В правильном тетраэдре abcd точка h центр грани abc а точка m середина ребра cd докажите что прямые

В правильном тетраэдре abcd точка h центр грани abc а точка m середина ребра cd докажите что прямые

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

49. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Ответ: б) 64+32√3

а) Докажите, что угол между прямыми АС и BD ₁ равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и BD ₁ .
Ответ: б) 2√3

51. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA ₁ .
а) Докажите, что прямые MB и B ₁ C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и B ₁ C.
Ответ: б) √30/5

52. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―12√2. Через вершину A проведена плоскость a, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость a делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

53. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK: KA ₁ = 1 : 2. Плоскость a проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD ₁ в точке M.
а) Докажите, что MD:MD ₁ =2:1.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA ₁ =6.
Ответ: б) 8√6

54. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:OB=1:2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Ответ: б) √5

55. В правильном тетраэдре АВС точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

56. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC ₁ =2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC ₁ и BC равен 45°.
б) Найдите объём цилиндра.
Ответ: б) 4π

57. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причем BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC ₁ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC ₁ прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB ₁ и AC ₁ , если АВ = 6, BB ₁ =15, B ₁ C ₁ =8.

58. В основании прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ . лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точки K и M — середины рёбер A ₁ B ₁ и AC соответственно.
а) Докажите, что KM = KB.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB ₁ , если AB = 8, AC = 6 и AA ₁ = 3.

59. Дана правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁ , у которой сторон основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C ₁ и середину T ребра A ₁ B ₁ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Ответ: б) arctg 3

61. В треугольной пирамиде SABC основанием является правильный треугольник ABC, а ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки D, E и F середины ребер AB, BC и BS соответственно.
а) Докажите, что плоскость DEF делит пополам высоту пирамиды, проведенную из вершины B.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEF, если AB=6, AS=10.

62. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=√33, все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS отмечена точка F так, что SF=BE=3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.

б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

63. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Ответ: б) 7√51

64. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB=BC. Медиана AM треугольника ASC пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=√6.

65. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Ответ: б) 12√3

66. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B —точка Q, причём AP= BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

67. Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . перпендикулярно прямой BD ₁ .
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB ₁ и B ₁ D.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 48√3, AB = 2√3 и AD = 6.
Ответ: б) 60°

68. На ребре AA₁прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Е так, что A ₁ E=6AE. Точка Т — середина ребра B ₁ C ₁ . Известно, что АВ =4√2, AD=12, AA ₁ =14.
a) Докажите, что плоскость ETD ₁ делит ребро BB ₁ в отношении 4:3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD ₁ .

69. Дана пирамида SABC в которой SC=SB=AB=AC=√17, SA=BC=2√5 .

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

а) Докажите, что расстояние от вершины A ₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA₁ и BCC_1.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC .

б) Найдите угол между прямыми AD 1 и KL , если AB =2√2, AD =6, AA 1 =8.

72. На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

б) Найдите расстояние между плоскостями α и SBC, если высота пирамиды равна 13.

73. В правильной треугольной пирамиде SABC точка P – делит сторону AB в отношении 2:3 считая от вершины A , точка K – делит сторону BC в отношении 2:3 считая от вершины C . Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость a.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью a является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости a если известно, что SC=5, AC=6.

74. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=9, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK : KB=SM : MC =2:7. Плоскость a содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость a делит ребро SB в отношении 2:7 считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

75. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, абоковое ребро SA=6. Точка K делит ребро SC, причем SK:KC=1:2. Плоскость a проходит через точку K и параллельна SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскость a является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABC плоскость a.

Правильный тетраэдр егэ

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P = 4.

а) Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

Источник: ЕГЭ по математике 2017. Досрочная волна, резервная волна. Вариант А. Ларина (часть С)

В правильном тетраэдре ABCD точки K и M — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой AD.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью α — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 991, Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.

б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C).

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 297.

В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2.

а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.

б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298.

В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 291.

В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.

В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 276.

В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K — середина отрезка CH. BM — медиана боковой грани BCD.

а) Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK.

б) Найдите угол между DH и BM.

В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD.

а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.

б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

В правильном тетраэдре ABCD точки K и N середины рёбер AB и AD соответственно. Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Расстояние между прямыми KN и DO равно 3. Найти площадь сечения тетраэдра проходящего через середины трёх смежных рёбер.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 73.

