всё бы ничего, но… могут случаться и такие сюрпризы, когда по частям приходится интегрировать несколько раз. Разберём ещё один пример.
Пример 4
Надеюсь, общий алгоритм интегрирования по частям уже запомнился? Можно не расписывать подробно в четвёртый раз?)
В этот раз на экспоненту умножается не одинокий икс, а вполне себе полноценный многочлен. Но схема выбора u и dv та же самая.
Действуем в соответствии с алгоритмом:
Отлично. Функции u и v, а также их дифференциалы du и dv найдены. Пора приступать к интегрированию по частям. Снова прямо по формуле вставляем все исходные данные, упрощаем что упрощается и получаем:
А вот и обещанный сюрприз! Что делать с новым интегралом
В таблице такого и близко нет, обычными преобразованиями с подынтегральной функцией тоже ничего не сделаешь… Но! Можно заметить, что под новым интегралом у нас опять произведение многочлена и экспоненты! Поэтому… снова интегрируем по частям (да-да!). Утешает то, что новый многочлен (2х+1) стал уже линейным (а не квадратичным, как был изначально)! Казалось бы, мелочь, но очень существенная: новый интеграл в целом проще старого! Как и должно быть.)
Если мы сейчас отдельно возьмём этот интеграл по частям и упростим до упора, то получим такой результат:
Что, у вас не так получилось? А за знаками следили? А за коэффициентами? Не забываем, что е -2х — сложная функция! Со всеми вытекающими.)
Вот практически и всё. Возвращаемся к исходному примеру, вставляем результат промежуточного интегрирования по частям на своё место и константу не забываем.)
В принципе, интеграл мы уже нашли. Если требуются дальнейшие упрощения и наведение марафета, то, раскрыв скобки и приведя подобные, окончательно получим:
Вот такой ответ. Проверочное обратное дифференцирование предлагаю провести самостоятельно.)
Чем поучителен этот пример? Как видите, здесь нам пришлось интегрировать по частям два раза! Почему? Всему виной является вторая степень нашего многочлена x 2 +x+1. Проблема в том, что после каждого применения формулы (т.е. взятии дифференциала du) степень многочлена понижается лишь на единичку. Как и при любом дифференцировании, да.
Например, если бы под интегралом стоял многочлен 10-й степени (да даже хотя бы простое произведение x 10 e x ), то последовательно интегрировать по частям пришлось бы (о, ужас!) десять раз! Это огорчает. Но зато при каждом новом интегрировании степень многочлена будет становиться всё ниже. Пускай на единичку, но — ниже. Это радует.)
Запоминаем:
Интегрировать по частям требуется столько раз, какова степень многочлена.
Между прочим, в качестве показательной функции совершенно не обязательно должна стоять именно экспонента (e x , е 2х и тому подобные конструкции). Запросто может оказаться вообще не «е», а что-то типа 2 3х и т. п. Не надо пугаться. Принцип интегрирования тот же самый. Отличие состоит лишь в том, что при вычислении функции v будут всплывать дополнительные коэффициенты с логарифмами, которые ни в коем случае нельзя терять.
Итак, с первой группой интегралов, берущихся по частям, поработали. Переходим ко второй группе — логарифмам, аркам и прочим питомцам нашего зоопарка элементарных функций. В следующей теме.)
Метод интегрирования по частям: объяснение, решение примеров
Следующая формула называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле:
Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через u, а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du и интегрированием — функция v. При этом за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv — такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется.
Когда выгодно применять метод интегрирования по частям? Тогда, когда подынтегральная функция содержит:
1) — логарифмические функции, а также обратные тригонометрические функции (с приставкой «arc»), тогда на основании продолжительного опыта интегрирования по частям эти функции обозначаются через u;
2) , , — синус, косинус и экспоненту, умноженные на P(x) — произвольный многочлен от икса, тогда эти функции обозначают через dv, а многочлен — через u;
3) , , , , в этом случае интегрирование по частям применяется дважды.
