Какие числа делятся на 10?
Самое простое правило из всех известных признаков делимости — это правило делимости на 10. Оно гласит, что любое исходное число "А" будет делиться на число 10 без остатка если последней цифрой этого числа "А" является цифра 0.
Деление на 10 — это мечта всех школьников. Все бы примеры так решались. Правило звучит так: число поделится, если на его конце будет стоять 0. Независимо от числа, ответ запишем, просто убрав этот ноль. Например 2578960:10= 257896. И считать не надо, тупое переписывание чисел, только без нуля, красота.
Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее: примеры, доказательства
Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000 , 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000 , 100 , 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.
Формулировка признака делимости на 10 , 100 и т.д. с примерами
Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:
Если число заканчивается на 0 , то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.
Теперь запишем признак делимости на 100 :
На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.
Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.
Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0 , поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.
Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.
Условие: определите, какие числа из ряда 500 , − 1 010 , − 50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 можно разделить на 10 , 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100 .
Решение
Согласно признаку делимости на 10 , мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с − 1 010 , 440 000 300 000 , 500 , ведь они все заканчиваются нулями. А вот для − 50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3 .
На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000 , поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце ( 4 ) . Зная признак делимости на 100 , можно сказать, что − 1 010 , − 50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.
Ответ: на 10 можно разделить числа 500 , − 1 010 , 440 000 300 000 ; на 10 000 – число 440 000 300 000 ; на 100 не делятся числа 1 010 , − 50 012 и 67 893 .
Как доказать признаки делимости на 10 , 100 , 1000 и др.
Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100 , 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.
Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10 . Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.
Чтобы определить, делится ли целое число на 10 , нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0 , то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.
Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10 . Докажем, что в конце у него стоит 0 .
Поскольку a можно разделить на 10 , то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q , при котором будет верным равенство a = 10 · q . Вспомним правило умножения на 10 : произведение 10 · q должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a = 10 · q последним будет стоять 0 . Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.
Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10 . Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10 , его можно представить в виде a = a 1 · 10 . Здесь число a 1 получается из a , в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a = a 1 · 10 будет следовать делимость a на 10 . Таким образом мы доказали достаточность условия.
Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100 , 1000 и т.д.
Прочие случаи делимости на 1000 , 100 , 10 и др.
В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10 . Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.
Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.
Условие: определите, можно ли разделить 11 n + 20 n — 21 на 10 при любом натуральном значении n .
Решение
Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.
11 n + 20 n — 21 = ( 10 + 1 ) n + 20 n — 21 = = C n 0 · 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 · 10 n — 2 + C n n — 1 · 10 · 1 n — 1 + C n n · 1 n + + 20 n — 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 · n · 10 + 1 + + 20 n — 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 + 30 n — 20 = = 10 · 10 n — 1 + C n 1 · 10 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 10 1 + 3 n — 2
Мы получили выражение, которое можно разделить на 10 ,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n . Значит, исходное выражение 11 n + 20 n — 21 можно разделить на десять при любом натуральном n .
Ответ: данное выражение делится на 10 .
Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.
Условие: выясните, будет ли 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при любом натуральном n .
Решение
Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11 n + 20 n — 21 = 11 1 + 20 · 1 — 21 = 10 . Деление десяти на десять возможно.
Допустим, что выражение 11 n + 20 n — 21 будет делиться на 10 при n = k , то есть 11 k + 20 k — 21 можно разделить на 10 .
Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при n = k + 1 . Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:
11 k + 1 + 20 · k + 1 — 21 = 11 · 11 k + 20 k — 1 = 11 · 11 k + 20 k — 21 — 200 k + 230 = = 11 · 11 k + 20 k — 21 — 10 · 20 k — 23
Выражение 11 · 11 k + 20 k — 21 в данной разности можно разделить на 10 , поскольку такое деление возможно и для 11 k + 20 k — 21 , а 10 · 20 k — 23 тоже делится на 10 , потому что это выражение содержит множитель 10 . Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при любом натуральном значении n.
Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n , допускается следующий подход: доказываем, что при n = 10 · m , n = 10 · m + 1 , … , n = 10 · m + 9 , где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10 . Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n . Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25
Признаки делимости — это такие признаки, благодаря которым мы можем определить без расчетов, делится ли число на другое нацело (без остатка) или нет, т.е. является ли число (делимое) кратно другому (делителю).
Рассмотрим конкретные признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25 и приведем примеры. Для наглядности выбран вид изложения материала — табличный. Внизу статьи вы сможете скачать наглядные материалы для лучшего усвоения данной темы, а также шпаргалку по данной теме.
Таблица
Число делится на 2 . Такое число называют чётным, если число разряда единиц делится на 2, т.е. число должно оканчиваться на цифры 0, 2, 4, 6, 8.
364 : 2 = 182
7395610 : 2 = 3697805
8356489634 : 2 = 4178244817
Число делится на 3 , если сумма чисел, входящих в состав числа делится на 3 без остатка.
192 : 3 = 64 (1 + 9 + 2 = 12; 12 делится на 3),
768 : 3 = 256 (7 + 6 + 8 = 21; 21 делится на 3)
Число делится на 4 , если число оканчивается на два нуля или две последние цифры составляют число, которое делится на 4 нацело.
