Докажите что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6

Доказать, что разница между кубом любого числа и самим числом делится на 6​

После преобразования исходного выражения мы получили произведение трех последовательных натуральных чисел.

Любое из трех последовательных натуральных чисел кратно 3, то есть делится на 3.
Посудите сами:
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
.
111, 112, 113 и т.д.

Среди трех последовательных натуральных чисел, по меньшей мере одно четное, то есть делится на 2.
Посудите сами:
5, 6, 7
или
92, 93, 94

Следовательно, разность между кубом любого числа и самим числом кратна 3, то есть делится на 6.

Давайте докажем данное утверждение для произвольного целого числа n.

Утверждение: Разница между кубом любого числа n и самим числом n делится на 6, то есть (n^3 — n) делится на 6.

Для начала, давайте представим n^3 — n как произведение (n-1), n и (n+1):

n^3 — n = n(n^2 — 1) = n(n — 1)(n + 1)

Теперь заметим, что три последовательных целых числа n-1, n и n+1 обязательно будут кратными разным числам. Например, одно из этих чисел будет кратно 2 (так как оно четное), и другое — кратно 3 (так как оно делится на 3, но не делится на 2). Таким образом, произведение трех последовательных целых чисел всегда будет кратно 2 и 3, а значит, будет кратно их произведению:

n(n — 1)(n + 1) кратно (2 * 3) = 6

Следовательно, (n^3 — n) делится на 6. Таким образом, доказано, что разница между кубом любого числа и самим числом делится на 6.

Докажите, что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6.

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,441
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Докажите что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6

Докажите что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6

Вопрос по алгебре:

Докажите, что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

• 24.07.2018 11:45
• Алгебра
• remove_red_eye 3118
• thumb_up 16

Ответы и объяснения 1

N^3 — n = n*(n^2 — 1) = n*(n-1)*(n+1) —это произведение трех последовательных натуральных чисел)))
(n-1) * n * (n+1)
среди трех последовательных натуральных чисел обязательно присутствует хотя бы одно четное число (т.е. это произведение обязательно кратно двум)))
и обязательно присутствует хотя бы одно число, кратное трем)))
очевидно, что произведение кратно 2*3
или доказать методом математической индукции.

• 25.07.2018 05:28
• thumb_up 20

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Докажите, что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6?

Докажите, что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6.

N ^ 3 — n = n * (n ^ 2 — 1) = n * (n — 1) * (n + 1) — — это произведение трех последовательных натуральных чисел)))

среди трех последовательных натуральных чисел обязательно присутствует хотябы одно четное число (т.

Е. это произведение обязательно кратно двум)))

и обязательно присутствует хотя бы одно число, кратное трем)))

очевидно, что произведение кратно 2 * 3

или доказать методом математической индукции.

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919?

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919.

Доказать что разность между квадратом натурального числа и самим числом делится на 2?

Доказать что разность между квадратом натурального числа и самим числом делится на 2.

Найдите два натуральных числа, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360?

Найдите два натуральных числа, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360.

Разность кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел равна 866?

Разность кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел равна 866.

Найдите эти числа.

«натуральное число при делении на 5 даёт в остатке 4?

«натуральное число при делении на 5 даёт в остатке 4.

Докажите что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5″.

Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603?

Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603.

Найдите эти числа если их разность равна 7.

Доказать что разность между квадратом натурального числа и самим числом делится на 2?

Доказать что разность между квадратом натурального числа и самим числом делится на 2.

Разность квадратов двух натуральных чисел равна 64, а разность самих чисел равна 2?

Разность квадратов двух натуральных чисел равна 64, а разность самих чисел равна 2.

Найдите эти числа.

Докажите утверждение : Разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов?

Докажите утверждение : Разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

Докажите, что при любом n — натуральное число значение выражения : n ^ 2 — 5n + 2 кратно 2?

Докажите, что при любом n — натуральное число значение выражения : n ^ 2 — 5n + 2 кратно 2.