Поясним ценность метода интегрирования по частям на примере первого случая. Пусть выражение под знаком интеграла содержит логарифмическую функцию (таким будет пример 1). Применением интегрирования по частям такой интеграл сводится вычислению интеграла только алгебраических функций (чаще всего многочлена), то есть не содержащих логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Применяя данную в самом начале урока формулу интегрирования по частям
получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) — функцию, не содержащую логарифма. Интеграл алгебраической функции намного проще интеграла, под знаком которого находятся отдельно или вместе с алгебраическим множителем логарифмическая или обратная тригонометрическая функция.
Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частям интегрирование не выполняется сразу: нахождение данного интеграла сводится к нахождению другого. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:
то её можно записать в виде
который и был приведён в самом начале урока.
При нахождении интегрированием функции v для неё получается бесконечное множество первообразных функций. Чтобы применить формулу интегрирования по частям, можно взять любую из них, а значит, и ту, которая соответствует произвольной постоянной С, равной нулю. Поэтому при нахождении функции v произвольную постоянную С вводить не следует.
Есть у метода интегрирования по частям совершенно особенное применение: с его помощью можно выводить рекуррентные формулы для нахождения первообразных функций, когда требуется понизить степень функций под знаком интеграла. Понижение степени необходимо, когда не существует табличных интегралов для таких, например, функций, как синусы и косинусы в степени более второй и их произведения. Рекуррентная формула — это формула для нахождения очередного члена последовательности через предыдущий член. Для обозначенных случаев цель достигается последовательным понижением степени. Так, если подынтегральная функция — синус в четвёртой степени от икса, то методом интегрирования по частям можно найти формулу для интеграла синуса в третьей степени и так далее. Описанной задаче посвящен последний параграф этого урока.
Применяем интегрирование по частям вместе
Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. В подынтегральном выражении — логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u. Полагаем, что , .
Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) — функцию, не содержащую логарифма, сводящуюся к табличному интегралу (8)):
И снова логарифм.
Пример 2. Найти неопределённый интеграл:
Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим, пользуясь производной 6 в таблице производных сложных функций:
,
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) — функцию, не содержащую логарифма, сводящуюся к табличному интегралу 9).
Находим изначальный интеграл:
Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u. Итак, пусть , .
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Возвращаясь к переменной x, получаем
Находим изначальный интеграл:
Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. Экспоненту лучше обозначить через dv. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:
Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv. Пусть , .
По формуле интегрирования по частям находим:
Применить интегрирование по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Снова применяем интегрирование по частям вместе
Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv. Обозначаем , (производная 7 в таблице производных сложной функции).
По формуле интегрирования по частям получаем:
Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем , .
Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое:
Теперь находим требуемый интеграл:
Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u, а что через dv. Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе «Суть метода интегрирования по частям»: за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv — такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока — решение именно такого интеграла.
Пример 11. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. Примем как руководство к действию общее соображение относительно обозначений. Обозначаем , (табличная производная 8).
По формуле интегрирования по частям получаем:
Интегрирование по частям для вывода рекуррентных формул
Случаев, когда требуется понижения степени подынтегральной функции, мы уже коснулись во вводной части урока. Теперь — практика использования для этой цели метода интегрирования по частям.
Пример 12. Используя интегрирование по частям, вывести рекуррентную формулу для
Решение. Для удобства приведём исходный интеграл к такому выражению, в котором присутствовали бы и синус, и косинус. Используя тригонометрические тождества, получаем
Ко второму слагаемому — интегралу — применяем метод интегрирования по частям. Для этого обозначим
Интегрирование по частям
Математика
Интегральное исчисление — сложная методика определения первичного вида функций (первообразной), обратная дифференцированию. Но, в отличие от дифференциала, найти интеграл сложнее. Если перед вами табличные интегралы, то можно воспользоваться готовыми формулами и решениями. Но так бывает не всегда. Например, для интегрирования сложных функций таблица не подходит. Вернее подходит, но в том случае, когда сложную функцию можно разложить определенным образом на составные части. Это только один из методов, который называется интегрирование по частям.
Часто использование методе приводит к появлению одного, или даже двух табличных функций. Именно для этого и используют метод. Чтобы использовать формулу, необходимо выучить таблицу интегралов, она не слишком объемна и вполне доступна для запоминания. Зачем учить? На экзамене или контрольной не всегда найдется учебник под рукой, или шпаргалка, где можно подсмотреть. В этом случае разложение интеграла по частям может оказаться бесполезным, вы просто остановитесь на полдороге.
