конспект, план,. Конспект лекций Электрические заряды. Взаимодействие зарядов. Рух заряджених частинок у полі
Цель работы: изучение электростатического поля, созданного заряженными электродами разной формы, описание его с помощью следов эквипотенциальных поверхностей и силовых линий.
Методика измерений
Экспериментально измерить потенциал проще, чем напряженность поля. Поэтому в работе изучается распределение потенциала в электростатическом поле путем построения следов эквипотенциальных поверхностей на плоском поле, а силовые линии строятся потом, как ортогональные кривые к семейству следов эквипотенциальных поверхностей. Для нахождения положения точек с нужными потенциалами используется метод зондирования. Зонд устроен так, чтобы он минимально нарушал своим присутствием исследуемое поле. В качестве проводящей среды используется вода, в ней заряды будут натекать на зонд, и он примет значение потенциала той точки, в которую помещен. Зонд соединен проводником с вольтметром, измеряющим потенциалы поля. По результатам измерения потенциала стоится график зависимости потенциала от расстояния между электродами по которому методом численного дифференцирования находятся значения напряженности электростатического поля в исследуемых точках хi.
Экспериментальная установка
Для исследования электростатического поля предназначена экспериментальная установка, общий вид которой приведен на рис.1.
Рис. 1. Експериментальна установка.
Она включает в себя прозрачную ванну 3 из оргстекла, наполненную водопроводной водой, с координатной сеткой на дне и электродами 2. В качестве электродов используются: пластина, небольшой цилиндр и острие в разных сочетаниях.
На электроды от источника питания 4 подается постоянная разность потенциалов. Зонд и один из электродов соединены с цифровым вольтметром 5.
Порядок выполнения работы
1. Подготовить установку к работе (рис.1). Соединить проводниками электроды ванны с клеммами источника питания 4 для напряжения u = 12 В. 2. Соединить зонд и один из электродов с цифровым вольтметром 5. 3. Подать напряжение u = 220 В на цифровой вольтметр и источник питания (кнопки ― «Сеть»).
4. На листе с миллиметровой бумагой (журнал для лабораторных работ) в масштабе 1:1 нарисовать внутренний периметр ванны и электроды, как показано на рис.2.
5. С помощью зонда определить потенциалы электродов Наметить значения потенциалов следов 6 – 7 эквипотенциальных поверхностей в диапазоне
6. С помощью зонда найти на дне ванной по 8 – 10 точек для каждой эквипотенциальной кривой. Определить положение этих точек, пользуясь координатной сеткой и перенести их на миллиметровую бумагу в журнал. Соединить экспериментальные точки плавными кривыми. Схема одного из вариантов эквипотенциальных кривых показана на рис.2.
7. Отключить установку от сети.
8. Провести 5–6 силовых линий так, чтобы они пересекали эквипотенциальные кривые под углом 90 и подходили к поверхности
электродов под тем же углом. Стрелками указать направление силовых линий согласно формуле .
9. Занести в табл.1 координаты хi точек пересечения эквипотенциальных кривых с осью 0Х (см. рис.2) и соответствующие значения потенциала . Построить график зависимости и провести сглаженную кривую, как это показано на рис.6.6. i
10. Выделить на оси ОХ около каждого значения хi малый интервал (например, х = 0,5 см) так, чтобы значение хi находилось в центре этого интервала (см. рис.3). Записать в табл.1 приращение потенциала соответствующее этому интервалу на сглаженной кривой.
11. Согласно формулам
найти значения напряженности поля для точек на оси ОХ:
12. Построить график зависимости и провести сглаженную кривую.
Контрольные вопросы
1. Как в работе измеряются потенциалы точек электрического поля?
2. На основании каких закономерностей электростатических полей проводятся силовые линии?
3. В чем заключается метод численного дифференцирования для расчета напряженности поля Ех?
Тест №1.Електричні заряди. Взаємодія зарядів.
1.
laby_2_semestr_fizika
циркуляция вектора напряженности потенциального поля по замкнутому контуру равна нулю.
сторону убывания потенциала, как это показано
Вектор, направленный в сторону возрастания потенциала и равный изменению потенциала на единицу длины, отсчитываемой в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности, называется градиентом потенциала.
В трехмерном пространстве
где i , j, k – единичные положительные векторы (орты).
grad
поверхностям. В частности, силовые
электрическом поле, которая является
Напряженность поля Е и индукция
поля D (6.4) у поверхности проводника,
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 60
Изучение электростатического поля
Цель работы : изучение электростатического поля, созданного заряженными электродами разной формы, описание его с помощью следов эквипотенциальных поверхностей и силовых линий.
