Что из этого меньше всего похоже на остальное треугольник эллипс круг куб

Примеры решения задач

Задание	Доказать, что в равнобокой трапеции диагонали равны.
Доказательство	В равнобокой трапеции рассмотрим треугольники и (рис. 1). Так как – общая сторона, то треугольники и равны по первому признаку, а значит, равны все их элементы, т. е. .

Что и требовалось доказать.

Так как выполняется равенство отношений, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны, а также – общий угол. Следовательно, треугольники и – подобны (по второму признаку подобия). Найдем сторону :

Синие фигуры с русскими названиями

Треугольник

Треугольник это геометрическая фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, попарно их соединяющих.

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Сумма углов любого треугольника равна.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

Каноническое уравнение эллипсa.

Ru. solverbook. com

Основные геометрические фигуры

Каждый из нас — и взрослый, и ребенок — замечал, как много геометрических фигур существует вокруг нас. Мы встречаемся с ними везде, во всех окружающих нас предметах. Где же встречаются геометрические фигуры в нашей жизни?

Где встречаются геометрические фигуры в нашей жизни?

Каждый из нас — и взрослый, и ребенок — замечал, как много геометрических фигур существует вокруг нас. Мы встречаемся с ними везде, во всех окружающих нас предметах.

Люди давно заинтересовались разнообразием геометрических фигур. Ещё для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. Овладевая миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами. Сначала они изготавливали орудия труда относительно правильной формы, потом научились их совершенствовать. Специальных названий для геометрических фигур тогда, конечно, не было. Их придумали значительно позже. Когда люди стали строить дома, им пришлось ещё глубже разбираться в особенностях разных фигур, чтобы понять, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть брёвна или каменные глыбы. Сам того не зная, человек всё время занимался изучением фигур: женщины, изготавливая одежду, охотники — наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

И в современном мире без этих знаний не прожить.

Где же встречаются геометрические фигуры в нашей жизни?

Возможно, кто-то считает, что различные линии фигуры «водятся» только в книгах учёных математиков. Однако, если посмотреть вокруг, становится понятно, что многие предметы имеют форму, похожую на основные геометрические фигуры. Просто мы не всегда это замечаем. Немало замечательных геометрических фигур встречается в окружающей нас природе. Поле имеет форму прямоугольника, река — кривой линии, озеро — круга, кристалл соли — форму куба, обычная горошинка, капелька росы — форму шара. Красивы и разнообразны многогранники — кристаллы горного хрусталя. Но и в привычной жизни основные геометрические фигуры тоже повсюду. Это здания, строения, транспорт, интерьер квартиры, даже посуда и предметы одежды. К примеру, женская юбка — это трапеция, тарелка — круг, дом — квадрат и треугольник, а в трубе — цилиндр.

Знать все фигуры, их виды, названия и свойства очень важно. Систематизирует знания о геометрических фигурах и изучает их свойства математическая наука — геометрия. Наука эта очень важная, её применение просто бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не обходится ни рабочий, ни инженер, ни архитектор, ни художник. И очень важно начать осваивать эту науку в раннем возрасте.

Прекрасным помощником ребёнку в этом станет образовательная платформа iSmart. Основные виды геометрических фигур, их свойства, задачи на нахождение площади фигур и многое другое есть на платформе в разделе «Математика». Тут собраны несколько тысяч заданий на освоение этих тем, не повторяющиеся при многократной отработке. Занимаясь на , школьники начальных классов досконально разберутся в основах геометрии. Это даст им хорошую базу по предмету для учёбы в средних и старших классах. Кроме того, интерактивные задания красочные, интересные, увлекательные.

Простейшие виды фигур

Две основные фигуры — это точка и линия. Скопление точек и линий образует различные геометрические фигуры. Каждая из них индивидуальна, отличается своими параметрами, их формы очень разнообразны. Фигуры бывают простыми и сложными, плоскими и объёмными.

Точка

Точка — это самый минимальный, но в то же время самый главный объект в геометрии. Это самая малая геометрическая фигура, но именно она необходима для построения других фигур на плоскости и является основой для всех других фигур. Она не содержит таких свойств, как длина, высота, объём, площадь, не имеет измерительных особенностей и характеристик. Важно только то, где она расположена. Обозначается точка заглавной буквой латинского алфавита либо числом. Например, A, B, C или 1, 2, 3.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Самыми простейшими фигурами являются луч и отрезок.

• Луч — часть прямой, у которой есть начальная точка, но нет конца. Это продолжение в одну сторону.
• Отрезок — составная часть прямой, которая ограничена двумя точками. Он имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длину отрезка можно определить, измерив расстояние между его концами.

Линия

Линия образуется из множества точек, последовательно расположенных друг за другом и соединённых между собой. Линии бывают замкнутыми и разомкнутыми, прямыми и кривыми, а также ломаными.

• Замкнутая — когда в одной точке расположена начальная и конечная часть направления. Из незамкнутой линии получают обратный вариант.
• Разомкнутая — когда начало и окончание линии не соединены.
• Прямая — непрерывная линия без изменений.
• Кривая — отличная от прямой линии.
• Ломаная — когда соединены отрезки не под углом 180 градусов.

Через одну точку можно провести бесконечное число линий, а через две — только одну прямую и множество кривых.

Основные геометрические фигуры

Соединённые между собой точки образуют линии, а соединённые между собой линии — основные геометрические фигуры на плоскости.

Геометрические фигуры бывают плоские или двухмерные (2D) и объёмные пространственные, или трёхмерные (3D). Они ограничены замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры находятся в одной плоскости, значит, она является плоской. Плоские фигуры, которые знают все: точка, квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, окружность, овал, ромб, трапеция.

А если у геометрической фигуры все точки не находятся в одной плоскости, то она объёмная. К ним относятся шар, конус, цилиндр, сфера, пирамида и др.

Разберём плоские фигуры.

Треугольник

Треугольник — это фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Есть три вида треугольников:

• Прямоугольный — когда один угол прямой, другие два меньше 90 градусов.
• Остроугольный — когда градус его углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный — когда один угол тупой, то есть больше 90 градусов, а два других — острые.

Треугольники имеют следующие свойства:

• в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона и наоборот;
• сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам;
• все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам;
• в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (но это изучается уже в старших классах).

Вершины треугольников обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и др.

Окружность

Окружность — геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой находятся на одинаковом от центра расстоянии.

Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, называется кругом. То есть, окружность — это граница круга. А расстояние от центра окружности до любой точки на ней называется радиусом. Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Прямоугольник

‍Прямоугольник — это фигура, состоящая из четырёх сторон и четырёх прямых углов, у которой:

• противоположные стороны равны между собой;
• диагонали равны и делятся в точке пересечения пополам;
• около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагоналей.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого:

• все стороны равны;
• все углы равны и составляют 90 градусов;
• диагонали равны и перпендикулярны;
• центры вписанной и описанной окружности совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Трапеция

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две — нет, называется трапецией. Если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин боковых сторон, в неё можно вписать окружность.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Параллелограмм имеет следующие свойства:

• противоположные стороны и углы равны;
• сумма двух любых соседних углов равна 180 градусам;
• диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
• каждая диагональ делит фигуру на два равных треугольника.

Основные величины и их формулы

Все геометрические фигуры имеют свои характеристики и собственную величину. Самыми распространёнными являются такие величины как площадь и периметр. Они используются в повседневной жизни, в строительстве и в других областях. Например, во время ремонта или нового строительства, количество необходимых материалов и объём работ не определить, не вычислив заранее площадь и периметр.

Периметр

Периметром называется замкнутая граница плоской геометрической фигуры, которая отделяет её внутреннюю область от внешней. Периметр есть у любой замкнутой геометрической фигуры:

На рисунке периметры выделены красной линией. Периметр окружности часто называют длиной.

Периметр измеряется в единицах измерения длины: мм, см, дм, м, км.

Обозначается заглавной латинской P.

Площадь

Площадь — это часть плоскости, занимаемая замкнутой плоской геометрической фигурой, то есть та часть плоскости, которая находится внутри периметра. Именно она даёт нам основную информацию о её размере. Любая плоская замкнутая геометрическая фигура имеет определённую площадь.

На рисунке площади фигур окрашены различными цветами.

Измерить площадь фигуры — значит найти, сколько раз в данной фигуре помещается другая фигура, принятая за единицу измерения. Площадь измеряется в квадратных единицах измерения длины. К единицам измерения площади относятся: мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т. д. S (square) — знак площади.

Вычисление периметра и площади

Периметр — это длина замкнутого контура геометрической фигуры. Можно, конечно, измерить линейкой длины всех сторон и сложить их. Но лучше воспользоваться специальными формулами для вычисления периметра, это значительно упростит задачу.

• Квадрат: периметр = 4 * сторона.
• Треугольник: периметр = сторона 1 + сторона 2 + сторона 3.
• Неправильный многоугольник: периметр = сумме всех сторон многоугольника.
• Круг: длина окружности = 2 * π * радиус = π * диаметр (где π – это число пи (константа, примерно равная 3,14), радиус – это длина отрезка, соединяющего центр окружности и любую точку, лежащую на этой окружности, диаметр – это длина отрезка, проходящего через центр окружности и соединяющего любые две точки, лежащие на этой окружности).