Иногда у учеников и студентов возникает вопрос, что обозначает символ dx ? Это наиболее элементарное понятие, которое нужно усвоить. Символ под знаком d показывает, какая из величин в выражении считается переменной для интегрирования. В случае d v интегрирование ведется по переменной v , даже если это функция, если du – то по u.
Интеграл по частям
Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле используется в том случае, когда базовую подынтегральную функцию можно представить, как производную двух функций, u ∙ v . Например, x sin x dx. Это произведение двух функций y=x и y = sin x . Именно на этом примере будем рассматривать, как происходит интегрирование по частям. Но сначала выведем формулу, которая используется для этого действия.
Для того чтобы понять суть выражения, необходимо вспомнить базовые правила интегрирования. Вспомним, что дифференциал произведения функций определяется по стандартной формуле:
1. d(uv) = udv + vdu.
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:
2. d ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx.
Также припомним табличные интегралы для функций нашего примера:
Допустим, что произведение uv — это дифференциал некой первообразной функции, которую нам предстоит найти. Воспользуемся выражениями 1 и 2 и проинтегрируем произведение наших функций:
uv = ∫ udv + ∫vdu, или, поменяв слагаемые местами, или:∫ udv = uv — ∫vdu.
3. ∫ udv = uv — ∫vdu.
Это и есть основная формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Как решать интегралы примеры решения
Интегрирование — процесс творческий и не всегда строго регламентированный. В каждом сложном случае нужно искать свои пути решения. Но базовая формула всегда одна и та же. Рассмотрим, как проинтегрировать нашу функцию, которая приведена выше. Попробуем найти интеграл ∫ x sin x dx.
Распишем выражение, согласно формуле 3:
- ∫ x sin x dx = — x cos x + ∫ cos x dx. Примем, что х, это u, а — cos x — это v.
Внимательно посмотрев на запись, увидим, что выражение 3 полностью соответствует нашей записи под номером 4.
Но это только половина дела. Дальше интегрируем каждую часть выражения отдельно. Получаем:
— x cos x = — x cos x;
∫ cos x dx = sin x +С.
Результат запишем так — ∫ x sin x dx = -x cos x + sin x + C.
Просто? Если понять суть метода, правильно расписать сложную функцию в виде произведения более простых и уметь пользоваться таблицей интегралов, то задания на неопределенный интеграл не покажутся особенно сложными.
Таблица неопределённых интегралов.
В каждом случае интегрирования по частям придется пользоваться данными этой таблицы. Лучше всего выучить ее и запомнить. Это сильно упростит работу по интегрированию.
Рассмотрим еще пример, более сложный, в котором интегрировать по частям нужно дважды:
Найти ∫x 2 cosxdx
Представим: u=x 2 , dv=cosxdx, v=sinx, du=2xdx. Правильность хода решения во многом зависит от правильного выбора u и v.
Воспользуемся нашим выбором и запишем:
∫x 2 cosxdx = x 2 sinx−∫sinx⋅ 2 xdx = x 2 sinx−2∫xsinxdx
Как видим, выражение не сильно упростились, одно из слагаемых все еще является интегралом произведения функций. Изменим обозначения:
u=x, du=dx, v=−cosx, dv=sinxdx
после подстановок и преобразований получим:
x 2 sinx−2(x⋅(−cos)x−∫(−cosx)dx) = x 2 sinx+2xcosx−2∫cosxdx = x 2 sinx+2xcosx−2sinx+C = (x 2 −1)sinx+2xcosx+C. Это и есть решение нашей задачи, то есть, первообразная функции x 2 cosx.
Метод довольно сложный для использования, но много задач не получится решить по- другому. Чтобы освоить его необходимо много практиковаться. Для начала берите самые простые примеры, постепенно усложняя задания. Так получится и освоить интегрирование по частям, и выучить таблицу более простых неопределенных интегралов.
Химический состав клетки
Как решать экономические задачи — алгоритм решения экономических задач егэ по математике профильный уровень