Вы перешли к вопросу Докажите, что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6?. Он относится к категории Алгебра, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Алгебра. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Докажите что разность между кубом натурального числа

Докажите что разность между кубом натурального числа

Докажите, что разность между кубом натурального числа и самим числом кратна 6

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

N^3 — n = n*(n^2 — 1) = n*(n-1)*(n+1) —это произведение трех последовательных натуральных чисел)))
(n-1) * n * (n+1)
среди трех последовательных натуральных чисел обязательно присутствует хотя бы одно четное число (т.е. это произведение обязательно кратно двум)))
и обязательно присутствует хотя бы одно число, кратное трем)))
очевидно, что произведение кратно 2*3
или доказать методом математической индукции.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Глава X. Ещё о делимости; «большая» теорема, которую зовут «малой»

Разбирая на стр. 87 задачу о пифагоровых треугольниках, мы были вынуждены использовать предложения, подобные следующему: «сумма или разность двух чётных или двух нечётных чисел представляют собой числа чётные». Эти предложения, несомненно, относятся к учению о делимости; но в отличие от признаков делимости, разобранных в предыдущей главе и существенно связанных с выбором системы счисления, здесь выбор системы счисления не играет никакой роли.

Число и наука о нем

В качестве первого примера рассмотрим разность между квадратом нечётного числа и единицей, т. е. выражение m 2 — 1, где m — число нечётное. Нетрудно убедиться, что при любом (нечётном) m эта разность должна разделиться на 8. Действительно, она разлагается на множители:

Раз m — число нечётное, значит оба множителя в правой части будут чётными, причём, очевидно, соседними чётными числами, потому что разность между ними равна m + 1 — (m — 1) = 2. Но из двух соседних чётных чисел одно обязательно делится на 4 * . Значит, один из множителей делится на 4, да ещё второй введёт двойку. Всё произведение будет делиться на 2*4=8.

* ( Действительно, если одно из них, будучи чётным, не делится на 4, то при делении на 4 оно может давать в остатке только 2, т. е. иметь вид 4n + 2. Но чётными соседями этого числа будут числа (4n + 2) ± 2, т. е. 4n и 4n+4; оба они кратны четырём.)

Можно рассуждать и иначе: раз m по условию нечётное число, значит, его можно записать в виде 2k + 1, где k — произвольное число (натуральное или нуль). Получим:

Из двух соседних чисел k и k +1 одно обязательно чётное. Значит, в состав нашего выражения, кроме коэффициента 4, войдёт ещё множитель, равный двум, т. е. в составе его будет множитель, равный 4*2 = 8, что мы и хотели доказать.

Давая в выражении m 2 — 1 числу m различные натуральные значения, получим следующие числа, кратные восьми:

Пусть читатель сам докажет, что при m чётном разность m 2 — 1 делится на 3.

В качестве второго примера рассмотрим разность между кубом любого числа и самим числом. Эта разность, как нетрудно показать, делится на 6. Действительно, возьмём произвольное число m. Разность между кубом и самим числом равна m 3 — m. Разлагая на множители, получим:

Иными словами, разность между кубом натурального числа и самим числом всегда представляет собой произведение трёх стоящих подряд натуральных чисел. Из трёх же стоящих подряд натуральных чисел по крайней мере одно — чётное (делится на 2) и одно делится на 3 * .

* ( Действительно, рассмотрим три числа, стоящие подряд: k, k+1, k+2. Первое имеет вид либо k = 3n, либо k = 3n+1, либо k = 3n+2, потому что при делении на 3 возможны только такие остатки: 0, 1, 2. Если k = 3n, то вопрос ясен. Если k = 3n+1, кто k + 2 = 3n + 3 делится на 3. Если, наконец, k = 3n+2, то k + 1 = 3n + 3 тоже делится на 3. Во всех возможных случаях одно из трёх стоящих подряд чисел оказывается кратным числа 3.)

Следовательно, разность между кубом натурального числа и самим числом делится на 2*3 = 6, что мы и хотели доказать.

В качестве третьего примера рассмотрим задачу, обошедшую все школьные олимпиады и конкурсы: «доказать, что выражение m 5 — 5m 3 + 4m при любом натуральном m делится на 120». Для m = 1 и m = 2 это очевидно, потому что при m = 1 или 2 наш трёхчлен равняется нулю, а нуль принято считать кратным любого числа, стало быть, и ста двадцати; поэтому будем считать, что m>2.