Экспериментально измерить потенциал проще, чем напряженность поля. Поэтому в работе изучается распределение потенциала в электростатическом поле путем построения следов эквипотенциальных поверхностей на плоском поле, а силовые линии строятся потом, как ортогональные кривые к семейству следов эквипотенциальных поверхностей.
Для нахождения положения точек с нужными потенциалами используется метод зондирования. Зонд устроен так, чтобы он минимально нарушал своим присутствием исследуемое поле. В качестве проводящей среды используется вода, в ней заряды будут натекать на зонд, и он примет значение потенциала той точки, в которую помещен. Зонд соединен проводником с вольтметром, измеряющим потенциалы поля.
По результатам измерения потенциала стоится график зависимости потенциала от расстояния между электродами 
= f(x) по которому методом численного дифференцирования находятся значения напряженности электростатического поля в исследуемых точках х i .
Для исследования электростатического поля предназначена экспериментальная установка, общий вид которой приведен на рис.6.4.
Она включает в себя прозрачную ванну 3 из оргстекла, наполненную водопроводной водой, с координатной сеткой на дне и электродами 2. В качестве электродов используются: пластина, небольшой цилиндр и острие в разных сочетаниях.
На электроды от источника питания 4 подается постоянная разность потенциалов. Зонд и один из электродов соединены с цифровым вольтметром 5.
Порядок выполнения работы
1. Подготовить установку к работе (рис.6.4). Соединить проводниками электроды ванны с клеммами источника питания 4 для напряжения u = 12 В.
2. Соединить зонд и один из электродов с цифровым вольтметром 5.
3. Подать напряжение u = 220 В на цифровой вольтметр и источник питания (кнопки ―Сеть‖).
4. На листе с миллиметровой бумагой (журнал для лабораторных работ) в масштабе 1:1 нарисовать внутренний периметр ванны и электроды, как показано на рис.6.5.
5. С помощью зонда определить потенциалы электродов (
поверхностей в диапазоне (
6. С помощью зонда найти на дне ванной по 8 – 10 точек для каждой эквипотенциальной кривой. Определить положение этих точек, пользуясь координатной сеткой и перенести их на миллиметровую бумагу в журнал. Соединить экспериментальные точки плавными кривыми. Схема одного из вариантов эквипотенциальных кривых показана на рис.6.5.
7. Отключить установку от сети.
8. Провести 5–6 силовых линий так, чтобы они пересекали
эквипотенциальные кривые под углом 90
и подходили к поверхности
электродов под тем же углом. Стрелками указать направление силовых линий согласно формуле (6.16).
i
9. Занести в табл.6.1 координаты х i точек пересечения эквипотенциальных кривых с осью 0Х (см. рис.6.5) и
сглаженную кривую, как это показано
каждого значения х i
(например, х = 0,5 см) так, чтобы
находилось в центре этого
интервала (см. рис.6.6). Записать в
интервалу на сглаженной кривой.
11. Согласно формулам
(6.16) – (6.17) найти значения
напряженности поля для точек на оси ОХ:
12. Построить график зависимости Е х = f(х) и провести сглаженную кривую.
1. Как в работе измеряются потенциалы точек электрического поля?
2. На основании каких закономерностей электростатических полей проводятся силовые линии?
3. В чем заключается метод численного дифференцирования для расчета напряженности поля Е х ?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 60(к)
Теорема Остроградского Гаусса для электростатического поля в вакууме
Цель работы : изучение с помощью компьютерной модели электростатического поля двух зарядов и моделирование поля заданной системы. Определение величины электрической постоянной.
Как известно, силовые линии электростатического поля в вакууме начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Рассмотрим несколько зарядов, лежащих в одной плоскости. Количество силовых линий, пересекающих произвольную замкнутую поверхность, содержащую внутри себя электрические заряды, будет пропорционально количеству силовых линий, пересекающих плоский замкнутый контур, ограничивающий сечение этой поверхности.
Такое допущение даѐт возможность привести в количественное соответствие реальное трѐхмерное электростатическое поле с его графической интерпретацией в плоской компьютерной модели, которая показана на рис.6.7.
Для этого определим число силовых линий Ф, которые фактически должны пересекать произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится электрический заряд q = 1мкКл. По теореме Остроградского-Гаусса (6.8) имеем:
где q суммарный заряд, находящийся внутри нашей поверхности. Откройте окно опыта. В нижнем правом прямоугольнике
«Конфигурация» щѐлкните мышью на кнопке «Один заряд». Зацепив мышью, перемещайте движок регулятора величины заряда и установите значение q 1 = +1мкКл. Подсчитайте число силовых линий 0 , выходящих из заряда. Их должно быть 6. Следовательно, силовая
линия в плоской компьютерной модели опыта соответствует
линиям реального трѐхмерного кулоновского поля.
