Sorry, you have been blocked
This website is using a security service to protect itself from online attacks. The action you just performed triggered the security solution. There are several actions that could trigger this block including submitting a certain word or phrase, a SQL command or malformed data.
What can I do to resolve this?
You can email the site owner to let them know you were blocked. Please include what you were doing when this page came up and the Cloudflare Ray ID found at the bottom of this page.
Cloudflare Ray ID: 80149c3f4f4fc2a2 • Your IP: Click to reveal 86.107.21.84 • Performance & security by Cloudflare
Информатика. Работа с 2D-графиками в MathCAD: Методические указания к компьютерному практикуму , страница 7
3) На графике протаскиванием мыши выделите рамкой фрагмент кривой, требующий увеличения. Точность выделения зоны увеличения можно контролировать с помощью специальных окон в диалоговом окне Min (Минимум) и Max (Максимум), в которых отражаются значения координат вершин прямоугольника выделения по обеим осям (рисунок 19).
Рисунок 19 – Использование инструмента Zoom (Масштаб)
4) Когда область увеличения выделена, нажмите кнопку Zoom. Выделенный фрагмент займет всю область графика (рисунок 20).
Если какой-то шаг при последовательном увеличении фрагмента кривой был сделан неверно, то вернуться на предыдущий этап масштабирования можно при помощи кнопки UnZoom (Демасштабирование).
Используя кнопку FullView (Полный вид), можно вернуться к первоначальному виду графика.
5) После того как вы настроили изображение нужным образом, нажмите кнопку OK.
3.2 Трассировка графиков
Пожалуй, еще чаще, чем к инструменту масштабирования, приходится прибегать к использованию второго вспомогательного инструмента с панели Graph – Trace (Трассировка). При его помощи можно достаточно точно определить координаты интересующей точки (например, экстремума или корня уравнения).
Задание 6. Упрощенным способом постройте график функции 
. Найдите корни данного уравнения.
Порядок выполнения:
1) В соответствии с заданием постройте график функции, увеличьте размеры графической области и настройте линии сетки.
2) Используя инструмент масштабирования, увеличьте область графика, в которой четко будут видны точки пересечения линии графика с осью X (данные точки будут являться искомыми корнями уравнения).
Рисунок 21 – Трассировка графика
3) Выделите построенный график и на панели Graph выберите инструмент 
Trace (без выделения графической области данный инструмент будет недоступен).
4) В результате на графике появится своеобразный "прицел" в виде пересекающихся пунктирных прямых. Координаты прицела (точка пересечения прямых) отображаются в полях X— и Y— Value (координаты по X и Y) диалогового окна X—YTrace. Перемещать прицел можно, изменяя положение курсора (рисунок 21).
5) Когда нужная точка будет найдена (точка пересечения линии графика с осью абсцисс), нажмите кнопку CopyX (Копировать значение Х). При этом численное значение координаты по X будет скопировано в буфер обмена, откуда его можно будет вставлять в качестве значения переменных с помощью команды Insert (Вставка) меню Edit (Правка).
6) Ниже графика задайте переменную х1 и присвойте ей значение буфера обмена.
7) Аналогичным образом найдите и занесите в документ значение второго и третьего корня уравнения.
4 ГРАФИКИ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Задание графиков в полярной системе координат с технической точки зрения не имеет никаких отличий от создания графиков на декартовой плоскости. Поэтому этот вопрос мы рассмотрим довольно кратко.
В полярной системе координат каждая узловая точка графика задается углом φ и радиус-вектором r(φ), имеющим длину равную значению заданной функции f(φ). Узловые точки соединяются между собой линейными отрезками (рисунок 22). Поэтому, как и в декартовой системе координат, чем меньше заданный шаг изменения аргумента, тем плавнее получаются линии графика. График функции обычно строится при изменении угла φ в определенных пределах, чаще всего от 0 до 2π.
Для вызова шаблона полярного графика следует выбрать кнопку 
на графической панели инструментов Graph или воспользоваться комбинацией клавиш [Ctrl]+[7]. Также вставить шаблон полярного графика можно с помощью пункта Polar Plot (Полярный график) подменю Graph меню Insert.
Как и в случае X-Y зависимости, для полярного графика существует два основных метода построения: быстрый способ и использование ранжированных переменных. Причем последний имеет большее значение ввиду того, что поменять стандартную величину изменения угла (от 0° до 360°) непосредственно на графической области нельзя.