В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.

а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

Источник: ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (C часть), Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1.

б) Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC.

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна x. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую DM и параллельная прямой CL, делит ребро AB в отношении 3:1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

В правильном тетраэдре SABC точка M — середина ребра AB, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка MN, если длина ребра AB равна 8.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 354.

SMNK — правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР : PS = 1 : 3, точка L — середина ребра MN.

а) Докажите, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 398.

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E.

а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.

б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.

Всего: 20 1–20

2618	Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC. а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD. б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD Решение	Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC ! Тренировочный вариант 331 от Ларина Задание 14
2175	В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины ребер AB и CD. а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45^@ б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD Решение	В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины ребер AB и CD ! ларин егэ 2020 профильный уровень Вариант 304 Задание 14
1644	В правильном тетраэдре ABCD точка К – центр грани ABD, точка M – центр грани ACD. а) Докажите, что прямые BC и КМ параллельны. б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ABD Решение	ларин егэ по математике 2020 Вариант 291 Задание 14 ! ларин егэ по математике 2019 профильный уровень Вариант 276 Задание 14
1119	В правильном тетраэдре ABC точка H — центр грани ABC, а точка M — середина ребра CD. а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми DH и BM. Решение	Резервный день егэ 2018 математика профиль 25 июня Задание 14 вариант 992! Ответы 25-06-2018 Задача 14 Вариант 992
500	В правильном тетраэдре с ребром a точки M, N, K — середины AB, BC, DC соответственно. Найти угол между прямой (MK) и плоскостью (ADN) Решение
445	Дан правильный тетраэдр DABC. Точка M — середина AD. Найти угол между прямой (BM) и плоскостью (BCD) Решение
423	Дан правильный тетраэдр DABC. Точки M и N — середины рёбер AD и BD соответственно. Найти угол между плоскостями (BCM) и (ACN) Решение
378	Внутри правильного тетраэдра ABCD c ребром 12 расположен конус так, что его вершина является серединой ребра CD, а окружность основания конуса вписана в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра BC, параллельно CD и AB. Найти объём конуса Решение	#Задача-Аналог 331
352	В правильный тэтраэдр SABC с ребром 24 вписан шар. В трёхгранный угол с вершиной S вписан второй шар, который касается первого шара. Найти объём второго шара Решение
351	Для правильного тэтраэдра с ребром a найти: его объём; радиус шара, вписанного в тэтраэдр; радиус шара, описанного около тэтраэдра. Доказать, что центры описанного и вписанного в него шаров совпадают. Решение

Показать ещё…

Показана страница 1 из 2

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — тетраэдр, все грани которого являются правильными треугольниками.

Обозначения

• $a$ — длина стороны тетраэдра

Находим $DE$

Пусть E — середина грани BC. Так как треугольник BCD правильный, угол BEC равен 90 градусам. Из прямоугольного треугольника BEC $$ DE=sqrt=sqrt<4>>=fraccdot a> <2>$$

Категория:

• ЕГЭ по математике

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите боковое ребро

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, Найдите длину отрезка

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра — вершина. Известно, что а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна

Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен Найдите объем пирамиды.

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Задача 28. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Задача 33. Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Вы можете пройти тест

Координаты вершин правильного тетраэдра

Пирамиды традиционно считаются сложными фигурами в задаче C2. А уж если в основании пирамиды лежит треугольник (т.е. пирамида становится тетраэдром), то все становится совсем грустно. В общем, если в ЕГЭ по математике вам попадется правильный тетраэдр, примите мои поздравления: это самая мерзкая и сложная фигура, которая встречается на настоящем экзамене.

Тем не менее, после небольшой тренировки все становится вполне решаемо. И в этом уроке мы пошагово разберем каждую вершину тетраэдра и найдем каждую координату. Вы убедитесь: все, что нам действительно надо знать — это две теоремы:

1. Теорема Пифагора — без нее не решается вообще ни одна задача C2, потому что на этой теореме построена сама идея декартовой системы координат;
2. Теорема о медианах. А именно: медианы треугольника пересекаются в одно точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Вот и весь список! Вы знаете эти теоремы? Тогда поехали!

Задача. В правильном тетраэдре SABC , все ребра которого равны 1, введите систему координат и найдите координаты вершин.