Таким образом, чтобы вычислить поток Ф поля произвольного суммарного заряда, надо, во-первых, сосчитать число силовых линий Ф + , выходящих из контура, и число силовых линий Ф – , входящих в контур. Во-вторых, получить значение полного потока по формуле:
На основании таких допущений и оценок создаѐтся возможность экспериментальной проверки теоремы Остроградского-Гаусса с помощью графического компьютерного моделирования электростатических полей в данной лабораторной работе.
Порядок выполнения работы.
Запустить программу, подведя маркер мыши под значок «Открытая физика.1.1» на рабочем столе компьютера и дважды щѐлкнув левой кнопкой мыши. Выбрать раздел «Электричество и магнетизм» и «Электрическое поле точечного заряда».
Рассмотреть внимательно схему опыта. Подведя маркер мыши к любому рычажку несколько раз изменить расстояние между зарядами и величину самих зарядов, наблюдая, как при этом изменяется картина электростатического поля в вакууме.
Зарисовать любую картинку в свой конспект лабораторной работы. Дописать, если необходимо, нужные формулы (кнопка с изображением страницы служит для вызова теоретических сведений).
Изучение электростатического поля постоянного пространственного распределения переменного заряда внутри замкнутой поверхности.
1. Нажать мышью кнопку «Два заряда» в нижнем правом прямоугольнике «Конфигурация».
2. Зацепив мышью, переместить движок регулятора первого заряда до установления значения заряда, заданного вашей бригаде.
3. Аналогичным образом установить заданное расстояние d между зарядами.
4. Установить мышью на кнопке «Силовые линии» галочку.
5. Установить величину второго заряда из таблицы 6.2. Подсчитать
число силовых линий, Ф – входящих и Ф + выходящих через границы замкнутого контура, которым в нашем эксперименте будет являться прямоугольная рамка окна опыта. При этом необходимо внимательно смотреть за направлением стрелок на силовых линиях поля. Записать эти данные в табл.6.2.
q 1 = _____ мкКл ,
6. Вычислить по формуле (6.21) значение Ф и занести в табл.6.2.
7. Последовательно устанавливая величину второго заряда q 2 = (–2, –1, 0, +1,+2) мкКл, выполнить п.п. 5,6 ещѐ пять раз.
8. Вычислить величину суммарного заряда q по формуле
и заполнить нижнюю строку табл.6.2.
9. Построить по данным табл.6.2 график зависимости потока вектора напряжѐнности Ф от величины суммарного заряда q.
10. Определить угловой коэффициент наклона k полученной прямой по двум любым точкам А и В для каждого графика
согласно (6.19) определить электрическую постоянную 0 по формуле
Исследование зависимости потока вектора напряженности электростатического поля от расстояния между зарядами.
1. Установить заданные для вашей бригады значения q 1 и q 2 .
2. Установить минимальное расстояние между зарядами d = 2 м и на экране окна эксперимента подсчѐтом определить числа Ф +
и Ф входящих силовых линий. Занести результаты в
q 2 = ______мкКл .
3. Последовательно увеличивая расстояние между зарядами с шагом 0,5м, выполнить п. 2 ещѐ пять раз.
4. По данным таблицы 6.3 построить график зависимости потока вектора напряжѐнности Ф от расстояния между зарядами d .
5. По всем построенным в лабораторной работе графикам провести анализ результатов и сделать выводы.
6. Оценить погрешность проведенных измерений.
1. Как в этой работе вычисляется поток вектора напряжѐнности по плоской компьютерной модели?
2. Как в этой работе проверяется справедливость теоремы Остроградского-Гаусса?
3. Объяснить графики, полученные в данной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 74
Цель работы : изучение параметров гармонических сигналов с использованием электронного осциллографа.
Методика измерений и экспериментальная установка
Электронный осциллограф служит для наблюдения функциональной связи между двумя или более величинами (электрическими или преобразованными в электрические).
Он предназначен для исследования электрических сигналов в диапазоне частот от 0 до 5 МГц, амплитудой от 0,02 до 120 В. Основными элементами осциллографа являются: электронно-лучевая трубка, генератор развертки, усилители отклоняющих пластин, блок питания.
В электро нно-лучевой трубке для световой индикации используется узкий электронный пучок. Электронно-лучевая трубка представляет собой стеклянную колбу, откачанную до высокого вакуума (рис.6.8). Внутри нее расположены электронная пушка 1, две пары отклоняющих пластин 2 и флюоресцирующий экран 3.
