Как доказать что события независимы

Теорема 3.11: Теорема о независимости $\sigma$-алгебр порожденных независимыми классами событий.
Пусть $\mathcal_1$, $\mathcal_2$ независимые классы событий замкнутые относительно конечных пересечений. Тогда классы $\sigma(\mathcal_1)$, $\sigma(\mathcal_2)$ также независимы.

$\varnothing\in\Phi$,
$\Omega\in\Phi$,
$\mathcal_1\subset\Phi$,
класс $\Phi$ замкнут относительно собственных разностей,
класс $\Phi$ замкнут относительно счетных объединений попарно несовместных собыитй.

$(\varnothing\in\mathcal\wedge\varnothing=\varnothing)\Rightarrow\varnothing\in\mathcal_A$.
$(\Omega\in\mathcal\wedge\Omega=A\in\mathcal_1\subset\mathcal)\Rightarrow\Omega\in\mathcal_A$.
Так как по условию класс $\mathcal_1$ замкнут относительно счетных пересечений, то $$\forall\in\mathcal_1(AB\in\mathcal_1\subset\mathcal)\Rightarrow\mathcal_1\subset\mathcal_A.$$

Фиксируем $B,C\in\mathcal_A$ такие, что $B\subset$, тогда по свойству 4 и по определению $\mathcal_A$ $$ (C\backslash\in\mathcal\wedgeB,AC\in\mathcal)\Rightarrow(C\backslash)=AC\backslashB\in\mathcal\Rightarrow\backslash\in\mathcal_A $$

Пусть $\$ последовательность попарно несовместных событий из $\mathcal_A$, тогда для любых различных $k,s\in\mathbb$ $(AB_k)(AB_s)=\varnothing$. Следовательно, по свойству 5 и определению $\mathcal_A$ $$ A\left(\bigsqcup_^<\infty>B_n\right)=\bigsqcup_^<\infty>(AB_n)\in\mathcal\Rightarrow\bigsqcup_^<\infty>B_n\in\mathcal_A. $$

Доказательство:
Так как алгебра множеств замкнута относительно конечных пересечений, то утверждение следует из теоремы 3.11.

3.6 Независимые случайные величины.

Теорема 3.12: Случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы тогда и только тогда, когда независимы порожденные ими $\sigma$-алгебры $\mathfrak_<\xi_1>,\ldots,\mathfrak_<\xi_n>$.

Теорема 3.13: Случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы тогда и только тогда, когда $$F_<(\xi_1,\ldots,\xi_n)>(x_1,\ldots,x_n)\equiv\prod_^nF_<\xi_k>(x_k)$$

Теорема 3.14: Пусть $\overline\xi:=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ — многомерная случайная величина с плотностью распределения $p_<\overline\xi>(x_1,\ldots,x_n)$, для любого $k\in\overline<1,n>$ $p_<\xi_k>(x)$ — плотность распределения $\xi_k$. Тогда случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы тогда и только тогда, когда $p_<\overline\xi>(x_1,\ldots,x_n)=\prod_^np_<\xi_k>(x_k)$ для всех точек непрерывности функций $p_<\xi_1>(x_1),\ldots,p_<\xi_n>(x_n)$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы, $x_1,\ldots,x_n$ точки непрерывности функций $p_<\xi_1>(x),\ldots,p_<\xi_n>(x)$ соответственно, тогда $$ F_<\overline\xi>(x_1,\ldots,x_n)=\prod_^nF_<\xi_k>(x_k)=\prod_^n\int\limits_<-\infty>^p_(u_k)du_k= \int\limits_<-\infty>^\cdots\int\limits_<-\infty>^\prod_^np_<\xi_k>(u_k)du_1\cdotsu_n. $$ Так как функция $\prod_^np_<\xi_k>(u_k)$ неотрицательна, то она удовлетворяет определению для плотности распределения многомерной случайной величины $\overline\xi$.
$\Leftarrow)$ Пусть $p_<\overline\xi>(x_1,\ldots,x_n)=\prod_^np_<\xi_k>(x_k)$ для всех точек непрерывности функций $p_<\xi_1>(x),\ldots,p_<\xi_n>(x)$, тогда $$ F_<\overline\xi>(x_1,\ldots,x_n)=\int\limits_<-\infty>^\cdots\int\limits_<-\infty>^p_<\overline\xi>(u_1,\ldots,u_n)du_1\cdotsu_n= \int\limits_<-\infty>^\cdots\int\limits_<-\infty>^\prod_^np_<\xi_k>(u_k)du_1\cdotsu_n= \prod_^n\int\limits_<-\infty>^p_<\xi_k>(u_k)du_k=\prod_^nF_<\xi_k>(x_k). $$ Следовательно, случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы по теореме 3.13.

Теорема 3.15: Если $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимые случайные величины, то для любых борелевских функции $g_1(x),\ldots,g_n(x):\mathbb\to\mathbb$ случайные величины $\eta_1:=g(\xi_1),\ldots,\eta_n:=g(\xi_n)$ также являются независимыми.

Доказательство:
Для любых $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal$ $$ P(\eta_1\in_1,\ldots,\eta_n\in_n)=P(\xi_1\in^<-1>(B_1),\ldots,\xi_n\in^<-1>(B_n))= P(\xi_1\in^<-1>(B_1))\cdots
(\xi_n\in^<-1>(B_n))=P(\eta_1\in_1)\cdots
(\eta_n\in_n). $$

1. Независимые события. Умножение вероятностей

В случае независимых испытаний (например, кубик бросается несколько раз) можно говорить о независимых событиях. В общем случае независимость событий можно проверить с помощью следующей формулы.

