Известно что m x 2 тогда математическое ожидание случайной величины y 5x 3 равно

Лекции 4. Дискретные случайные величины

Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно из множества возможных значений.

Определение 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Примеры:

1) число покупателей в очереди у кассы;

2) число ДТП за сутки;

3) число бракованных изделий в партии.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения , а вторая – соответствующие вероятности :

События , ,…, образуют полную группу, поэтому

Определение 3. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

2. Числовые характеристики дсв

1. Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений этой случайной величины на соответствующие вероятности:

Математическое ожидание – это среднее значение данной случайной величины, центр ее распределения. Из определения следует, что M(X) − величина неслучайная, постоянная.

Пример 1._________________________________________________________

Случайная величина Х задана законом распределения

Вычислим ее математическое ожидание:

M(X) = 1∙0,3+2∙0,5+3∙0,2=0,3+1+0,6=1,9.

Свойства математического ожидания

1 0 . , где C − const.

2 0 . .

3 0 . .

Следствие: .

4 0 . , где C − const.

5 0 . , если X и Y независимы.

Пример 2 ._________________________________________________________

Найдем математическое ожидание случайной величины 5X−2Y+1 , если известно, что M(X)=2, M(Y)=3. Используя свойства математического

ожидания, получим M(5X−2Y+1)= 5M(X)−2M(Y)+1= 5∙2−2∙3+1=5.

2. Дисперсия

Определение 1. Разность называется отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания.

Эта разность также есть случайная величина. Пусть M(X)=a. Тогда случайная величина X−a имеет закон распределения:

Теорема. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

Определение 2. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

Если случайная величина Х − дискретная, то

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений случайной величины около ее математического ожидания.

Определение 3. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

Из определения следует, что дисперсия есть постоянная величина.

Пример 3._________________________________________________________

Используя условие примера 1, убедимся, что математическое ожидание отклонения равно нулю. Для этого составим закон распределения случайной величины Х−M(Х): из всех значений Х вычтем M(X)=1,9.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M[C•X]=C•M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2 )-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y : M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) — 8*M(Y) + M(7) = 9*8 — 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) + D(-8Y) + D(7) = 9^2D(X) + 8^2D(Y) + 0 = 81*9 + 64*6 = 1113

Алгоритм вычисления математического ожидания

1. Поочередно умножаем пары: x_i на p_i.
2. Складываем произведение каждой пары x_ip_i.
   Например, для n = 4: m = ∑x_ip_i = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + x₄p₄

Пример №1 .

xi	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 — 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp_i = 1
Σp_i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Haйти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y. Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,441
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Известно что m x 2 тогда математическое ожидание случайной величины y 5x 3 равно

Данный калькулятор предназначен для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины онлайн.
Оценка математического ожидания и дисперсии случайной величины имеет большое значение в теории вероятности.
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины. Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, следует вычислить сумму парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

Свойства математического ожидания заключаются в следующем. Во-первых, математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Во-вторых, математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Как найти среднее значение , формула (на примере следующих величин):
x_i= 1 ; 2 ; 5 ; 6 (случайные величины)
p_i = 0.1 ; 0.3 ; 0.1 ; 0.5 (вероятность)

Haйти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y. Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Математическое ожидание непрерывной величины

Введите функцию распределения F(x) или же другую: функцию плотности вероятности f(x)

Примеры

F(x) задана четырьмя условиями (линейные и с квадратом)

f(x) с корнем и неизвестным коэффициентом b

Функция распределения F(x) с косинусом и неизвестной a

f(x) с экспонентой e и кубом в знаменателе

F(x) с бесконечностью и двумя неизвестными коэффициентами A и B

Плотность распределения f(x)

Вычислим математическое ожидание. Выше задана функция распределения F(x) как кусочно-заданная.
Вы можете ввести свою функцию распределения F(x) или функцию плотности вероятности, но только придерживайтесь аналогичной схемы ввода.