сфокусированного электронного пучка и состоит из следующих элементов:
а) катода косвенного накала, испускающего при нагревании электроны;
б) управляющего электрода, имеющего отрицательный потенциал относительно катода. Изменяя потенциал управляющего электрода, можно регулировать количество вылетающих из электронной пушки электронов, то есть яркость пятна на экране трубки;
в) первого фокусирующего и второго ускоряющего анодов. Потенциал первого анода в несколько раз меньше потенциала второго анода. Аноды имеют форму цилиндров с перегородками, в центре которых сделаны отверстия. Перегородки служат для улавливания электронов, не удовлетворяющих условиям фокусировки.
Рассмотрим фокусирующее действие электрических полей на примере поля между первым и вторым анодами. Характер его показан эквипотенциальными кривыми на рис.6.9. Поле сосредоточено в основном у щели между цилиндрами.
F n F 
E
Предположим, что электрон влетает в поле слева направо под углом к оси цилиндров. Пока он пролетает зазор между цилиндрами, поле сообщает ему ускорение вдоль оси, и в то же время отклоняет его сначала вниз, а потом вверх. Следовательно, в полях, обращенных выпуклостями эквипотенциальных поверхностей к катоду, электроны при своем движении будут собираться к горизонтальной оси (действие таких полей похоже на действие собирающих линз). В полях, выпуклость эквипотенциальных поверхностей которых имеет противоположное направление, электроны будут расходиться от горизонтальной оси (действие таких полей похоже на действие рассеивающих линз).
Отклоняющие пластины . На пути к экрану электронный пучок проходит между двумя парами отклоняющих пластин. Напряжения, приложенные к пластинам, создают между ними электрические поля, которые отклоняют электронный луч и перемещают светящееся пятно по экрану. Горизонтально расположенные пластины отклоняют луч по вертикали (вдоль оси Y), а вертикально расположенные – по горизонтали (вдоль оси Х).
Установим связь между напряжением u на пластинах А и В и величиной смещения пятна на экране (рис.6.10).
Обзор численных методов расчета электрических полей
Расчет электрических полей можно производить аналитическими или численными методами. Содержание известных аналитических методов изложено в [6, 7]. Их применение возможно, когда границы проводников совпадают с координатными поверхностями той или иной криволинейной системы координат, в которой можно разделить переменные в уравнении Лапласа. В более реалистических задачах мы сталкиваемся с необходимостью расчета полей, образованных проводниками сложной формы. Кроме того, число проводников, поле которых подлежит расчету, может быть велико. Примером может служить расчет поля между расщепленными проводами линии электропередачи и опорой. В этом случае, например для линии 750 кВ, каждая фаза содержит четыре провода, и даже при приближенном расчете необходимо учитывать поле по крайней мере 13 проводов (три фазы по четыре провода и опора). Понятно, что эффективным инструментом для решения практических задач могут служить только численные методы.
В настоящее время наибольшее распространение для расчетов электрических полей получили следующие численные методы: метод сеток, или метод конечных разностей (МКР); вариационные методы (МВ); метод конечных элементов (МКЭ); метод интегральных уравнений (МИУ); метод эквивалентных зарядов (МЭЗ). Здесь рассматриваются только линейные модели электростатики, так что каждый раз, когда речь идет о расчете электрических полей, подразумевается, что в изучаемой области й потенциал поля ф(.т, у, г) удовлетворяет уравнению Пуассона
В этих уравнениях ? — диэлектрическая проницаемость среды; ? = ?()?’ (е0 — диэлектрическая постоянная, Ф/м; г’ — относительная диэлектрическая проницаемость), Ф/м; р — объемная плотность зарядов, Кл/м^.
В задачах электростатики потенциал должен удовлетворять одному из трех граничных условий:
1) граничное условие 1 рода, или условие Дирихле,
где Г — граница области ?7; / — известная (заданная) функция — потенциал на поверхности Г
2) граничное условие II рода, или условие Неймана,
здесь д(р/дп — производная потенциала по нормали к поверхности, т.е. нормальная к поверхности компонента напряженности электрического поля, а заданная функция g пропорциональна плотности поверхностных зарядов. Для изолированных проводников функция g должна удовлетворять условиям разрешимости задачи Неймана. Для уравнения (1.1) это условие можно записать в виде
где V— объем внутри области D,s — площадь на поверхности Г, а для уравнения (1.2)
3) граничное условие III рода, или смешанное условие, 
где И — заданная функция.