Для вычисления площади фигуры также потребуется соответствующая формула. К разным фигурам применяются разные формулы. Для вычисления площади стандартных геометрических фигур можно воспользоваться следующими формулами:

• Параллелограмм: площадь = основание * высота
• Квадрат: площадь = сторона 1 * сторона 2
• Треугольник: площадь = ½ * основание * высота
• Круг: площадь = π * радиус² (где радиус – это длина отрезка, соединяющего центр окружности и любую точку, лежащую на этой окружности. Квадрат радиуса – это значение радиуса, умноженное само на себя).

Итак, мы перечислили основные и самые распространённые геометрические фигуры и их свойства. Образовательная платформа iSmart поможет вашему ребёнок изучить основные геометрические фигуры, их виды, названия и свойства с помощью увлекательных заданий. Преимущества занятий на умных тренажёрах iSmart:

• интерактивные задания больше похожи на игру;
• их можно отрабатывать многократно и они не будут повторяться;
• платформа сформирует индивидуальную траекторию обучения на основе диагностики знаний;
• достаточно всего 20 минут занятий в день, чтобы в короткий срок увидеть прогресс в обучении.

Кроме того, занятия помогут вам освободить своё время, ведь ребёнок сможет заниматься самостоятельно, а родитель — получать отчёты и наблюдать за динамикой обучения. Метод обучения iSmart основан на последних научных практиках: микрообучение и поведенческий анализ.

Образовательная платформа iSmart предлагает подготовку к контрольным работам, тестам, ВПР, олимпиадам, а также изучение дополнительных предметов, не вошедших в школьную программу.

Треугольник эллипс круг куб что из этого меньше всего похоже

Названия геометрических фигур в картинках (23 ФОТО)

Геометрия как наука началась с древних греков. Они подстмотрели у египтян землемерные работы и оформили это в виде аксиом и правил. Первым научным трудом в этой области был «Начала» Евклида.

Объёмные геометрические фигуры

Названия объёмных фигур на английском

Синие фигуры с английскими названиями

Синие фигуры с русскими названиями

Разноцветные фигуры с английскими названиями

Простые фигуры кубической сингонии

Куб, икосаэдр, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр

Весёлые геометрические фигуры

Треугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник

Какие бывают геометрические фигуры?

Какие бывают геометрические фигуры?

В сферу изучения науки геометрии входят плоские (двухмерные) фигуры и объмные фигуры (трхмерные).

Их изучает планиметрия. Точка тоже плоская фигура.

Двухмерные фигуры — треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм, круг, овал, эллипс, многоугольники (пентагон, гексагон, гептагон, октагон и другие).

К фигурам также относится и точка.

Трехмерные фигуры — куб, сфера, полусфера, конус, цилиндр, пирамида, параллелепипед, призма, эллипсоид, купол, тетраэдры и множество других, выходящие из вышеуказанных. Далее идут очень сложные геометрические фигуры — различные многогранники, которые по сути могут содержать бесконечное количество граней. Например, большая клинокорона — состоит из 2-х квадратов и 16-ти правильных треугольников или клинокорона, составленная из 14 граней: 2 квадрата и 12 правильных треугольника.

Говоря о геометрических фигурах, можно выделить такие две закономерные группы как:

Итак, поподробнее о двухмерным, к ним можно отнести такие фигуры как:

А вот что касается трхмерных фигур, то вот какими они могут быть:

Очертания фигур и все возможные действия с ними изучают математические науки геометрия (изучает плоские фигуры) и стереометрия (предмет изучения — объемные фигуры). Я в школе любила и ту, и другую науку.

Вот так классифицируются плоские (2D) фигуры:

С тремя сторонами — это треугольник. С четырьмя сторонами — это квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция. А еще может быть параллелограмм и окружность (овал, круг, полукруг, эллипс).

Объемные фигуры (3D) классифицируются таким образом:

Это куб, параллелепипед, тетраэдр, цилиндр, пирамида, икосаэдр, шар, додекаэдр, конус, октаэдр, призма, сфера. К тому же есть усеченные фигуры (пирамида, конус). В зависимости от основания, пирамида, призма делятся на треугольные, четырехгранные и так далее.

Детские игрушки (пирамидки, мозаика и другие) позволяют с раннего детства знакомить детей с геометрическими объемными фигурами. А плоские фигуры можно нарисовать и вырезать из бумаги.

Из двухмерных можно назвать следующие:

• круг;
• овал;
• квадрат;
• прямоугольник;
• параллелограмм;
• трапеция;
• пятиугольник (шестиугольник и т.д.);
• ромб;
• треугольник.

С трехмерными немного посложнее:

• куб;
• цилиндр;
• конус;
• призма;
• сфера или шар;
• параллелепипед;
• пирамида;
• тетраэдр;
• икосаэдр;
• октаэдр;
• додекаэдр.

Думаю многие, прочитав последния названия, спросили про себя: quot;Что-что?quot;. Для наглядности — иллюстрация:

На самом деле фигур в математике достаточно. Плоские фигуры это — прямоугольники, квадрат, треугольник, пятиугольник, шестиугольник, круг. Объемные фигуры или 3D фигуры — это как пирамида, так и куб и додекаэдр, и тд.

круг, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, овал и многоугольник. Ещ звезда (пентаграмма), если е можно называть фигурой.

Призма, пирамида, параллелепипед, призма, шар (сфера), цилиндр, полусфера (половинка от сферы, то есть шар, разрезанный пополам) и конус. Пирамиды делятся на треугольные, четырхугольные и так далее (почти до бесконечности). Чем больше у пирамиды углов в основании, тем больше она напоминает конус.

Двухмерные фигуры (2D): угол; многоугольник (разновидности многоугольников: треугольник, четырхугольник разновидности четырхугольника: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, дельтоид, пятиугольник, шестиугольник и т. д. до бесконечности); окружность, круг, круговой сегмент, круговой сектор, эллипс, овал.

Трхмерные фигуры (3D): двугранный угол, многогранный угол; многогранник (разновидности многогранников: призма разновидности призмы: параллелепипед, куб, антипризма, пирамида разновидность тетраэдр, усечнная пирамида, бипирамида разновидность октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, клин, обелиск); цилиндр, усечнный цилиндр, отрезок цилиндра (он же цилиндрическая подковка или quot;копытоquot;), конус, усечнный конус, сфера, шар, шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор, эллипсоид, геоид.

С самого начала мы на уроках геометрии изучаем простые фигуры, которые являются плоскими, то есть располагаются на одной плоскости.

Далее, перед нами открывается мир объмных фигур, которые необходимо представлять и понимать, как они расположены и как грамотно их нарисовать, чтобы было понятно не только вам, но и окружающим.

Итак, перечень основных фигур можно изучить ниже.

В последнее время мне как раз приходилось рассказывать своим внучкам и внуку, какими могут быть геометрические фигуры.

Начинали с плоских фигурок, вырезанных из картона или сделанные из пластмассы, дети учились различать треугольник и квадрат, овал и круг, прямоугольник, ромб и многоугольник.

Помогали в запоминании названий фигур и вот такие специальные игрушки с отверстиями определнной формы.

Позднее перешли на объмные фигурки, кубики и конусы, параллелепипеды, шары и кольца, пирамидки и цилиндры.

До школы они пока не доросли, а когда пойдут, то их научат различать равнобедренные и равносторонние треугольники, узнают про луч и точку, про окружность и вс остальное.

треугольник в объеме — Как называется объемный треугольник. Вот квадрат — кубом, а треугольник — ? — 22 ответа

В разделе Другое на вопрос Как называется объемный треугольник. Вот квадрат — кубом, а треугольник — ? заданный автором Дарья Попкова лучший ответ это Тетраэдр.

[гуру]пирамидаОтвет от Евровидение[новичек]незнОтвет от Прострочить[новичек]хзОтвет от Обособиться[новичек]ПирамидаОтвет от Ёофья Раскопова[новичек]ПИРАМИДАААА!!

Ответ от сергей беляев[новичек]Так-то у тетраэдра 4 угла, а у пирамиды их 5. Какой и них-зависит от кол-ва углов в основанииОтвет от Денис Рыбкин[активный]Пирамида или тетраэдр. Но гораздо чаще его называют пирамидойОтвет от Артур Татулян[новичек]Разница между пирамидой и тетраэдром в том, что у пирамиды четыре боковые грани в виде треугольников и нижняя грань в виде прямоугольника, а у тетраэдра три боковые грани в виде треугольников и нижняя грань в виде треугольника. По этому грамотнее будет, если сказать, что объемный треугольник — тетраэдр, так как все грани тэтраэдра в виде треугольников!Ответ от сафонов савелий[новичек]ПирамидаОтвет от Golubev Konstantin[новичек]Треугольная ПризмаОтвет от Любовь К[новичек]тэтраздерТреугольник на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про ТреугольникТреугольник Рёло на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про Треугольник Рёло

Виды треугольников

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

• остроугольные
• прямоугольные
• тупоугольные

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

• равносторонние
• равнобедренные
• разносторонние

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.

Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ Национальный университет кораблестроения имени адмирала Макарова А Н КУЗНЕЦОВ, Е Ю НЕДЕЛЬКО, Н И ПОПОВА ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Рекомендовано Методическим советом НУК Электронное издание комбинированного использования на DD-OM НИКОЛАЕВ НУК УДК 7 76 ББК П 69 Рецензент: А А Щеглов, кандидат технических наук, доцент Электронный аналог печатного издания : Кузнецов АН, Неделько ЕЮ, Попова НИ П 69 Практикум по решению задач на наибольшее и наименьшее значения функций Николаев : Издательство НУК, 8 с Учебное пособие относится к серии »РЕШЕБНИК» и содержит около 9 задач на наибольшее и наименьшее значения функций как из математики, так и из различных областей физики и техники Предназначено для студентов первого курса втуза и старшеклассников Навчальне видання КУЗНЕЦОВ Альберт Миколайович НЄДЄЛЬКО Євген Юрійович ПОПОВА Наталя Іванівна ПРАКТИКУМ З РОЗВ ЯЗАННЯ ЗАДАЧ НА НАЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ російською мовою Редактор НО Шайкіна Комп’ютерне складання та верстання ВГ Мазанко Коректор МО Паненко Кузнецов АН, Неделько ЕЮ, Попова НИ, Издательство НУК, Формат 6 8/6 Ум друк арк,9 Обсяг даних 666 кб Тираж Вид Зам 6 УДК 776 ББК Видавець і виготівник Національний університет кораблебудування,, м Миколаїв, просп Героїв Сталінграда, 9 E-mil : Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції ДК 6 від 6 р

2 ПРЕДИСЛОВИЕ Для будущего инженера важно уметь применять дифференциальное исчисление к решению прикладных задач на наибольшее и наименьшее значения функций Данное учебное пособие серии РЕШЕБНИК содержит около 9 задач на указанную тематику из алгебры, геометрии, физики, механики и других разделов математики и техники Большинство задач взято из учебных пособий [ и ] Пособие состоит из трех частей: задачи для функции одной переменной, задачи для функций многих независимых переменных и задачи на условный экстремум Каждому разделу предшествуют краткие теоретические положения Пособие предназначено в основном для студентов-иностранцев Оно будет полезно также для студентов всех специальностей втуза и выпускников средней школы Такой ПРАКТИКУМ дает возможность студенту или старшекласснику решать столько задач, сколько ему необходимо, чтобы приобрести устойчивые навыки по указанной тематике

3 I ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Рассматриваются задачи геометрического и физического содержания, в которых следует найти наибольшее или наименьшее значение функции Алгоритм решения таких задач следующий: Ввести необходимые обозначения Составить уравнение, соответствующее условию задачи, и из него найти функцию, которая подлежит исследованию на наименьшее или наибольшее значение Если эта функция окажется функцией двух независимых переменных, то, используя известные теоремы, одну из этих переменных исключить Найти область определения полученной функции одной переменной Определить критические точки функции, взяв для рассмотрения только те из них, которые входят в область определения функции 6 Во всех предлагаемых задачах остается единственная точка возможного экстремума Далее любым наиболее целесообразным способом устанавливается, будет в этой точке минимум или максимум 7 Найденная критическая точка и будет точкой наименьшего или наибольшего значения функции, смотря по тому, будет в этой точке минимум или максимум 8 Если требуется по условию задачи, то в этой точке находят соответственно наименьшее или наибольшее значение функции Рассмотрим следующие задачи Уровень А Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей Если одно слагаемое, то 8 х другое Тогда сумма их кубов 8, 4 d d 6 68 d d и 8 нм нм > при х, т е х точка минимума Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?, > d d d > при х, т е х точка минимума и d d d нм нм Число 6 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей 6 Если один сомножитель, а другой, то 6 х у тогда 6 d 6 d d d d 66 > d и 7 нм 6 нм при х 6, т е х 6 точка минимума Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 7 см, причем стороны основания относились бы, как : Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

5 d d 6 Размеры ящика указаны на рисунке 7 6 полная поверхность d d 6 9 d 6 8 > при х, т е х точка минимума d и нм нм Из углов квадратного листа картона размером 8 8 см нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям, получить коробку наибольшей вместимости Каковы должны быть размеры вырезанного квадрата? Объем коробки 8 9, Следова- тельно, х точка максимума 6 Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа размером 8 см Объем коробки

6 7 8 х точка максимума 8 нб 8 см 7 Объем правильной треугольной призмы равен Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей? бок полн d d dполн d полн d > при точка минимума Полная поверхность призмы будет d наименьшей при стороне основания 8 Открытый чан имеет форму цилиндра Каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы при данном объеме его поверхность была наименьшей?

7 8 d d > d d d d при и Следовательно, при этих значениях и поверхность цилиндра будет наименьшей 9 Найти соотношение между радиусом и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность Объем цилиндра его полная поверхность п п п d d d d > 8 9 Уровень Б Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной см Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим? Объем конуса l l точка максимума, т е при наибольшим объем конической воронки будет Из круга вырезан сектор с центральным углом Из сектора свернута коническая поверхность При каком значении угла объем полученного конуса будет наибольшим? Длина дуги m l как видно из рисунка, l объем кону- са l l тогда l l l l l d l 8 d, 9 , d, рад 9 6′ точка максимума d При, рад объем конуса будет наибольшим Периметр равнобедренного треугольника равен р Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим? объем тела вращения твр O O C O D твр d d d CD d d 10 d d,6 d d > 11 Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса Из C d d точка максимума Это и будет высота конуса наибольшего объема C 6 Дождевая капля, начальная масса которой т, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени коэффициент пропорциональности равен k Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? Сопротивлением воздуха пренебречь m m kt, где m масса в момент времени t m m k t кинетическая энергия W k m скорость gt Тогда W k m kt g t dw k dwk g kt t m kt g mt kt t dt dt m k d Wk g m 6kt 12 быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался наименьшей силой? Момент уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза Р и рычага C F Пусть точка С центр тяжести рычага Q k вес рычага Сумма моментов сил P Q относительно точки равна нулю: df d M F k т е при P k P P F k df d P k d F P P > при точка минимума, d k P груз P будет уравновешиваться наименьшей силой k 8 Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скорости Известно, что при скорости в км/ч расходы на топливо составляют грн в час, остальные же расходы, не зависящие от скорости, составляют 8 грн в час При какой скорости парохода общая сумма расходов на км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час? Расходы на топливо за один час k k k, тогда общие расходы, 8 За время t при равномерном движении пройден путь l t Расходы на топливо за t часов:, 8 t Расходы на км пути: Q Q, l 8, 8 dq d 8,6 dq 8 d Q 96 8 км/ч,6 > при d,6 d точка минимума Общая наименьшая сумма расходов в час,8 8 7 грн

13 9 Три пункта А, В и С расположены так, что C 6 Из пункта А выходит автомобиль по направлению к В со скоростью 8 км/ч, из пункта по направлению к С выходит поезд со скоростью км/ч В какой момент времени от начала движения расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ км? M Скорость автомобиля 8 км/ч скорость поезда п км/ч км 6 К моменту времени t расстояние между N C автомобилем и поездом MN: M 8t, п M 8t, N t По теореме косинусов имеем: MN 8t t 8t t d dt t 9t 9t d t t 9t dt t ч 8 мин 9 7,8 На окружности дана точка А Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь C была наибольшей D, где радиус окружности C C D C C d d d d 6 d d

14 C D > 15 C ϕ O 6 Площадь прямоугольника si ϕcosϕ cos ϕ ϕ cosϕcosϕ cos si ϕ ϕ cos нб cos cos ± ϕ cosϕ cos cosϕ ϕ cosϕcos cos cos cos 8 Полагая ϕ и при cosϕ cos 8 cos Следовательно, функция ϕ имеет максимум при указанных условиях Учитывая, что cos, имеем 8 8 Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать Объемы конуса и цилиндра соответственно равны: к, ц Из того, что COD O

16 7 C D O Тогда ц ц к к ц ц к d d d d > 17 8 d к d н mi минимума точка Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара Боковая поверхность конуса l, l ctg o Тогда Находим si d d O o ctg o ctg l si si si o ctg o ctg cos o si si o si cos cos d si d o o si si

18 9 o o o cos si cos или si cos si9 si cos si si, Нетрудно показать, что при будет наименьшей si si ± csi, 9 o, o 9 боковая поверхность конуса 6 Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим? Площадь треугольника si si Радиус круга OC tg o si tg o si tg si o o tg tg Найдем o tg cos tg d d C O tg cos o

19 o o cos tg tg cos o tg cos cos o o cos si si cos o tg cos cos o si9 si o tg cos cos 8 cos si cos o tg cos cos 8 d cos si cos cos si cos, d тогда 8 Значит, si и 6 ибо o 6 o 6 точка максимума, т е треугольник должен быть равносторонним

20 7 Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса центр описанного конуса лежит в центре шара Объем конуса, к l l OC O l Тогда к к к d d d d mi к > 21 б d d d d m > 22 Как видим, при данных размерах шатра для mi его вместимости требуется наименьшее количество материала Через данную точку P провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей Сумма длин отсекаемых отрезков, уравнение прямой: d d и Тогда d d ± 6 не подходит, так как при этом 23 m точка максимума, Тогда Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника площадь эллипса с полуосями и равна Каноническое уравнение эллипса: площадь, эл площадь прямоугольника пр эл d d эл dэл эл d f пр пр эл При указанных соотношениях площадей эл эллипс, описанный около данного прямоугольника, будет наименьшим доказательство предоставляем читателю