Сделаем следующие очевидные преобразования:

При любом m наш трёхчлен разлагается на пять множителей, представляющих собой (при m, большем двух) пять последовательных натуральных чисел. В последовательности пяти натуральных чисел найдётся по меньшей мере два соседних чётных; значит, трёхчлен будет делиться на 8. Далее, в последовательности пяти чисел имеется по крайней мере одно, делящееся на 3 (уже три первых множителя, как мы видели, обеспечивают делимость на 3). Наконец, соображениями, совершенно аналогичными тем, которые сделаны в примечании к предыдущему примеру, убеждаемся, что произведение пяти стоящих подряд натуральных чисел должно делиться на 5. Итак, наш трёхчлен делится на взаимно-простые числа 8, 3 и 5; он разделится и на их произведение, т. е. на 120. Вот несколько различных значений m и соответствующих значений трёхчлена:

Разобранные примеры, несмотря на некоторую искусственность, очень поучительны. Они подводят нас к двум любопытным теоремам. Прежде всего, мы видим, что разность m 3 — m делится на 3. Так же можно доказать, что m 5 — m делится на 5, хотя доказательство несколько громоздко. Непосредственно очевидно, что m 2 — m делится на 2. Напротив, m 4 — m может при некоторых m и не делиться на 4: именно, при m = 2 мы получим m 4 — m = 16 — 2 = 14, т. е. число, на 4 не делящееся. Возникает вопрос: при каких же именно значениях а разность m а — m делится на показатель а при любом m, а при каких — нет. Эту задачу решил уже знакомый нам Ферма. Ей будет посвящен конец настоящей главы.

Вторая теорема, к которой подводят наши примеры, состоит в следующем. Мы видели, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится не только на 3 (это понятно), но и на 6, т. е. на произведение 1-2-3. Точно так же произведение пяти последовательных натуральных чисел делится не только на 5, но и на 120, т. е. на произведение 1*2*3*4*5. Читатель без всякого труда докажет, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел делится на 1*2*3*4 = 24. Оказывается, имеет место следующая общая теорема:

Произведение m последовательных натуральных чисел

делится без остатка на произведение m первых последовательных натуральных чисел, т. е. на

Элементарное арифметическое доказательство этой теоремы довольно громоздко; поэтому говорить о нём мы не будем. Для читателей, знакомых с теорией соединений и биномом Ньютона, заметим, что частное сочетаний из (k + m -1) элементов по m или же коэффициенту при (m + 1)-ом члене разложения бинома (а + b) k+m-l . Следовательно, это частное должно быть целым числом, т. е. k(k+1). (k+m-1) должно делиться без остатка на 1*2*3. (m — 1)m.

В разобранных выше примерах разыскивались конкретные делители некоторых выражений при каком угодно (целом) значении величины n, входящей в эти выражения Часто вопрос ставится иначе: даётся некоторое выражение и требуется выяснить, может ли оно вообще при произвольном n иметь делители (отличные, разумеется от него самого и от единицы) или же всегда является числом простым. Такого рода выражения изучались в надежде найти признаки, позволяющие по виду числа по его строению решить вопрос: простое оно или нет. Примером подобного исследования может служить совсем простая теорема, найденная француженкой Софи Жермен:

«Всякое число вида n 4 + 4, где n>1, является составным».

Докажем эту теорему. Имеем:

При целом n оба множителя -целые числа. При n>1 ни один из них не равен 1 и, следовательно, n 4 + 4 является числом составным. При n=1 мы имеем исключительный случай: n 4 + 4= 1 4 + 4 = 5 — число простое.

Простые числа занимают математиков буквально тысячелетия. Древние греки интересовались ими две с половиной тысячи лет тому назад. Многие пытались найти признаки, позволяющие по строению числа установить — простое оно или составное. Достичь некоторого успеха на этом пути удалось впервые Ферма. В 1640 г. ему удалось доказать теорему, которая так поразила и обрадовала его, что он написал по поводу её открытия (в письме к Френиклю): «Меня озарило ярким светом».

В чём же состоит эта теорема Ферма?