В некоторых задачах граница области может состоять из частей, на каждой из которых решение должно удовлетворять граничному условию одного из трех типов.
При переходе через границу раздела диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями потенциал остается непрерывным
и в то же время имеет место скачок нормальной составляющей напряженности, описываемый соотношением
Экстремум положительно определенной функции J находится стандартным способом: вычисляются производные 7 по переменным Ф( и приравниваются нулю. Получается система линейных алгебраических уравнений для определения всех ф,. Получившаяся система дополняется заданными граничными условиями.
Заметим, что матрица этой системы будет разреженной, так как потенциал в каждом узле входит в интегралы только по соседним с этим узлом треугольным областям. В связи с этим матрица, так же как и в МКР, будет иметь ленточную структуру. Однако ширина ленты может быть существенно больше, чем в МКР. Число уравнений равно числу узлов элементов.
Метод конечных элементов может применяться для расчета плоских, осесимметричных и трехмерных полей как в однородных, так и в неоднородных средах, в том числе и при наличии объемного заряда. Применение криволинейных элементов позволяет достаточно точно описывать сложные границы. Использование аппроксимации распределения потенциала внутри элемента дает возможность получить значения напряженности в любой точке элемента, в том числе на границе области, путем дифференцирования выражения для потенциала.
Так же как и МКР, МКЭ применим только для закрытых расчетных областей. При расчете поля в открытой области необходимо задание дополнительных граничных условий. Это снижает точность решения. Погрешность результатов расчетов МКЭ может быть оценена повторным расчетом с увеличенным числом элементов.
В последнее время широкое распространение получил метод интегральных уравнений (МИУ), основанный на идее Г. А. Гринберга о возможности замены реального поля некоторым эквивалентным, образованным зарядами, распределенными по поверхностям проводников и границам раздела однородных диэлектриков [6, 7, 11].
При расчете поля МИУ решение ищется в виде потенциала простого слоя зарядов. Это решение в силу физичности постановки задачи удовлетворяет уравнению Лапласа или Пуассона (при наличии объемного заряда). Соблюдение краевых условий обеспечивается введением соответствующих интегральных уравнений. Для поверхности электродов записывается условие Дирихле (1.3) в виде интегрального уравнения 1 рода, а для границы раздела диэлектриков — условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрического смещения в виде уравнения 11 рода.
Рассмотрим методику применения МИУ на примере расчета трехмерного поля. Пусть поле образовано несколькими проводниками, среда между которыми кусочно-однородна. Общее количество границ раздела сред равно Рг. Тогда для произвольной точки поверхности к-го проводника с потенциалом фд. можно записать условие эквипотенциальное™ его границы
где У, — поверхность /’-го тела; М— произвольная точка поверхности
У; г9 м — расстояние от точки М до точки на поверхности /’-го тела /
с плотностью зарядов ст(У;); а(У;) — искомое распределение поверхностной плотности зарядов; срвш(М) — потенциал внешнего поля в точке М.
Если точка М принадлежит границе раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями в, и в2, то для нее записывается условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрического смещения, имеющее вид интегрального уравнения 11 рода:
здесь 
; п — нормаль, направленная из среды с проницаемостью в, в среду с проницаемостью г2; Е»вт(М) — нормальная составляющая напряженности внешнего поля в точке М.
Уравнения (1.15) и (1.16) описывают поле математической модели, в которой в однородной среде на границах, совпадающих с границами между проводниками и диэлектриками и между диэлектриками с различными проницаемостями, помещаются простые слои зарядов. Плотность заряда этих слоев определяется соответствующими граничными условиями. Их выполнение обеспечивает совпадение поля математической модели с реальным электрическим полем.
Интегральное уравнение II рода может быть составлено не только для границы раздела двух диэлектриков, ио и для поверхности проводника. В этом случае диэлектрическая проницаемость проводящей среды принимается равной бесконечности, параметр X принимает значения |А.| = 1 и уравнение (1.16) вырождается в уравнение Неймана. В [12] показано, что уравнение Неймана может быть решено только с применением методов регуляризации. Одним из таких методов является так называемая регуляризация по потенциалу. При ее применении уравнение (1.16) корректируется с помощью регуляриза- торов и усложняется следующим образом:
Очевидно, что уравнение (1.17) значительно сложнее уравнения I рода (1.15), в силу чего составлять уравнение II рода для поверхности металла нецелесообразно.