24 Через точку эллипса 8 8 следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной с осями координат, была наименьшей Уравнение касательной к эллипсу в точке M имеет вид 9 8 8, O O O , O CM f O Тогда точка М mi > 25 C 6 Уравнение : 6 Расстояние от C до 6 Из уравнения эллипса имеем Тогда при > ± , ± 6 d d ± 8 ± 6, 8 d d 6, Возьмем пару 6 6 : Аналогично пара et нет, не дает экстремума При 26 7 На оси параболы дана точка на расстоянии от вершины Указать абсциссу ближайшей к ней точки кривой В данном случае Пусть O, тогда расстояние M ‘ и >, если >, если mi Абсцисса ближайшей точки, если > и, если 6 Полоса железа шириной должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей si Площадь сегмента si, l l 27 8 ε m ε точка максимума si cos tg не входит в область определения Значит, сечение желоба имеет форму полукруга и при этом вместимость желоба будет наибольшей 7 Бревно длиною м имеет форму усеченного конуса, диаметры основания которого равны соответственно м и м Требуется изготовить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим Каковы должны быть размеры балки? Согласно обозначениям на рисунке имеем: O C MK C K C K. Объем балки M O K C

28 9 Следовательно, искомое значение равно среднему арифметическому результатов измерений 9 Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в км, считая по берегу, от ближайшей к миноносцу точки берега лагерь расположен на берегу Если гонец может делать пешком по км/ч, а на веслах по км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? M линия берега Гонец высадился в точке K тогда время его OK K 8 передвижения t i

29 O dt d 9 M dt d не подходит K t Следовательно, точка минимума Чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время, гонец должен высадиться в км от лагеря Прямо над центром круглой площадки радиуса нужно повесить фонарь На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка? Степень освещенности прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света cos ϕ По закону физики освещенность E k cos ϕ l l E k ϕ l de k d de d,7 k

30 E ,7,7 точка максимума, т е фонарь нужно повесить на высоте, чтобы он наилучшим образом освещал площадку На отрезке длиной l, соединяющем два источника света силы I и I, найти наименее освещенную точку I I Освещенность I I E k k k l l de d l I I de I I I I k l d l l l I I I I точка I I M l минимума, так как при найденном значении d d E 6 I k I l > Картина высотой, м повешена на стену так, что ее нижний край на,8 м выше глаза наблюдателя На каком расстоянии от стены должен стоять наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра т е чтобы угол зрения был наибольшим? Угол зрения,,8 ctg ctg

31 ,,8, d d. 8 8. 8,8,8 d,, d 8,,68 и, 8,6. 76, м точка максимума, так как,8, 32 Pk cosϕ k tgϕ F ϕ F k tgϕ, ϕ ctgk ϕ cosϕ k si ϕ ϕ k F ϕ ϕ tgϕ ϕ ctgk k tgϕ mi ϕ > ctgk k 33 , Значит, при рад m скорость течения воды будет наибольшей, tg O m На странице книги печатный текст должен занимать кв см Верхнее и нижнее поля должны быть по см, правое и левое по см Если принимать во внимание только экономию бумаги, то какими должны быть наиболее выгодные размеры страницы? Пусть площадь листа P, площадь текста Из получаем и подставляем в : P

34 P dp d 8 dp d ± 6 6 ± Тогда, не подходит по смыслу задачи Проверим найденное значение по второму достаточному условию экстремума: d P P d При P > точка минимума Тогда 6 Коническая воронка, радиус основания которой, а высота, наполнена водой В воронку опущен тяжелый шар Каким должен быть

35 6 радиус шара, чтобы объем воды, вытесненной из воронки погруженной частью шара, был наибольшим? Радиус OM,, M >, O O K O O KM OM Тогда Объем шарового сегмента, погруженного в воду, d d d d, ± Так как >, берем знак «» перед радикалом, тогда 36 7 при и при таком значении объем воды, вытесненной из воронки, будет наибольшим 7 Вершина параболы лежит на окружности радиуса, ось параболы направлена по диаметру Каков должен быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой и ее общей с окружностью хордой, была наибольшей? Площадь симметрического параболического сегмента равна произведения его основания на «стрелку» высоту Уравнение окружности: Уравнение параболы: Найдем точки пересечения кривых. 8 п криволтра d O 8 сегм f C O

37 8 d d d d не подходит будет только одна точка касания параболы и окружности O m > 38 9 C C сегм 8 Конус, радиус основания которого, а высота, пересечен плоскостью, параллельной образующей Каково должно быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса, чтобы площадь сечения была наибольшей? l MK в сечении получается параболический сегмент Его площадь KM CD : l l MKQ Q l l Тогда l l d d M M K K l C Q D Q O O

39 8,, ± берем m > 40 PM 6 6 f, d d d d ± нашли подбором mi mi Точки P ± точки минимума Значит, в этих точках указанный отрезок нормали имеет наименьшую длину Показать, что касательная к эллипсу, отрезок которой между осями координат имеет наименьшую длину, делится в точке касания на две части, соответственно равные полуосям эллипса Каноническое уравнение эллипса:, ± M M O

41 Уравнение касательной в точке M : f’ Найдем производную неявной функции : f или уравнение касательной, M тогда с учетом имеем f M M M M M M

42 Доказать, что в эллипсе расстояние от центра до любой нормали не превосходит разность полуосей Уравнение нормали в точке M см рисунок задачи : f или Расстояние от точки O до этой нормали M Из предыдущей задачи имеем, что M значит, mi M и тогда В прямоугольной системе координат O даны точка и кривая f Показать, что расстояние между постоянной точкой и переменной f может достигнуть экстремума только в направлении нормали к кривой f Исходим из определения выпуклости и вогнутости кривой в окрестности точки M Кривая лежит ниже выше любой своей касательной M N M f Кривая выпуклая NM > NM N M M f f Кривая вогнутая NM 43 К реке шириной м построен под прямым углом канал шириной м Какой наибольшей длины суда могут входить в этот канал? Если l длина судна, то, как видно из рисунка, l cosϕ si ϕ l si ϕ cos ϕ si ϕ cos ϕ l ϕ cos ϕ si ϕ si ϕ cos ϕ ϕ l tg ϕ, ϕ ctg ϕ , т е функция l принимает минимальное значение и при этом наибольшая длина l судна будет нб l Примечание Предоставляем читателю самому проделать необхо- димые преобразования, подставив в значение ϕ ctg и вос- c пользовавшись формулами ctg c csi ccos c c В чашу, имеющую форму полушара радиуса, опущен стержень длиной l > Найти положение равновесия стержня Потенциальная энергия стержня относительно точки O дно чаши П mg, где высота центра масс стержня относительно точки O Если M ϕ ϕ l l длина стержня, то si ϕ mg

44 Найдем Из рисунка видно, что tgϕ tgϕ Из уравнения окружности получаем, т е tg ϕ Из последнего равенства после несложных преобразований имеем cos ϕ, тогда si ϕ Итак, l ΠП mg si ϕ si ϕ Поскольку стержень стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией, необходимо найти то значение угла ϕ, при котором будем иметь П mi Производная l Π ϕ cos ϕ cos ϕ Π ϕ 8 cos l ± l 8 l cosϕ cosϕ Так как 45 6 Учитывая, что время t, имеем v Тогда u kv v du du kv v dv v dv k d u k > dt v при данном v Следовательно, при v плавание судна будет наиболее эконо- k мичным Например, если 76 грн, k,, то v уз** 76 км/ч 6 Из точки, находящейся на железнодорожной магистрали см рисунок, груз направляется в точку C, отстоящую от линии железной дороги на расстоянии C Стоимость C провоза одной тонны на единицу расстояния: по железной дороге и q при транспортной перевозке В какой точке D следует провести шоссе CD, чтобы провоз груза из в C по линии DC был наиболее дешевым? D Пусть стоимость перевозки,, D тогда согласно условию задачи q q Находим q Так как q ** Узел равен,8 км/ч

46 7 при данном q 7 Каким должен быть угол наклона l cost, чтобы цилиндр скатился по за кратчайшее время? Поскольку ускорение свободного падения g cost, ускорение gsi постоянно при выбранном Движение цилиндра плоскопараллельное g l v

47 8 t l Пусть, тогда, скорость v t и t Для v v cos плоскопараллельного движения кинетическая энергия движущегося цилиндра W k mg mgl tg С другой стороны, суммируя кинетическую энергию вращательного движения W Iω k, где I момент инерции v цилиндра, ω радиус основания цилиндра угловая скорость, mv и кинетическую энергию поступательного движения W k m мас- v I са цилиндра, получим W k m В результате будем иметь уравнение I и время скатывания mv mgl tg v mgl tg I m I I l m l m t mgl tg cos mgl si Как видно из последнего выражения, минимальное время скатывания будет при si, т е при 8 Имея N одинаковых электрических элементов, можно различными способами составить батарею по элементов, а затем полученные группы числом N соединить параллельно считаем, что N целое число Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой

48 9 NE I, где E электродвижущая сила одного элемента, его N внутреннее, внешнее сопротивление Определить, при каком значении батарея даст наибольший ток di d N NE N di d N при N di N di > Значит, найденное значение d d будет наибольшим С точки зрения физики это означает, что внутреннее сопротивление должно равняться внешнему сопротивлению N 9 Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при заданной площади наименьший периметр Периметр площадь прямоугольника Тогда f dp d dp d при Тогда, c dp При , например d dp, > Следовательно, при указанных размерах сторон периметр треугольника будет d наименьшим с а

49 6 Около данного эллипса описать треугольник с основанием, параллельным большой оси, площадь которого была бы наименьшей Уравнение эллипса: M Нетрудно доказать, что уравнение касательной в точке M K имеет вид D C Площадь треугольника DC D C При из имеем O, тогда D При из имеем OK DC D D DC

OK и DC OK Тогда OK O O Точка M принадлежит эллипсу, поэтому рассматриваем только правую половину эллипса Тогда f После преобразований получим d d d d /

50 Тогда d и При, d > Следовательно, при данном площадь треугольника, описанного вокруг эллипса, будет наименьшей 6 На эллипсе найти точки, наименее и наиболее удаленные от прямой 9 9 Обозначим через расстояние от точки M до прямой Тогда 9 Так как из уравнения эллип- са следует, что 9 рассматриваем вначале >, то 9 9 f d d 9 d 9 d и ± Легко убедиться, что точка минимума, точка максимума Тогда 9 9 ± и mi m / / / / M

51 II ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В данном разделе будем рассматривать только функции двух переменных f Для определения экстремума функции f, следует: Определить стационарные точки, в которых функция достигает экстремума, для чего надо решить систему уравнений, Определить вторые частные производные Вычислить значение вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через, и C Составить выражение C При этом если >, в стационарной точке будет минимум при > и максимум при > б если 52 Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных следующий: Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений, Вычислить в стационарных точках значения функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на каждой линии, ограничивающей область Сравнить все полученные значения, выбрать среди них наибольшее и наименьшее Рассмотрим следующие задачи Уровень А 6 Найти наибольшее и наименьшее значения функции 6 в прямоугольнике с вершинами C D Находим стационарные точки функции: C 6 Решаем систему уравнений 6,, В стационарной точке D D D Переходим к исследованию функции на границах области, которая состоит из отрезков, C, CD и D а на :, 6 На указанном отрезке функция непрерывна и достигает на нем своего наи

53 большего и наименьшего значений Это может произойти или в точках d стационарности функции, где, или на концах отрезка d d d б на C:, d d C в на CD:, 6 6 d 6 8 d D г на D:, d d Среди всех найденных значений подчеркнутые имеем 9 нб нм 6 Найти наибольшее значение функции в треугольнике, ограниченном прямыми,, 6 Находим стационарные точки функции: d d 8 d d

54 Решаем систему уравнений 8. Обе точки принадлежат области D Исследуем функцию на границах области, которая состоит из отрезков O,, O: а на O. 6 б на : 6, 6 6 d d 6, 6,, в на O:, Сравнивая все подчеркнутые значения, находим, что 6 D 6 6 нб 6 Найти наибольшее и наименьшее значения функции e в круге Находим стационарные точки функции: e e D Поскольку e, решаем следующую систему уравнений. ± ± e e, ± ±,

55 6 Исследуем функцию на границе области: ± Тогда e e, e d d ± ± Сравнивая все подчеркнутые значения, находим, что нб нм e ± Уровень Б 6 Найти наибольшее и наименьшее значения функции si si si в прямоугольнике Находим стационарные точки функции: cos cos cos cos cos cos cos cos,, cos, cos cos cos, cos cos D, и D C O

56 7 Исследуем функцию на границе области: d а на ОА:, si cos, cos d O d б на АВ:, si cos cos si cos si d tg d в на ВС:, si cos cos si cos si d tg C г на СО:, si d cos cos d C Сравнивая все подчеркнутые значения, находим, что нб нм 66 Разложить положительное число на три положительных слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим

57 8 >, >, > Рассмотрим функцию u f. тогда Точка единственная точка экстремума Найдем / / / C , 9 9 C точка максимума функции u Так как она единственная, то в ней будет наибольшее значение функции: 7 нб u Примечание Полученный результат имеет простое геометрическое истолкование: из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых сумма трех измерений есть величина постоянная, наибольший объем имеет куб с ребром, равным

58 9 67 На плоскости O найти точку, сумма квадратов расстояний которой от трех прямых. 6 была бы наименьшей Пусть PM M MN, тогда ,, 6 8 единственная точка Найдем 8 Значит, 8 C, 8 > > C следовательно, точка 6 8 является точкой, для которой сумма квадратов расстояний от трех указанных прямых наименьшая 68 Через точку c провести плоскость так, чтобы объем тетраэдра, отсекаемого ею от координатного трехгранника, был наименьшим Уравнение искомой плоскости:, C где, и C суть отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Поскольку точка M 8 6 P N

59 6 c принадлежит плоскости, справедливо равенство c C C c Объем тетраэдра 6 6 c C f Находим: 6 6 c c. тогда c c C Таким образом, уравнение плоскости: c Покажем, что в таком случае объем тетраэдра наименьший: c 6 6 c c c C c c C c

60 6 > c c c C при полученном уравнении плоскости объем тетраэдра будет наименьшим 69 Даны точек. На плоскости O найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей Пусть сумма квадратов расстояний от M до всех данных точек M i i i i, i тогда i i i i i i i i. i i i i i i i i Стационарная точка единственная Находим: C C >, > Следовательно, точка i i i i M M i i i i

61 6 есть точка минимума и сумма квадратов расстояний от нее до всех данных точек будет наименьшей 7 Даны три точки: и C8 8 На плоскости O найти такую точку D, чтобы сфера, проходящая через,, C и D, имела наименьший радиус C равнобедренный: C C CK K 8 Радиус окружности, которая получается в сечении сферы с плоскостью, C C 8 P P PC 88 Тогда имеем P 8 и P’ 8 P P P C P D P’ центр сферы, на которой расположены точки,, C, D Очевидно, что mi P’D’ 8 с другой стороны, 8 9, ± 9 Имеем две точки 9 D и D 9, такие, что сфера, проходящая через,, C и D, имеет наименьший радиус C P» C8 8 P K 8 P’ P D» 8 D’ K

62 6 7 В данный шар диаметра вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема Пусть, и длины ребер параллелепипеда, тогда Объем,, Тогда и Очевидно, что при данных размерах объем будет наименьшим и такой фигурой будет куб 7 Доказать, что из всех треугольников, периметр которых, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник Пусть, и стороны треугольника По формуле Герона его площадь Учитывая, что, имеем

63 6 Находим стационарные точки: По смыслу задачи исследованию подлежит только точка , C C в точке функция достигает максимума Но так как это единственная стационарная точка, то при и равносторонний треугольник площадь треугольника будет наибольшей 7 На плоскости найти точку, сумма квадратов расстояний которой от точек и была бы наименьшей.

64 6 Пусть такой точкой будет M Тогда Учитывая, что, получим,, тогда 6 C C >, > Поскольку имеем только одну точку минимума, в ней величина будет наименьшей 7 На плоскости найти точку, сумма квадратов расстояний которой от плоскостей 6 и была бы наименьшей Пусть такой точкой будет M Напомним, что расстояние d от точки P до плоскости c D определяется c D формулой d Тогда c 6 Учитывая, что, имеем

65 ,, 6 Имеем единственную стационарную точку C 6 C >, > искомая сумма квадратов расстояний от плоскости будет наименьшей 7 Даны точки,, C На поверхности шара найти такую точку, чтобы объем пирамиды C был: а наибольшим б наименьшим Пусть точка принадлежит указан- C ной сфере Тогда имеем векторы, и C Объем пирамиды

66 C , тогда ± или D C нб куб ед D C нм 6 куб ед C D C D

67 68 76 Найти прямоугольный параллелепипед данного объема, имеющий наименьшую площадь поверхности Поверхность Объем, тогда. т е данная фигура является кубом C C 6 >, > Так как стационарная точка единственная, то из всех прямоугольных параллелепипедов с данным объемом у куба площадь поверхности будет наименьшей 77 Найти прямоугольный параллелепипед данной площади поверхности, имеющий наименьший объем Тогда

68 69. следовательно,, 6 6 6, т е 6 и фигура является кубом Аналогично предыдущему доказывается, что объем при этом будет наибольшим 78 Найти объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид с полуосями, и c Объем 8 > > > Вершины параллелепипеда находятся на эллипсоиде c c и объем параллелепипеда 8 c Находим:

69 7 8 8 c c. Тогда c и 8 нб c 79 Найти наибольший объем параллелепипеда при данной сумме всех его ребер Используя обозначения задачи 78, имеем Объем,, тогда, т е данная фигура есть куб C C >, 70 7 Уровень В 8 Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции данной площади Как выбрать его размеры, чтобы омываемая поверхность канала была наименьшей? Пусть «мокрый» периметр канала, тогда DC C l площадь трапеции CD l cos l si l cos l si l l cos f l Находим: l si l l cos si CD l cos l si cos l si l si, l l si l si cos, l si cos l D C l l si cos, cos cos cos si si si Тогда cos и cos 8 l si Определим значения производных второго порядка при найденных значениях и l:

71 7 si cos si si si cos si l l l l l / / l l l / C C 7 >, > Значит, при найденных значениях омываемая поверхность канала будет наименьшей: нм 8 Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ, найти тот, объем которого наибольший Размеры указаны на рисунке Объем прямоугольного параллелепипеда, при этом d Тогда d Находим: d d d d. d d d d d d d

72 7 Данная фигура куб Покажем, что объем при этом наибольший d d d d d d d d C d d, d d C следовательно, из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ, наибольший объем имеет куб 8 Указать наружные размеры открытого без крышки ящика формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок и объемом, чтобы на него пошло наименьшее количество материала, и наружные размеры ящика см рисунок задачи 8 Объем Количество материала, которое пошло на его изготовление, Если, то f,,

73 7 Если, то тогда, т е 8 C 6 > C По смыслу задачи, > тогда > и при указанных размерах, и на изготовление коробки пойдет наименьшее количество материала Окончательно получаем, что каждая из сторон основания равна, высота равна 8 В прямой эллиптический конус, полуоси основания которого и, высота, вписана призма с прямоугольным основанием так, что стороны основания параллельны осям, а пересечение диагоналей основания лежит в центре эллипса Каковы должны быть стороны основания и высота этой призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Каков этот наибольший объем? Уравнение конуса:

74 7 Если стороны основания призмы и, а высота, то объем Из следует, что, тогда, f. тогда 7 8 Размеры основания призмы будут соответственно, Можно доказать, что при указанных размерах объем призмы будет наименьшим

75 76 III УСЛОВНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ Во многих задачах на нахождение наибольших или наименьших значений функции вопрос сводится к разысканию максимума или минимума функции от нескольких переменных, которые связаны между собой некоторыми добавочными условиями уравнениями связи Тогда исследование функции f. на условный экстремум при наличии уравнений связи ϕ j. j, m, m при, > Исследуем на условный экстремум функцию m m, если Функция Лагранжа F m m λ. Находим F m m λ, F m m m λ m m m λ, λ m λ, m m λ m λ и l m m m тогда точки возможного экстремума

76 77 Находим второй дифференциал d F mm d d Так как d F, >, то функция,, имеет минимум в точке, и mi 8 Исследовать на экстремум функцию u при 8 Функция Лагранжа F. λ λ 8 Находим частичные производные по, и и приравниваем их нулю, за четвертое уравнение берем уравнение связи: λ, λ, λ, 8 Умножая последовательно каждое из трех первых уравнений соответственно на, и, складывая их и учитывая четвертое уравнение связи, получаем λ λ Тогда 6, 6, 6 6 Так как по смыслу задачи, и отличны от нуля, то из системы получим, а значит, и 8 для определенности считаем, и положитель- ными

77 78 Если предположить, что u объем прямоугольного параллелепипеда, то, поскольку он не может быть неограниченно большим, при найденных значениях, и он будет наибольшим 86 Доказать справедливость соотношения Доказательство Исследуем на условный экстремум функцию u, если Составим функцию Лагранжа F λ Находим F λ F λ F λ Составим систему уравнений:, F, λ F, λ, λ F λ или λ тогда стационарные точки функции u Второй дифференциал d F d d d > в указанных стационарных точках Тогда в этих точках функция u имеет минимум, т е umi u. если или

78 79, что и требовалось доказать Примечание Последние рассуждения можно провести иначе: по смыслу задачи значения дают минимум функции, равный Таким образом, для выполняется соотношение или 87 Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при данном объеме? Размеры палатки указаны на рисунке Для изготовления палатки потребуется материал на боковую цилиндрическую поверхность и на конус, т е суммарная площадь l Объем палатки Поскольку нужно найти соотношения между линейными размерами, обозначим l

79 8 β Тогда β β Второе уравнение есть уравнение связи Пользуясь методом множителей Лагранжа, составляем функцию,, β λ β β F Находим, что β λ β F F F λ β β λ β Приравниваем к нулю каждую из частных производных. λ λ β λ β β λ β и система принимает вид, 6 β β β β β Тогда, β т е

80 8 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Берман, Г Н Сборник задач по курсу математического анализа [Текст] / Г Н Берман СПб : Профессия, с Демидович, Б П Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст] / Б П Демидович М : Наука, 969 с Запорожец, Г И Руководство к решению задач по математическому анализу [Текст] / Г И Запорожец М : Высшая школа, с Каплан, И А Практические занятия по высшей математике [Текст] : в ч / И А Каплан Х : Изд-во Харьк ун-та, 96 Ч 76 с Ляшко, И И Математический анализ в примерах и задачах [Текст] : в ч / И И Ляшко, А К Боярчук, Я Г Гай, Г П Головач К : Вища школа, 97 Ч 678 с 6 Фихтенгольц, Г М Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : в т / Г М Фихтенгольц М : Наука, 969 Т 68 с

81 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие I Функции одной переменной II Функции многих независимых переменных III Условные экстремумы 76 Список литературы 8

Какая ты кривая, или математика вокруг нас

Слово «математика» у кого-то ассоциируется с вечной зубрёжкой и строгим учителем, другие же представляют себе некоторую абстракцию, существующую отдельно от нашего мира, но есть и те, кто видит проявления этой науки в нашей повседневной жизни.

Вот, например, известно ли Вам, что форма зубцов на шестернях в обычных часах имеет гораздо более сложную форму, чем трапеция, и называется она волшебным словом «эвольвента окружности»? Вероятно, вы впервые слышите об этом, хотя каждый знаком и с механическими часами, и с шестернями. Вопрос, почему была выбрана эта форма, мы отдельно рассмотрим позднее. Но почему так много людей уверено, что математика – это нечто скучное и утомительное? Связано это в первую очередь с тем, что в большинстве школ дают только «базу» — основные математические понятия – без привязки к реальной жизни. Полученный таким образом материал кажется сухим и скучным. «Ну и где же я могу в жизни встретить эти тригонометрические уравнения?» — удивляется такой человек. Но стоит взглянуть чуть внимательнее, и откроется удивительный, сверкающий мир, причём хватит даже знаний в рамках школьной программы!

Справедливости ради стоит сказать, что – да, сейчас применяются далеко не все математические открытия и методы, но они уже готовы к использованию и просто ждут своего часа.

Об одном таком случае хотелось бы рассказать. Наш соотечественник, великий математик Николай Иванович Лобачевский, ректор Казанского университета в 1827-1846, живший в XIX веке, много лет усердно разрабатывал новую, неевклидову геометрию. Однако после публикации своих трудов в 1832 году он подвергся жестокой критике и непониманию со стороны авторитетного математического сообщества. В Санкт-Петербургском журнале «Сын отечества» даже появилась обидная заметка: «Для чего же писать, да ещё и печатать, такие нелепые фантазии?». А всё потому, что в своей статье Лобачевский поставил под сомнение вроде бы очевидное утверждение о том, что через точку плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную. Николай Иванович в своей модели заменил это утверждение на совершенно противоположное: «Через любую точку можно провести более одной прямой, не пересекающую данную».

Даже после второй попытки публикации через 10 лет Лобачевский снова получает отрицательную оценку Михаила Остроградского – члена Санкт-Петербургской академии наук и признанного лидера математиков Российской империи в то время. Тогда Лобачевский решил познакомить со своими идеями иностранных учёных, и эта попытка оказалась вполне успешной. Сам «король математиков» Карл Фридрих Гаусс хорошо отозвался о новой геометрии, над которой и сам тогда работал, но на публикацию не решался также из-за опаски осуждения такой невероятной теории. Но нет пророка в своём Отечестве, и положение Лобачевского не улучшилось. Под конец жизни Николай Иванович и вовсе разорился, продал дом в Казани и имение жены. И лишь спустя 10 лет после смерти его прорывные взгляды были оценены мировым сообществом по достоинству, а труды учёного были переведены на все европейские языки. Что же мы имеем сейчас? Теория относительности утверждает, что даже в нашем реальном мире пространство не такое «ровное», как кажется, что для его описания используется модификация модели Лобачевского. Той самой модели, в которой сумма углов треугольника меньше 180 градусов, в которой плоскость можно замостить правильными десятиугольниками и т.д. Так, казалось бы, совершенно противоестественная и оторванная от реальности математическая теория нашла своё место! Но в своей статье я поведаю о более обыденных вещах – о том, где мы можем встретить разные математические кривые, вероятно, даже не подозревая об этом.

Степенные кривые

Простейшим примером кривой можно назвать, как ни странно, прямую. Что же вообще такое прямая? Вопрос не такой уж простой, ведь если попытаться на него ответить, в нашем ответе возникнут новые понятия, которые так или иначе будут использовать свойства привычной нам прямой. Но в математике всё строго, и, оказывается, что геометрического определения прямой просто не существует! Она вводится без определения. Но, думаю, любому читателю на уровне интуиции понятно, что же это такое. Прямую называют кривой первого порядка или кривой первой степени, то есть она задаётся уравнением первой степени в декартовых координатах, а именно ax + by + c = 0.

