Докажите что n3 n делится на 24 при любом нечетном n

Докажите что n3 n делится на 24 при любом нечетном n

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.

Подсказка

Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.

Решение

n³ – n = (n – 1)n(n + 1). Из трёх последовательных чисел одно делится на 3. n – 1 и n + 1 – последовательные чётные числа. Поэтому одно из них не только чётно, но и делится на 4. Значит, всё произведение делится на 2·4·3 = 24.

Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n ^ 3 — n делится на 24?

Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n ^ 3 — n делится на 24.

N³ — n = n(n² — 1) = n(n — 1)n + 1) = (n — 1)·n·(n + 1)

n — нечетное число по условию, ⇒(n — 1) и (n + 1) — числа четные.

допустим, что число (n — 1) делится на 2, тогда число (n + 1) должно делиться на4 или наоборот.

Значит произведение (n — 1)(n + 1) делится8.

Рассмотрим любых три числа, которые последовательно возрастают на единицу.

, как в нашем случае.

Среди этих чисел обязательно найдется число, которое делится на три.

Мы получили, что наша последовательность чисел делится на 8 и на 3, а значит на 24.

Докажите , что сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 2?

Докажите , что сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 2.

Докажите что сумма пяти последовательных нечетных чисел делится на 5?

Докажите что сумма пяти последовательных нечетных чисел делится на 5.

Докажите, что при любом значении x многочлен 5х ^ 2 + 4х + 3 — 2х ^ 2 — х делится на 3?

Докажите, что при любом значении x многочлен 5х ^ 2 + 4х + 3 — 2х ^ 2 — х делится на 3.

Докажите что многочлен x² + 2x + y² — 4y + 6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения?

Докажите что многочлен x² + 2x + y² — 4y + 6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.

Докажите, что при любом целом x значение выражения x³ + 41x делится на 6?

Докажите, что при любом целом x значение выражения x³ + 41x делится на 6.

Докажите, что при любом значении х многочлен + 6х + 10 принимет положительные значения?

Докажите, что при любом значении х многочлен + 6х + 10 принимет положительные значения.

Докажите, что при любых значениях переменных многочлен х2 — 4х + у2 + 6у + 13 принимает неотрицательные значения?

Докажите, что при любых значениях переменных многочлен х2 — 4х + у2 + 6у + 13 принимает неотрицательные значения.

Докажите, что при любом натуральном n многочлен xn – an делится на x – a?

Докажите, что при любом натуральном n многочлен xn – an делится на x – a.

Докажите, что многочлен х ^ 2 — 2х + у ^ 2 — 4у + 6 при любых значениях, входящих в него переменных принимает положительные значения?

Докажите, что многочлен х ^ 2 — 2х + у ^ 2 — 4у + 6 при любых значениях, входящих в него переменных принимает положительные значения.

Докажите, что значение выражения (n + 2)² — n² при нечетных n делится на 8?

Докажите, что значение выражения (n + 2)² — n² при нечетных n делится на 8.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n ^ 3 — n делится на 24?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Докажите что n3 n делится на 24 при любом нечетном n

Докажите что n3 n делится на 24 при любом нечетном n

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.

Подсказка

Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.

Решение

n³ – n = (n – 1)n(n + 1). Из трёх последовательных чисел одно делится на 3. n – 1 и n + 1 – последовательные чётные числа. Поэтому одно из них не только чётно, но и делится на 4. Значит, всё произведение делится на 2·4·3 = 24.

Докажите, что число n^3-n делится на 24 если n нечётный

Докажем, что нечетное число в квадрате всегда дает остаток 1 при делении на 8 (поэтому, если отнять 1, то получится число, делящееся на 8):

Данное число (если отнять 1) делится на 4 по разложению и еще на 2, так как n²+n по-любому четное (нечет. + нечет. = чет.). И: 4*2=8.

То есть, второй множитель, и, тогда, само число делится на 8. И нужно доказать, что оно еще должно делиться на 3.

1. Если n кратно трем, то задача решена: один множитель кратен 3, и, тогда, само произведение.

2. n не делится на 3. Докажем, что квадрат числа (если оно не делится на 3 и имеет остатки либо 1, либо 2) всегда дает остаток 1 при делении на 3 (и если от него отнять 1, то получится число, делящееся на 3):

Итого: если число делится и на 3, и на 8, то оно делится на 3*8=24, что и требовалось доказать!

Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n^3 — n делится на 24.

Мы получили, что данное выражение при любом n есть произведение трёх последовательных натуральных чисел. Одно из них будет обязательно делиться на 3, а значит и все выражение будет делиться на 3.

Если n — нечетное число, то его можно представить в виде:

n = 2 * k + 1, k — натуральное число.

Подставим это представление в разложение исходного выражения:

(n — 1) * n * (n + 1) = 2 * k * (2 * k + 1) * (2 * k + 2) =

= (2 * k + 1) * 4 * k * (k + 1).

Так как k и (k + 1) два последовательных натуральных числа, то одно из них обязательно делится на 2. Следовательно, все выражение будет делится на 4 * 2 = 8.

Мы доказали делимость выражения на 3 и на 8, а значит и делимость на 3 * 8 = 24.

Докажите что n3 n делится на 24 при любом нечетном n

Ответ:

По условию n-нечетное число, то есть n=2•m+1, m=0, 1, 2, …. Тогда

(n–1)= 2•m и (n+1)= 2•m+2=2•(m+1) чётные числа.

Пусть (n–1) делится на 4. Так как (n+1) делится на 2 как чётное число, то их произведение (n–1)•(n+1) делится 8 (=4•2).

Пусть (n–1) не делится на 4, то из представления (n–1)=2•m заключаем, что (n–1) делится на 2 и m нечётное число. Тогда из представления (n+1)=2•(m+1) имеем, что (m+1) чётное число, а следовательно (n+1)=2•(m+1) делится на 4.

Значит произведение (n–1)•(n+1) делится 8.

Как известно, при делении натурального числа на 3 получаем остаток 0, 1 или 2. В произведении (n–1)•n•(n+1) участвуют три последовательные числа, то есть возрастают на единицу. Поэтому, при делении этого произведения получим один из наборов остатка: 0, 1, 2 или 1, 2, 0 или 2, 0, 1. Отсюда следует, что при делении на 3 остаток от деления одного из множителей равен 0, которое означает, что этот множитель делится на 3.

Итак, мы доказали, что n³–n делится на 8 и 3. Так как (наибольший общий делитель) НОД(8; 3)=1, то n³–n делится на 24 (=8•3).