Численное решение интегральных уравнений заключается в их алгебраизации, т.е. сведении их к системе линейных алгебраических уравнений. Для этого применяются различные методы. Наиболее общим является метод аппроксимирующих функций [13], заключающийся в том, что на поверхностях электродов и границах раздела диэлектриков выбирается N расчетных точек ,5 и искомая поверхностная плотность зарядов представляется в виде линейной комбинации
где 
— некоторые функции, такие, что
Значения ст, определяются по методу коллокаций [13].
Рассмотрим методику алгебраизации на примере интегрального уравнения I рода. Подстановка (1.18) в (1.15) приводит к выражению
Запись выражения (1.19) для расчетных точек дает систему N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными
коэффициенты которой определяются по формуле
Таким образом, матрица системы линейных алгебраических уравнений при применении МИУ является заполненной. Ее размерность N равна числу расчетных точек.
Метод интегральных уравнений позволяет рассчитывать поля в закрытых и открытых областях, причем границы области могут быть описаны точно. Он дает решение непосредственно в виде распределения напряженности по поверхности электродов. Распределение поля в межэлектродном промежутке рассчитывается с помощью интегралов вида (1.15). Другой особенностью МИУ, снижающей эффективность его применения для расчета некоторых полей, является значительное увеличение необходимого числа расчетных точек при наличии большого числа границ раздела сред. Это приводит к резкому увеличению как требуемого объема памяти применяемой вычислительной машины, так и времени счета.
Метод интегральных уравнений позволяет рассчитывать поле при неизвестном потенциале одного из электродов и заданном полном заряде на нем. Для этого уравнения, относящиеся к расчетным точкам па данном электроде, переписываются в виде:
т.е. появляется дополнительное неизвестное — потенциал электрода. Дополнительным условием при этом является задание суммарного заряда электрода, т.е.
В чем заключается метод численного дифференцирования для расчета напряженности поля ех физика
Необходимую для расчета напряженности поля величину fKpE в точке отражения определяют с помощью месячного прогноза распространения радиоволн. В том случае, когда не имеется возможности воспользоваться прогнозом для оценки напряженности поля, можно воспользоваться следующими соображениями. E от 1 Мгц плавно возрастает к полудню до 2 8 — 3 Мгц зимой и, 4 — 4 3 Мгц летом, а затем снова спадает к заходу солнца до 1 Мгц. [18]
Переходя к методу расчета напряженности поля на средних волнах, скажем еще раз, что для линий радиосвязи целесообразно ориентироваться на дальности земных волн. Поэтому приведем метод расчета поля именно для земных волн, называемый методом шулейкина-ван дер — Поля. [19]
Приведенная формула для расчета напряженности поля является весьма приближенной, так как условия распространения ультракоротких волн зависят от метеорологических процессов в тропосфере, а также от рельефа местности, состава и влажности почвы. [21]
Применяя этот метод при расчете напряженности поля , очень важно учитывать векторный характер этой величины. После нахождения элементарного вектора напряженности dE определяют его проекции dEx, dEy, dEz на соответствующие оси координат, а последующее интегрирование ( суммирование) производят для каждой проекции отдельно. [22]
Естественно, что при расчетах напряженности поля приходится учитывать потери в земле, вводя множитель затухания [ см. ф-лу (10.31) ], величина которого зависит от параметров земной поверхности. [23]
Используя выражение (1.64), производится расчет напряженности поля симметричного полоскового волновода без учета толщины центральной полоски. [24]
Формулой Остина можно пользоваться для расчета напряженности поля волн , распространяющихся и над сушей, но начиная с расстояний порядка 2006 км, так как на больших расстояниях, потери происходят главным образом при отражении от ионосферы и мало зависят от свойств почвы. Максимальные расстояния, для которых формула справедлива, — порядка 16000 — — 18 000 км. [25]
Шулейкина — ван дер — Поля справедлива для расчета напряженности поля и в тех слу-яаях, когда токи смещения в земле больше токов проводимости ( для более коротких волн или для сухой почвы), о выражение для определения численного расстояния к имеет другой вид. Во всех случаях максимальные расстояния, при которых можно пользоваться этой формулой, ориентировочно равны 50 — ь — 100 км для БОЛЯ 50 — J — 200 м, а для волн 10 — н50 — м — порядка 10 км. [26]
В настоящее время еще не создан надежный метод расчета напряженности поля при распространении метровых волн в крупном городе и в лесистой местности, позволяющий точно рассчитать высоту антенн, определить место установки ретрансляторов и другие мероприятия для обеспечения радиосвязи с подвижными абонентами. [27]
Если на сетке рассчитано распределение скалярного потенциала, то расчет напряженности поля делают исходя из формулы градиента потенциала. [28]
Если на сетке рассчитано распределение скалярного потенциала, то расчет напряженности поля проводят исходя из формулы градиента потенциала, пользуясь формулами численного дифференцирования. [29]
Численное дифференцирование
Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования — выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином) , для которой приближенно полагают .