Но останавливаться на таком простом случае мы не будем. Наряду с такой «кривой» как «прямая» античные геометры выделяли как «совершенную кривую» окружность. Окружность – это кривая второго порядка, задающаяся всем известным уравнением: x 2 + y 2 = R 2 . Её определение уже может быть дано большим количеством способов, в частности, есть геометрическое определение: «Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки». О важности окружности говорить не приходится – чего только стоит колесо. На этом математические кривые, изучаемые в школе, почти что заканчиваются, хотя есть ещё одна. Это – парабола, известная всем из алгебры как график квадратичной функции. Из такого определения, кстати, следует, что парабола – это кривая тоже второго порядка, как и окружность. Затем школьники сталкиваются с параболой на уроках физики, исследуя броски тела под углом к горизонту, а потом во время изучения вогнутых и выпуклых зеркал и линз. Там уже речь идёт о некоторых геометрических свойствах параболы. Но как вообще можно подходить к изучению геометрии параболы, если всё, что у нас есть – это какая-то там функция? Многим известно, что у параболы есть и классическое геометрическое определение. А именно: «Парабола – это множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной прямой и данной точки». Эту точку называют фокусом параболы, а прямую – директрисой параболы.

К примеру, если взять график функции y = x 2 , фокусом этой параболы будет выступать точка (0; 0.25), а директрисой – прямая y = -0.25. Таким образом, параболу, как и окружность, можно спокойно исследовать на геометрические свойства, которых, на самом деле, немало. Не вдаваясь в подробности, скажу, что совсем неочевиден тот факт, что алгебраическое и геометрическое определения дают одну и ту же геометрическую фигуру. Доказательство можно провести, воспользовавшись методом координат.

Теперь к главному – зачем нужна парабола? Да хотя бы для фонарика! И тем более она необходима в астрономии, при организации спутниковой связи, в военной и гражданской отрасли. Используется самое важное свойство параболы – оптическое, когда параллельный пучок света, отражаясь от параболы, собирается ровно в её фокусе, причём все лучи доходят до фокуса одновременно. Верно и обратное: если поместить источник света в фокусе параболы, то, отразившись от параболы, лучи будут представлять собой параллельный пучок света. Именно это поистине фантастическое свойство лежит в основе работы телескопов, спутниковых антенн и военных радаров. Давайте докажем это свойство.

Отражением света от кривой можно считать отражением от касательной кривой в этой точке. Возьмём какую-нибудь точку А на параболе и проведём касательную XP через неё. Из физики известно, что угол падения равен углу отражения, поэтому наша цель – доказать, что угол BAP (который равен углу XAY) равен углу PAF, то есть касательная в точке A является биссектрисой угла BAF. Предположим, что это не так, тогда пусть есть точка C, и биссектриса угла FCH пересекает параболу в какой-нибудь точке C₁. Тогда из определения параболы CF=CH, C₁F=C₁E. Но в то же время треугольники FCC₁ HCC₁ равны по 2 сторонам и углу, значит, FC₁=HC₁. Получилось, что в треугольнике EHC₁ катет равен гипотенузе, но так не бывает. Значит, биссектриса угла FCH не пересекает параболу во второй раз, то есть касается её.

Интересен тот факт, что в учебниках физики при доказательстве свойств вогнутых и выпуклых зеркал многими несущественными отклонениями пренебрегают, в результате чего изучаемая поверхность имеет как свойства параболы, так и свойства окружности. Из этого можно сделать вывод о том, что, строго говоря, линз и зеркал, обладающих всеми этими свойствами, просто не бывает, их невозможно сделать. Однако на практике этим недостатком иногда действительно можно пренебречь.

Гипербола

Следующая кривая, которая затрагивается в школе — это гипербола — график функции y = k/x. Гипербола – также кривая второй степени, но где эта вторая степень? Она получается домножением обеих частей уравнения на икс:

xy = k – суммарная степень икса и игрека равна двум.

У гиперболы есть своё геометрическое определение: «множество всех точек
плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек,
называемых фокусами, постоянен».

Звучит страшновато, но суть этого определения можно понять из картинки. У любой гиперболы есть 2 асимптоты – прямые, к которым гипербола приближается, но никогда их не пересекает. Если брать гиперболу как график функции y = k/x, то её фокусы будут находиться в точках (√2; √2) и (-√2);- √2), а асимптотами будут оси координат. Но в общем случае для гиперболы асимптоты могут образовывать любой угол. Например, график функции y = x + 1/x – тоже гипербола с асимптотами x = 0 и y = x, угол между которыми равен 45⁰. Гипербола также обладает своим оптическим свойством, которое мы докажем несколько позднее, из-за чего она тоже используется в некоторых телескопах. Но чаще гиперболы, как, и параболы, встречаются в астрономии, ведь под воздействием гравитационных сил именно по гиперболе летят тела, имеющие достаточно высокую скорость. К примеру, гиперболическими траекториями обладают космические аппараты «Вояджер-1» и «Вояджер-2».

Эллипс

Последним примером кривой второго порядка является эллипс, известный как траектория движения планет вокруг солнца. Определять его можно большим количеством способов, даже как «растянутую окружность» в некотором смысле. Но в геометрии обычно используется следующее определение: «Множество всех точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна». Очень похоже на определение гиперболы, только «разность» заменяется «суммой», что выглядит более естественно, благодаря чему эллипс можно даже нарисовать. Достаточно взять 2 гвоздика или 2 иголочки и зафиксировать их в фокусах предполагаемого эллипса, потом надеть на них ниточку, но так, чтобы она была не натянута, после чего взять карандаш, натянуть им ниточку и, не ослабляя натяжения, провести линию. Тогда этой линией будет эллипс.

Конечно, в тетради таким способом эллипс не нарисовать, но это позволяет чуть лучше представить и прочувствовать эллипс. Конечно же, эллипс тоже обладает своим оптическим свойством. Если поместить источник света в фокусе эллипса, то после отражения от стенок эллипса все лучи сойдутся в другом фокусе, причём одновременно. Безусловно, роль света могут отыгрывать любые волны, например звуковые. Яркий пример использования этого свойства – метод литотрипсии в медицине, при котором возможно удалить камни из почек без хирургического вмешательства. Пациента располагают в эллиптической ванне так, чтобы почка с камнем находилась в одном из её фокусов. В другом фокусе ставят источник ультразвука. Отражаясь от стен, ультразвук собирается в одной точке и разрушает камень до состояния песка, который может выйти из организма естественным путём. Это невероятно полезное свойство эллипса тоже можно легко доказать, не выходя за рамки школьного курса, давайте сделаем это.

Для начала нам потребуется одна вспомогательная задача, известная как задача Герона. Если есть прямая АВ, а так же 2 точки P и Q с одной стороны от неё, то где на прямой AB поместить такую точку X, что сумма PX + QX минимальна? Давайте отразим точку Q относительно AB, получим точку Q’. Тогда искомая точка X находится на пересечении отрезка PQ и прямой AB. Действительно, возьмём любую другую точку Y на AB, тогда из неравенства треугольника PY + Q’Y > PQ’ = PX + XQ, то есть для любой другой точки нужная сумма больше, чем для точки X. Из построения видно, что равны углы PXA и QXB. Это значит, что точка X такова, что свет, идущий из точки P, после отражения от AB в точке X, попадает в точку Q.

Вернёмся к эллипсу. Возьмём на нём какую-нибудь точку A и проведём через неё касательную XY. Мы хотим доказать равенство углов XAF₁ и YAF₂, то есть что точка A на прямой XY – это та самая точка из задачи Герона. Отметим другую точку на касательной к эллипсу и обозначим её за B. Поскольку эта точка лежит вне эллипса, то сумма BF₁ и BF₂ больше суммы AF₁ и AF₂ (это следует из определения эллипса). Значит, точка A на прямой XY такова, что сумма AF₁ и AF₂ минимальна, то есть это в точности точка из задачи Герона. А из этой задачи нам известно требуемое равенство углов.

Оптическое свойство гиперболы похоже на свойство эллипса и звучит оно так: «Если поместить точечный источник света в одном из фокусов гиперболы, то после отражения от ветви гиперболы лучи пойдут в таком направлении, что их продолжения пересекутся в другом фокусе». В терминах приведённой картинки нужно доказать равенство углов XAF₁ и XAF₂. Доказательство этого свойства аналогично случаю с эллипсом, только придётся немного изменить задачу Герона. Если интересно, можете попробовать провести рассуждения самостоятельно.

Вот мы и познакомились со каждой кривой второго порядка, но есть ли у них ещё что-нибудь общее? Оказывается, есть. Помимо большого количества общих геометрических свойств, любая из этих кривых может быть получена в сечении конуса (если быть точнее, то конической поверхности) плоскостью, поэтому их часто называют кониками.

Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получается парабола (1-я картинка). Если плоскость пересекает все образующие только в одной «половинке», то получается эллипс (картинка 2). И, наконец, если плоскость пересекает обе «половинки» конуса, то сечение – гипербола, как на 3-й картинке. Окружность же считается эллипсом, у которого фокусы совпадают. Естественным образом коники встречаются и в геометрии, и в нашей жизни. К примеру, кончик стрелки солнечных часов в течение дня описывает гиперболу, движения космических тел часто происходят вдоль определенных коник.