[Подпись к рисунку]

1. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
2. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

В правильном тетраэдре abcd точка h центр грани abc а точка m середина ребра cd докажите что прямые

В правильном тетраэдре ABCD с ребром a точка M – середина AB . Найдите угол и расстояние между прямыми AD и CM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки CM и AD ?

Решение

Пусть E – середина AD , M’ – ортогональная проекция точки M на плоскость BEC , перпендикулярную прямой AD . Тогда M’ – середина BE (прямая AD перпендикулярна плоскости BEC , а MM’ || AD ). Расстояние между прямыми AD и CM равно расстоянию от точки E до прямой CM’ . Из прямоугольного треугольника CM’M находим, что
CM’ = = = .
Обозначим CM’E = ϕ . По теореме косинусов из треугольника CM’E находим, что
cos ϕ = =

= = = > 0.
Тогда sin ϕ = = . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на прямую CM’ . Так как cos ϕ >0 , то ϕ o , поэтому точки M’ и P лежат по одну сторону от прямой BE в плоскости BEC . Расстояние между прямыми AD и CM равно длине отрезка EP . Из прямоугольного треугольника EM’P находим, что
EP = EM’ sin ϕ = · = a = .
Угол α между прямыми AD и CM дополняет до 90 o угол между пересекающимися прямыми CM и CM’ . Поэтому
sin α = cos (90 o — α ) = = = .
Следовательно,
α = arcsin = arccos .
Из прямоугольного треугольника EM’P находим, что
PM’ = EM’ cos ϕ = · = .
Тогда
CP = CM’ — PM’ = a — a = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AD и CM (точка X лежит на AD , Y – на CM ). Тогда EXYP – прямоугольник, PY || MM’ || AD . Значит,
= = = 10.

Обозначим = , = , = , DA = x , AB = y , BC = z , где x = y = z = a . Тогда
· = a 2 cos 120 o = -, · = a 2 cos 120 o = -, · = 0,

CM = = = = = .
Пусть α – угол между прямыми AD и CM . Тогда
cos α = = = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AD и CM (точка X лежит на AD , Y – на CM ), причём
= = — , = μ = -μ (— — ).
Тогда
= + + = + — (1-μ) =

= + + (μ-1)(— — ) = + (1 — μ) + (1 — μ).
Так как и , то · = 0 и · = 0 , или
(( + (1 — μ) + (1-μ) )· =

= 2 + (1 — μ) · + (1 — μ)(· ) =

= a 2 — (1 — μ)· + (1 — μ) · 0 = (2 — 1 + μ) = 0;

· = ( + (1 — μ) + (1 — μ ) )· (— — ) =

= — (· ) — (1 — μ) (· ) — (1 — μ)· 2 —

— (· ) — (1 — μ)· 2 — (1 — μ) (· ) =

= (1 — μ)· — (1 — μ )· a 2 + · a 2 — (1 — μ) )· a 2 + (1 — μ )a 2 =

= —(μ — 1 + 2 — 2μ — + 1 — μ — + μ)=

= —(— — μ + ) = ( + 3μ — 3) = 0.
Из системы

находим, что = , μ = ( AX:XD = 3:8 , CY:YM = 10:1 ). Поэтому
= + (1 — μ) · + (1 — μ )· = + + .
Следовательно,
XY = = =

Пусть V – объём тетраэдра. Тогда
V= · · a = , V_ADMC = V = .
С другой стороны,
V_ADMC = AD· CM· d sin α,
где α – угол между прямыми AD и CM , а d – расстояние между ними. Пусть T – середина ребра BD . Тогда MT || AD , значит, угол между прямыми AD и CM равен углу CMT . Из треугольника CMT по теореме косинусов находим, что
cos α = cos CMT = .
Тогда sin α = . Следовательно,
d= = = a.

Ответ

arccos = arcsin ; ; CY:YM = 10:1 ; AX:XD = 3:8 .

В правильном тетраэдре abcd точка h центр грани abc а точка m середина ребра cd докажите что прямые

2023-02-22
Точка $M$ — середина ребра $AB$ правильного тетраэдра $ABCD$.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $ACD$ лежит на медиане $AP$ этой грани.
б) Найдите угол между прямой $DM$ и плоскостью $ACD$.

Похожие публикации:

1. Hp smart tank 516 как подключить к вай фай
2. Lenovo modern imcontroller что это
3. Как открыть бардачок бмв х5 е70
4. Как сканировать на принтере hp