Численное дифференцирование — некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий (осциллирующий) вклад неустранимой погрешности исходных данных — значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении — «разболтка» решения: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага.
Пусть введена как интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае для произвольной неравномерной сетки:
, для i = 0,1…n-1, интерполяция полиномом первой степени.
, интерполяция полиномом второй степени.
В общем случае . Минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k + 1.
Оценка погрешности при численном дифференцировании может быть осуществлена по формуле
где n — число узлов функции, k — порядок производной.
На практике чаще всего используются упрощенные формулы для равномерной сетки, при этом точность нередко повышается. Часто используются следующие формулы для трех узлов:
Исходя из общего вида интерполяционного полинома можно вывести формулы для более высокого порядка точности или для более высоких производных.
Численное решение систем линейных уравнений
Классы задач линейной алгебры
При численном решении большого круга задач в конечном итоге происходит их линеаризация, в связи с чем в соответствующих алгоритмах весьма широко используются методы линейной алгебры. В их числе:
· решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);
· вычисление определителей матриц ;
· нахождение обратных матриц ;
· определение собственных значений и собственных векторов матриц ;
Постановка задачи решения СЛАУ:
где — квадратная матрица коэффициентов размерности n, — вектор неизвестных, — вектор свободных коэффициентов. Иногда СЛАУ представляют в виде расширенной матрицы размерности n Ч n+1, где в качестве последнего столбца фигурирует вектор свободных коэффициентов-. В координатном представлении такая СЛАУ выглядит следующим образом:
Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые (выполняемые за заранее известное количество действий) и итерационные (обеспечивающие постепенную сходимость к корню уравнения, зависящую от многих факторов). Прямые методы обычно применяются для решения систем порядка n < 200, для бульших n используются итерационные методы. Перед решением СЛАУ требуется проанализировать корректную постановку задачи:
1) Если — решение существует и единственно. Если же определитель равен нулю, то тогда, если матрица вырождена (т.е. ее можно преобразовать к виду, когда как минимум одна строка коэффициентов — нули) решений бесконечное множество, иначе решения не существует.
2) Если не имеет элементов с большими по модулю значениями — решение устойчиво (см. пример к главе 1). Показателем плохо обусловленных систем является .
Алгоритм метода Гаусса
Идея метода состоит в последовательном исключении неизвестных из системы n линейных уравнений. На примере первого уравнения системы (2) рассмотрим выражение для x1:
Подставим выражение для x1 во второе и все остальные уравнения системы:
Для расширенной матрицы коэффициентов это означает, что каждый элемент первой строки следует поделить на диагональный элемент, а все остальные строки преобразовать, как показано выше. Таким образом, станут равны нулю все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем аналогичная процедура проводится со второй строкой матрицы и нижележащими строками, при этом первая строка и первый столбец уже не изменяются. И так далее до тех пор, пока все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали, не будут равны нулю.
Общие формулы прямого хода:
k = 1…n, j = 1…n+1. Звездочкой отмечены элементы k-й строки с измененными значениями, которые будут подставлены в следующую формулу. Для определенности будем считать первый индекс — по строкам, второй — по столбцам.
i = k +1…n, j = 1…n+1, k фиксировано в уравнении (3). Для уменьшения количества действий достаточно изменять значения элементов, находящихся выше главной диагонали.
Второй этап решения СЛАУ методом Гаусса называется обратным ходом и состоит в последовательном определении xk, начиная с xn, так как для последнего решение фактически получено. Общая формула:
Таким образом, вычисление корней происходит за 2/3 n 3 арифметических действий.
3) Выбор главного элемента.
Для уменьшения погрешности вычислений следует стремиться к тому, чтобы на главной диагонали матрицы стояли максимальные по модулю значения коэффициентов. Алгоритмически этого можно добиться, переставляя строки таким образом, чтобы на диагонали стоял наибольший по модулю элемент текущего столбца. Такая процедура называется выбором главного элемента и осуществляется всякий раз при переходе к новой строке в прямом цикле метода Гаусса.
4) Погрешность метода. Расчет невязок.
Точность результатов будет определяться только точностью выполнения арифметических операций при преобразовании элементов матрицы, т.е. ошибкой округления. Контроль правильности полученного решения осуществляется подстановкой полученных значений x1…xn в исходную систему уравнений и вычислением невязок, т.е. разностей между правыми и левыми частями уравнений:
Специально отметим, что подставлять найденные значения следует в исходную (не преобразованную к верхнетреугольному виду) систему.