Другие степенные кривые

Что касается коник, то на этом можно остановиться. Возможно, во время чтения статьи у читателя возник вопрос: «Раз есть кривые второй степени, то и более высоких степеней наверное тоже?» Да, кривые могут иметь какую угодно степень, но чем выше степень, тем больше возникает видов кривых и тем менее удобны они для изучения, так что о кривых степени выше четвёртой говорить особого смысла нет. После коник идут кривые третьей степени, или кубики. Простой пример кубики – кривая, являющаяся графиком уравнения y 2 + y — 2xy 2 = x 3 — x 2 . Как видим, степень каждого слагаемого не превосходит 3.

Если существует всего 3 вида коник: эллипс, парабола, гипербола, то, поднявшись всего на одну степень вверх, мы получим уже более 50 разных видов кубических кривых! Кубические кривые, как и коники, часто естественным образом возникают в геометрии. Среди них, правда, особенно полезных немного. Особый вид кубических кривых, называемый эллиптическими кривыми, имеет большое значение в криптографии и шифровке данных, но все их свойства очень сложны, так что останавливаться на них я не буду.

Однако есть такая кривая, называемая кубической параболой – график уравнения y = x 3 . Эту кривую можно встретить на любой улице, ведь именно по кубической параболе часто делают дорожные повороты. Почему? Для ответа на этот вопрос придётся немного углубиться в понятие кривизны кривой. Чем больше кривизна, тем больше перегрузка, которая испытывается при повороте. И у кубической параболы кривизна меняется постепенно, что, хоть и не уменьшает перегрузку, но делает её плавной. На самом деле, кубическая парабола не является идеальной кривой для поворота, она лишь похожа на эту идеальную кривую, о которой мы поговорим несколько позднее, но используется она потому, что все расчёты, связанные с ней, значительно проще.

Сейчас речь пойдёт о способе использования кривых, о которых мы уже поговорили. Существует такое понятие, как сплайн. Если по-простому, то это несколько разных кривых, которые «состыковали» вместе. Часто используют кубические кривые, так как они могут иметь самые разные формы, и, соединив несколько их кусочков, можно получить практически что угодно. Это свойство сплайнов находит применение в компьютерной графике. Сплайнами иногда описываются некоторые физические процессы. Например, как будет выглядеть график зависимости температуры воды от количества приложенной теплоты? Сначала вода будет нагреваться пропорционально количеству тепла, графиком будет наклонённая прямая, затем, при достижении 100 градусов, температура перестанет расти, и вся теплота будет уходить на образование пара, графиком этого процесса уже будет горизонтальная прямая. И, наконец, когда вся вода испарится, пар станет снова нагреваться пропорционально приложенному теплу. График этого процесса – прямая, но имеющая другой угловой коэффициент, отличный от воды. Таким образом, график целого процесса – простейший сплайн, состоящий из 3 прямых. Если же изначально будет дан лёд с отрицательной температурой, то сплайн будет состоять уже из 5 частей.

На этом со степенными кривыми, наконец, покончено. Перед тем, как мы поговорим о некоторых других кривых, хотелось бы немного уточнить понятие кривизны кривой. Вообще, оно тесно связано с понятием производной, но попробуем обойтись без него, пользуясь лишь интуицией. Сначала рассмотрим простой пример. Есть окружность, она вся симметрична, как ни посмотри. Поэтому и кривизна окружности одинакова во всех её точках. Если взять гиперболу, то ближе к центру она будет более «кривая», чем на некотором расстоянии, где она будет почти неотличима от прямой. Но как измерить кривизну кривой в произвольной точке? Достаточно определённым образом приблизить эту кривую окружностью в нашей точке, тогда кривизна кривой в этой точке будет равна кривизне такой окружности. У этой окружности есть хороший физический смысл. Из курса физики известно, что при равномерном движении по окружности тело имеет ускорение, направленное в центр этой окружности, при этом ускорение, скорость тела и радиус окружности связаны следующим соотношением: a * R = v 2 или R = v 2 / a. Так вот, та самая окружность, которая лучше всего приближает кривую, может быть получена, если подвигать тело вдоль кривой с постоянной скоростью и измерить его ускорение в нужной точке. И, воспользовавшись соотношением для центростремительного ускорения, найти радиус окружности. Этот радиус называют радиусом кривизны кривой в данной точке. А что касается кривизны окружности, то это есть величина, просто напросто обратная её радиусу. Например, у окружности с радиусом 2 см кривизна будет 1/2 = 0.5 см -1 .

Мы вплотную подошли к рассмотрению идеальной кривой для дорожных поворотов. Такая кривая называется клотоидой или спиралью Корню. Она замечательна тем, что её кривизна изменяется равномерно. Это значит, что если дорога будет сделана по форме этой спирали, то, проезжая по ней, водитель будет поворачивать руль плавно, и это позволит входить в поворот почти без снижения скорости. Однако даже по виду этой кривой можно сказать, что она не может описываться каким-то примитивным уравнением. И поэтому на практике её обычно заменяют кубической параболой.

Эволюты и эвольвенты

Наверняка вы когда-нибудь задумывались, какую форму принимает, например, цепочка, подвешенная с двух концов, или верёвка, провисающая между двумя опорами? Эта кривая называется цепной линией. На первый взгляд эта кривая кажется похожей на параболу, но в действительности эта кривая задаётся совсем не интуитивным, хотя и несложным уравнением. А именно:

ch(x) – это функция так называемого гиперболического косинуса (иногда используется обозначение cosh(x)), где e

2.72 – число Эйлера. Какое отношение эта функция имеет к гиперболе, это отдельная и очень интересная тема, связанная с геометрией Лобачевского. В любом случае, совсем не ясно, откуда взялась эта формула. К сожалению, для её доказательства необходимо решить некоторое дифференциальное уравнение, пускай и не очень сложное, так что приводить доказательство я не буду. Но эту кривую можно использовать и в строительстве. Если её перевернуть, то полученная таким образом кривая будет иметь идеальную форму для конструкции моста, то есть если мост имеет такую форму, то нагрузка на поддерживающие его опоры будет минимальна. Если цепную линию вращать вокруг оси симметрии, то получится поверхность, являющаяся идеальной для строительства куполов.

Но всё же с параболой у цепной линии немного больше общего, чем просто внешний вид. Цепную линию можно так же получить как траекторию движения фокуса параболы, катящейся по прямой без проскальзывания. Возможно читатель когда-то задавался вопросом: «Какую форму должна иметь дорога, чтобы по ней можно было ехать на квадратных колёсах без тряски?» Ответ – кочки на дороге должны иметь форму правильно подобранных цепных линий.

С этой замечательной кривой тесно связана ещё одна. Пусть есть какой-то нерастяжимый стержень, лежащий на поверхности стола с достаточно большим трением. Будем медленно тянуть один конец стержня вдоль какой-нибудь прямой не по направлению стержня. Тогда какую траекторию будет описывать другой конец? Такая кривая называется трактрисой. Но есть у неё и другое, очень красивое название – эвольвента цепной линии. Кроме того, если вращать трактрису вокруг асимптоты, мы получим поверхность, называемую псевдосферой. Она замечательна тем, что имеет постоянную отрицательную кривизну, благодаря чему на ней можно реализовать уже не раз упомянутую геометрию Лобачевского.

На первый взгляд трактриса с цепной линией никак не связана, ведь их физический смысл совсем разный. Но между этими кривыми есть очень тонкая и красивая математическая связь. Если взять трактрису, отметить на ней какую-нибудь точку, провести через неё касательную к трактрисе, а затем провести перпендикуляр к касательной через эту же точку (этот перпендикуляр называется нормалью к кривой в данной точке), то он будет касаться некоторой цепной линии. Эту связь можно проиллюстрировать и по-другому: для каждой точки трактрисы проведём окружность кривизны (та самая окружность, которая наилучшим образом приближает кривую в этой точке), а затем отметим центры всех таких окружностей. Все эти центры образуют цепную линию. Если проделать такую же операцию, но с произвольной кривой, то получится другая кривая, называемая её эволютой. Таким образом, цепная линия – это эволюта трактрисы. Эвольвента – это то же самое, но в другую сторону. То есть если кривая A является эволютой кривой B, то кривая B является эвольвентой кривой A.

Наконец пришло время поговорить о такой замечательной кривой, как эвольвента окружности. Мне очень нравится эта кривая, она изящная и её легко построить. Достаточно зафиксировать в вертикальном положении катушку с нитками и начать разматывать нить, держа её натянутой. Тогда тот конец нити, что находится в руке, будет двигаться по эвольвенте окружности. Эта кривая имеет большое значение в зубчатом зацеплении, ведь если выточить зубья на шестернях по эвольвенте окружности и правильно соблюсти расстояние между соседними зубьями, то получится зубчатая передача, работающая без стука. Это означает, что контакт между шестернями всегда сохраняется, и поэтому обе шестерни могут двигаться равномерно. Именно это зацепление известно как эвольвентное.

Заключение

Конечно, существует ещё огромное количество кривых, которые так или иначе фигурируют в нашей жизни: логарифмическая спираль, синусоида, циклоида, лемниската, брахистохрона и т.д. Но о них мы поговорим как-нибудь в следующий раз.

Многие люди даже не подозревают, какой удивительный мир скрывается за порой обыденными вещами, и имя этому миру – математика. В своей статье я постарался познакомить читателя с этой параллельной вселенной, полной красоты и гармонии.

Надеюсь, вам понравилась моя первая статья, буду рад конструктивной критике)