5700 : 4 = 1425
6324 : 4 = 1581 (24 делится на 4)
648616 : 4 = 162154 (16 делится на 4)
100 : 4 = 25
Число делится на 5 , если оканчивается на 0 или 5.
635 : 5 = 127
867420 : 5 = 173484
5765 : 5 = 1153
Число делится на 6 , если оно делится без остатка и на 2, и на 3
3144 : 6 = 524 (3144 делится на 2, так как заканчивается на 4 – признак делимости на 2; 3 + 1 + 4 + 4 = 12; 12 делится на 3) Соответственно 3144 делится на 6.
Число делится на 7, если разность между делимым без последней цифры и удвоенным числом единиц, делится на 7
28 7 : 7 = 41 (28 – 7×2=28-14=14; 14 делится на7)
Число делится на 8 , если делимое заканчивается на 3 нуля или три последних числа, составляющих делимое делятся на 8.
456000 : 8 = 57000
87000 : 8 = 10875
1432 : 8 = 179 (т.к. 432 делится на 8; 432 : 8 = 54).
Число делится на 9 , если сумма цифр, входящих в состав числа делится на 9.
603 : 9 = 67 ( 6 + 0 + 3 = 9, 9 делится на 9). Поменяем местами цифры в делимом и проверим снова кратность числа 96
630 : 9 = 70 (6 + 3 + 0 = 9),
5832 : 9 = 648 (5 + 8 + 3 + 2 = 18; 18 делится на 9)
Число делится на 10 , если делимое заканчивается на 0. Чтобы разделить число на 10, нужно убрать о из разряда единиц.
8510 : 10 = 851
546700 : 10 = 54670
750 : 10 = 75
6340 : 10 = 634
Число делится на 11 , если суммы цифр, которые занимают четные позиции в числе равны сумме цифр, занимающих нечетные позиции или отличаются на 11.
2 695 : 11 = 245 (2 + 9 = 6 + 5 = 11)
1 232 : 11 = 112 (1 + 3 = 2 + 2 = 4)
3 641 : 11 = 331 (3 + 4 = 6 + 1 = 7)
Число делится на 25 , если оно заканчивается на 00, 25, 50, 75, т.е. последние 2 цифры, входящие в состав числа делятся на 25.
75600 : 25 = 3024
75625 : 25 = 3025
75650 : 25 = 3026
75675 : 25 = 3027
Признаки делимости на составное число
Если нам нужно узнать делится ли число на какое-нибудь составное, то нам нужно разложить делитель на два множителя, признаки делимости которых известны. Посмотрите делится ли исходное число (делимое) на каждый из этих множителей. Если ответ положительный, то число делится на составное.
- Признак делимости на 15. Число должно делится на 3 и на 5 без остатка (15 = 3 x 5). Число 345 делится на 15, так как имеет признаки делимости на 3 (3 + 4 + 5 = 12; 12 делится на 3) и на 5 (число 345 оканчивается на 5). 345 : 15 = 23
- Признак делимости на 18. Исходное число должно делится на 2 и на 9. Пример, 990 делится на 18, так как оно делится на 2 (990 оканчивается на 0) и на 9 (9 + 9 + 0 = 18; 18 делится на 9). 990 : 18 = 55
- Признак делимости на 12. Число должно делится на 3 и на 4. Пример, 324 делится на 12, так как делится на 3 (3 + 2 + 4 = 9; 9 делится на 3) и на 4 (последние две цифры, входящие в состав числа делятся на 4). 324 : 12 = 27
- Признак делимости на 22. Число должно делится на 11 и на 2 (быть чётным). 3454 делится на 11 (т.к. 3 + 5 = 4 + 4) и на 2 (число чётное, оканчивается на 4). 3454 : 22 = 157
Шпаргалка
Эту таблицу вы можете распечатать, чтобы повесить на стену для лучшего запоминания.
Скачать в PNG или PDF (рекомендуется для печати)
И шпаргалка маленького размера ( 10 на 6 см) в виде таблицы
Скачать и распечатать в ворде
Задача
Пользуясь признаками делимости, из данных чисел 1368,2121,2178,4356,5635,7221,8484. Выберете числа кратные
Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,25,100,1000
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.
Примеры.
- 31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
- 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
- 16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признак делимости на 8
Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.
Примеры.
- 125000 делится на 8 (три нуля в конце);
- 170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
- 111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).
Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры.
- Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
- Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
- Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.
Признак делимости на 6.
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.
Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признаки делимости на 5.
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие – не делятся.
Пример.
- 240 делится на 5 (последняя цифра 0);
- 554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Признаки делимости на 10, 100 и 1000.
На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 – только те, у которых три
последние цифры нули.
Примеры.
- 8200 делится на 10 и на 100;
- 542000 делится на 10, 100, 1000.
Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на
число, делящееся на 11.
Примеры.
- Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
- Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.
- Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.
Признак делимости на 7.
Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.
Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 и разность 767 – 634 = 133 делится на 7.