В отличие от области изменения полярного угла, величину диапазона полярного радиуса можно задать произвольным образом непосредственно на графической области так же, как меняется диапазон значений по осям в декартовой системе координат.
2 семестр / MATHCAD
щелкнуть мышью вне шаблона графика — график функции будет построен.
Пример 4.2 Построение графика функции z(x,y) = x 2 + y 2 – 30
Рисунок 4.4 –Пример быстрого построения поверхностного графика Построенным графиком можно управлять:
вращение графика выполняется после наведения на него указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши;
масштабирование графика выполняется после наведения на него указателя мыши при одновременном нажатии левой кнопки мыши и клавиши Ctrl (если двигать мышь, график приближается или удаляется);
анимация графика выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Shift. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика.
Трехмерные , или 3D-графики , отображают функции двух переменных вида Z ( X, Y ). При построении трехмерных графиков в ранних версиях MathCAD поверхность нужно было определить математически (см. рисунок 4.5, способ 2). Теперь применяют функцию MathCAD CreateMesh .
Рисунок 4.5 – Пример построения на одном рисунке двух 3D-графиков разного типа
CreateMesh ( F (или G , или f 1, f 2, f 3), x 0, x 1, y 0, y 1, xgrid , ygrid , fmap )
Создает сетку на поверхности, определенной функцией F . x 0, x 1, y 0, y 1 – диапазон изменения переменных, xgrid, ygrid – размеры сетки переменных, fmap – функция отображения. Все параметры, за исключением F , факультативные. Функция CreateMesh по умолчанию создает сетку на поверхности с диапазоном изменения переменных от –5 до +5 и с сеткой 20 20 точек.
Пример использования функции CreateMesh для построения 3D-графиков приведен на рисунке 4.5, способ 1. На рисунке 4.5 построена одна и та же поверхность разными способами, с разным форматированием, причем под ними изображены те же поверхности в виде контурного графика. Такое построение способно придать рисунку большую наглядность.
Нередко поверхности и пространственные кривые представляют в виде точек, кружочков или иных фигур. Такой график создается операцией Insert /
Graph / 3D Scatter Plot (Вставка / График / 3D Точечный) , причем поверхность задается параметрически – с помощью трех матриц ( X, Y, Z ) (см. рисунок 4.6, способ 2). Для определения исходных данных для такого вида графиков используется функция CreateSpace (см. рисунок 4.6, способ 1).
Рисунок4.6 – Построение 3D Точечных графиков
CreateSpace ( F , t 0, t 1, tgrid , fmap ) Возвращает вложенный массив трех векторов, представляющих х -, у -, и z -координаты пространственной кривой, определенной функцией F . t 0 и t 1 – диапазон изменения переменной, tgrid – размер сетки переменной, fmap – функция отображения. Все параметры, за исключением F , факультативные.
Особый интерес представляет собой возможность построения на одном графике ряда разных фигур или поверхностей с автоматическим учетом их взаимного пересечения. Для этого надо раздельно задать матрицы соответствующих поверхностей и после вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы под ним с использованием в качестве разделителя запятой (см. рисунок 4.7).
Рисунок 4.7– Построение двух пересекающихся поверхностей и одновременно контурного графика одной из них
4.4 Форматирование трехмерных графиков
Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения — появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance, General, Axes, Lighting, Title, Backplanes, Special, Advanced, Quick Plot Data.
Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option — параметры линий, Point Options — параметры точек.
Во вкладке General ( Общие ) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.
Во вкладке Lighting ( Освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting ( Включить освещение ) и переключатель On ( Включить) . Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке
Lighting scheme ( Схема освещения ).
4.5 Анимация в MathCAD
MathCAD имеет встроенную переменную FRAME, чье единственное назначение – управление анимациями. Анимация создается с помощью команды Тооls /Animation/ Record ( Инструменты /Анимация /Запись ).
Рисунок 4.8 – Окно записи анимации
Сохраняется анимацию как АVI файл ( Сохранить как ). Воспроизвести сохраненную анимацию можно с помощью команды Тооls/Animation/PlayBack
(Инструменты / Анимация /Воспроизведение).
5 Способы решения уравнений в MathCAD
Рассмотрим способы решения простейших уравнений вида F( x ) = 0 в системе MathCAD. Решить уравнение аналитически — значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически — значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.
5.1 Решение уравнений с помощью функции root(f(x),x)
Для решений уравнения с одним неизвестным вида F( x ) = 0 существует специальная функция
где f ( x ) — выражение, равное нулю; х — аргумент.
Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f ( x ) равно 0.
Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.
Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.
Решение уравнения x 3 –2x=0 помощью функции root представлено на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – Решение уравнения при помощи функции root
5.2 Решение уравнений с помощью функции Find(x)
Функция Find ( Найти ) работает в ключевой связке с ключевым словом Given ( Дано ). Конструкция Given – Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.
Если задано уравнение f ( x ) = 0, то его можно решить следующим образом
с помощью блока Given – Find :
– задать начальное приближение x:= х0 ;
– ввести служебное слово Given ;
– записать уравнение, используя знак жирное равно f(x) = 0
– написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра find(x)=
В результате после знака равно выведется найденный корень.
Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное
приближение х0 на близкое к искомому корню.
Решение уравнения х 2 + 8 –е х =0 с помощью функции find представлено на рисунке 5.2
Рисунок 5.2– Решение уравнения с помощью функции find
6 Контрольные вопросы
1 С помощью какого оператора можно вычислить выражение?
2 Как вставить текстовую область в документ MathCAD?
3 Чем отличается глобальное и локальное определение переменных? С помощью каких операторов определяются?
4 Как изменить формат чисел для всего документа?
5 Как изменить формат чисел для отдельного выражения?
6 Приведите примеры системных (предопределенных) переменных? Как узнать их значение? Как изменить их значение?
7 Приведите примеры известных видов функций в MathCAD.
8 Как вставить встроенную функцию в документ MathCAD?
9 С помощью каких операторов можно вычислить интегралы, производные, суммы и произведения?
10 Как определить дискретные переменные с произвольным шагом? Какой шаг по умолчанию?
11 Как определить индексированную переменную?
12 Приведите примеры известный видов массивов в MathCAD.
13 Какая системная переменная определяет нижнюю границу индексации элементов массива?
14 Опишите способы создания массивов в MathCAD.
15 Как просмотреть содержимое массива, определенного через дискретный аргумент?
16 Как построить графики: поверхности; полярный; декартовый?
17 Как построить несколько графиков в одной системе координат?
18 Как изменить масштаб графика?
19 Как определить координату точки на графике?
20 Как построить гистограмму?
21 Какие функции используются для построения трехмерных графиков?
22 Как создать анимацию в MathCAD?
23 Какое расширение имеют сохраненные файлы анимаций?
Приложение А Задания к лабораторным работам
Требование к выполнению лабораторной работы
Все задания лабораторной работы выполняются в одном файле.
ЗАДАНИЕ 1 Основные вычисления в MathCAD
Пример А.1 Определить переменные: х:=5.2, у:=0.25 , выражение Z и найти его значение:
48111 (Пособие MathCAD), страница 4
Документ из архива «Пособие MathCAD», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «информатика» из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «книги и методические указания», в предмете «информатика, программирование» в общих файлах.
Онлайн просмотр документа «48111»
Текст 4 страницы из документа «48111»
Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат
Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.
Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений
Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х) и по оси Оу (значения у) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace3 и trace4 изменим: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения
8. Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач
В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.
8.1 Нахождение локальных экстремумов функций
Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения .
Если построен график функции, то можно сразу увидеть — максимум или минимум достигается в данной точке х. Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.
1-й способ. Сравнение знаков производной. Определяют знак производной в окрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «–», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «–» к «+» , то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.
2-й способ. Вычисление второй производной. В этом случае вычисляется вторая производная в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.
Пример. Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции .
Сначала построим график функции (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Построение графика функции
Определим по графику начальные приближения значений х, соответствующих локальным экстремумам функции f(x). Найдем эти экстремумы, решив уравнение . Для решения используем блок Given – Find (рис. 6.2.).
Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов
Определим вид экстремумов первым способом, исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Определение вида экстремума
Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.
Определим вид экстремумов вторым способом, вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной
Видно, что в точке x1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х1 соответствует максимуму функции. А в точке x2 вторая производная больше нуля, значит, точка х2 соответствует минимуму функции.
8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями
а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.
Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:
Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.
Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.
Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).
Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:
Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.
Рис. 6.9. Решение системы уравнений
В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Построение параболы
Построение окружности, проходящей через три заданные точки
Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:
Окружность задается уравнением
где x0,y0 — координаты центра окружности;
R — радиус окружности.
Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.
Пример. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).
Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.
Рис. 6.11. Решение системы
В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).