Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
где А — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).
Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.
Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.
Теорема1: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Теорема2: Матрица где А — алгебраическое дополнение элемента невырожденной матрицы А, является обратной для матрицы А.
Алгоритм нахождения обратной матрицы.
Найти определитель матрицы А.
Найти алгебраические дополнения А всех элементов матрицы А и составить матрицу А , элементами которой являются алгебраические дополнения А .
Найти матрицу, транспонированную полученной матрице А , и умножить её на — это и будет = .
Свойства обратной матрицы.
Пример 6: Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку.
Определитель , следовательно матрица А невырожденная и обратная для неё матрица существует.
Проверка:
Ранг матрицы.
Вычисление ранга по определению.
Пусть дана матрица А размера
В матрице А размера вычёркиванием каких – либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы к-го порядка, где Определители таких подматриц называются минорами к-го порядка матрицы А.
Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается: rang A, или r(A).
Из определения следует:
ранг матрицы не превосходит меньшего из её размеров, т.е.
r(A)=0тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А нулевая матрица;
для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
Пример 7 :Вычислить ранг матрицы
Матрица А имеет четвёртый порядок, поэтому . Однако , так как матрица А содержит нулевой столбец, поэтому .Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвёртый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом Поскольку матрица А содержит не нулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то .
Пример 8: Вычислить ранг матрицы
Проверим равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычёркивании одного из столбцов матрицы):
Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, Так как существует не нулевой минор второго порядка, например,
В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоёмко. Для облегчения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначается А
Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Невырожденная матрица
Научные статьи на тему «Невырожденная матрица»
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
Определение 1 Обратной матрицей матрицы $A$ называют такую матрицу $A^<-1>$, при умножении которой.
на исходную матрицу в качестве результата получается единичная диагональная матрица $E$, то есть матрица.
$A \cdot A^ <-1>= E$ Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.
Свойства обратных квадратных невырожденных матриц Определитель матрицы $A$ равен обратному значению.
матрице: $(A^T)^ <-1>= (A^<-1>)^T$; Единичная обратная матрица равна единичной матрице: $E = E^<-1>$
Об условиях невырожденности интервальных матриц
Получены новые достаточные условия невырожденности интервальных матриц, задаваемых центральной матрицей и матрицей радиуса. Также получены необходимые и достаточные условия невырожденности интервальных матриц специального вида, задаваемых произведением скалярного коэффициента на матрицу, состоящую из единиц. Интервальные матрицы указанного специального вида исследуются в работе более детально. Для них выведены достаточные условия проверки невырожденности за полиномиальное время, построены соответствующие примеры. На модельных интервальных матрицах (невырожденной и вырожденной) проведено исследование ряда известных достаточных условий вырожденности и невырожденности, показавшее, что для всех критериев кроме одного модельные интервальные матрицы указанного специального вида оказались "плохим" случаем. Показано, что критерий достаточных условий невырожденности, оказавшийся исключением, представляет для интервальных матриц указанного специального вида также необходимым и достато.
Высшая математика 1 курс
Над матрицами выполняются следующие виды действий: сложение матриц одинакового размера; умножение матрицы.
Обратная матрица Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и.
союзная матрица.
Ранг матрицы Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее.
Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так: $a_k=
Невырожденность матриц и свойство диагонального преобладания
Диагональное преобладание в матрице является простым условием, обеспечивающим ее невырожденность. Свойства матриц, которые обобщают понятие диагонального преобладания, всегда очень востребованы. Они рассматриваются как условия типа диагонального преобладания и помогают определять подклассы матриц (типа H -матриц), которые при этих условиях остаются невырожденными. В данной работе строятся новые классы невырожденных матриц, которые сохраняют преимущества диагонального преобладания, но остаются вне класса H -матриц. Эти свойства особенно удобны, поскольку многие приложения приводят к матрицам из этого класса, и теория невырожденности матриц, которые не являются Н -матрицами, теперь может быть расширена.
Невырожденная и вырожденная матрицы
Квадратная матрица 
называется невырожденной, если её определитель не равен нулю (
) и вырожденной, если 
.
![\[D=\left( \begin{matrix} -2 & 6 \\ 1 & -3 \\ \end{matrix} \right), \text{ } B=\left( \begin{matrix} -3 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f57f28e35e4d2b969d0c007b2cba0c3_l3.png)
![\[D=\left| \begin{matrix} -2 & 6 \\ 1 & -3 \\ \end{matrix} \right|=\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)-1\cdot 6=0\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b03c1318d4ef94b46b62560edfca59a1_l3.png)
Определитель матрицы 
равен нулю, следовательно, она вырожденная.
![\[B=\left| \begin{matrix} -3 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3+0+0-4-0-0=-1\ne 0\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c63c3fd0802ea21925a00fd0052a048_l3.png)
Так как 
, то матрица 
– невырожденная.
Невырожденные матрицы
Пусть 
— квадратная матрица 
-го порядка
Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель 
не равен нулю: 
. В противном случае (
) матрица называется вырожденной.
Матрицей, союзной к матрице , называется матрица
где 
— алгебраическое дополнение элемента 
данной матрицы 
(оно определятся так же, как и алгебраическое дополнение элемента , определителя).
Матрица 
называется обратной матрице , если выполняется условие
где 
— единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .
Обратная матрица
Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
, причем 
.
Составим союзную матрицу
и найдем произведение матриц и 
:
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).
Аналогично убеждаемся, что
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
т. е. 
Отметим свойства обратной матрицы:
Пример №3.1.
Найти если 
.
Решение:
1) Находим 
: 
.
2) Находим : 
поэтому 
.
3) Находим : 
.
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу размера 
.
Выделим в ней 
строк и столбцов 
. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель 
-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить 
штук, где 
— число сочетаний из элементов по .)
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается 
или 
.
Очевидно, что 
, где 
— меньшее из чисел 
и 
.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример №3.4.
Найти ранг матрицы:
Решение:
Вес миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля 
. Значит, 
. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.
Отметим свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института