Пусть бросают одновременно два игральных кубика. Пусть событие $A$ — «первый кубик показывает $3$ очка», событие $B$ — «второй кубик показывает $2$ очка». Количество очков на одном кубике не зависит от количества очков на другом кубике. Подтвердим независимость событий $A$ и $B$ с помощью формулы.

Найдём отдельно вероятность каждого события:

P ( A ) = 1 6 и P ( B ) = 1 6 .

Найдём вероятность наступления события $AB$ (то есть события $A$ и $B$ наступили одновременно). Всего может быть 6 ⋅ 6 = 36 исходов:

1 и 1 2 и 1 3 и 1 4 и 1 5 и 1 6 и 1 1 и 2 2 и 2 3 и 2 ¯ 4 и 2 5 и 2 6 и 2 1 и 3 2 и 3 3 и 3 4 и 3 5 и 3 6 и 3 1 и 4 2 и 4 3 и 4 4 и 4 5 и 4 6 и 4 1 и 5 2 и 5 3 и 5 4 и 5 5 и 5 6 и 5 1 и 6 2 и 6 3 и 6 4 и 6 5 и 6 6 и 6

Из них только исход $3$ и $2$ очка является благоприятным. Получаем,

P ( AB ) = 1 36 = 1 6 ⋅ 1 6 = P ( A ) ⋅ P ( B ) , т. е. события $A$ и $B$ независимые.

3.8. Независимость событий

Опираясь на статистическое определение вероятности (п. 3.3), события иследует считать независимыми, если при большом числе испытаний наступления событияне влияют на частоту наступления события:

,

или, в соответствии с определением условной относительной частоты (п. 3.6):

.

Поскольку, согласно эмпирическому закону больших чисел, относительные частоты при большом числе испытаний колеблются вокруг теоретических вероятностей, последнее равенство является основанием для следующего определения независимости событий:

Определение. События иназываютсянезависимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:

. (14)

Формально, в соответствии с данным определением, для решения вопроса о независимости событий необходимо предварительно вычислить все три вероятности , после чего проверить, выполняется ли равенство (13). На практике, однако, независимость событийиустанавливают путем содержательного их анализа, а формулу (13) используют для отыскания вероятности произведения событий.

Таким образом, имеются две формы теоремы умножения:

1. Для произвольных событий:

.

2. Для независимых событий:

.

Пример. Испытание: одновременно бросаются две монеты. Найти вероятность события , состоящего в том, что на обеих монетах выпал герб.

Решение. Введем события: — на первой монете выпал герб,

—на второй монете выпал герб. Тогда . Событияиявно не влияют друг на друга, их следует считать независимыми. Тогда

.

Теорема (независимость для противоположных событий). Если события инезависимы, то независимы также пары событий

и ,и,и.

Доказательство. Докажем, например независимость событий и. По условию; кроме того.

По свойствам операций над событиями (п. 2.3) имеем:

—сумма несовместных событий; отсюда

. ▄

Теорема (критерий независимости двух событий). Пусть . Для того, чтобы событияибыли независимы, необходимо и достаточно, чтобы условная вероятность событиясовпадала с его безусловной вероятностью: .

Доказательство. 1. Необходимость. Если инезависимы, то выполняется равенство. С другой стороны, по теореме умножения. Отсюда:

.

Поскольку , получаем: .

2. Достаточность. Пусть . Тогда, применяя теорему умножения, получаем:

,

то есть, согласно определению, события инезависимы. ▄

Теорема (о независимости от и).Любое событие не зависит от достоверного события и от невозможного события.

Доказательство. 1. , так чтоинезависимы.

2. , так чтои независимы. ▄

II. Независимость событий в совокупности.

Для трех и более событий их взаимная незави-

симость («независимость в совокупности») означает не только то, что любые два из них не влияют друг на друга (попарная независимость):

, (), (15)

но и что для любого подмножества из трех, четырех и т.д. событий этой совокупности вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

, (), (16)

, (), (17)

и т. д. вплоть до условия

. (18)

Недостаточность попарных соотношений (15) для справедливости совокупности равенств (16)–(18) показывает

Пример С.Н.Бернштейна. Испытание: наугад бросается игральная кость, имеющая форму правильного тетраэдра, четыре грани которого имеют, соответственно, белую, синюю, красную и тройную бело-сине-красную (полосатую) окраску.

Рассмотрим события: — на выпавшей грани присутствует белый цвет,— на выпавшей грани присутствует синий цвет,— на выпавшей грани присутствует красный цвет. По схеме равновозможных исходов легко убедиться, что. Далее, произведение любых двух из них означает выпадение полосатой грани, так что. Значит, условие (15) выполняется. В то же время, и условие (16) не выполняется.

Пример. Испытание: три игрока поочередно бросают шестигранную игральную кость. Найти вероятность события заключающегося в том, что все три раза выпадет шестерка.

Решение. Введем события — выпадение шестерки, соответственно, у первого, второго, и третьего игрока. Тогда— произведение независимых событий. Поэтому

.

Как доказать что события независимые?

Событие B называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события B, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается PA(B).

Как рассчитывается вероятность независимых событий?

Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле: P(A⋅B)=P(A)⋅P(B). Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Как доказать что два события независимы?

События A и B являются независимыми, если вероятность наступления одного из них не изменяется при наступлении другого. Событие A является зависимым от события B, если наступление события B изменяет вероятность наступления события A.

Что значит события несовместные?

В теории вероятностей несколько событий называются несовместными (от слова «место»), или несовместимыми, если никакие из них не могут появиться одновременно в результате однократного проведения эксперимента (опыта).

Похожие публикации:

Если говорят что программа зациклилась то это значит

Как в 1с посмотреть журнал действий пользователя

Как оплатить вк музыку через вк пей

Как остановить форматирование жесткого диска