5) Преимущества и недостатки метода.
Преимущество метода в том, что он позволяет достичь результата за заранее известное и фиксированное число действий. Точность результатов будет определяться правильным выбором порядка коэффициентов в матрице и ее размерностью. Недостатком метода является резкое увеличение времени и погрешности вычислений с ростом n.
Блок-схема алгоритма метода Гаусса без выбора главного элемента.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
Простейшим итерационным методом решения СЛАУ является метод простой итерации. При этом система уравнений (1) преобразуется к виду (2), а ее решение находится как предел последовательности (3), где — номер итерации. Утверждается, что всякая система (2), эквивалентная (1), записывается в виде .
Теорема о достаточном условии сходимости метода простой итерации утверждает, что если норма матрицы (), то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.
Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости метода простой итерации: Пусть система (2) имеет единственное решение. Итерационный процесс (3) сходится к решению системы (2) при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы по модулю меньше 1.
На практике для обеспечения сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами.
Представим СЛАУ в следующей форме, удовлетворяющей (3):
Зададим начальные приближения и вычислим правую часть (4), получим новые приближения , которые опять подставим в систему (4). Таким образом организуется итерационный процесс, который обрывается по условию , где — заданная погрешность.
К ускорению сходимости приводит использование приближения к решениям путем последовательного уточнения компонентов, причем k-я неизвестная находится из k-го уравнения. Такая модификация итерационного метода носит название метода Зейделя:
Критерий сходимости метода Зейделя: Пусть — вещественная симметричная положительно определенная матрица. Тогда метод Зейделя сходится.
Достоинствами метода простых итераций является простота программной реализации и более быстрый, по сравнению с линейными методами, поиск решения в матрицах большого размера. Недостатками являются сложный контроль условий сходимости и выбора начального приближения.
Численное дифференцирование. Нахождение значений первой и второй производных в заданной точке
Цель работы: для функции, заданной таблично, найти значение первой и второй производных в точке .
ПРИМЕР. Функция задана таблицей 3.1.
Для приближенного вычисления значения производных функции в точке =1.8, рассмотрим методы численного дифференцирования, полученные на основе разложения функции по формуле Тейлора.
Теоретическая часть.
А. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию по формуле Тейлора, причем количество точек , определяющих расчеты относительно точки , равнялось 1.
Отсюда следует функциональная формула для первой производной:
причем оценка погрешности составит .
Формула (1) является левосторонней. Если функцию разложить по формуле Тейлора относительно точки , то получим правостороннюю формулу:
оценка погрешности составит .
Б. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию при и по формуле Тейлора относительно точки , причем , , . В результате разложения находим соотношения:
Исключаем в приведенных выше равенствах вторую производную, и выражаем из полученных соотношений , получаем следующую аппроксимацию первой производной в крайней левой точке:
где , оценка погрешности , .
На равномерной сетке (, ) формула (3) приводится к виду:
оценка погрешности составляет , .
Аналогично, разложив функцию относительно точки и получив соотношения для , , найдем , аппроксимирующую первую производную в правой крайней точке:
с оценкой погрешности . (4)
Для равномерной сетки (, ):
С. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию при и по формуле Тейлора относительно центральной точки , причем . Полученные выражения для , и исключение из них слагаемых со второй производной приводят к следующим расчетным формулам, аппроксимирующим первую производную в центральной точке :
Для равномерной сетки (, ):
оценка погрешности составляет , .
D. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию в точках и по формуле Тейлора до слагаемого четвертого порядка относительно шага.
Аппроксимация второй производной на нерегулярном шаблоне имеет вид:
Если сетка равномерная, то
оценка погрешности составляет , .
Пример для расчета.
Требуется вычислить значение первой производной и второй производной .
1. Так как шаг заданной сеточной функции постоянный , точка находится внутри сетки, то для вычисления производной в этой точке воспользуемся формулой (5). При этом центральная точка расчетного шаблона совпадает с точкой
Посчитаем искомое значение производной:
Прежде чем выполнить вычисление, определим количество знаков, которое сохраняется при этом.
Остаточное слагаемое выбранной формулы
Так как остаточное слагаемое , то в вычислениях ожидается три верных цифры после запятой. Оставим ещё одну сомнительную, итого для наших расчетов четыре цифры после запятой.
Фактическая абсолютная погрешность составляет:
а относительная погрешность равна .
Отчет по самостоятельной работе должен содержать:
1. постановку задачи;
2. вычисление первой производной в точке по всем приведенным в теоретическом разделе формулам ;