Четыре натуральных числа таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1

Тройки чисел из условия задачи можно описать явно. Условие $%\frac1a+\frac1b=\frac1c$% означает, что $%ab=c(a+b)$%, откуда $%(a-c)(b-c)=c^2$%. Числа $%a-c$% и $%b-c$% не могут иметь общий простой делитель $%p$%, потому что в противном случае $%c$% будет делиться на $%p$%, и тогда каждое из чисел $%a$%, $%b$% также кратно $%p$%. Это противоречит условию, поэтому $%\gcd(a-c,b-c)=1$%. Произведение двух взаимно простых чисел является точным квадратом тогда и только тогда, когда сами эти числа суть точные квадраты. Отсюда мы имеем $%a-c=u^2$%, $%b-c=v^2$%, $%c=uv$% для некоторых натуральных $%u$%, $%v$%.

Ясно, что $%ab=uv(u+v)^2$%, поэтому $%abc=(uv)^2(u+v)^2$%. Тем самым, значения всех квадратных корней будут целыми, а общая сумма равна $%(uv+1)(u+v)$%.

Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1

Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1

Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что

а) Могут ли все числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.

в) Если все четыре числа больше четырех, то сумма обратных к ним меньше четырех четвертых, то есть меньше 1. Если все числа не меньше четырех, то равенство возможно лишь для но в этом случае равны все числа, а не ровно два из них. Наконец, ни одно из чисел не равно единице. Следовательно, среди чисел непременно есть 2 или 3. Будем считать, что Умножим обе части равенства на abc, получим: В силу симметрии а и b достаточно рассмотреть случай, когда 2 или 3 равно либо a, либо c. Рассмотрим эти варианты.

1. Пусть тогда то есть откуда Это дает варианты (не подходит, поскольку три числа равны 6),

2. Пусть тогда то есть откуда Это дает варианты (не подходит, так как дает две пары одинаковых чисел);

3. Пусть тогда откуда что невозможно.

4. Пусть тогда а значит, откуда получаем, что Отсюда имеем: (не подходит, так как дает две пары одинаковых чисел).

Из найденных наборов в ответ необходимо включить те, которые соответствуют различным наборам чисел, без учета их прядка в наборах. Это

Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1

Задание 19. Четыре натуральных числа a, b, c и d таковы, что .

а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?

в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.

а) Да, могут. Возьмем в качестве первых трех чисел a, b, c числа 2, 3, 7 и вычислим последнее значение d:

получаем различные числа 2, 3, 7 и 42.

б) Предположим, что число . Величины и возьмем по порядку, например, 2 и 3, получим:

откуда следует, что

Таким образом, числа 7, 2, 3, 42 дают искомое равенство.

в) Пусть два каких-либо значения равно , для остальных двух получим:

Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1

Че­ты­ре на­ту­раль­ных числа a, b, c, d та­ко­вы:
1/a+1/b+1/c+1/d=1
а) Могут ли все числа быть по­пар­но раз­лич­ны?
б) Может ли одно из этих чисел рав­нять­ся 9?
в) Най­ди­те все воз­мож­ные на­бо­ры чисел (без учета их по­ряд­ка в на­бо­ре), среди ко­то­рых ровно два числа равны.​
107 0
Знаешь ответ? Добавь его сюда и заработай денег! Ответы проходят модерацию. Минимум 100 символов.