Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Запомните! 
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H . Точки F и G лежат на прямой a . Точки D и H не лежат на прямой a .
В тексте точку обозначают символом « (·)» . Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами « ∈ » и « ∉ ». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы « Э » или как знак евро « € » .
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
- (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
- (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
- (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
- (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
-
На рисунке изображены:
- Прямая a
- Прямая f
- Прямая CH
- Прямая DK
Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.
Разбор примера
Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .
Решение задачи
Обозначим её буквой a .
Отметим точки (·)A и (·)B , лежащие на прямой a .
Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R , не лежащие на прямой a .
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
- (·)A ∈ a
- (·)B ∈ a
- (·)P ∉ a
- (·)Q ∉ a
- (·)R ∉ a
Как обозначается пересечение прямых
На рисунке прямые a и b не пересекаются . Прямые b и c пересекаются .
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩ . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:
- b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
- a ∩ c — прямые a и с пересекаются.
Прямые e и g имеют общую точку M . Другими словами, прямые пересекаются в точке M . Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Запомните!
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну .
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Запомните!
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M .
Третий случай расположения прямых
Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B .
Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно .
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Разбор примера
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Теперь прямая a пересекается с прямой b , прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a .
В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D .
Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D . Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F .
Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D , прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E . Условие задачи выполнено.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Запомните!
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T .
Сам отрезок можно назвать ST или TS . Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Ваши комментарии
Важно! 
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Тимофей Программист 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Тимофей Программист
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Фёдоров 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Ольга Смирнова 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ольга Смирнова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Никита Фролов 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Никита Фролов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Фёдоров Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Максимум 6 точек.
Вообще, для N прямых наибольшее число точек пересечения равно
| N(N ? 1) |
| 2 |
.
Никита не прав.
Евгений Фёдоров Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Ирина Поджарова 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Ирина Поджарова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
В равнобедренном треугольнике высота равна 45 см, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найти радиус вписанного круга.
Евгений Колосов 
Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Для решения задачи воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник:
r=
| b |
| 2 |
· ?
| (2a-b) |
| (2a+b |
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
, где a — сторона треугольника, b-основание.
Необходимо найти a и b.
Высота в равнобедренном треугольнике вычисляется по формуле:
h=?(a 2 —
| b 2 |
| 4 |
). из условия видно, что b=
| 4 |
| 3 |
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
b=4a/3. Знаем, что h=45, можем вычислить длину основания. Зная длину основания можем вычислить длину стороны. Сзная длину стороны и основания можем вычислить радиус вписанной окружности. Дальше-дело техники. Удачи.
P.S. Прошу прощения, что много сообщений, какие то проблемы с браузером.
Евгений Фёдоров Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Иван Черновалов 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Иван Черновалов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Провести касательные к элипсу
| x 2 |
| 169 |
+
| y 2 |
| 25 |
= 1 которые параллельны прямой 2x-y+17=0 (ответ 12x-13y+-169=0)
Евгений Фёдоров Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Касательные имеют вид 2x — y + c = o.
Параметр с находим из условия, что уравнение
| x 2 |
| 169 |
+
| (2x + c) 2 |
| 25 |
= 1 имеет 1 корень.
Ян Кифа 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ян Кифа
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Roma Bobrov 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Roma Bobrov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Анна Вопилова 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Анна Вопилова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Фёдоров Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?
Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы — чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.
Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?
Теорема Менелая:
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем – точка ее пересечения со стороной – точка ее пересечения со стороной и – точка ее пересечения с продолжением стороны
Тогда выполняется равенство:
Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и причем на стороне должна лежать точка на стороне – точка и на продолжении – точка
Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и – их тоже включаем в формулу.
Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки и – это города, а точки и – заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)
В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка лежит на стороне точка лежит на стороне а точка лежит на продолжении стороны причём про эти точки известно, что
Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке Или, если нам удается доказать, что угол – развернутый, это и будет означать, что точки и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и – лежат на одной прямой.
Теорема Чевы
Пусть точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника причем отрезки и пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:
Обратная теорема Чевы:
Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах и треугольника причём
Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.
Как применяются теоремы Менелая и Чевы?
Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.
На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,
Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:
По теореме Чевы,
Это значит, что по двум углам и то есть
Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны
По теореме Менелая,
по углу и двум сторонам, отсюда
— параллелограмм по определению.
Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.
Докажем, что — параллелограмм.
Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,
По теореме Фалеса
по 2 углам,
тогда
Это значит, что по углу и двум сторонам и
Получим, что в четырёхугольнике :
Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.
Поскольку получим, что — прямоугольный.
Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём
Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)
по теореме Пифагора из
Найдём из по теореме косинусов.
Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.
На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:
а) прямые и отсекают от катетов треугольника равные отрезки
б) прямые и высота треугольника проведённая из вершины пересекаются в одной точке.
Пункт (а) доказывается легко.
Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:
Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Проверим выполнение равенства
Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:
Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.
Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Лежит ли точка на прямой
Чтобы избавиться от деления, можно преобразовать уравнение:
Осталось сюда подставить точку (x3, y3).
Дизайн сайта / логотип © 2023 Stack Exchange Inc; пользовательские материалы лицензированы в соответствии с CC BY-SA . rev 2023.9.4.43609
Нажимая «Принять все файлы cookie» вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Когда 3 точки лежат на одной прямой
Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.
Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.
Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.
Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.
Решим поставленную задачу
Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:
После преобразования получим:
x-y=-3 — это уравнение прямой АБ
Проверим удовлетворяют ли координаты точки В этому уравнению, для этого достаточно выполнить подстановку координат точки В в место переменных в уравнении прямой АБ. Если получим верное числовое равенство, то точка В — это точка прямой АБ. В противном случае, неверное числовое равенство, будет свидетельствовать о не принадлежности точки В прямой АБ.
Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.
Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)