Мы уже видели, что при любом m двучлен m 3 — m делится на 3, двучлен m 5 — m делится на 5. Ферма показал, что при любом простом р двучлен m р — m делится на р, каково бы ни было число m. Этот скромный с виду результат привёл к важным обобщениям и породил довольно значительную литературу; его считают одной из основных теорем теории чисел. И всё же эту теорему называют «малой», в отличие, от «Великой теоремы Ферма», о которой было рассказано в конце главы VII.

Сам Ферма формулировал свою теорему не совсем так, как это было сделано выше. Выражение m р — m можно преобразовать, взяв m за скобку; получится m(m p-1 — 1). Если m кратно р, то теорема очевидна. Важен и интересен только тот случай, когда m не делится на р, Но в таком случае тир взаимно-просты, потому что только те числа могут иметь общие множители с простым числом р, которые ему кратны. В случае взаимно-простых тир должна делиться на р разность m p-1 — 1. Так и была сформулирована теорема самим ферма: «Если р просто, а m не делится на р, то m p-1 — 1 делится на р».

Эту же мысль можно выразить на языке сравнений. Раз m p-1 — 1 делится на р, значит, m p-1 и 1 сравнимы по модулю р, что, как мы знаем, записывается так:

В этой форме теорема Ферма даётся в современных курсах теории чисел.

Разберём несколько примеров. Положим m = 2; тогда в качестве р можно будет взять любое простое нечётное число, т. е. любое простое, за исключением самого числа 2. В следующей таблице даны значения р, 2 р-1 , 2 p-1 — 1 и показано, что 2 р-1 -1 всегда содержит множителем р.

Если р не является простым числом (например, р = 15 = 3*5), то число 2 p-1 — 1 не будет обязательно обладать этим свойством. Действительно, 2 13-1 — 1 = 2 14 — 1 = 16 384 — 1 = 16 383 не делится на 15. Точно так же n не должно Делиться на р. Если при п=2 мы возьмём в качестве р тоже 2, то у нас ничего не выйдет: 2 2-1 — 1 = 1 Не делится на 2.

Мы видим, что n не обязано быть простым (например, в третьем столбце n = 10 = 2*5).. Но оно не должно делиться на р. Поэтому при n=3 не рассматривается значение р=3, при n = 5 — значение р = 5, при n = 10 — значения р=2 и р=5. Читатель сам убедится путём подсчёта, что в этих случаях утверждение теоремы не выполняется.

Переходим к доказательству теоремы Ферма. Начнём с того, что рассмотрим полную систему наименьших положительных вычетов числа р, т. е. все остатки, которые могут получиться при делении различных чисел на р (кроме остатка, равного нулю). Вот эти вычеты:

Помножим каждый из них на число m, не делящееся на р. Получим

Все эти числа различны, ни одно из них не равно нулю. Но этого мало: все они дают при делении на р разные остатки. Действительно, если am и bm, где а и b — различные числа из ряда (1), т. е. меньшие р, дают при делении на р одинаковые остатки, то разность am — bm = m(а — b) должна делиться на р. Число m взаимно-просто с р. Следовательно, а — b должно делиться на р. А это невозможно, потому что разность а — b не равна нулю заведомо меньше р (и а и b — положительные числа, меньшие р). Полученное противоречие показывает, что исходное предположение о возможности одинаковых остатков при делении чисел ряда (2) на р — неверно. Следовательно, все эти остатки различны, и так как их ровно р- 1, то они равны числам ряда (1), т. е. 1, 2, 3, . р-1, только взятым в каком-то другом порядке. Но это значит, что каждое число ряда (2) сравнимо по модулю р (равноостаточно) с одним, и только одним, из чисел ряда (1). Обозначим число из ряда (2), сравнимое с 1, через k₁, число, сравнимое с 2, — через k₂ и т. д., число, сравнимое с р-1, — через k_p-1. Получим следующий ряд сравнений:

Перемножим теперь все эти сравнения, что, как мы знаем, делать можно. Получим:

Переходим к центральному пункту доказательства. Числа k₁, k₂. , k_p-1 представляют собой все числа ряда (2), только взятые в другом порядке. Произведение их не зависит от порядка множителей; поэтому

Заменяя произведение в левой части сравнения (*) равной ему величиной, получим:

Все члены произведения 1*2*. *(p-1) меньше первоначального числа р, а потому взаимно-просты с ним. Значит, сравнение можно на них сократить.

что и требовалось доказать.

Это доказательство можно изложить, не используя понятия сравнения, что и было сделано самим Ферма, жившим без малого за 200 лет до Гаусса — изобретателя теории сравнений. Такое доказательство очень громоздко. Существует любопытное доказательство теоремы Ферма, связанное с превращением простой дроби в периодическую десятичную. Но оно, во-первых, длинно, а, во-вторых, не совсем подходит к теме этой книжки, посвященной целым числам * .

* ( Изложено оно в книге Радемахера и Теплица «Числа и фигуры», которая вообще очень интересна.)

Для читателей, знакомых с биномом Ньютона, можно привести ещё одно доказательство теоремы Ферми.

Напишем по формуле Ньютона разложение двучлена (m+1) р , где m — целое, а р — простое число:

Все коэффициенты бинома Ньютона, т. е. числа вида — числа целые. Мало того, все они, кроме первого и последнего, делятся на р. Действительно, мы уже знаем, что в дроби числа, стоящие в знаменателе, должны полностью сократиться с множителями числителя. Но р взаимно-просто со всеми числами 1, 2, 3, . k. Значит, числа эти должны полностью сократиться с множителями произведения (p-1) (р — 2), . (р-k+1), а множитель р останется нетронутым. Итак,

Это равенство показывает нам следующее. Если при каком-нибудь значении m двучлен m p — m делится на р, то на р обязательно разделится и (m+1) р -(m+1), т. е. такой же двучлен, но с основанием, на единицу большим (потому что из делимости вычитаемого и разности на некоторое число следует делимость на это число и уменьшаемого). Если m = 1, то m р — m = 1 — 1 = 0 наверное делится на p (нуль делится без остатка на любое число). Значит, и (m+1) р — (m+1), т. е. 2 p -2, будет делиться на р, а отсюда, в свою очередь, будет следовать, что 3 p — 3 делится на р и т. д. до произвольного значения m * . Следовательно, m р -m при любом m и простом р делится на р («малая» теорема Ферма).

* ( Напомним, что подобное рассуждение называется полной к математической индукцией.)

Эта теорема была открыта Ферма в связи со следующей задачей: он искал такие выражения, содержащие букву n, которые были бы простыми числами. В связи с этим Ферма формулировал любопытную «теорему», которая оказалась неверной (см. стр. 92). Вот эта «теорема». Ферми рассматривал числа вида 2 2 n + 1, где n — произвольное целое число. Вот какие числа он получил, полагая n равным 0, 1, 2, 3, 4:

Все числа в нижней строке этой таблички (3, 5, 17, 257, 65 537) — числа простые. Ферма утверждал, что и при больших значениях n получатся простые числа. При n = 5 Ферма получил число 4294 967 297, которое он, Ферма, не сумел разложить на множители и думал, что оно тоже простое. Однако Эйлер, о котором речь будет дальше, убедился, что 4 294 967 297 делится на 641, т. е. не является простым числом. Таким образом, в Эйлер показал, что Ферма ошибся * .

* ( Легко разделить 4 294 967 297 на 641, когда заранее знаешь, что делить нужно именно на 641. Но делить десятизначное число на все простые числа подряд (а простых чисел уже в пределах первой сотни — двадцать пять штук), не имея при этом ни достаточно больших таблиц простых чисел, ни иных вспомогательных средств,- очень трудная работа.)

Это неверное предложение очень поучительно. Своеобразное «чутьё» подсказывает талантливым математикам, в каком направлении вести исследование. Мы увидим в следующей главе, что числа Ферма, т. е. простые числа вида 2 2 n + 1, оказались весьма замечательными, и изучение их привело впоследствии к крупным открытиям. Далее математик работает подобно любому учёному-естественнику: он делает предположения (гипотезы), проверяет их путём наблюдения и своеобразного математического опыта, ищет аналогии и т. п. Но, получив результат путём догадки или опыта, математик обязан строго доказать его. В противном случае всегда остаётся опасение, что высказанное утверждение может оказаться ошибочным.